1. Departamento de Matem´atica Aplicada Ecuaciones diferenciales II
Hoja de ejercicios n´umero 1.
1. Encuentre la soluci´on general y resuelva, en su caso, los problemas de valores iniciales indi-
cados:
(a) y − y = 2x exp(2x), y(0) = 1
(b) y + 2y = x exp(−2x), y(1) = 0
(c) dy/dx = x2/y
(d) dy
dx = x−exp(−x)
y+exp(y)
(e) dy
dx = x2
1+y2
(f) xdx + ye−xdy = 0, y(0) = 1
(g) dy
dx = 2x
1+2y , y(2) = 0
(h) (−3x + y + 6)dx + (x + y + 2)dy = 0.
2. Determine cu´ales de las siguientes ecuaciones son exactas y resuelva las que los sean.
(a) (2x + 3) + (2y − 2)y = 0.
(b) (2x + 4y) + (2x − 2y)y = 0.
(c) (9x2 + y − 1)dx − (4y − x)dy = 0.
(d) (2xy2 + 2y) + (2x2y + 2x)y = 0.
(e) dy
dx = −ax+by
bx+cy ..
(f) (ex sen y − 2y sen x)dx + (ex cos y + 2 cos x)dy = 0.
(g) (yexy cos 2x − 2exy sen 2x + 2x)dx + (xexy cos 2x − 3)dy = 0.
(h) (x log y + xy)dx + (y log x + xy)dy = 0.
3. Pruebe que las siguientes ecuaciones no son exactas, pero lo son tras multiplicar por el factor
integrante que se indica. Integre las ecuaciones.
(a) x2y3 + x(1 + y2)y = 0, µ = 1/(xy3).
(b) sen y
y − 2e−x sen x dx + cos y+2e−x cos x
y dy = 0, µ = yex.
(c) y dx + (2x − yey) dy = 0, µ = y.
4. Halle un factor integrante e integre.
(a) (3x2y + 2xy + y3)dx + (x2 + y2)dy = 0.
(b) dt + t
x − sen x dx = 0.
(c) y dx + (2xy − e−2y) dy = 0.
5. Integre las siguientes ecuaciones de Bernouilli:
(a) dy
dx − 5y = −5
2 xy3.
(b) dy
dx + y
x−2 = 5(x − 2)y1/2.
(c) dy
dx + y3x + y = 0.
6. (a) Pruebe que si (∂P
∂y − ∂Q
∂x )/(Qy − Px) es una funci´on g(z) del producto z = xy, entonces
µ(z) = exp( g(z)dz) es un factor integrante de la ecuaci´on P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0.

2. (b) Halle una condici´on similar para que la ecuaci´on admita un factor integrante que depen-
da s´olo de la combinaci´on x + y.
(c) Aplique los apartados anteriores para integrar la ecuaci´on
(y2
+ xy + 1)dx + (x2
+ xy + 1)dy = 0
de dos formas distintas. Intente congraciar ambos resultados.
7. Encuentre una ecuaci´on diferencial cuyas soluciones y = y(x) sean todas las circunferencias
del plano 0xy con centro en el origen. Idem para todas las circunferencias de radio unidad
y centro en el eje de abscisas. Idem para todas las circunferencias con centro en el eje de
abscisas.
8. Dibuje un esbozo de las siguientes familias uniparam´etricas de curvas. Para cada una de
ellas obtenga una ecuaci´on diferencial para la familia de curvas ortogonales a las dadas. (a)
xy = c2, (b) y = cx2, (c) y = cex.
9. Encuentre una ecuaci´on diferencial cuyas soluciones sean la familia de rectas tangentes a la
par´abola x2 = 4y. Compruebe que la propia par´abola es una curva integral de la ecuaci´on
diferencial. Por lo tanto por cada punto de la par´abola pasan dos curvas integrales.
10. Hallar las curvas que satisfacen cada una de las condiciones geom´etricas siguientes.
(a) La porci´on de la tangente limitada por los ejes tiene como punto central al punto de
tangencia.
(b) La proyecci´on sobre el eje x de la parte de la normal entre (x, y) y el eje x tiene longitud
1.
(c) La proyecci´on sobre el eje x de la parte de la tangente entre (x, y) y el eje x tiene longitud
1.
(d) La porci´on de la tangente entre (x, y) y el eje x es bisectada por el eje y.
(e) La porci´on de la normal entre (x, y) y el eje y es bisectada por el eje x.
(f) (x, y) equidista del origen y del punto de intersecci´on de la normal con el eje x.
11. Un m´ovil parte desde el origen por el primer cuadrante. El ´area bajo la curva que describe
desde (0, 0) hasta (x, y) es un tercio del ´area del rect´angulo que tiene a esos puntos como
v´ertices opuestos. Halle la ecuaci´on de la curva.
12. Tres v´ertices de un rect´angulo de ´area A est´an sobre el eje x, en el origen, y sobre le eje y.
El cuarto se desplaza sobre una curva y = y(x) en el primer cuadrante. Halle la ecuaci´on de
la curva si se sabe que el ritmo de cambio de A con respecto a x es proporcional a A.
13. (a) Pruebe que las ecuaciones del tipo:
yf(xy)dx + xg(xy)dy = 0,
con f y g funciones derivables con continuidad, admiten un factor integrante del tipo
µ(x, y) =
1
xyf(xy) − xyg(xy)
siempre que el denominador no se anule. Calcule la soluci´on si xyf(xy) − xyg(xy) ≡ 0.
(b) Resuelva la ecuaci´on
y(1 + 2xy)dx + x(1 − xy)dy = 0
usando el factor integrante del apartado anterior.
(c) Resuelva la ecuaci´on de (b) mediante el cambio de variable z = xy. ¿Es ´este un proce-
dimiento general para las ecuaciones del tipo del apartado (a)? Razone la respuesta.