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1. Cálculo de Probabilidades II
Semanas 6: Esperanza Matemática
Vladimiro Contreras Tito
Universidad Nacional Federico Villarreal
Facultad de Ciencias Naturales y Matemática
Departamento de Matemática
Setiembre 2021
V. Contreras T. 1 / 12 2021 1 / 12

2. Esperanza de una variable aleatoria discreta
Esperanza de una variable aleatoria discreta
Teorema 1.1.
Si X es una v.a. discreta con función de cuantı́a dada por
PX(xn) = pn donde xn es un punto del recoorido de X siendo RX
numerable, entonces decimos que E(X) existe si y solo si
P
n xn pn es
una serie absolutamente convergente, esto es:
X
n
|xn| pn < ∞
En este caso E(X) =
P
n xn pn
Ejemplo 1.1.
Suponga que el número de llamadas telefónicas que recibe una central
en un periodo de tiempo es una v.a. X con función de probabilidad
f(x) =
e−λ λx
x!
, λ > 0 , x = 0, 1, 2, ...
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3. Esperanza de una variable aleatoria discreta
Esperanza de una variable aleatoria absolutamente
contı́nua
Teorema 1.2.
Si X es una v.a. absolutamente continua con función de densidad dada
por fX(xn). La esperanza de X existe y está dada por:
E(X) =
Z ∞
−∞
x fX(x) dx
si y solo si esta integral existe, esto es, si y solo si
Z ∞
−∞
|x| fX(x) dx < ∞
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4. Esperanza de una variable aleatoria discreta
Ejemplo 1.2.
Sea X la variable aleatoria que denota la vida en horas de cierto
dispositivo electrónico. La función de densidad de probabilidad es
f(x) =
(
20000
x3 x > 100
0 , en otro caso
Calcule la vida esperada para esta clase de dispositivo.
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5. Esperanza de una variable aleatoria discreta
Espeanza matemática de un vector aleatorio
Definición 1.1.
Sea X = (X1 , X2 , ... Xn) un vector aleatorio con función de
distribución conocida. La esperanza matemática de X que denotaremos
con E(X), es un vector de componentes reales cuya i-ésima
componente es E(Xi), esto es:
E(X) = (E(X1) , E(X2) , ... E(Xn))
Siempre que cada uno de las esperanzas matemáticas existen.
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6. Esperanza de una variable aleatoria discreta
Ejemplo 1.3.
Dado el vector aleatorio X = (u, z) con función de densidad de
probabilidad dada por:
f(u, z) =
(
u2 + uz
3 0 ≤ u ≤ 1 , 0 ≤ z ≤ 2
0 , en otro caso
Calcule la E(X).
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7. Esperanza de una variable aleatoria discreta
Esperanza matemática de funciones de variables
aleatorias
Teorema 1.3.
Si X es un v.a. discreta con distribución de probabilidad conocida, y si
Y = ϕ(X) es una v.a. se tiene que E(Y ) existe y está dada por
E(Y ) = E(ϕ(X)) =
X
n
ϕ(xn) PX(xn)
donde la extensión de la variación del indice de sumación n es para
todo los puntos de RX; si y solo si la serie es absolutamente
convergente.
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8. Esperanza de una variable aleatoria discreta
Teorema 1.4.
Si X es una v.a. absolutamente continua con distribución de
probabilidad conocida y si Y = ϕ(X) es una v.a. entonces E(ϕ(X))
existe y está dada por
E(ϕ(X)) =
Z ∞
∞
ϕ(x) fX(x) dx
si y solo si la integral existe, es decir si y solo si
Z ∞
∞
|ϕ(x)| fX(x) dx < ∞
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9. Esperanza de una variable aleatoria discreta
Teorema 1.5.
Si el vector aleatorio W = [X, Y ] tiene distribución discreta y si ϕ(W)
es una v.a. entonces E(ϕ(X)) existe y está dada por:
E(ϕ(W)) =
X
i
X
j
ϕ(xi, yj) pW (xi, yj)
donde la suma se extiende sobre todo los puntos de RW y si solo si la
serie doble es absolutamente convergente.
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10. Esperanza de una variable aleatoria discreta
Teorema 1.6.
Si el vector aleatorio W = [X, Y ] tiene distribución de probabilidad
absolutamente continua y si ϕ(W) es una v.a. entonces
E(ϕ(W)) =
Z ∞
∞
Z ∞
∞
ϕ(x, y) fW (x, y) dx dy
siempre que Z ∞
∞
Z ∞
∞
ϕ(x, y) fW (x, y) dx dy < ∞
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11. Esperanza de una variable aleatoria discreta
Ejemplo 1.4.
Suponga que X y Y tiene la siguiente función de probabilidad conjunta
HH
HHH
H
y
x
2 4
1 0,10 0,15
3 0,20 0,30
5 0,10 0,15
Calcule el valor esperado de g(X, Y ) = X Y 2
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12. Esperanza de una variable aleatoria discreta
Ejemplo 1.5.
Sea X = (U, Z) el vector aleatorio con función de densidad de
probabilidad dada por:
f(u, z) =
(
1
(b−a)2 a ≤ u ≤ b , a ≤ z ≤ b
0 , en otro caso
y sea W = U + Z, calcule si existe E(W)
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