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1. Cálculo de Probabilidades II
Semana 2: Funciones de variables aleatorias
Vladimiro Contreras Tito
Universidad Nacional Federico Villarreal
Facultad de Ciencias Naturales y Matemática
Departamento de Matemática
Agosto 2021
V. Contreras T. 1 / 16 2021 1 / 16

2. Funciones de variables aleatorias
Funciones de variables aleatorias
Recordemos que un vector aleatoria de dimensión n es una función que
a cada elemental w le asigna o asocia un elemento de Rn. Esto es:
Ω
X
−
→ Rn
w → X(w) = (X1(w), X2(w), ..., Xn(w)) ∈ Rn
con RX 6= φ.
Consideremos una función ϕ tal que a cada elemento X ∈ RX le asocia
un elemento U = ϕ(X) de Rp, esto es:
ϕ : RX → Rp
X → ϕ(X) = U = (ϕ1(X), ϕ2(X), ..., ϕp(X)) = (u1, u2, ..., up) =
Si representamos por U a la imagen de ϕ entonces tenemos:
Ω
X
−
→ RX
ϕ
−
→ U
w → X(w) → ϕ(X(w))
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3. Funciones de variables aleatorias
En general la función U es una v.a. o vector aleatorio de dimensión p
cuyo recorrido es U. De la definición de vector aleatorio, para que la
aplicación compuesta U = ϕ(X) satisfaga la condición necesaria para
ser v.a. ([U ≤ u] ∈ A) la única condición que debe acreditar es que en
U los puntos al infinito corresponden a eventos con probabilidad cero,
lo que equivale decir que las imágenes inversas sobre RX de los puntos
al infinito de U y corresponden a eventos con probabilidad cero.
Ejemplo 1.1.
Sea X la suma obtenida al extraer dos dı́gitos con reemplazamiento del
conjunto {0, 1, 2, 3} y sea la función U = ϕ(X) = 1
X . ¿Es U una v.a.?
Ejemplo 1.2.
Sea la v.a. X cuya distribución de probabilidad está dada por la
función de densidad
fX(x) =
(
1
3 , 2 < x < 5
0 , en otros casos
y sea U = ϕ(X) = 1
X−3. ¿U es una v.a.?
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4. Funciones de variables aleatorias
NOTA 1.1.
Nos interesa determinar la función de distribución de la función U
cuando es una v.a., a partir de las caracteristicas probabilisticas de X y
del conocimiento de la función ϕ. Para ello se considera un Principio
general que establece, que si V1 ⊂ RX es la imagen inversa por ϕ del
subconjunto U1 de U entonces la probabilidad que se asigna a U1 es
igual a la probabilidad asignada a V1 esto es:
Si v1 = ϕ−1(u1) entonces P[u ∈ U1] = P[x ∈ v1]
Ası́ por ejemplo,
V1 = {(x1, x2, ..., xn) / ϕi(x1, x2, ..., xn) ≤ ai , i = 1, 2, ..., p} es la
imagen inversa por ϕ de
U1 = {(u1, u2, ..., up) / xi ≤ ai , ∀i = 1, 2, ..., p} y por tanto:
P[u ∈ U1] = P[
P
i=1
[ui ≤ ai]] = P[X ∈ V1]
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5. Funciones de variables aleatorias
Ejemplo 1.3.
Del ejemplo anterior donde
fX(x) =
(
1
3 , 2 < x < 5
0 , en otros casos
y sea U = ϕ(X) = 1
X−3, halle la función de distribución de U.
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6. Funciones de variables aleatorias
a). Funciones de una sola variable
Función de una variable discreta
Si X es una v.a. discreta con recorrido RX, entonces RX es un
conjunto contable de números reales y su imagen mediante ϕ será
también un conjunto contable. Por lo tanto si U = ϕ(X) es una v.a. es
también una v.a. discreta.
Teorema 1.1.
Sea X una v.a. discreta con función de cuantı́a PX y sea U = ϕ(X)
entonces la función de cuantı́a de U está dada por
PU (u) =
P
x∈Au
PX(x)
donde Au = {x / ϕ(X) = u} es decir: Au = ϕ−1(u)
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7. Funciones de variables aleatorias
Ejemplo 1.4.
Si se tiene 5 llaves de las cuales sólo una abre una puerta, si se intenta
abrir una por una sin reemplazamiento, sea X el número de ensayos o
intentos necesarios para abrir la puerta y sea Y = ϕ(X) = 4X − 5. Si
Y es una v.a., halle su distribución de probabilidad.
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8. Funciones de variables aleatorias
Función de una variable aleatoria absolutamente
continua
Teorema 1.2.
Sea X es una v.a. absolutamente continua con función de densidad de
probabilidad fX y recorrido RX. Sea ϕ una función tal que Y = ϕ(X)
es una v.a. Si ϕ(RX) es un conjunto contable, la v.a. Y tiene
distribución de probabilidad dada por:
PY (y) =





0 si AY = ϕ−1(y) es un conjunto
contable de puntos de RX
R
Ay
fX(x)dx AY es un intervalo contenido en RX
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9. Funciones de variables aleatorias
Ejemplo 1.5.
Sea X una v.a. cuya función de densidad es:
fX(x) =
(
1 0 ≤ x ≤ 1
0 en otros casos
y sea Y = ϕ(X) = [|k X|] , K > 0, Halle la distribución de probabilidad
de Y .
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10. Funciones de variables aleatorias
Teorema 1.3.
Sea X una v.a. continua con valores dentro de un intervalo ha, bi ⊂ R
y con función de densidad fX(x). Sea ϕ : ha, bi → R una función
continua estrictamente creciente o decreciente y con inversa
diferenciable. Entonces la v.a. Y = ϕ(X) toma valores dentro del
intervalo ϕ(ha, bi) y tienen función de densidad
fY (y) =
(
fX(ϕ−1(y))

13. d
dy ϕ−1(y)

16. para y ∈ ϕ(ha, bi)
0 en otros casos
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17. Funciones de variables aleatorias
Ejemplo 1.6.
Supongamos que X está distribuido normalmenteesto es X ∼ N(µ, σ2)
cuya función de densidad es
f(x) =
1
σ
√
2 π
e−1
2
( x−µ
σ
)2
, x ∈ R
y sea ϕ(X) = eX
Halle la función de densidad de la v.a. Y = eX cuyo RY = h0, ∞i
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18. Funciones de variables aleatorias
Funciones ϕ derivable con inversa múltiple
Teorema 1.4 (Cambio de variables).
Sea X una v.a. absolutamente continua con valores dentro de un
intervalo ha, ci ⊂ R, y con función de densidad fX(x). Sea
ϕ : ha, ci → R una función tal que admite la descomposición
ϕ(x) =
(
ϕ1(x) si x ∈ ha, bi
ϕ2(x) si x ∈ [b, ci
en donde a < b < c, y cada una de las funciones ϕ1 : ha, bi → R y
ϕ2 : [b, ci → R es continua, estrictamente creciente o decreciente y con
inversa deferenciable. Entonces la v.a. Y = ϕ(x) toma valores dentro
del intervalo ϕha, ci, y tiene función de densidad
fY (y) = fX(ϕ−1
1 (y))

21. dϕ−1
1 (y)
dy

24. .1ϕ1(ha,bi)(y) + fX(ϕ−1
2 (y))

27. dϕ−1
2 (y)
dy

30. .1ϕ2[b,c](y)
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31. Funciones de variables aleatorias
donde
1ϕ1(ha,bi)(y) =
(
1 si x ∈ ϕ1ha, bi
0 si x /
∈ ϕ1ha, bi
es la función indicadora
Ejemplo 1.7.
Sea X con distribución uniforme en el intervalo h0, 1i. Demuestre que
la función de densidad de la variable Y = 4X(1 − X) es
f(y) =
(
1
2
√
1−y
, 0 < y < 1
0 en otros casos
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32. Funciones de variables aleatorias
Caso general
Teorema 1.5.
Si y = ϕ(X) con X una v.a. absolutamente continua y ϕ una
transformación con inversa múltiple de multiplicidad k, entonces se
cumple:
fY (y) =
k
X
j=1
fX(ϕ−1
j (y))

37. dϕ−1
j (y)
dy

42. .1ϕj (y)
donde ϕ−1
j denota la j-ésima inversa de ϕ y 1ϕj la función indicadora.
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43. Función de una variable aleatoria n-dimensional
b). Función de una variable aleatoria n-dimensional
Función de un vector aleatorio discreto
De acuerdo con la condición establecida si en ϕ(RX) los puntos al
infinito corresponden a eventos con probabilidad cero, entonces Y es
una v.a. discreta, cuyo recorrido es RY = ϕ(RX).
Cuando Y es una v.a. discreta debemos tratar de obtener su función de
cuantı́a.
Consideremos un punto y ∈ RY cuya imagen inversa por ϕ es
ϕ−1(y) = Ay ⊂ RX. Para este punto se tiene
P[Y = y] = P[x ∈ AY ] =
X
x∈Ay
PX(x)
donde PX(x) es la función de cuantı́a del vector X en cada punto x de
RX.
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44. Función de una variable aleatoria n-dimensional
Ejemplo 2.1.
Sea X , Y dos v.a. independientes con funciones de cuantı́as
marginales dadas por:
PX(k) =
n
k
pk
(1 − p)n−k
, k = 0, 1, 2, ...n , 0 p 1
PY (r) =
m
r
pr
(1 − p)m−r
, r = 0, 1, 2, ...m , 0 p 1
se desea obtener la distribución de probabilidad de Z = X + Y .
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45. Función de una variable aleatoria n-dimensional
Función de un vector aleatorio absolutamente continua
Teorema 2.1.
Sea Z = (X, Y ) un vector aleatorio absolutamente contı́nua con valores
en I ⊂ R2, y con función de densidad fX,Y . Sea ϕ(x, y) : I → R2 una
función continua con inversa ϕ−1(u, v), diferenciable. Entonces el
vector (U, V ) = ϕ(X, Y ) toma valores en ϕ(I) y tiene función de
densidad
fU,V (u, v) =
(
fX,Y (ϕ−1(u, v)) |J(u, v)| para (u, v) ∈ ϕ(I)
0 en otros casos
en donde
J(u, v) =

50. ∂ϕ−1
1
∂u
∂ϕ−1
1
∂v
∂ϕ−1
2
∂u
∂ϕ−1
2
∂v

55. V. Contreras T. 16 / 16 2021 16 / 16