Estadistica.2

LA ESTADÍSTICA
1. Etimología:
Nominal: etimología.
Definición
Real: naturaleza del curso.
 palabra latina: “status” = nivel – jerarquía – situación.
 palabra griega: “statera”= balanza.
 Palabra alemana: “staat”= estado (en sus inicios)
Estado (en sus inicios) recogía datos.
 Nacimiento de la población.
 Fallecimientos (mortalidad)
 Relacionado a su población.
 Situaciones bélicas (cuantas guerras).etc.
Es probable que la etimología de la estadística provenga de la palabra “estado”.
2. Definición: Es una ciencia formal de conocimiento - vulgar.
- Científico.
- Filosófico.
Características.
 Verificable (practica).
 Racional.
 Sistematización “orden”.
 Universal.
 Provisionales. (temporales).
 Metódico.
 Falible.Desuso, obsoleta, serán reemplazado.
Requisito de la ciencia.
Objeto de estudio (campo de estudio) ej. Organizaciones,
instituciones, en la práctica etc.
Método Estadístico - recolección de datos.
- Clasificacion. (ordenar)
- Procesar.
- Analiza-interpreta.
- Toma decisiones.
Método: conjunto de pasos, procesos inalterables.
“Organización”
Cada cosa en su
lugar, y un lugar para
cada cosa.
Datos
Materia prima de la
estadística.
Técnica,
estrategia etc.
Permiten.

Cuerpo doctrinal. Teorías, principios, teoría de muestreo,
estadígrafos, técnicas y estrategias.
Diferencias
Toma de decisiones: con la finalidad de potencializar cosas buenas y
corregir las cosas malas de la organizaciones
3. Historia de la estadística.
4. Objetivos de la estadística. (datos empresariales)
Están en verbos que termina en ar er ir ejemplo recoger, procesar etc.
 Recoger datos. Relacionado a una determinada variable.
técnica instrumento
Encuesta. Cuestionario.
Entrevista. Guía de entrevista.
Observación. Guía de categoría.
Análisis documentario. Ficha de análisis
documentario.
 Procesar datos.
 Método.
 Técnica.
 Formula.
 TDF. (tabla de distribución de frecuencia).
 Cuadros estadísticos.
Proceso
Amplias, gruesas, grandes. etc.
Ejemplo:
 Recolección de datos.
 Procesamiento.
 Análisis e interpretación.
 Toma de decisiones.
Procedimiento
Procedimiento está incluido en el proceso.
Ejemplo.
Solamente de la recolección de datos.
 Plan.
 Elaboración de instrumentos.
 Recolección de datos (instrumento).
 Clasificación (ordenamiento)
DATOS ≠ INFORMACIÓN
Terminado de procesar se
convierte en información
X = ∑ Xi
n

 Analizar e interpretar información.
¿Por qué?
 Toma de decisiones.
Alternativas.
5. Razones para estudiar la estadística.
Porque es una herramienta fundamental, prioritario, básica,
indispensable. Para los administradores (único quien toma decisiones)
porque permite tomar decisiones.
6. Nomenclaturas estadísticas.
Términos de dicha ciencia, especialidad. Paradigmas modernos para
administración.
Estadística.
Estadista/estadístico.- Es la persona que maneja los métodos,
técnicas. etc. Hace uso de la estadística. Es el profesional del campo
administrativo.
Estadísticas. Conjuntos de datos referidos a una determinada variable.
Variable. Son determinados características que fluctúan, son
características que tiende a variar, no son permanentes por factores
internos y externos.
Población (N). conjunto de elementos. - Persona.
- empresas.
- animales.
(Universo) Infinito Finito - computación.
- restaurantes. etc.
Muestra (n). Es una parte de la población, subconjunto, representativa.
Tamaño de muestra. n = P.Q.N
Z2.E
Estadígrafos. Son medidas que se calcula a nivel de la muestra(n).
X = M0 = Me = T2, T3, etc.
Parámetros. Son medidas que se calcula a nivel de la población(N).son
utilizados pocas veces por ejemplo la de censo que se requiere la
población completa.
Unidad de análisis. Cada uno de los elementos que forman la muestra
que se tendrá que analizar y me darán los datos.
Unidadde análisisqueme daránlos datos
POBLACIÓN.
Terminología estadística ≠ terminología administrativa.
H
MUESTRA.
T R
J K L
I Ñ U
A B
C
D F G
M

7. Elementos básicos de la estadística.
 Población.
 Muestra.
 Variable.
 Datos.
8. División de la estadística.
Descriptiva
Estadística
Inferencial.
 Estadística descriptiva. . Teorías.
Rama. . Principios.
Disciplina. Estadística . Proceso.
Componente. General. . Método.
Parte. . Técnica.
. Estrategia.
Que ya ocurrieron. (Tiempo pasado). Variable
Variable. Están ocurriendo. (Tiempo presente) Comportamiento.
Tomar decisiones
 Estadística inferencial. . teorías.
Rama. . Principios.
Disciplina. Estadística . Proceso.
Componente. General. . Método.
Parte. . Técnica.
.estrategia.
Muestra - población
Tomar - dediciones
Ejercicio practico
Una empresa produce focos de los cuales cuatro focos de la marca “A” dejaron
de funcionar después de 102, 900, 980 y 1100 horas de funcionamiento. “B”
dejaron de funcionar después de 960, 845, 1050, 1010 horas de
funcionamiento, se llega a las siguientes conclusiones.
1. La duración promedio de los cuatro focos de la marca “A” es de 770,5
horas, mientras que la duración promedio de los cuatro focos de la
marca “B” es. 966,25 horas. Generalización.
2. La duración promedio de todos los focos de la marca “A” es menor de
los focos de la marca “B”.
3. La diferencia entre los dos promedios es de 195,75 horas.
Compuesto
o Recoger datos.
o Procesar datos.
o Interpretar,
analizar.
Compuesto
o Predecir
o Pronosticar
o Estimar
o Generalizar.
Permite
Descriptiva
Inferencial
Descriptiva

4. La diferencia entre los dos promedios es demasiado grande para llegar a
la conclusión de que los focos de marca “A” mejores que de los focos de
la marca “B”.
5. Si se selecciona o se prueba otro foco de la marca “A” probablemente
durará menos que el promedio de los focos de la marca “B”
6. Determinar cuáles de las conclusiones corresponden a la estadística
descriptiva y cuales a la estadística inferencial.
Desarrollo:
X = ∑ =4
𝑖=1
102+900+980+ 1100
4
= 770,5 marca “A”
X = ∑ =4
𝑖=1
960+845+1050+1010
4
= 966,25 marca “B”
PROCESAMIENTO DE DATOS
9. Presentación de datos.
DATOS
Procesados
1 2 3
10. Cuadros estadísticos.
Definición:
Diagramas. Filas. Donde se registra los datos
Esquemas. Columnas. de una determinada variable.
Partes:
 Número.
 Título. ¿qué? Que contiene.
¿Cómo? Como está distribuido.
¿Dónde? Donde pertenecen esos datos.
¿Cuándo? A qué periodo corresponde.
 Cuerpo.
 Fuente. Cuestionario etc.
 Elaboración. De donde ha tomado esos datos. Quien lo hiso ,
quien o quienes lo elaboraron.
Inferencial
Inferencial
Cuadro
estadístico
Tabla de
distribución de
frecuencia
Gráficos

Ejemplo de cuadros estadísticos.
¿Usted participo en el desfile institucional del domingo 27 de abril
de 2014?
Varones: IIII - III = 8 Varones: IIII - IIII – III = 13
Mujeres:IIII – I = 6 Mujeres:IIII - IIII – III = 13
TOTAL: 40
Participación de los alumnos de la E.A.P. ciencias administrativas. Distribuido por
sexo, frecuencia, porcentaje.
CUADRO N° 01
PARTICIPACION:
SEXO
MASCULINO FEMENINO
SI NO SI NO
Fi % Fi % Fi % Fi %
8 20 13 32,50 6 15 13 32,50
DESARROLLO.
40 - 100% x =
𝟖 ×𝟏𝟎𝟎
𝟒𝟎
𝟒𝟎 − 𝟏𝟎𝟎% x =
𝟏𝟑 ×𝟏𝟎𝟎
𝟒𝟎
8 - x X = 20% 13 - x X = 32,50%
40 - 100% x =
𝟔 ×𝟏𝟎𝟎
𝟒𝟎
𝟒𝟎 − 𝟏𝟎𝟎% x =
𝟏𝟑 ×𝟏𝟎𝟎
𝟒𝟎
6 - x X = 15% 13 - x X = 32,50%
Fuente:cuestionario.
Elaboración: Alumnos de la E.A.P. ciencia administrativas (curso de estadística
descriptiva).
TABLA DE DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIA. (TDF)
Ejercicio n°1
A través de uso de cuestionario se han recogido un conjunto de datos una muestra de
20 trabajadores y que corresponde a las horas semanales trabajadas en la empresa
“dislac” Huánuco 2013.
si No

22 – 29 – 23 – 18 – 23 – 21 – 20 – 22 – 16 – 19
35 – 23 – 24 – 27 – 19 – 26 – 25 – 21 – 17 - 27
n = 20
a) Calculamos el rango (R):
R = (v.max – v.mini) + 1
R = (35 – 16) + 1
R = 19 + 1
R = 20
No confundir este 20 es de la muestra o sea
n = 20
b) Numero de intervalo (m)(k):
m = 1 + 3,3. Log(n)
m = 1 + 3,3. Log (20)
m = 1 + 3,3 (1,30)
m = 1 + 4,29
m = 5,29
m = 5 redondeado
Rango es igual al valor máximo menos el valor
mínimo.
+1 cuando los datos son enteros o discretos.
Si los datos son en decimalesse aumenta el
cero depende de la cantidad de decimales.
Ejemplo
R = (v.max – v.mini)
R = (85,30 – 52,12)
R = 33,18 + 0,01
Otro ejemplo: 3,384 + 0,001
Método de sturges.
m = 1 + 3,3. Log(n)
NOTA
Algunos mecánicamente prefieren
determinar el número de intervalo
mediante el método de sturges.
En conclusión sturges sustituyó a otros
métodos. Ejemplo.
5 ≤ m ≥15
5 ≤ m ≥ 20
Intervalo
1
2
3
4
5

c) Amplitud intervalica,anchura de clase ( c):
C =
𝑅
𝑚
C =
20
5
C = 4
d. Error (E):
E = m×c - R
E = 5 × 4 – 20
E = 20 – 20
E = 0 si el error sale cero está muy bien, es un error óptimo.
Tabla de Distribución de Frecuencia (TDF)n° 01
Horas de trabajo de los empleados de la empresa “dislac”, distribuidos por
frecuencia. Huánuco 2013.
[ 𝐿𝑖 − 𝐿𝑠 ] [LRi - LRS) Xi fi Fi hi Hi hi% Hi%
16 - 19 15,5 - 19,5 17,5 5 5 0,25 0,25 25 25
20 - 23 19,5 - 23,5 21,5 8 13 0,4 0,65 40 65
24 - 27 23,5 - 27,5 25,5 5 18 0,25 0,90 25 90
28 - 31 27,5 - 31,5 29,5 1 19 0,05 0,95 5 95
32 - 35 31,5 - 35,5 33,5 1 20 0,05 1 5 100
20 1 100
1) Calculamos los límites normales [ 𝐿𝑖 − 𝐿𝑠 ] límite inferior –
límite superior.
 Primera clase: se encuentra cerrado en 16 como
límite inferior y cerrado en 19 como límite superior, porque
C =
𝑅
𝑚
Anchura de clase es igual a rango
entre número de intervalos.
E = m×c - R
Error es igual a número de intervalo
por anchura de clase menos rango.

la anchura de clase es de 4. Ejemplo. Pueden estar los
datos 16 – 17 – 18 – 19
 Segunda clase: se encuentra cerrado en 20 como
datos 20 – 21 – 22 – 23
 Tercera clase: se encuentra cerrado en 24 como
datos 20 – 21 – 22 – 23
 Cuarta clase: se encuentra cerrado en 28 como límite
inferior y cerrado en 31 como límite superior, porque la
anchura de clase es de 4. Ejemplo. Pueden estar los datos
28 – 29 – 30 – 31
 Quinta clase: se encuentra cerrado en 32 como límite
inferior y cerrado en 35 como límite superior, porque la
anchura de clase es de 4. Ejemplo. Pueden estar los datos
32 – 33 – 34 – 35
“ojo” vea la diferencia cuando es cerrado y abierto
existe de diversas formas.
[ 𝐿𝑖 − 𝐿𝑠 ] ≠ [Li - Ls)
[ 𝐿𝑖 − 𝐿𝑠 ]
16 - 19
20 - 23
24 - 27
28 - 31
32 - 35
[Li - Ls)
16 - 19
19 - 22
22 - 25
25 - 28
28 - 31
Google averiguarsabemosque losintervalos
es5 perocuando esabiertoque se hace o
como es

2) Calculamoslos límites reales. [LRi - LRS) = limite real inferior – limite
real superior.
Li – 0,5
1 ÷ 2 = 0,5
Ls + 0,5
Límite inferior y límite superior
Límite inferior: límite superior:
16 – 0,5 = 15,5 19 + 0,5 = 19,5
20 – 0,5 = 19, 5 23 + 0,5 = 23,5
24 – 0,5 = 23,5 27 + 0,5 = 27, 5
28 – 0,5 = 27,5 31 + 0,5 = 31,5
32– 0,5 = 31,5 35 + 0,5 = 35,5
3) calculamos el punto medio (Xi).
 Xi =
16+19
2
= 17,5
 Xi =
20+23
2
= 21,5
 Xi =
24+27
2
= 25,5
 Xi =
28+31
2
= 29,5
 Xi =
32+35
2
= 33,5
Xi =
𝐿𝑖+𝐿𝑠
2

4) Calculamosla frecuencia absoluta simple(fi).
22 – 29 – 23 – 18 – 23 – 21 – 20 – 22 – 16 – 19
35 – 23 – 24 – 27 – 19 – 26 – 25 – 21 – 17 – 27
[ 𝐿𝑖 − 𝐿𝑠 ] TARJAS
16 - 19 IIII = 5
20 - 23 IIII III = 8
24 - 27 IIII = 5
28 - 31 I = 1
32 - 35 I = 1
TOTAL 5+8+5+1+1= 20
5) Calculamosla frecuencia absoluta acumulada(Fi).
F1=f1 F1= 5 = 5
F2 = f1 + f2 F2 = 5 + 8 = 13
F3 = f1 + f2 + f3 F3 = 5 + 8 + 5 = 18
F4 = f1 +f2 + f3 + f4 F4 = 5 + 8 + 5 + 1 = 19
⋮ ⋮ ⋱ F5 = 5 + 8 + 5 + 1 + 1 = 20
Fn = f1+f2 + f3…….…fn
La técnica de la escalera.
fi Fi
5 5
8 13

5 18
1 19
1 20
20
6) Calculamosfrecuenciarelativa simple (hi).
 hi =
𝑓𝑖
𝑛
 hi =
5
20
= 0,25
 hi =
8
20
= 0,4
 hi =
5
20
= 0,25 la suma de decimales es = 1
 hi =
1
20
= 0,05
 hi =
1
20
= 0,05
7) Calculamosfrecuenciarelativa acumulada(Hi).
H1=h1 H1=0,25 = 0,25
H2 = h1 + h2 H2 = 0,25 +0,4 =0,65
H3 = h1 + h2 + h3 H3 = 0,25+0,4 + 0,25 =0,9 ó 0,90
H4 = h1 +h2 + h3 + h4 H4 = 0,25+0,4+ 0,25+0,05 =0,95
⋮ ⋮ ⋱ H5 =0,25+0,4+0,25+0,05+0,05 =1
Hn = h1 + h2 + h3…….…hn
hi Hi
0,25 0,25
0,4 0,65
0,25 0,90
hi =
𝑓𝑖
𝑛

0,05 0,95
0,05 1
1
8) Calculamosfrecuenciarelativa porcentualsimple (hi%).
hi% = hi × 100
hi% = 0,25 × 100 = 25
hi% = 0,4 × 100 = 40
hi% = 0,25 × 100 = 25 la ∑ = 100
hi% = 0,05 × 100 = 5
hi% = 0,05 × 100 = 5
9) Calculamosfrecuenciarelativa porcentualacumulada(Hi%).
H1%=h1% H1%= 25 =25
H2% = h1% + h2% H2% = 25 +40 = 65
H3% = h1% + h2% + h3% H3% = 25+40+25 = 90
H4% = h1%+h2%+h3%+h4% H4% =25+40+25+5 =95
⋮ ⋮ ⋱ ⋱ H5% =25+40+25+5+5=100
Hn%=h1% + h2% + h…… hn%
hi% Hi%
25 25
40 65
25 90
5 95
5 100
hi% = hi × 100

100
Fuente: cuestionario.
Elaboración: alumnos de la E.A.P. ciencias administrativas curso
(estadística)
INTERPRETACIONES
 f4: un trabajador de la empresa“dislac” labora entre 28 y 31
horas semanales.
 F2: 13 trabajadores de la empresa“dislac” laboraron entre 16
y 23 horas semanales.
Nota: no se podríaponer 20 y 23 porque es la frecuencia
absoluta acumulada,de manera práctica todas las
acumuladas van hacer lo mismo,claro que existe diferencia
respectivas.Para las acumuladas se toma el número y se
tiene que ir hasta el último (superior) izquierda o sea el límite
inferior. [ Li -Ls ] que es dieciséis 16 - 19
20 - 23
16 - 19 15,5 - 19,5 17,5 5 5 0,25 0,25 25 25
20 - 23 19,5 - 23,5 21,5 8 13 0,4 0,65 40 65
24 - 27 23,5 - 27,5 25,5 5 18 0,25 0,90 25 90
28 - 31 27,5 - 31,5 29,5 1 19 0,05 0,95 5 95
32 - 35 31,5 - 35,5 33,5 1 20 0,05 1 5 100
20 1 100
16 - 19 15,5 - 19,5 17,5 5 5 0,25 0,25 25 25
20 - 23 19,5 - 23,5 21,5 8 13 0,4 0,65 40 65
24 - 27 23,5 - 27,5 25,5 5 18 0,25 0,90 25 90
28 - 31 27,5 - 31,5 29,5 1 19 0,05 0,95 5 95
32 - 35 31,5 - 35,5 33,5 1 20 0,05 1 5 100
20 1 100

 h3: 0,25 del tanto por uno laboraron entre 24 y 27 horas
semanales.
NOTA: en la frecuencia relativa simple (hi) y acumulada (Hi) se utiliza el tanto por uno.
 H3: 0,90 del tanto por uno laboraron entre 16 y 27 horas
semanales.
 h1%: 25% de trabajadores de la empresa“dislac” laboraron
entre 16 y 19 horas semanales.
OJO;no confundir en esta interpretación porque está el número 16, que no
se está haciendo lo mismo que se hiso en el F2 y H3.
16 - 19 15,5 - 19,5 17,5 5 5 0,25 0,25 25 25
20 - 23 19,5 - 23,5 21,5 8 13 0,4 0,65 40 65
24 - 27 23,5 - 27,5 25,5 5 18 0,25 0,90 25 90
28 - 31 27,5 - 31,5 29,5 1 19 0,05 0,95 5 95
32 - 35 31,5 - 35,5 33,5 1 20 0,05 1 5 100
20 1 100
16 - 19 15,5 - 19,5 17,5 5 5 0,25 0,25 25 25
20 - 23 19,5 - 23,5 21,5 8 13 0,4 0,65 40 65
24 - 27 23,5 - 27,5 25,5 5 18 0,25 0,90 25 90
28 - 31 27,5 - 31,5 29,5 1 19 0,05 0,95 5 95
32 - 35 31,5 - 35,5 33,5 1 20 0,05 1 5 100
20 1 100
16 - 19 15,5 - 19,5 17,5 5 5 0,25 0,25 25 25
20 - 23 19,5 - 23,5 21,5 8 13 0,4 0,65 40 65
24 - 27 23,5 - 27,5 25,5 5 18 0,25 0,90 25 90
28 - 31 27,5 - 31,5 29,5 1 19 0,05 0,95 5 95
32 - 35 31,5 - 35,5 33,5 1 20 0,05 1 5 100
20 1 100
NOTA
De manera practico: todas la mayúsculas tienen un similar desarrollo y la minúsculas también,
como por ejemplo del caso en las mayúsculas están (F2)(H3)(H5) y en las minúsculas están
(f4)(h3)(h1%).claro existe las diferencias de interpretación de todas las frecuencias ejemplo . en
la frecuencia absoluta simple(fi) y acumulada(Fi) tiene la particularidad de interpretar mientras
que en la frecuencia relativa simple(hi) y acumulada(HI) se utiliza el tanto por uno. Ya en caso
de la frecuencia relativa porcentual simple (hi%) y acumulada (HI%) está interpretado por
porcentajes.

 H5%: el 100% de los trabajadores de la empresa“dislac”
laboraron entre 16 y 35 horas semanales.
Ejercicio n°2
A continuación se tiene las remuneraciones de los trabajadores de la empresa
“CELIMPOR” lima - Perú 2013
2000 – 1500 – 1800 – 1900 – 3000 – 3100 – 2100 – 2200 –
3200 – 3800 – 900 – 1600 – 1800 – 2500 – 3300 – 1600 –
1700 – 2700 – 1500 – 4000 – 1300 – 3800 – 2600 – 3900 –
2800 – 1800 – 2600 – 3800 – 3600 – 2900
n = 30
Rango(R):
R = (4000 – 900) + 1
R = 3100 + 1
R = 3101
Número de intervalo(m):
m = 1 + 3,3. Log(n)
m = 1 + 3,3. Log (30)
m = 1 + 3,3 (1,48)
m = 1 + 4,884
m = 5,884
m = 6 redondeado
Amplitud intervalica(c):
C =
𝑅
𝑚
C =
3101
6
C = 517 redondeado
Error(E):
16 - 19 15,5 - 19,5 17,5 5 5 0,25 0,25 25 25
20 - 23 19,5 - 23,5 21,5 8 13 0,4 0,65 40 65
24 - 27 23,5 - 27,5 25,5 5 18 0,25 0,90 25 90
28 - 31 27,5 - 31,5 29,5 1 19 0,05 0,95 5 95
32 - 35 31,5 - 35,5 33,5 1 20 0,05 1 5 100
20 1 100
Ley del redondeo (google)
Se redondea dependiendo con cuanto decimal
estas trabajando ejemplo Estoy trabajando con
datos de tres decimales
Me toca operar 345,521 entre 35 la respuesta es
9,872028571 en esto debo aplicar la ley del
redondeo y quedarme con tres decimales.
Entonces es igual a 9,872 y si trabajo con cuatro
decimales la respuesta será 9,8720 y si trabajo
con cinco decimales la respuesta es 9,87203
La ley del redondeo dice que se puede redondear
hasta cinco ejemplos.
9,872028571 a este número queremos
redondear en tres decimales entonces será 9,872
el cero que acompaña al 2 es menor que cinco
por lo tanto es que queda como está; mientras
que cuando redondeamos en cinco decimales
(9,87202) el 8 que acompaña al número 2 es
mayor que cinco por lo tanto se aumenta uno
más en el numero dos que será 3 entonces la
respuesta es 9,87203.asi en todos los casos.

E = m×c - R
E = 6 × 517 – 3101
E = 3102 – 3101
E = 1
NOTA: dijimos en el ejercicio anterior que el error es óptimo
cuando sale cero. Pero ahora sale un error de uno por lo tanto
Se decide cuando se hace el ajuste,lo veremos a
continuación.
Ajuste:
El ajuste se realiza aumentando un punto más y un punto menos al
número de intervalo y amplitud intervalica. multiplicar m ×c
respectivamente cada uno de los números.
5 5
m = 6 6 m = 6 6
7 7
516 516
c = 517 517 c = 517 517
518 518
E1 = m × c - R E2 = m × c - R
E1 = 5 × 516 - 3101 E2 = 5 × 517 – 3101
E1 = 2580 – 3101 E2= 2585 - 3101
E1= - 521 E 2= - 516
E3 = m × c - R E4 = m × c - R
E3 = 5 × 518 - 3101 E4 = 6 × 516 – 3101
E3 = 2590 – 3101 E4 = 3096 - 3101
E3 = - 511 E4 = - 5
E5 = m × c - R E6 = m × c - R
E5 = 6 × 517 - 3101 E6 = 6 × 518 – 3101
E5 = 3102 – 3101 E6 = 3108 - 3101
E5 = 1 no es óptimo pero si adecuado E6 = 7
E7 = m × c - R E8= m × c - R

E7 = 7 × 516 - 3101 E8 = 7× 517 – 3101
E7 = 3612 – 3101 E8 = 3619 - 3101
E7 = 511 E8 = 518
E9 = m × c - R
E9 = 7 × 518 – 3101
E9 = 3626 - 3101
E9 = 525
Continuando….
E5 = m × c - R R = 3101
E5 = 6 × 517 - 3101 m = 6
E5 = 3102 – 3101 c = 517
E5 = 1 E = 1
Sabemos que el error adecuado es 1, también debemos saber que el número de
intervalos ya no es lo mismo que vimos antes de los ajustes de igual manera la
amplitud intervalica.
Luego de encontrar sus valores de cada uno, se pasa a hacer la combinación (si
importa el orden) solamente del error.
El número uno solo se puede combinar de dos formas: 1y0 y/o 0 y 1 en conclusión
sumados me tiene que dar uno.
Li - 0
E = 1
Ls +1
Li - 1
E = 1
Ls +0
Tenemos las dos combinaciones, con cualquiera de ellos se puede trabajar sale la
misma respuesta en este caso tenemos que elegir solo una, para ello hemos elegido
la primera combinación.
De los nueve errores que se hizo solo uno se tendrá que tomar para
continuar resolviendo. Se coge el número que más se acerca al cero
en este caso es el número uno. Los números negativos
automáticamente se descartan porque un error no puede ser numero
negativo solo los positivos.
OJO: Los ajustes y/o errores se tendrán que hacer todo
obligatoriamente como lo pide m ×c respectivamente. Ejemplo no
es correcto si yo me quedo E5 = 1 porque encontré el número que
más se acerca al cero, sino que debo continuar porque quizá
encuentre el error optimo que es el cero.
Estos signos negativos y positivos que acompaña a los números
(- 0+1- 1+0),no son signosde ellosni el producto de la combinación,
sinoque significaque se tiene que restarosumar al límite inferior o al
límite superior.
La combinación se hace de esta manera:
Ejemplo: 0+1 = 1 como también 1+0 = 1, en conclusión sumados
me tiene que dar uno, entonces tengo dos combinaciones.
Ejemplo: si quiero combinar al número 5 haré de esta manera,
5+0=5; 0+5=5; 4+1=5; 1+4=5; 3+2=5; 2+3=5; en conclusión
sumados la respuesta es siempre 5, entonces encontramos 6
combinaciones.

Li - 0
E = 1 la combinación elegida
Ls +1
 hemos elegido la primera combinación la cual nos quiere decir que restaremos
-0 al límite inferior (900) y le sumaremos +1 al límite superior (4000).
V.mini = Li = 900 – 0 = 900
v.maxi = Ls = 4000 + 1 = 4001
Como se observa en el cuadro.
TABLA DE DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIA
Remuneración de los trabajadores de la empresa CELIMPOR distribuido
por frecuencia LIMA - PERÚ 2013.
NOTA: 0,3=0,30; 0,1=0,10; 0,2=0,20; 0,8=0,80 etcpero 0,07≠0,7
1 Calculamos los límites normales [ 𝐿𝑖 − 𝐿𝑠 ] límite inferior –
límite superior.
Del ejercicio anterior, el límite inferior es 16 y la amplitud interválica es 4 contienen los
cuatro números como son 16 – 17 – 18 y 19.pero en este ejercicio el Límite inferior es
900 y la amplitud intervalica es 517, si le sumamos 900+517 = 1417 de igual manera
entonces haríamos del ejercicio anterior 16 + 4 =20 entonces nos damos cuenta la
[ 𝐿𝑖 − 𝐿𝑠 ]
900 - 1416
1417 - 1933
1934 - 2450
2451 - 2967
2968 - 3484
3485 - 4001
900 - 1416 899,5 -1416,5 1158 2 2 0,07 0,07 7 7
1417 - 1933 1416,5 - 1933,5 1675 9 11 0,3 0,37 30 37
1934 - 2450 1933,5 - 2450,5 2192 3 14 0,1 0,47 10 47
2451 - 2967 2450,5 - 2967,5 2709 6 20 0,2 0,67 20 67
2968 - 3484 2967,5 - 3484,5 3226 4 24 0,13 0,8 13 80
3485 - 4001 3484.5 - 4001.5 3743 6 30 0,2 1 20 100
30 1 100

amplitud intervalica es 5 en donde contienen los números 16 – 17 – 18 – 19 y 20, por
lo tanto si sumamos el límite inferior más la amplitud intervalica se está aumentando
uno más. Para hacer lo correcto sumariamos el límite inferior más uno menos de la
Ejercicio anterior: 16 + 4 = 20; si sumamos uno menos de la amplitud inervalica sería
16 + 3 = 19
Ejercicio actual: 900 + 517 = 1417; si sumamos uno menos de la amplitud inervalica
sería 900 + 516 = 1416
 para hacerlo de manera practico y rápido se suma límite inferior más amplitud
intervalica; 900 + 517 = 1417 ; 1417 + 517 =1934 ;1934 + 517 = 2451 ; 2451 + 517 =
2968 ; 2968 + 517 = 3485 asimismo se hará del límite superior 1416+517 =1933;
1933+517=2450;2450 + 517 = 2967; 2967 + 517 = 3484; 3484 + 517 = 4001
 para hacerlo más rápido se puede hacer solo los que están de celeste y restarlo uno
menos para el límite superior, 1417 – 1 = 1416; 1934 – 1 = 1933; 2451 – 1 = 2450 etc.
También se puede hacer lo contrario, solamente hacer los que están de amarillo y
sumarle uno más para el límite inferior, 1416 + 1 = 1417;1933 + 1 = 1934 ;2450 + 1 =
2451 etc.
2 Calculamoslos límites reales. [LRi - LRS) = limite real inferior – limite
real superior.
Li – 0,5
2 ÷ 2 = 0,5
Ls + 0,5
[ 𝐿𝑖 − 𝐿𝑠 ]
900 - 1416
1417 - 1933
1934 - 2450
2451 - 2967
2968 - 3484
3485 - 4001

 De manera práctico y rápido no necesariamente se tiene que restar – 0,5 ó sumar
+ 0,5 a todos, simplemente a uno o dos y luego se le suma la amplitud interválica a
todos como lo verán a continuación. 900 - 0,5 = 899,5;1416+0,5=1416,5
899,5+517=1416,5; 1416,5+517=1933,5; 1933,5+517=2450,5;
2450,5+517=2967,5; 2967,5+517=3484,5; de la misma forma se realiza el límite
real superior o simplemente se copia porque son iguales vea el siguiente.
 En el límite real inferior es cerrado y en el límite real superior es abierto, quiere
decir que los números que se encuentran en “Lrs” es igual al límite real inferior en
el siguiente intervalo. Ejemplo: LRS 1416,5 = LRI 1416,5 etc.
3 calculamos el punto medio (Xi).
Xi =
𝐿𝑖+𝐿𝑠
2
 Xi =
900+1416
2
= 1158
 Xi =
1417+1933
2
= 1675
 Xi =
1934+2450
2
= 2192
 Xi =
2451+2967
2
= 2709
 Xi =
3485+4001
2
= 3743
4 Calculamosla frecuencia absoluta simple(fi).
2000 – 1500 – 1800 – 1900 – 3000 – 3100 – 2100 – 2200 – 3200 – 3800 –
900 – 1600 – 1800 – 2500 – 3300 – 1600 – 1700 – 2700 – 1500 – 4000 – 1300
– 3800 – 2600 – 3900 – 2800 – 1800 – 2600 – 3800 – 3600 – 2900
[LRi - LRS)
899,5 -1416,5
1416,5 - 1933,5
1933,5 - 2450,5
2450,5 - 2967,5
2967,5 - 3484,5
3484.5 - 4001.5
Otra manera rápida de hallar es sumando la
 Xi =
900+1416
2
= 1158
1158+517=1675; 1675+517=2192;
2192+517=2709; 2709+517=3742

5 Calculamosla frecuencia absoluta acumulada(Fi).
fi Fi
2 2
9 11
3 14
6 20
4 24
6 30
30
6 Calculamosfrecuenciarelativa simple (hi).
 hi =
𝑓𝑖
𝑛
 hi =
2
30
= 0,07
 hi =
9
30
= 0,3
 hi =
3
30
= 0,1 la suma de decimales es = 1
 hi =
6
30
= 0,2
 hi =
4
30
= 0,13
 hi =
6
30
= 0,2
7 Calculamosfrecuenciarelativa acumulada(Hi).
fi Fi
[ 𝐿𝑖 − 𝐿𝑠 ] TARJAS
900 - 1416 II = 2
1417 - 1933 IIII IIII = 9
1934 - 2450 III = 3
2451 - 2967 IIII I = 6
2968 - 3484 IIII = 4
3485 - 4001 IIII I = 6
TOTAL 2+9+3+6+4+6= 30
hi =
𝑓𝑖
𝑛

0,07 0,07
0,3 0,37
0,1 0,47
0,2 0,67
0.13 0,8
0,2 1
1
8 Calculamosfrecuenciarelativa porcentualsimple (hi%).
hi% = hi × 100
hi% = 0,07 × 100 = 7
hi% = 0,3× 100 = 30
hi% = 0,1 × 100 = 10 la ∑ = 100
hi% = 0,2 × 100 = 20
hi% = 0,13 × 100 = 13
hi% = 0,2 × 100 = 20
9 Calculamosfrecuenciarelativa porcentualacumulada
(Hi%).
fi Fi
7 7
30 37
10 47
20 67
13 80
20 100
100
Elaboración: ramón Berrios juber
INTERPRETACIONES:
hi% = hi × 100

 f2: 9 trabajadores de la empresa “CELIMPOR” recibieron sus
remuneraciones entre $1417 – 1933.
 F4: 20 trabajadores de la empresa “CELIMPOR” recibieron sus
remuneraciones entre $900 – 2967.
 h3: 0,1 tanto por uno de los trabajadores de la empresa “CELIMPOR”
recibieron sus remuneraciones entre $ 1934 – 2450.
 H1: el 0,07 de los trabajadores de la empresa “CELIMPOR” fueron
remunerados entre $ 900 – 1416.
 h5%: el 13% de los trabajadores de la empresa “CELIMPOR” fueron
 H6%: el 100% de los trabajadores de la empresa “CELIMPOR” fueron
Ejercicio n°3
A continuación se tiene los calificativos de la aplicación de una prueba de
aptitud a 56 trabajadores de la empresa textil “VICUÑA” Huancayo – 2013,
siendo la escala de evaluación de cero a cien.
73 – 81 – 44 – 69 – 38 – 75 – 66 – 76 – 84 – 72 – 82 – 59 – 89 – 73 – 59 – 87 – 63 –
43 – 59 – 64 – 74 – 63 – 63 - 48 – 52 – 77 – 68 – 47 – 53 – 63 – 72 – 52 – 55 – 57 –
43 – 67 – 61 – 87 – 39 – 62 – 75 – 69 – 53 – 79 – 95 – 50 – 37 – 70 – 84 – 82 – 95 –
59 - 75 – 36 – 65 – 65 n = 56
Rango(R):
R = (95 – 36) + 1
R = 60
C =
𝑅
𝑚
C =
60
7
C = 8,57
C = 9 redondeado
m = 1 + 3,3. Log (56)
m = 1 + 3,3 (1,75)
m = 1 + 5,775
m =6,775
m = 7 redondeado
900 - 1416 899,5 -1416,5 1158 2 2 0,07 0,07 7 7
1417 - 1933 1416,5 - 1933,5 1675 9 11 0,3 0,37 30 37
1934 - 2450 1933,5 - 2450,5 2192 3 14 0,1 0,47 10 47
2451 - 2967 2450,5 - 2967,5 2709 6 20 0,2 0,67 20 67
2968 - 3484 2967,5 - 3484,5 3226 4 24 0,13 0,8 13 80
3485 - 4001 3484.5 - 4001.5 3743 6 30 0,2 1 20 100
30 1 100

Error(E):
E = m x c - r
E = 7 x 9 - 60
E = 3
Ajuste:
E = m x c – r
6 8
m 7 c 9
8 10
E1 = m × c - R
E1 = 6 × 8 - 60
E1 = 48 – 60
E1= -12
E2 = m × c - R
E2 = 6 × 9 – 60
E2= 54 - 60
E 2= -6
E3 = m × c - R
E3 = 6 × 10 - 60
E3 = 60 – 60
E3 = 0 óptimo
m=6
c=10
r=60
TABLA DE DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIA N°3
Calificativos de la aplicación de una prueba de aptitud de trabajadores de la
empresa textil “vicuña” distribuidos por frecuencia Huancayo - 2013
Elaboración: alumno de la E.A.P. ciencias administrativas curso “estadística
descriptiva”.
INTERPRETACIÓN.
f3: 14 trabajadores de la empresa textil “vicuña” obtuvieron sus calificativos en
la prueba de aptitud de 56 a 65 puntos.
36 - 45 35,5 - 45,5 40,5 7 7 0,13 0,13 13 13
46 - 55 45,5 - 55,5 50,5 8 15 0,14 0,27 14 27
56 - 65 55,5 - 65,5 60,5 14 29 0,25 0,52 25 52
66 - 75 65,5 - 75,5 70,5 14 43 0,25 0,77 25 77
76 - 85 75,5 - 85,5 80,5 8 51 0,14 0,91 14 91
86 - 95 85.5 - 95.5 90,5 5 56 0,09 1 9 100
56 1 100

F2: 15 trabajadores de la empresa textil “vicuña” obtuvieron sus calificativos en
la prueba de aptitud de 36 a 55 puntos.
H3%: 52% de los trabajadores de la empresa textil “vicuña” obtuvieron sus
calificativos en la prueba de aptitud de 36 a 65 puntos.
h2: 0,14 tanto por uno de los trabajadores de la empresa textil “vicuña”
obtuvieron sus calificativos en la prueba d aptitud de 46 a 55 puntos.
h4%: 25% de los trabajadores de la empresa textil “vicuña” obtuvieron sus
calificativos en la prueba de aptitud de 66 a 75 puntos.
H5: 0,91 tanto por uno de los trabajadores de la empresa textil “vicuña”
obtuvieron sus calificativos en la prueba de aptitud de 36 a 85 puntos.
Ejercicio n°4
A continuación se tiene la talla de los trabajadores de la empresa distribuidora
“GENERAL AUTOMOTRIZ S.A” lima – 2010.
1,78 – 1,67 – 1,82 – 1,40 – 1,83 – 1,68 – 1,70 – 1,45 – 1,73 – 1,57 – 1,59 –
1,79 – 1,67 – 1,85 – 1,65 – 1,54 – 1,77 – 1,64 – 1,59 – 1,55 – 1,58 – 1,60 –
1,69 – 1,68 – 1,79 – 1,71 – 1,49 – 1,78 – 1,39 – 1,64 – 1,68 – 1,30 – 1,48 –
1,69 – 1,48 – 1,53 – 1,89 – 1,60 – 1,62 – 1,78 – 1,65 – 1,96 – 1,46 – 1,55 –
1,53 n= 45
Rango(R):
R = (v.max – v.mini) + 0,01
R = (1,96 – 1,30) + 0,01
R = 0,67
C =
𝑅
𝑚
C =
0,67
6
C = 8,57
C = 0,11 redondeado
m = 1 + 3,3. Log (45)
m = 1 + 3,3 (1,65)
m = 1 + 5,445
m =6,445
m = 6 redondeado
Error(E):
E = m x c - r
E = 6 x 0,11 – 0,67
E = -0,01
Ajuste:
E = m x c – r
5 0,10
m 6 c 0,11

7 0,12
E1 = m × c - R
E1 = 5 ×0,10 - 0,67
E1= -0,17
E2 = m × c - R
E2 = 5 × 0,11 – 0,67
E 2= -0,12
E3 = m × c - R
E3 = 5× 0,12 – 0,67
E3 = -0,07
E4 = m × c - R
E4 = 6×0,10 - 0,67
E4= -0,07
E5 = m × c - R
E5 = 6× 0,11 – 0,67
E5= -0,01
E6 = m × c - R
E6 = 6× 0,12 – 0,67
E6 = 0,05
E7 = m × c - R
E7 = 7×0,10 - 0,67
E7= 0,03
E8 = m × c - R
E8 = 7× 0,11 – 0,67
E8= 0,1
E9 = m × c - R
E9 = 7× 0,12 – 0,67
E9 = 0,17
m=7 c=0,10 r=0,67
Talla de los trabajadores de la empresa distribuidora “GENERAL
AUTOMOTRIZ S.A” distribuidos por frecuencia lima – 2010.
Fuente: file personal
Elaboración: ramon berrios juber
INTERPRETACIÓN.
f2: 6 trabajadores de la empresa distribuidora “GENERAL AUTOMOTRIZ S.A.”
tienen la talla de1, 40 – 1,49.
F4: 31 trabajadores de la empresa distribuidora “GENERAL AUTOMOTRIZ
S.A.” tienen la talla de1, 30 – 1,69.
1,30 - 1,39 1,295 – 1,395 1,345 2 2 0,04 0,04 4 4
1,40 - 1,49 1,395 – 1,495 1,445 6 8 0,13 0,17 13 17
1,50 - 1,59 1,495 - 1,595 1,545 9 17 0,2 0,37 20 37
1,60 – 1,69 1,595 - 1,695 1,645 14 31 0,31 0,68 31 68
1,70 - 1,79 1,695 - 1,795 1,745 9 40 0,2 0,88 20 88
1,80 – 1,89 1,795 - 1,895 1,845 4 44 0,09 0,97 9 97
1,90 – 1,99 1,895 - 1,995 1,945 1 45 0,02 0,99 2 99
45 0,99 99

h1: 0,04 tanto por uno de los trabajadores de la empresa distribuidora
“GENERAL AUTOMOTRIZ S.A.” tienen la talla de1, 30 – 1,39.
H4: 0,68 tanto por uno de los trabajadores de la empresa distribuidora
“GENERAL AUTOMOTRIZ S.A.” tienen la talla de1, 30 – 1,69.
h3%: 20% de los trabajadores de la empresa distribuidora “GENERAL
AUTOMOTRIZ S.A.” tienen la talla de1, 50 – 1,59.
H5%: 88% de los trabajadores de la empresa distribuidora “GENERAL
AUTOMOTRIZ S.A.” tienen la talla de1, 30 – 1,79.
PROPIEDADES:
 Las frecuencias absolutas simple (fi) son enteros positivos.
 La sumatoria de la frecuencia absoluta simple es igual a n= (tamaño de
la muestra).
 La ultima frecuencia absoluta acumulada (Fi+) es igual a tamaño de la
muestra(n).
 La frecuencia relativa simple (hi) son números decimales en todos los
casos.
 La sumatoria de las frecuencias relativas simple es igual a uno,
pudiendo variar por exceso a; 1,01 – 1,02 – 1,03 excepcionalmente a
1,04 también puede darse por defecto; 0,99 – 0,98 – 0,97
excepcionalmente a 0,96
 La última frecuencia relativa acumulada es igual a uno pudiendo variar
en relación a lo comentado en la propiedad anterior.
 La sumatoria de la frecuencia relativa porcentual simple (hi%) es igual a
100 pudiendo variar en relación a lo comentado en la propiedad anterior.
 La ultima frecuencia relativa porcentual acumulada (Hi%) es igual a 100
pudiendo variar en relación a lo comentado en la propiedad anterior.
Ejercicio n°5
A continuación se tiene los diámetros en pulgadas de una muestra de 100
cojinetes de bolas fabricadas por la empresa “SIDER PERU”, Chimbote – 2010.

0,729 – 0,735 – 0,736 – 0,735 – 0,733 – 0,735 – 0,739 – 0,737 – 0,729 – 0,728
– 0,745 – 0,734 – 0,732 – 0,732 – 0,734 – 0,735 – 0,727 – 0,737 – 0,746 –
0,732 – 0,736 – 0,730 – 0,728 - 0,726 – 0,735 – 0,758 – 0,730 – 0,741 – 0,734
– 0,737 – 0,724 – 0,736 – 0,735 – 0,742 – 0,727 – 0,744 – 0,744 – 0,733 –
0,734 – 0,735 – 0,736 – 0,731 – 0,734 – 0,765 – 0,741 – 0,736 – 0,731 – 0,735
– 0,729 – 0,738 – 0,730 – 0,736 – 0,733 – 0,742 – 0,727 – 0,740 – 0,741 –
0,739 – 0,746 – 0,737 – 0,741 – 0,734 – 0737 – 0,731 – 0,748 – 0,736 – 0,728
– 0,737 – 0,740 – 0,741 – 0,736 – 0,734 – 0,734 – 0,726 – 0,740 – 0,741 –
0,725 – 0,730 – 0,738 – 0,735 – 0,753 – 0,732 – 0,725 – 0,738 – 0,736 – 0,739
– 0,738 – 0,735 – 0,740 – 0,732 – 0,742 – 0,744 – 0,739 – 0,735 – 0,733 –
0,738 – 0,729 – 0,739 – 0,765 – 0,740 n= 100
Rango(R):
R = (v.max – v.mini) + 0,001
R = (0,765 – 0,724) + 0,001
R = 0,042
C =
𝑅
𝑚
C =
0,042
8
C = 0,00525
C = 0,005 redondeado
m = 1 + 3,3. Log (100)
m = 1 + 3,3 (2)
m = 1 + 6.6
m =7,6
m = 8 redondeado
Error(E):
E = m x c - r
E = 8 x 0,005 – 0,042
E = -0,002
Ajuste:
E = m x c – r
7 0,004
m 8 c 0,005
9 0,006
E1 = m × c - R
E1 =7×0,004 - 0,042
E1= -0,17
E2 = m × c - R
E2 =7×0,005 - 0,042
E2= -0,007
E3 = m × c - R
E3 =7×0,006 - 0,042
E3= 0
m=7
c=0,006

r=0,042
Diámetros en pulgadas de una muestra de 100 cojinetes de bolas fabricadas
por la empresa “SIDER PERU”,Distribuidos por frecuencia Chimbote – 2010.
Fuente: registro de producción 0 fabricación.
descriptiva”.
INTERPRETACIÓN.
f2: 35 cojinetes de bolas fabricadas por la empresa “SIDER PERU” tienen sus
diámetros entre 0,730 – 0,735 pulgadas.
F4: 95 cojinetes de bolas fabricadas por la empresa “SIDER PERU” tienen
sus diámetros entre 0,724 – 0,747 pulgadas.
h1: 0,15 tanto por uno de los cojinetes de bolas fabricadas por la empresa
“SIDER PERU” tienen sus diámetros entre 0,724 – 0,729 pulgadas.
H5: 0,97 tanto por uno de los cojinetes de bolas fabricadas por la empresa
“SIDER PERU” tienen sus diámetros entre 0,724 – 0,753 pulgadas.
h4%: 9% de los cojinetes de bolas fabricadas por la empresa “SIDER PERU”
tienen sus diámetros entre 0,742– 0,747 pulgadas.
H3%: 86% de los cojinetes de bolas fabricadas por la empresa “SIDER PERU”
tienen sus diámetros entre 0,724 – 0,741 pulgadas.
Ejercicio n°6
0,724 - 0,729 0,7235 – 0,7295 0,7265 15 15 0,15 0,15 15 15
0,730 - 0,735 0,295 – 0,7355 0,7325 35 50 0,35 0,50 35 50
0,736 - 0,741 0 7355 – 0,7415 0,7385 36 86 0,36 0,86 36 86
0,742 – 0,747 0,7415 - 0,7475 0,7445 9 95 0,09 0,95 9 95
0,748 - 0,753 0,7475 - 0,7535 0,7505 2 97 0,02 0,97 2 97
0,754 – 0,759 0,7535 - 0,7595 0,7565 1 98 0,01 0,98 1 98
0,760 – 0,765 0,7595 – 0,7655 0,7625 2 100 0,02 1 2 100
100 1 100

A continuación se presenta los gastos de representación de un grupo de
vendedores de la empresa comercial “EL MATADOR” Huánuco – Perú - 2013
15,30 – 14,75 – 17,77 – 47,80 – 19,85 – 18,26 – 15,20 – 16,93 – 39,88 – 27,63
– 21,46 – 18,05 – 15,47 – 16,94 – 35,99 – 24,17 – 32,64 – 18,96 – 35,68 –
38,70 – 32,10 – 27,60 – 28,70 – 44,58 – 45,66 n=25
Rango(R):
R = (v.max – v.mini) + 0,01
R = (47,80 – 14,75) + 0,01
R = 33,06
C =
𝑅
𝑚
C =
33,06
6
C = 5,51
m = 1 + 3,3. Log (100)
m = 1 + 3,3 (1,40)
m = 1 + 4,62
m =5,62
m = 6 redondeado
Error(E):
E = m x c - r
E = 6 x 5,51 – 33,06
E = 0
m=6
c=5,51
r=33,06
Los gastos de representación de un grupo de vendedores de la empresa
comercial “EL MATADOR” Distribuidos por frecuencia Huánuco – Perú - 2013
.
Fuente: registro de costos.
descriptiva”.
14,75 - 20,25 14,745 – 20,255 17,50 11 11 0,44 0,44 44 44
20,26 - 25,76 20,255 – 25,765 23,01 2 13 0,08 0,52 8 52
25,77 - 31,27 25,765– 31,275 28,52 3 16 0,12 0,64 12 64
31,28 – 36,78 31,275 - 36,785 34,03 4 20 0,16 0,8 16 80
36,79 - 42,29 36,785 - 42,295 39,54 2 22 0,08 0,88 8 88
42,30 – 47,80 42,295 – 47,805 45,05 3 25 0,12 1 12 100
25 1 100

INTERPRETACIÓN.
f4: 4 vendedores de la empresa comercial “EL MATADOR” tuvieron los gastos
de representación entre 31,28 – 36,78 soles.
F3:16 vendedores de la empresa comercial “EL MATADOR” tuvieron los
gastos de representación entre 14,75 – 31,27 soles.
h6: 0,15 tanto por uno de los vendedores de la empresa comercial “EL
MATADOR” tuvieron los gastos de representación entre 42,30 – 47,80 soles.
H6: 1 tanto por uno de los vendedores de la empresa comercial “EL
MATADOR” tuvieron los gastos de representación entre 14,75 – 47.80 soles.
h1%: 44% de los vendedores de la empresa comercial “EL MATADOR”
tuvieron los gastos de representación entre 14,75 – 20,25 soles.
H6%: 100% de los vendedores de la empresa comercial “EL MATADOR”
tuvieron los gastos de representación entre 14,75 – 47,80 soles.
Ejercicio n°7
A continuación se tiene las ventas mensuales de sacos de azúcar de la empresa “DON
PEDRITO” Huánuco 2011 - 2013
180 – 109 – 143 – 119 – 110 – 143 – 145 – 126 – 150 – 148 – 144 – 168 – 155 – 139 – 154 – 131 – 151 –
155 – 166 – 174 – 159 – 166 – 143 – 146 – 166 – 148 – 168 – 162 – 157 – 143 n=30
Rango(R):
R = (180 – 109) + 1
R = 72
C =
𝑅
𝑚
C =
72
6
C = 12
m = 1 + 3,3. Log (30)
m = 1 + 3,3 (1,477)
m = 1 + 4,874
m =5,874
m = 6 redondeado
Error(E):
E = m x c - r
E = 6 x 12 – 72
E = 0
TABLA DE DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAN°7
Las ventas mensuales de sacos de azúcar de la empresa “DON PEDRITO” distribuido
por frecuencia Huánuco 2011 - 2013

Fuente:registro de ventas. Elaboración: ramón Berríos juber
INTERPRETACIÓN.
f2: 2 sacos de azúcar de la empresa “DON PEDRITO” se vendieron a precio de 121 – 132 soles.
F3:11 sacos de azúcar de la empresa “DON PEDRITO” se vendieron a precio de 109 – 144 soles.
h4: 0,3 tanto por uno de sacos de azúcar de la empresa “DON PEDRITO” se vendieron a precio de 145 –
156 soles.
H5: 0,9 tanto por uno de sacos de azúcar de la empresa “DON PEDRITO” se vendieron a precio de 109 –
168 soles.
h1%: 10% de sacos de azúcar de la empresa “DON PEDRITO” se vendieron a precio de 109 – 120 soles.
H2%: 17% de sacos de azúcar de la empresa “DON PEDRITO” se vendieron a precio de 109 – 132 soles.
COMPLETANDO LA TABLA N°1
IZQUIERDA DERECHA
 Para completar la tabla se empieza por cualquiera de las dos mitades ya
sea por la izquierda o por la derecha.
 Lo primero que se debe hacer es la prueba del ocho de 60, que
representa a “n”, luego completar la Fi, hi, Hi, hi%, Hi%. de (3, 6,3)
 ℎ𝑖 =
𝑓𝑖
𝑛
como también se puede hacer 12 + f4 =27 la respuesta es 15
0,25 =
𝑓4
60
“El criterio propio es importante para encontrar
f4=15 fórmulas que lleguen a la respuesta”.
109 – 120 108,5 – 120,5 114,5 3 3 0,1 0,1 10 10
121 – 132 120,5 – 132,5 126,5 2 5 0,07 0,17 7 17
133 – 144 132,5 – 144,5 138,5 6 11 0,2 0,37 20 37
145 – 156 144,5 – 156,5 150,5 9 20 0,3 0,67 30 67
157 – 168 156,5 – 168,5 162,5 8 28 0,27 0,94 27 94
169 – 180 168,5 – 180,5 174,5 2 30 0,07 1,01 7 101
30 1,01 101
198,5 – 305,2 198,0 – 305,7 251,850 3 3 0,05 0,05 5 5
306,2 – 412,9 305,7 – 413,4 359,550 6 9 0,10 0,15 10 15
413,9 – 520,6 413,4 – 521,1 467,250 3 12 0,05 0,20 5 20
521,6 – 628,3 521,1 – 628,8 574,950 15 27 0,25 0,45 25 45
629,3 – 736 628,8 – 736,5 682,650 18 45 0,30 0,75 30 75
737 – 843,7 736,5 – 844,2 790,350 9 54 0,15 0,90 15 90
844,7 – 951,4 844,2 – 951,9 898,050 6 60 0,10 1 10 100
60 1 100


𝑓5
60
= 0,30
𝑓6
60
= 0,15 54+f7 = 60 respuesta 6
𝑓5 = 18 𝑓6 = 9
 Continuamos por el lado izquierdo y tenemos que completarel
punto medio para ello tenemos que encontrar la amplitud
intervalica siguiendo estos pasos.
X1= 251,850
X2=251,850+c
X3=251,850+2c
X4=251,850+3c
X5=251,850+4c
682,650 = 251,850+4c
251,850 + 4c = 682,650
4c = 682,650 – 251,850
𝑐 =
430,80
4
C=107,7
 𝑥𝑖 =
𝐿𝑅𝑆+𝐿𝑅𝐼
2

2
= 251,850
 𝐿𝑅𝑆+ 𝐿𝑅𝐼 = 251,850 (2)
 𝐿𝑅𝑆+ 𝐿𝑅𝐼 = 503,70
También sabemos que limite real inferior menos limite real
superior es igual a la amplitud.
𝐿𝑅𝑆− 𝐿𝑅𝐼 = 107,7
LRS + LRI = 503,70
LRS – LRI =107,70
2LRS = 611,4
LRS = 305,7
Luego si deseamos podemos remplazar para encontrar el límite inferior o también
en el cuadro restamos al límite real superior menos la amplitud.
LRS + LRI = 503,70
305,7 + LRI = 503,70
LRI = 198.00
 Hacemos la inversa para encontrar los límites normales y debemos tener en
cuenta, cuanto es el número que tenemos que sumar y restar por lo tanto la

única forma de encontrar es observando de cuantos decimales son los
limites reales. En este caso es de un decimal por lo tanto será 0,5
IZQUIERDA DERECHA
Falta ,,,esta es copia de completando tabla numero 1……..
IZQUIERDA DERECHA
 La prueba del ocho a 60 y a 100 y sacamos su, hi, hi%, HI% ,Fi a número 13
 h3;
13
60
= 𝟎, 𝟐𝟐 𝑟𝑒𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒𝑎𝑛𝑑𝑜
 f1; 0,08 × 60 = 4,8
 h2%; 20-8 =12
 h2; 12 ÷100 = 0,12
 f2; 0,12 × 60 = 7,2 redondeando 7 porque según la propiedad (fi) son enteros.
 f4; 34-24,8 = 9,2 redondeando 9 porque según la propiedad (fi) son enteros.
 h5; 0,77-0,57 = 0,2 y 0,2 × 60 = 12
 h6;
15
100
= 𝟎, 𝟏𝟓 y 0,15 × 60 = 9
 f7; 60-55 =5
198,5 – 305,2 198,0 – 305,7 251,850 3 3 0,05 0,05 5 5
306,2 – 412,9 305,7 – 413,4 359,550 6 9 0,10 0,15 10 15
413,9 – 520,6 413,4 – 521,1 467,250 3 12 0,05 0,20 5 20
521,6 – 628,3 521,1 – 628,8 574,950 15 27 0,25 0,45 25 45
629,3 – 736 628,8 – 736,5 682,650 18 45 0,30 0,75 30 75
737 – 843,7 736,5 – 844,2 790,350 9 54 0,15 0,90 15 90
844,7 – 951,4 844,2 – 951,9 898,050 6 60 0,10 1 10 100
60 1 100
320 – 370 319,5 - 370,5 345 4,8 4,8 0,08 0,08 8 8
371 – 421 370,5 - 421,5 396 7 11,8 0,12 0,2 12 20
422 – 472 421,5 -472,5 447 13 24,8 0,22 0,42 22 42
473 – 523 472,5 – 523,5 498 9 34 0,15 0,57 15 57
524 – 574 523,5 – 574,5 549 12 46 0,2 0,77 20 77
575 – 625 574,5 – 625,5 600 9 55 0,15 0,92 15 92
626 – 676 625,5 – 676,5 651 5 60 0,08 1 8 100
60 1 100

X1= 345
X2=345+c
X3=345+2c
X4=345+3c
X5=345+4c
X6=345+5c
X6=345+5c
345 + 5c = 600
5c = 600 – 345
𝑐 =
255
5
= 51
 𝑥𝑖 =
2

2
= 345
 𝐿𝑅𝑆+ 𝐿𝑅𝐼 = 345 (2)
 𝐿𝑅𝑆+ 𝐿𝑅𝐼 = 690
𝐿𝑅𝑆− 𝐿𝑅𝐼 = 51
LRS + LRI = 690
LRS – LRI = 51
2LRS = 741
LRS = 370,5
IZQUIERDA DERECHA
 La prueba del ocho a 80 y sacamos su, hi, hi%, HI%, Fi a número 10 y 13 y
completamos la primera y segundo intervalo los que falta Fi, HI, fi.
 f3; 0,1375 × 80 = 11 y completar respectivamente
 h4; 15 ÷100 = 0,15 mucho criterio para todos etc.
X1= 2,505
X2=2,505+c
X3=2,505+2c
X4=2,505+3c
X5=2,505+4c
X6=2,505+5c
2,49 – 2,52 2,485 - 2,525 2,505 8 8 0,1 0,1 10 10
2,53 – 2,56 2,525 – 2,565 2,545 10 18 0,125 0,225 12,5 22,5
2,57 – 2,6 2,565 – 2,605 2,585 11 29 0,1375 0,3625 13,75 36,25
2,61 - 2,64 2,605 – 2,645 2,625 12 41 0,15 0,5125 15 51,25
2,65 – 2,68 2,645 – 2,685 2,665 9 50 0,1125 0,625 11,25 62,5
2,69 – 2,72 2,685 – 2,725 2,705 7 57 0,0875 0,7125 8,75 71,25
2,73 – 2,76 2,725 – 2,765 2,745 13 70 0,1625 0,875 16,25 87,5
2,77 – 2,8 2,765 – 2,805 2,785 10 80 0,125 1 12,5 100
80 1 100

X7=2,505+6c
X7=2,505+6c
2,505 + 6c = 2,745
6c = 2,745 – 2,505
𝑐 =
0,24
6
= 0,04
 𝑥𝑖 =
2

2
= 2,505
 𝐿𝑅𝑆+ 𝐿𝑅𝐼 = 2,505 (2)
 𝐿𝑅𝑆+ 𝐿𝑅𝐼 = 5,01
𝐿𝑅𝑆− 𝐿𝑅𝐼 = 0,04
LRS + LRI = 5,01
LRS – LRI = 0,04
2LRS = 5,04
LRS = 2,525
TALLA DE LOS 30 TRABAJADORES DE LA EMPRESA “EL VIAJERO” HUANUCO - 2014
IZQUIERDA DERECHA
 Leer bien la pregunta porque ahí te dan el valor de “n” que es 30
 17+b=F5
17+b+ (b+1)=F6
17+b+ (b+1)+ (b-3)=F7 30
15+3b=30
3b=15
b = 5
1,2 – 1,27 1,195 – 1,275 1,235 5 5 0,17 0,17 17 17
1,28 – 1,35 1,275 – 1,355 1,315 3 8 0,1 0,27 10 27
1,36 – 1,43 1,355 – 1,435 1,395 1 9 0,03 0,3 3 30
1,44 – 1,51 1,435 – 1,515 1,475 8 17 0,27 0,57 27 57
1,52 – 1,59 1,515 – 1,595 1,555 b 22 0,17 0,74 17 74
1,60 – 1,67 1,595 – 1,675 1,635 b+1 28 0,2 0,94 20 94
1,68 – 1,75 1,675 – 1,755 1,715 b-3 30 0,07 1,01 7 101
30 1,01 101

X1=1,235
X2=1,235+c
X3=1,235+2c
X4=1,235+3c
X5=1,235+4c
X6=1,235+5c
X6=1,235+5c
1,235 + 5c = 1,635
5c = 1,635 – 1,235
𝑐 =
0,4
5
= 0,08
 𝑥𝑖 =
2

2
= 1,235
 𝐿𝑅𝑆+ 𝐿𝑅𝐼 = 1,235 (2)
 𝐿𝑅𝑆+ 𝐿𝑅𝐼 = 2,47
𝐿𝑅𝑆− 𝐿𝑅𝐼 = 0,08
LRS + LRI = 2,47
LRS – LRI = 0,08
2LRS = 2,55
LRS = 1,275

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