Te presento un trabajo realizado por el Ing. Carlos Ramón Alfonzo Santiago sobre los límites.

1. UNIDAD III
ELEMENTOS DEL CÁLCULO
DIFERENCIAL
Apuntes realizados por: Ing. Carlos Ramón Alfonzo Santiago
AGAS
[Escribasudirección][Escribasunúmerodeteléfono][Escribasudireccióndecorreoelectrónico]
CÁLCULO

2. Apuntes realizados por: Ing. Carlos Ramón Alfonzo Santiago
2
LÍMITES
La noción de límites es una idea fundamental y que manejamos en forma
intuitiva.
Decimos que 1/x0 cuando x, por lo que todos los valores de 1/x se
hacen cada vez más pequeños tan pequeños como se quiera, cuando x crece hasta
hacerse tan grande como convenga, de acuerdo con lo anterior lo representamos de la
siguiente manera:
0
x
1
Lim,
x
1
Lim
x0x


Dada la función y = x2
, podemos ver que: cuando x2 entonces f(x) se
aproximará a 4. Porque eligiendo valores de x cada vez más pequeños y próximos a
2, y = f(x) se aproximará a 4, decimos que:
4xLim 2
2x


EJEMPLOS RESUELTOS:
1. 55Lim
5x


2.     3575xLim5x5Lim
7x7x


3.       8531513xLim5xLim3x5x3Lim
2
1x
2
1x
2
1x


4.       484242xLim4xLimx4xLim
2
2x
2
2x
2
2x


5.
         
04321
4131214LimxLim3xLim2xLim4x3x2xLim
23
1x1x
2
1x
3
1x
23
1x



2– 2
4

3. Apuntes realizados por: Ing. Carlos Ramón Alfonzo Santiago
3
6.
 
 
   
 
 
 
 
  2
1
8
4
2
2
2
13
11
113
1x
1x3
Lim 3
2
3
2
3
2
3
2
1x









7. 0
2
0
11
11
33
33
33
33
Lim 00
00
xx
xx
0x














8.
 
       3
1
12
1
1x
1
Lim
1x1x
1x
Lim
1x
1x
Lim
2x2x22x











9.
   
   
4
1
4
32
22
3x
2x
Lim
3x2x
2x2x
Lim
6x5x
4x
Lim
2x2x2
2
2x















10.
  
   2
1
31
21
3x
2x
Lim
3x1x
2x1x
Lim
3x4x
2x3x
Lim
1x1x2
2
1x













11.
 
     4
1
22
1
2x
1
Lim
2x2x
2x
Lim
4x
2x
Lim
2x2x22x











12.
     
  
 
0
4
0
4
44
22
42
2x
4x
Lim
2x2x
4x2x
Lim
4x
4x2x
Lim
4x4x
4x2x
Lim
4x
2x
Lim
22
2x
2
2x2
2
2x22
2
2x22x






















13. 







 0
0
44
0
42
22
4x
2x
Lim 222x
14.
   
  222
0h
22
0h
33223
0h
33
0h
x3hhx3x3Lim
h
hhx3x3h
Lim
h
xhhx3hx3x
Lim
h
xhx
Lim








15.
   
       
  
  2
2
4
2
22
2
24
11
231
1x
23x
Lim
1x1x
23x1x
Lim
1x
23x1x
Lim
43x
23x1x
Lim
23x
23x
23x
1x
Lim
23x
1x
Lim
22
1x
2
1x2
2
1x
2
2
1x2
2
21x21x































16.
 
  
  
 
 












 0
3
11
21
1x
2x
Lim
1x1x
1x2x
Lim
1x
2xx
Lim
1x1x2
2
1x

4. Apuntes realizados por: Ing. Carlos Ramón Alfonzo Santiago
4
17.
  
 
  
    6935235x3Lim
x4
5x3x4
Lim
5x9
5x3x4
Lim
5x3
5x3
5x3
x4
Lim
5x3
x4
Lim
22
2x2
22
2x
2
22
2x2
2
2
2
2x2
2
2x

















18.                455923332xLimxLim32xx3Lim
3x3x3x



 






19.         4518273633xLim6xLim3x6x3Lim
2
3x
2
3x
2
3x


20.
 
 
   5.2
2
5
2
32
11
312
1xLim
3x2Lim
1x
3x2
Lim
1x
1x
1x














21.       0044424LimxLim4xLim
2
2x
2
2x
2
2x


22.
 
        7
1
34
1
3x
1
Lim
3x4x
4x
Lim
12xx
4x
Lim
4x4x24x











23.
   
   
 
 
    
2
9
6
27
33
9333
3x
9x3x
Lim
3x3x
9x3x3x
Lim
9x
27x
Lim
22
3x
2
3x2
3
3x












