Derivada de funciones trigonométricas. Derivada de funciones trigonométricas inversas.

1. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA
LOPEZ
03/06/2018
MATEMATICA I 1
RJAL
UNIDAD IV: CÁLCULO DIFERENCIAL DE
FUNCIONES DE UNA VARIABLE
03/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.1
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA
DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS
INGENIERIA EN ECONOMIA Y NEGOCIOS
MATEMATICA I
MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ
RJAL
03/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.2
Si U es una función diferenciable de x
entonces aplicando la regla de la cadena
tenemos
 Teorema 1. Dx(sen U) = cosU. DxU
 Teorema 2. Dx(cos U) = -senU. DxU
 Teorema 3. Dx(tan U) = sec2U. DxU
 Teorema 4. Dx(cot U) = -csc2U.DxU
 Teorema 5. Dx(sec U) = secU.tanU DxU
 Teorema 6. Dx(csc U) = -cscU.cotU DxU
DERIVADA DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

2. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA
LOPEZ
03/06/2018
MATEMATICA I 2
RJAL
03/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.3
Ejemplos:
a) Encuentre las derivadas de las siguientes funciones
trigonométricas:
1. f(x) = sen(x2 + 3)
2. y = x2senx + 2xcosx - 2senx
3. f(x) = tan2x/(1- cot2x)
4. f(x) = 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥
5. f(x) = (x + sen4x)/(10 + cos3x)
6. csc(x – y) + sec(x + y) = y
7. f(x) = sec2 2x + tan2 2x
b) Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva en el
punto indicado 3y + cosy = x2 en (1,0)
DERIVADA DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
RJAL
03/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.4
Ejemplos:
a) Encuentre las derivadas de las siguientes funciones
trigonométricas:
1. f(x) = sen(x2 + 3)
f’(x) = cos(x2 + 3).(2x) = 2x cos(x2 + 3)
2. y = x2senx + 2xcosx - 2senx
y’ = 2x senx + x2cosx + 2x(-senx) + cosx .(2) – 2cosx
y’ = x2cosx
3. f(x) = tan2x/(1- cot2x)
f’(x) = (1 –cot2x).(sec22x)(2) – tan2x . [0 – (-csc22x)(2)]
(1- cot2x)2
f’(x) = 2[(1 –cot2x).sec22x – tan2x.csc22x]
(1- cot2x)2
DERIVADA DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

3. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA
LOPEZ
03/06/2018
MATEMATICA I 3
RJAL
03/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.5
4. f(x) = 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥
f’(x) =
1
2 𝑥
𝑐𝑜𝑠 𝑥 − 𝑠𝑒𝑛 𝑥 (
1
2 𝑥
)( 𝑥)
f’(x) =
1
2 𝑥
𝑐𝑜𝑠 𝑥 − 𝑠𝑒𝑛 𝑥 (
1
2
)
f’(x) =
𝑐𝑜𝑠 𝑥 − 𝑥.𝑠𝑒𝑛 𝑥
2 𝑥
5. f(x) = (x + sen4x)/(10 + cos3x)
f’(x) = (10 + cos3x)(1+cos4x.(4)) – (x + sen4x)(0 – sen3x.(3))
(10 + cos3x)2
f’(x) = (10 + cos3x)(1+ 4cos4x) + 3(x + sen4x) sen3x
(10 + cos3x)2
6. csc(x – y) + sec(x + y) = y
- csc(x – y) cot(x - y). (1 – y’) + sec(x + y) tan(x + y). (1+ y’) = y’
y’(csc(x–y)cot(x-y)+sec(x+y)tan(x+y) – 1) = (csc(x–y)cot(x-y) + sec(x+y) tan(x+y)
y’ = csc(x – y) cot(x - y) + sec(x + y) tan(x + y) .
(csc(x – y)cot(x - y) + sec(x + y) tan(x + y) – 1)
DERIVADA DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
RJAL
03/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.6
7. f(x) = sec2 2x + tan2 2x
f’(x) = 2sec2x. (sec2x. tan2x)(2) + 2 tan2x.(sec22x)(2)
f’(x) = 4sec22x. tan2x + 4 tan2x.sec22x
f’(x) = 8sec22x. Tan2x
b) Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto
indicado 3y + cosy = x2 en (1,0)
3y’ – seny. y’ = 2x
y’(3 – seny) = 2x
y’ = 2x .
(3 – seny)
y’(1,0) = 2(1) . = 2
(3 – sen0) 3
Ecuación de la recta tangente y – y0 = y’(1,0) (x – x0)
y – 0 = (2/3) (x – 1)
2x – 3y – 2 = 0
DERIVADA DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

4. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA
LOPEZ
03/06/2018
MATEMATICA I 4
RJAL
03/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.7
Revisar en el libro de Cálculo
Trascendentes Tempranas de Dennis G.
Zill, resolver:
Ejercicio 3.4 los No. 1 al 12 de la pág. 147.
Ejercicio 3.5 los No. 21 al 32 de la pág. 155.
DERIVADA DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
RJAL
03/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.8
Si U es una función diferenciable de x entonces
aplicando la regla de la cadena tenemos:
 Teorema 1. 𝐷 𝑥 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛𝑈 =
1
1− 𝑈2
𝐷 𝑥 𝑈
 Teorema 2. 𝐷 𝑥 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠𝑈 = −
1
1− 𝑈2
𝐷 𝑥 𝑈
 Teorema 3. 𝐷 𝑥 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑈 =
1
1 + 𝑈2 𝐷 𝑥 𝑈
 Teorema 4. 𝐷 𝑥 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑡𝑈 = −
1
1 + 𝑈2 𝐷 𝑥 𝑈
 Teorema 5. 𝐷 𝑥 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑐𝑈 =
1
𝑈 𝑈2− 1
𝐷 𝑥 𝑈
 Teorema 6. 𝐷 𝑥 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑠𝑐𝑈 = −
1
𝑈 𝑈2− 1
𝐷 𝑥 𝑈
DERIVADA DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
INVERSAS

5. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA
LOPEZ
03/06/2018
MATEMATICA I 5
RJAL
03/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.9
Ejemplos: Encuentre las derivadas de las siguientes funciones
trigonométricas inversas:
1. y = arcsen 5x
2. 𝑓 𝑥 = 𝑡𝑎𝑛−1
2𝑥 − 1
3. f(x) = 2x – sec-1 5x
4. f(x) = 4 𝑠𝑒𝑛−1 𝑥
2
+ 𝑥 4 − 𝑥2
5. y2 senx + y = arctan x
6. f(x) = sen-1 2x/ cos-1 2x
7. 𝑦 = 2𝑐𝑜𝑠−1
𝑥 + 2𝑥 1 − 𝑥2
8. 𝑦 = 𝑥2
𝑡𝑎𝑛−1
𝑥2 − 1
9. 𝑐𝑜𝑡−1 𝑥2
3𝑦
+ 𝑥𝑦2
= 0
DERIVADA DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
INVERSAS
RJAL
03/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.10
Ejemplos: Encuentre las derivadas de las siguientes funciones
trigonométricas inversas:
1. y = arcsen 5x
y’ = 5/ 1 − 25𝑥2
2. 𝑓 𝑥 = 𝑡𝑎𝑛−1
2𝑥 − 1
𝑓′ 𝑥 =
1
2 2𝑥 −1
.(2)
1+( 2𝑥 −1)2 =
1
2𝑥 2𝑥 −1
3. f(x) = 2x – sec-1 5x
𝑓′ 𝑥
= 2 −
5
5𝑥( 25 𝑥2 −1)
= 2 −
1
𝑥 25𝑥2 −1
DERIVADA DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
INVERSAS

6. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA
LOPEZ
03/06/2018
MATEMATICA I 6
RJAL
03/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.11
4. f(x) = 4 𝑠𝑒𝑛−1 𝑥
2
+ 𝑥 4 − 𝑥2
f′ x = 4
1
2
1− (
𝑥
2
)2
+ 1 . 4 − 𝑥2 + x
1
2
−2𝑥
4 −𝑥2
f′ x =
2
1
2
4− 𝑥2
+ 4 − 𝑥2 −
𝑥2
4 −𝑥2
f′ x =
4 + 4 − 𝑥2 − 𝑥2
4− 𝑥2
=
8 −2𝑥2
4− 𝑥2
=
2(4 − 𝑥2)
4− 𝑥2
= 2 4 − 𝑥2
5. y2 senx + y = arctan x
2y. y’. senx + y2cosx + y’ = 1/(1+x2)
y’ (2y. senx+1) = 1/(1+x2) - y2cosx
y’ (2y. senx+1) = 1 - y2cosx (1+x2)
(1+x2)
y’ = 1 - y2cosx (1+x2) .
(1+x2) (2y. senx+1)
DERIVADA DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
INVERSAS
RJAL
03/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.12
7. f(x) = sen-1 2x/ cos-1 2x
f′ x =
𝑐𝑜𝑠−12𝑥.
2
1− 4𝑥2
−𝑠𝑒𝑛−12𝑥.
−2
1− 4𝑥2
(𝑐𝑜𝑠−12𝑥)2
f′ x =
2(𝑐𝑜𝑠−12𝑥.+ 𝑠𝑒𝑛−12𝑥)
(𝑐𝑜𝑠−12𝑥)2. 1− 4𝑥2
=
2(𝜋/2)
(𝑐𝑜𝑠−12𝑥)2. 1− 4𝑥2
f′ x =
𝜋
(𝑐𝑜𝑠−12𝑥)2. 1− 4𝑥2
8. 𝑦 = 2𝑐𝑜𝑠−1 𝑥 + 2𝑥 1 − 𝑥2
𝑦′ = 2.
−1
1− 𝑥2
+2. 1 − 𝑥2 + 2𝑥 (
−2𝑥
2 1− 𝑥2
)
y′ =
−2 +2 −2𝑥2 −2𝑥2
1− 𝑥2
=
− 4𝑥2
1− 𝑥2
9. 𝑦 = 𝑥2 𝑡𝑎𝑛−1 𝑥2 − 1
𝑦′ = 2𝑥 𝑡𝑎𝑛−1 𝑥2 − 1 + 𝑥2 1
1+ 𝑥2−1
2 (
1
2
)(
2𝑥
𝑥2−1
)
𝑦′ = 2𝑥 𝑡𝑎𝑛−1 𝑥2 − 1 + 𝑥2 1
1+ 𝑥2 −1
(
𝑥
𝑥2−1
)
𝑦′ = 2𝑥 𝑡𝑎𝑛−1 𝑥2 − 1 +
𝑥2
𝑥2−1
DERIVADA DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
INVERSAS

7. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA
LOPEZ
03/06/2018
MATEMATICA I 7
RJAL
03/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.13
Revisar en el libro de Cálculo
Trascendentes Tempranas de Dennis G.
Zill, resolver en el Ejercicio 3.7 los No. 15 al
30 de la pág. 167.
DERIVADA DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
INVERSAS
RJAL
03/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.14
Si U es una función diferenciable de x entonces
aplicando la regla de la cadena tenemos:
 Teorema 1. 𝐷 𝑥 𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑈 =
1
𝑈
𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑒 𝐷 𝑥 𝑈
 Teorema 2. 𝐷 𝑥 𝑙𝑛 𝑈 =
1
𝑈
𝐷 𝑥 𝑈
 Teorema 3. 𝐷 𝑥 𝑎 𝑈
= 𝑎 𝑢
ln 𝑎 𝐷 𝑥 𝑈
 Teorema 4. 𝐷 𝑥 𝑒 𝑈
= 𝑒 𝑢
𝐷 𝑥 𝑈
DERIVADA DE FUNCIONES LOGARITMICAS Y
EXPONENCIALES

8. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA
LOPEZ
03/06/2018
MATEMATICA I 8
RJAL
03/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.15
Ejemplos: Encuentre las derivadas de las siguientes funciones
logarítmicas y exponenciales
1. y = ln x3
2. y = ln (t2 (3t2 + 6))
3. f(x) = ln 4x / ln2x
4. f(x) = log (x/(x +1))
5. xy = ln (x2 + y2)
6. f(x) = log ((x2 + 1)/(x4 + 9))
7. 𝑦 = 25𝑥
34𝑥2
8. 𝑦 = 𝑒(𝑥+𝑦)2
9. 𝑦 = 𝑡𝑎𝑛−1
𝑒 𝑥
+ ln
𝑒2𝑥
𝑒2𝑥+1
DERIVADA DE FUNCIONES LOGARITMICAS Y
EXPONENCIALES
RJAL
03/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.16
Sea y = f(x) una función positiva y diferenciable en
el punto x, entonces la función z = ln y también es
diferenciable en el mismo punto x y tiene lugar la
formula
z’ = (ln (f(x))’ = f’(x)/f(x)
Llamada derivada logarítmica de la función
y = f(x) en el punto x.
La derivada logarítmica proporciona un medio
para encontrar la derivada de una expresión de la
forma y = (variable)variable
DERIVACION LOGARITMICA

9. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA
LOPEZ
03/06/2018
MATEMATICA I 9
RJAL
03/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.17
Ejemplos:
a) Encuentre las derivadas de las siguientes funciones utilizando
derivación logarítmicas.
1. 𝑦 = 𝑥 𝑥
2. 𝑦 = (𝑠𝑒𝑛𝑥) 𝑥
3. 𝑦 = 𝑥(𝑠𝑒𝑛𝑥) 𝑥
4. 𝑦 = (𝑥2
+ 1)(𝑥+1) 𝑥
5. 𝑦 = 𝑥 + 2 3
(𝑥2
− 1)2
4 − 5𝑥 6
(2𝑥3
− 𝑥)7
b) Encuentre la ecuación de la recta tangente a la grafica:
1. y = x(ln x)x en x = e
2. y2 .4y = x.2x en (4,2)
DERIVADA DE FUNCIONES LOGARITMICAS Y
EXPONENCIALES
RJAL
03/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.18
BIBLIOGRAFIA
Textos Autor
Año de
Edición
Título
Lugar de
Publicación
Editorial
Básicos Larson-
Hostetler
1989 Calculo con Geometría
Analítica
México Mc. Graw
Hill
Comple-
mentarios
Earl W.
Swokosky
1989 Calculo con Geometría
Analítica
México Ibero
Americana
Dennis G.
Zill
1985 Cálculo con Geometría
Analítica
México Ibero
Americana
Alpha Chiang /
.
1999 Métodos Fundamentales
de
Economía Matemática
España Mc. Graw
Hill
Carlos Walsh 2016 Matemática I Managua
Jagdish C.
Ayra
Robin. W.
Lardner
2009 Matemáticas Aplicadas a
la Administración y la
economía
México Pearson
Educación
Dennis G. Zill 2011 Cálculo Trascendentes
tempranas
México Mc. Graw
Hill

10. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA
LOPEZ
03/06/2018
MATEMATICA I 10
RJAL
03/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.19
MUCHAS GRACIAS
MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ