4. LA FUNCIÓN LOGARITMO NATURAL
( ) ( )
x
a
F x f t dt=
( ) ( )
2 2
1 0 1 2 31
, , ?? , ,
2 2
x x x x x
x x
D x D x x D x D x D x
x
−
− − −
= = = − = − =
6. LA FUNCIÓN LOGARITMO NATURAL
Derivada de la Función logaritmo natural
Aplicando la regla de la cadena
7. EJEMPLO
Encuentre ( )lnxD x
1
2
u x x= =
( ) ( )1 1
2 2
1 1
2 2
1 1 1 1
ln
2 2
x xD x D x x
xx x
−
= = =
8. EJEMPLO
Encuentre ( )2
ln 2xD x x− −
( )( )2
2 2 1 0 1 2x x x x x x− − = − + −
( ) ( )2 2
2 2
1 2 1
ln 2 2
2 2
x x
x
D x x D x x
x x x x
−
− − = − − =
− − − −
( ) ( ): , 1 2,D − −
9. EJEMPLO
Encuentre
5
2 7
dx
x +
2 7
2
u x
du dx
= +
=
5 5 1 5 1
2
2 7 2 2 7 2
dx dx du
x x u
= =
+ +
5 5
ln ln 2 7
2 2
u C x C= + = + +
10. EJEMPLO
Encuentre
3
2
1
10
x
dx
x−
−
2
10
2
u x
du xdx
= −
= −
21 1
ln ln 10
2 2
u C x C= − + = − − +
2 2
1 2 1 1
10 2 10 2
x x
dx dx du
x x u
−
= − = −
− −
33
2
2
11
1 1 1 1
ln 10 ln1 ln9 ln9
10 2 2 2 2
x
dx x
x −−
= − − = − + = −
16. EJEMPLO
Demuestre que tiene una inversa y encuentre su fórmula( ) 2 6f x x= +
2 6y x= +
( )' 2 0f x = Creciente en toda la recta real, por lo tanto tiene inversa
Igualamos a y
6
2
y
x
−
= Despejamos x
( )16
2
y
x f y−−
= =
( )( ) ( )
( )1 1 2 6 6
2 6
2
x
f f x f x x− − + −
= + = =
( )( )1 6 6
2 6
2 2
y y
f f y f y− − −
= = + =
20. EJEMPLO
Encuentre
2
lnx x
xD e
( )
2 2
ln ln 2
lnx x x x
x xD e e D x x=
2
ln 2 1
2 lnx x
xe x x x
x
= +
( )
2
ln 2
1 lnx x
xe x= +
21. EJEMPLO
Evalúe
3
2 x
x e dx−
3
2
3
u x
du x dx
= −
= −
( )
3 3
2 21
3
3
x x
x e dx e x dx− −
= − −
1 1
3 3
u u
e du e C= − = − +
31
3
x
e C−
= − +
27. EJEMPLO (Método I)
Si , 0, Encuentre Dx
xy x x y=
lnx x x
y x e= =
( ) ( )ln 1
ln ln 1 lnx x x x
x xD y e D x x x x x x x
x
= = + = +
28. EJEMPLO (Método II)
Si , 0, Encuentre Dx
xy x x y=
x
y x=
ln ln x
y x=
ln lny x x=
1 1
lnxD y x x
y x
= +
( ) ( )1 ln 1 lnx
xD y y x x x= + = +