Guia de calculo 1 MATEMATICA

UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES
FACULTAD DE INGENIERIA
CURSO BASICO
GUIA DE EJERCICIOS
MAT - 101
CALCULO I
( )2 2
2
lim sgn 1 1
x
L x x
±
→−
⎡ ⎤= + − −
⎢ ⎥⎣ ⎦
Elaborado por:
Mg. Sc. Ing. Rafael Valencia Goyzueta
Colaboradores:
Ariel Cruz Limachi
Julio Uberhuaga Conde

UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES MG. SC. ING. RAFAEL VALENCIA GOYZUETA
CURSO BASICO
GUIA DE PROBLEMAS PROPUESTOS
PRIMER PARCIAL
FUNCIONES
Cuales son relaciones y cuales funciones
1 2 2
3 25 9 13y x⋅ = − ⋅ + ⋅ y 5 2 2
3 1y x y⋅ − ⋅ = 9 3 2 5 2x x
x y e y −
=
2 3 3
3 0x y a xy+ − ⋅ = 6 2 2 2 2 2 2
( ) 4 4
x y z a x c+ + − ⋅ = 10
2
3 3
2 3
y y
x x
+
=
+ −
3 ( )2
1
4
y x arcsen y
π
= − − = 7
3 2
2 4
2
y yx
e x In e6 +⎛ ⎞
+ + − =⎜ ⎟
⎝ ⎠
11 2x y+ =
4
2
1 cos
r
θ
=
−
8 ( )2
9cos 2r θ= 12 4y x+ =
2 Para las funciones siguientes hallar su dominio
1
( )
2
3 2
21
x x x
y In
xx
− +⎛ ⎞
= + ⎜ ⎟
−⎝ ⎠−
6
2
2
y x
x
= − +
+
11
x
y arcsen In
e
⎛ ⎞⎛ ⎞
= ⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠
2 2
1
24
x
y
xx
−
= +
+−
7
1
2 1
x
y In
x
⎛ ⎞−
= ⎜⎜ ⎟⎟− +⎝ ⎠
12
2
2
3 4
5 16
x x
y
x
− −
=
− −
3
2
2
9 1 5
3 16
x x
y
x x
6
x
− +
= − +
− −
8 ( ) ( )2 cos 2y sen x x= 13 (2 9)
lg ( 4) 1x
y x−
= − −
+4 ( )( )2
6 9y In arcse x x= + 9 ( )2 9 4 1xy In x−= − − 14 ( ) ( )2 3y sen x sen x= +
5 4 1 3
2
9
87
8
4 18
lg lg lg
27
x x
y
x
⎛ ⎞+ +⎜ ⎟= +
⎜ ⎟
⎝ ⎠
10 ( )4 1 3
2
log log logy x
⎡ ⎤
⎢ ⎥=
⎢ ⎥
⎣ ⎦
15 cosy senx= ⋅ x
16
( )2
4 3
49
11
x
y
xx
−
= +
++
− Rpta:
4 3
, 1 1,
3 4
⎡ ⎡ ⎤
− − − −⎢ ⎢ ⎥⎣ ⎣ ⎦
U
⎤
⎥⎦
17
2
1
x
y arcsen
x
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
+⎝ ⎠
Rpta:
1
,1
3
⎡ ⎤
−⎢ ⎥⎣ ⎦
18 ( ) ( )( )1y arcsen x In In x= − + Rpta:] ]1,2
19
2
2
2
3
4 12
20
x
y x x
x x
= + − +
+ −
Rpta: [ [2,5
2
1 4y x= − − Rpta: 2, 3 3,2⎡ ⎤ ⎡− −⎣ ⎦ ⎣U ⎤
⎦
1

CURSO BASICO
Para las funciones siguientes hallar su Rango
1
2
2
3
2
x
y
x
+
=
+
Rpta:
3
1,
2
⎤
⎥⎦ ⎦
⎤
⎥ 8 ( )
2
2
2 1
x
x
f
x x
=
+ +
Rpta:
4
0,
7
⎡ ⎤
⎢ ⎥⎣ ⎦
2 2
1
x
y
x
=
+
Rpta:] [1,1− 9 ]
2 1 5
3,5
2 2 1
x
y
x
+ −
= ∈
− +
[− Rpta:
5
,1
7
⎡ ⎤
−⎢ ⎥⎣ ⎦
3
( )
2
2
2
x
y
x
=
−
Rpta:[ [0,∞ 10 2
4 4y x x x= − − + − 2
Rpta: 2,2 3⎡ ⎤
⎣ ⎦
4 2y x= − x Rpta: 15, 1⎡ ⎤− −⎣ ⎦ 11 ( )
25 15 2 5
8
4 2x
x x
f x x
x x
− −
= +
− +
: ] ] { }22,26 29− + −
5
2
2
1
sgn 6 1
x
y
x x
−
=
− − −
Rpta:{ }10, 5− − 12 ( )
2
4 1
2 1x
x
f
x
−
=
+
Rpta:] [2,− ∞
6
( )
2 2
3 1
2
5 1 15 6 2x
x
x x
f
x
−
+ −
=
− − + +x
Rpta:
2
,1
9
⎤
⎥ ⎥⎦ ⎦
⎤ 13 ] [
1 1
0,1
2
x x
y x
x x
− + −
= ∧
− −
∈ Rpta:
1
1,
2
⎤ ⎡
− −⎥ ⎢⎦ ⎣
7 ( )
2
2
3
2x
x x
1f x
x
+
= − − Rpta:
13
,3
4
⎡ ⎡
−⎢ ⎢⎣ ⎣
14 ( ) ] ]2 5
4 , 1,3
2x
x
f x x
−
= − ∈ Rpta:[ ]0,∞
Identificar cuales son funciones pares y cuales impares
1 ( )6 3 2
3
1
( )
x
y x sen x
x x
⎛ ⎞
= ⋅ ⋅ +⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
5 ( )2
2y x x tg x= + 9 ( )
1 1
y x sen sen x
x x
⎛ ⎞
= ⋅ + ⋅⎜ ⎟
⎝ ⎠
2
4
1 1 2
1
1 1
x
y x
x x x
⎛ ⎞+ ⎛ ⎞
= − + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟+ −⎝ ⎠⎝ ⎠
6 2
4y x x= + 10 ( ) ( )sec
2
x
y tg x ctg x= + −
3
3
2 4
3
1
( )y x x x sen x
x
⎛ ⎞
= +⎜ ⎟
⎝ ⎠
7
1
1
x
x
e
y
e−
+
=
−
11 y x x x x= + − + ⋅
4
( )
2
2
1 2 6cos( )
16 2
x x
y In
x x sen x
⎛ ⎞
+ − −⎜ ⎟=
⎜ ⎟+ + ⋅⎝ ⎠
8
1 1
1 1
x
y In
x
⎛ ⎞+ +
= ⎜ ⎟⎜ ⎟− +⎝ ⎠
12 2 2
1 1y x x x x= + + − − +
Realizando un análisis completo construya la grafica de:
1 2
100 0yx x− − = 8 2 2
50 125 0x y x xy− − + = 15 2 2
y x x y2
− =
2 10x y⋅ = 9 3 2 2
0x xy x y y− − + = 16 2
6 6xy x xy− − =
3 2
9 0yx x y− − = 10 2
2 2xy x xy− = − 17 ( ) ( )4
1y In x In x= − −
4
2
1
x
y
x
= ±
+
11
2
3 2x x
y e− + −
= 18 ( )2 2
4 1x y x y− − + = 0
5 ( )2 2 2
1 2 1 0x y y− − + = 12
2
2
2 4
2 2
x x
y
6
x x
− +
=
− +
19 3 3
3 2y x x= − +
2

CURSO BASICO
6
3 2
2
1
1
x x
y
x
+ −
=
−
13 3 2
1
6
y
x x x
=
+ −
20
2
2
1
x
y
x
=
−
7 ( )2 2 4
25 3y x x− = + 14
2 3
3 2
x
y
x
−
=
+
21
3
4
x
y
x
=
−
FUNCIONES ESPECIALES
Determinar el dominio
1 ( ) 4
4 16
9 3
x
x
f
x x
−
=
− −
Rpta: ] [
1
,2 3,9
4
⎡ ⎤
⎢ ⎥⎣ ⎦
U
2
( )
2 1
1x
x
f
x
−
=
−
Rpta:] [1,∞
3
( ) 2
1
4
x
x
f
x
−
= −
−
Rpta:] [1,1−
4 ( )
( )( )1 1
x
x x x
f
x x x
−
=
− − + − x
Rpta: x Z∈
5
( )
( )
2 2
4 2
( )
4
12 12
16
3 sgn 16
x
x x sgx x
f x
x x
+ − +
= − +
− − −
Rpta:] ] ] [, 4 4,−∞ − ∞U
6
( )
3 3
4 2
( )
4
2 1
16
3 2sgn 16
x
x x
f x
x x
+ +
= − −
+ − −
Rpta:] [ [ [ { }, 5 2, 2−∞ − ∞ −U U
7
2 3
( ) 4 2
1 2
1 1
1
x
x
f x x
x
− −
= − − − +
−
Rpta: 3 31, 2 2, 3⎡ ⎡ ⎡ ⎡
⎣ ⎣⎣ ⎣
U
8
( )
( )
5
2 3
( )
2
3 sgn 32 1 1
sgn2
x
x x x x
f
xx
− − − − − −
= +
−−
9 ( )
es par
6 es impar
x
x x x
f
x x x
⎧ −⎪
= ⎨
− +⎪⎩
( )
2
( )
2
9 2sgn 1
1
x
xx
f
x x x
− −− +
= +
− −
Analizar el dominio, el rango y trazar la grafica de las siguientes funciones
1 y x x= + 23 1y x= +
2
2
( ) 2 3 1 6f x x= − − − + 24
2
( ) 4 7 4f x x= − − +
3 ( ) (2 2
sgn 4 sgn 2y x x x= − − + )x 25
1
sgn 1
2
x
y x
x
+⎛ ⎞
= − −⎜ ⎟
−⎝ ⎠
3

CURSO BASICO
4
2 1
sgn
2
x
y x
x
⎛ ⎞−
= ⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠
26
2
2 8y x x 5= − +
5 ( )2
1 2 1 sgn 1y x x= + + − − 27 1y x x= + +
6
2
4 5 1 2y x= − − − + 28 ( ) [ ]2
4 2 3 3,3y x x x= − + ∧ ∈ −
7
( )
( )2
sgn 1 2
1x
x x x
f
x x
⎡ ⎤− +⎣ ⎦=
− −
29 ( ) 3 1 2 1 4 2xf x x x x= − − − − + −
8
1 1
1 ;y x x x x 1
x x
= + − + < 30
1
sgn
2
x
y x
x
⎛ ⎞+
= ⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠
9 ( )2
( ) 1 2 1 sgn 1xf x x= + + − − 31 2 1x y= + −
10 ( )x
x x
f
x x
+
=
−
32
( )( )( )
6
1 1
x
x x x
f
x x x
− −
=
x− − + −
11 [ ]( )
2
4,4x
x
f x
x x
−
= ∧ ∈ −
−
33
2
( )
2 2 5
9 sgn
1 3
x
x x
f x
x x
⎛ ⎞+ +
1= − ⋅ + −⎜ ⎟⎜ ⎟− +⎝ ⎠
12 ( )
1 2
1 2
x
x x
f
x x
− + +
=
− + +
34 [ ], 2,2
2 2
y sen x sen x x
π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= + ∈ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
13 ( )x
x x
f
x x
+
=
+
35 ( )
4 3 1
3 4
x
x
f
x
− −
=
−
14
2 2
3 1
12
2,
5 1 15 6 2 5
x
x x
y x
x x
−
+ −
⎤
= ∧ ⎥ ⎥− − + + ⎦ ⎦
⎤
∈ −
36 ( )
1
2
xf x x x
⎧ ⎫
= + +⎨ ⎬
⎩ ⎭
15
{ }
( ) 2
1
sgn
x x
y
x x
+ +
=
−
37
( )2 sgn 3 2
2sgn 9 1
2 1 3
x x
y x
x x x
+ − −⎛ ⎞= − + +⎜ ⎟
− + − − −⎝ ⎠
16
( )
2
1 2
1
x
e x x
y
x
−
+ + + −
=
+
38
( )2 2 sgn3
sgn
4 3 1
x xx
y
x x
+ + −−⎛ ⎞
= +⎜ ⎟
+ + +⎝ ⎠
17 (9 )xf − si
3
1 3
x x
y
x x
⎧ ≤⎪
= ⎨
+ >⎪⎩
39 ( ) 2 2xf sen x sen x
π π⎛ ⎞ ⎛
= +⎜ ⎟ ⎜
⎝ ⎠ ⎝
⎞
⎟
⎠
en [ ]2,2−
18
( )2 3 sgn 1
sgn 9
2 1
x x
y x
x
+ + −⎛ ⎞= − +⎜ ⎟
+ +⎝ ⎠
40
( )
( )
4 2
sgn 3 2
4 1
2
1
x
x x
x
y
x
sgx x x
x
⎧⎛ ⎞− +
+ ≥⎪⎜ ⎟⎜ ⎟− +⎪⎝ ⎠= ⎨
⎪ <
⎪ −⎩
4

CURSO BASICO
19
1
( )
1
es par
1 es impar
x
f f x x
f
f f x x
−
−
⎧ −
⎪
= ⎨
⎪ − −
⎩
o
o
41
( ){ } 2
( )
sgn 4 2
4
2
x
x x x
f
x x
x
x
⎧ − − ≤⎪
⎪
= ⎨
−⎪ >⎪⎩
20 ( )
( )
2
( )
9 4
sgn +1 2 4 0
sgn 2 2 0 1
x
x x
f x
x x x
⎧ − >
⎪
⎪
= + − ≤⎨
⎪
− − ≤ ≤ −⎪
⎩
x < 42 ( )xf si ( )
( )2 2
2
2
sgn 4 9
6
12 27
3
10 21 3 6
x
x x
x
f x
x x x
⎧ − ≤
⎪
⎪
+⎪
x= − < −⎨
⎪
⎪ + + − >⎪⎩
21
log ( )a x si 0 0a a> ∧ ≠
( )
( )
lg ( ) log 0
log ( ) 1
log log 0
a
a
a
x x
x
a x
x
≥⎧
⎪
= ⎨ ⎛ ⎞
<⎪ ⎜ ⎟
⎝ ⎠⎩
43 ( )
2
( )
2
sgn 4 3
6
2 3 9
3
10 21 6 3
x
x x
x
f x
x x x
⎧ − ≤
⎪
⎪ +⎪
= + <⎨
⎪
⎪
<
+ + ≤⎪⎩
−
22
[ [
2
( )
+2 7, 2
2
2
1 1
2 5
2 1
x
x x
x
f x x
x
x
x
⎧
⎪ ∈ − −
⎪
⎪
= + ≤⎨
⎪
⎪ − +
< ≤⎪
−⎩
44
] [
[ [
[ [
[ [
( )
,0
0,1
1 1,9
9,
x
x
x
f
x
x
⎧− −∞
⎪
⎪
= ⎨
−⎪
⎪
∞⎩
ALGEBRA DE FUNCIONES
1. Hallar el mínimo valor de sik ( ) ( )2
9
2 3 5
xF k x Dom F
x x
= ≤ ∧ ∀ ∈
− +
Rpta:
8
31
k =
2. Sea una función de variable real, tal queF ( )2 1xF x+ = . Hallar los valores de de tal modo quep
( )
( )
2
2
2 3
2 3
2
6
x
x
F px
F x
−
+
+
− < <
−
4 Rpta:] [2,4−
3. En que intervalo debe variar de modo que una raiz dek ( )
2
9 36x
2
f x x k= − + se encuentre en el
intervalo
4
,2
3
⎤ ⎡
−⎥ ⎢⎦ ⎣
Rpta: 6, 4 2 4 2,6k ⎤ ⎡ ⎤∈ − −⎦ ⎣ ⎦U ⎡
⎣
4. Entre que valores debe estar comprendido para que -2 quede comprendido entre las raíces de la
función de Rpta:
k
( ) ( )2 2
48 16 1 4xf x k x k= + − + − ] [10,22k ∈
5. Si ( )
1 1
1
1
2 3
x
x
f x
x
x
≤⎧
⎪
= +⎨
>⎪ +⎩
hallar el conjunto de valores de tal quex ( )1 xx f− ≤ Rpta: , 2⎤ ⎤−∞⎦ ⎦
5

CURSO BASICO
6. Hallar ( )( ) xf g+ si ( )( ) sgn 2 1 3xf x x x= − − − − y [ ]( ) 2 3xg x x x= ⋅ − ∧ ∈ − ,5
7. Hallar ( )( ) xf g+ si y( )
1 2
2 5
3 5
x
x x
f x x
x
− <⎧
⎪
= ≤ <⎨
⎪− ≥⎩
( )
1 3
3 2 3 6
2 6
x
x x
g x x
x
− <⎧
⎪
= − ≤ <⎨
⎪− ≥⎩
8. Hallar ( )( ) xf g⋅ si
] ]
] [( )
2 1 3,0
2 0,3
x
x x
f
x
⎧ + − −⎪
= ⎨
+⎪⎩
y
[ ]
( ) [ ]
( )
1 4, 1
sgn 2 0,4
x
x
g
x x
⎧ − − −⎪
= ⎨
⋅ −⎪⎩
−
9. Hallar ( )( ) xf g+ si
2
( )
5 2
2 2 2
x
x x x
f
x x x
⎧ − < −⎪
= ⎨
− − ≥ −⎪⎩
( ) 2
2 4 2
3 2
x
x x
g
x x x
y
− > −⎧⎪
= ⎨
+ ≤ −⎪⎩
10. Hallar ( )( ) xf g+ y graficar cada una de las funciones
[ [
[ [( )
1 1,2
3 2,6
x
x
g
x
⎧ ∈ −⎪
= ⎨
∈⎪⎩
y 2
( ) 4 2xf x x= − + −
( )( )
-1
22
2
( ) 2
2
4
sgn 16 3
4
25
3 5
9
25
5
2
x
x
x x x
x
f x
x
x
x
x
⎧
⎛ ⎞⎪
− − <⎜ ⎟⎪
⎝ ⎠⎪
⎪
−⎪
= < ≤⎨
−⎪
⎪
−⎪ >
⎪ −
⎪⎩
y 2
( )
1 0
1 0 3
6 11
4 4
2
x
x x x
g x x
x
x x
x
⎧
− + ≥⎪
⎪
= − < ≤⎨
⎪ −
⎪ > ∨ < −
−⎩
( )
( ) 2
+1 1
3 1
1 1
sgn 1
x
x x
x x
f
x x
x x x
⎧ <
⎪
+ >⎪
= ⎨
− =⎪
⎪
+ <⎩ −
y
2
( )
1 2
1
2 2
2
2 2
x
x x x
x
g x
x
x x
⎧ + + >
⎪
−⎪
= − < ≤⎨
+⎪
⎪ + − ≤⎩
[ [
( )
( )
1 2, 1
4 cos 0
x
x
f
x x
⎧ − −⎪
= ⎨
+ >⎪⎩
−
y
] [
( )
2
( )
5 ,0
5 0,
2
x
x
g
sen x
π
⎧ − −
⎪
= ⎨ ⎤ ⎡
−⎪
∞
⎥ ⎢⎦ ⎣⎩
Rpta.: ( )( )
( ) [ [2
1 5 2, 1
1 0,
2
x
x
f g π
⎧ − − − −
⎪
+ = ⎨ ⎤ ⎡
−⎪ ⎥ ⎢⎦ ⎣⎩
14. Hallar ( )( ) xf g+ si [2
( ) 6 3 0xf x x x x x= − + − + ∈ ],3 y ] ]( ) 6 2,4xg x x x= − ∈ −
)( ) [ ]6 3 0,3x
f g x x+ = − ∈Rpta.: (
6

CURSO BASICO
15. Hallar ( )( ) xf g+ si ( ) 3 1xf x x= − + + y
2
( )
2 3
1 1 3
2 1
x
x x
g x x
x x
− >⎧
⎪
= − − ≤ ≤⎨
⎪ < −
⎩
Rpta.: ( )( )
2
2 3
3 1 3
2 1
x
x
f g x x
x
− >⎧
⎪
+ = + − ≤ ≤⎨
⎪ < −
⎩
16. Hallar ( )( ) xf g+ si ] [( ) 3 2 ; 1,1xf x x= + + − y
] [
[ [
( )
2
6
2,0
2
0,1
x
x
g
x x
+⎧
−⎪
= ⎨
⎪ +⎩
Rpta.: ( )( )
] [
( ) [ [2
4 2 1,0
1 2 0,1
x
x
f g
x
⎧ − −⎪
+ = ⎨
+ +⎪⎩
17. Hallar
( )
( )
x
x
g
y
f
= si ( )
( ) [ ]
] [2
1 sgn 3 0,6
6,10
x
x x
f
x
⎧ − −⎪
= ⎨
⎪⎩
y ( )
] [
] [
2 8,3
2 3,8
x
x
g
x x
⎧ − −⎪
= ⎨
−⎪⎩
Rpta.: ( )
[ [
( )
] ]
] [
2
0,3
1
2
3,6
1
2
6,8
x
x
x
x x
g
x
x
x
⎧ −
⎪
−⎪
⎪ −⎪
= −⎨
−⎪
⎪ −
⎪
⎪⎩
18. Hallar ( )( )x
y f g= + si ( )
[ [
[ [
1 2 -1,0
3 cos 0,
x
x
f
x
⎧ −⎪
= ⎨
+ ∞⎪⎩
y ( )
] [
[ ]
2
2
,0
0,
x
x
g
senx π
⎧ −∞⎪
= ⎨
⎪⎩
Rpta.: ( )
( ) [ [
( )
( ) ] ]
( )
2
2
2
2
2
1 1,0
4 0
3 0,
2 ,
x
x
sen x x
g
sen x
sen x π
π
π
⎧ − −
⎪
⎪ + =
⎪⎪
= ⎨
+⎪
⎪
⎪ ⎤ ⎤+
⎪ ⎦⎩ ⎦
7

CURSO BASICO
COMPOSICIÓN DE FUNCIONES
. Si1 ( )
1
2
1
+
−
=−
x
x
g x y ( )( )
12
1
+
−
=
x
x
gf xo , hallar Rpta.:( )2+xf ( )
3
2
2
+
+
=+
x
x
f x
2. Si ( ) 17
1397
2
2
202
+
−
=−
x
x
f x
y ( )
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛− =
x
x gf 21 , hallar ( )( )xfg o Rpta.: ( )( )
513
2414
+
+
=
x
x
fg xo
3
12
2
1
−
−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
−
x
x
f
x
x
, 2
24
1
12
x
xx
g
x
x
++
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
y ( )( )
8
13
3
+
−
=−
x
x
fgh xoo hallar ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +−
2
131 x
h3.)Si
2
2
131
35171
20162
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +−
x
x
h x
Rpta.:
( )( )x
g fo si: ( ) ( ) [ [1
2 3
-
xf x f ,= − ∈ ∞ y ( )
1 1
2
2
-
xg x g ,
⎡ ⎡
= + ∈ ⎢ ⎢⎣ ⎣
∞
Rpta.:
4. Hallar
( )( ) [ ]3,4x
g f x x= ∈o
. Hallar el rango de ( )( )x
g fo si: ( ) ] [4 8 12
xf x x x ,= − ∈ − y ( ) ] [1 4xg x x ,= − ∈ − 0
Rpta.:
5
( )( ) 1, 5x
Rang g f ⎤ ⎡
⎦ ⎣o
6. Si 3
43
52
3
3
1
+
+
−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
x
x
f
x
. Hallar Rpta.: a)( )xf 1−
( ) 31
74
113
−
−
−=−
x
x
f x b) ( ) ( )( )
34
117
3
3
1
+
+
=−
x
x
ff xfo
Si ( ) ( )
3 2 3
,
6 5
x x
1x x
f g
x x
+ −
= =
+ −
y ( )
7 1
( )
6 5
x
x
g h f
x
⋅ −
=
− ⋅
o o . Hallar 3( )x
x
h −7.
. Si x x
g f x f g x x= − ∧ = + +o o . Hallar8 ( ) ( )2 2
( ) ( )
4 6 2 ( ) ( )x xf g∧
3
1
2 3
3 1
( )
1
x
x
x
f
x
−
+
+
=
+
y 1
( )
2 5
6x
x
g
x
−
+
=
−
. Hallar 2
1 1
( )
( ) x
g f −
− −
o9. Si
( )( )x
f fo si: ( )
1
0
0
x
2
x
xf
x x
⎧
<⎪
= ⎨
⎪− >⎩
Rpta.: ( )( )
2
0
1
0x
x x
f f
x
x
<⎧
⎪
= ⎨
− >⎪
⎩
o10. Hallar
11. Hallar ( )( )x
f fo si: Rpta.: ∞
12. Hallar si:
( )
1 1
1
x 2
x
f
x x
<⎧⎪
= ⎨
>⎪⎩
( )( ) ] [4
1,x
f f x x= ∈o
( )( )xgf o ( )
] ]
]
0,4
4,
3
x
x x
f
x+ x
⎧ +⎪
= ⎨
[∞⎪⎩
y ( )
] [
] [
2
x 3
1 2,2
g
2,
x
x
⎧ − −⎪
= ⎨
∞⎪⎩
( ) ] [ { }: 2, 0,2Dom f g − ∞ −oRpta.:
8

CURSO BASICO
13. Hallar si:( )( )xgf o ( )
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧ <
≤<
+
≤−−
=
51;
2
2
17;12
x
x
xx
f x y ( )
⎪⎩
⎪
⎨
⎧ ≤−− 3;13 xx
≤≤
+
<
=
84;
1
2
4
x
x
xg x
Rpta.: ( )( )
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
≤≤
+
+
<<
+
≤<−−
=
84;
12
1
2
3
2
;
13
2
3
2
2;69 2
x
x
x
x
x
xxx
gf xo
( )( )x
g fo si: ( )
2
0
1 0
x
x x
f
x x
⎧⎪ <
= ⎨
− ≥⎪⎩
y ( )
2 1
1 1x
x x
g
x x
+ ≤⎧
= ⎨
− >⎩
14. Hallar
( )( )
2
2
-1 1
2 -1 0
3 0
x
x x
g f x x
x x
⎧ − ∞ < < −
⎪
⎪
= + ≤ <⎨
⎪ − ≤ <
⎪⎩
oRpta.:
∞
15. Hallar ( )( )x
g fo si: ( )
2
3
1
2
x
x x
f
x x
⎧ <⎪
= ⎨
− ≥⎪⎩
y ( )
2
2 4x
x x
g
x x
− <⎧
= ⎨
≥⎩
( )( )
2
3
2
2 1
2
2 2
x
x x
g f x x
x x
⎧− − < <
⎪
⎪
= ≤⎨
⎪
< ∞
− ∞ < ≤⎪⎩
oRpta.:
16. Hallar si:( )( )xgf o ( )
( )2
1 2
6< 2
6 1
sgn 1 2
x
x
x x
xf
x x
−⎧
∨ >⎪ += ⎨
⎪ − < ≤
⎩
y ( )
( )
3 1 4 0
2 2
1 4
3
4sgn 3 4
x
x x
x
g x
x
x x x
⎧ + − − ≤ ≤
⎪
−⎪
= ≤ <⎨
−⎪
⎪ = ∨ >⎩
17. Hallar si: y
Rpta.:
18. Hallar
( )( )xgf o ( )
⎩
⎨
⎧
<≤+
<≤−−
=
41;1
125.2;42
2
xx
xx
f x ( )
⎩
⎨
⎧
<≤−+
−<≤−
=
25.21;45
14;2
xx
xx
g x
( )( )
4
2
1 ; 2 1
10 4 ; 1 0.6
25 40 17 ; 0.6 2.25
x
x x
f g x x
x x x
⎧ + − < < −
⎪
= + − ≤ < −⎨
⎪
+ + − ≤ <⎩
o
( )( )
1 1
x
f g g− −
⋅ o si: ( )
( )2
3
2 1
sgn 9
5
5
x
x x
x x
f
x x
x
⎧
≤ ≠⎪
+ −⎪
= ⎨
⎪
+ ≥⎪
⎩
y ( )
2
2
16
1
x
x
g
x
−
=
−
en [ [ [ [0,1 4,∞U
[ [ [ [0,1 5,∞URpta.:
9

CURSO BASICO
19. Hallar ( )( )x
g fo si: ( )
4
3
1 3 4
1 1 4
x
x x
f
x x
⎧ − − >⎪
= ⎨
− < ≤⎪⎩
y ( )
1
4x
x
g
x
+
=
−
Rpta.: { }0, 5 6, 19⎤ ⎡ ⎤ ⎡∞ −⎦ ⎣ ⎦ ⎣U
( )( )x
f go si: ( ) 2
1 2 3
1 0 3
x
x x
g
x x
⎧ − − >⎪
= ⎨
⎪ − <⎩ ≤
y ( ) 2
4
9
x
x
f
x
+
=
−
Rpta.:
20. Hallar
{ }3 3 34, 2 1, 4 5, 8,5⎡ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡− − ∞ − ±
⎦ ⎣⎣ ⎣ ⎦ ⎣
U U
( )xh si: ( )
2
2
2 3 2
1 4 4
x
x x
f
x x
⎧ − ≤ ≤
( )
⎪
= ⎨
⎪ − − ≤⎩
, ] ] ] ] ( )
2
4 4 , 4 0,2xg x= − − ∧ −∞ − U y ( )( )x x
f h g= o21. Hallar
( ) ( )x xf g∧ si cumple ( )
1
3xh f g f
x
= ∧ =
+
o22. Hallar
23. Demostrar que si ( )
x
f x
−
=
1
1
( )( ) ( )xx ffffffff =oooooose cumple
24. Si ( ) 2
1 x
x
=f x
+
y ( ) ( )( )( )( )xx fffg .....= , n veces la composición hallar Rpta.:( )xg ( ) 2
1 nx
x
=g x
+
25. Dada la función ( )
12
12
12
−
+
=+
x
x
f x , calcular: ( )( )5
1
+
−
xff o ( )( ) 55
1
+=+
−
xff xoRpta.:
26. Si , hallar el valor de a para que se cumpla: 22 += aa
ff Rpta.:( ) axf x 23 += ( ) ( )
1−
9
2
=a 1−=a
7. Si y , hallar el valor de a si:( ) 322
1 +−=− xxf x ( ) axg x −= ( )( ) ( )( )12 += afggf oo Rpta.:
5
3
=a2
28. Expresar la función, como la composición de tres funciones 2 2 2
2
5
3 1 ( 1)
1
y x x
x
= − − + −
−
29. Hallar si existe. ( )( ) xg fo , donde
] ]
[ [
( )
1,0
1 1,10
x
x x
f
x x
⎧ ∈ −⎪
= ⎨
− ∈⎪⎩
y
] ]
[ ]
( ) 2
3 1,1
2,4
x
x x
g
x x
⎧ ∈ −⎪
= ⎨
∈⎪⎩
( )( ) xg fo y su dominio, donde : ( ) 3
1 3 4
1 1 4
x
x x
g
x x
⎧ − − >⎪
= ⎨
− < ≤⎪⎩
y ( ) 2
4
9
x
x
f
x
+
=
−
30. Hallar si existe.
ROPIEDADES Y TIPOS DE FUNCIONES
)
P
1. Si g es una función que cumple ( )g (yyx gx= ++ y ( ) 10 =g , hallar Rpta.:( )1000g ( ) 10011000 =g
2. Hallar la función de primer grado tal que: ( ) 31 =f , ( ) 53 =f Rpta.: ( ) 2+= xf x
3. Determínese la función cuadrática tal que:
10
( ) 31 =−f , ( ) 02 =f , ( ) 284 =f Rpta.: ( ) 443 2
−−= xxf x

CURSO BASICO
4. Hallar la función de la forma ( )
x
x bcaf += 1si 50( ) =f , ( ) 302 =f 04 9, ( ) =f :Rpta. ( )
x
xf 2510 ⋅+=
5. Si ( )
( )
( ) ( ) ( )[ ] ( )
( )x
x
xgf
cosx
g x
sec2
=
xx 2cos1sen2 2
++
y
1+
= h Rpta.:
sen
allar ( )xf ( )
x
x
f x
+
−
=
1
1 2
( ) ( )
2
arcsen
π
−= xf x demostrar ( ) ( ) ⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ −−−
=+ 2
6. Si 2
11 yxxy
yx fff
ostrar que:
( ) ( )
7. Dem
( )( )
( )yxyx
x
fff
g
242
2
+⎠⎝+
+
si
y gg 4
⎟⎟
⎞
⎜⎜
⎛
= ( )
2
xx
x
ee
g
−
+
= , ( )
2
xx
x
ee
f
−
−
=
8. Hallar la función d l ma pla:e primer grado (recta), de ta nera que cum ( )( ) 31812 +=+ xf f xo
: ( )
2
3
3 −= xf x ; ( ) 33 +−= xfRpta. x
a r la f ción primer grado (recta), de ta aner que c9. H lla un de l m a umpla: ( )( ) 43212 +=− xff xo
Rpta.: ( ) 44 += xf x ; ( )
3
20
4 −−= xf x
10. es una función lineal con pendiente inters el eje . Además.
)2 )1 . Hallar la si se tiene que
f m , ección con igual a
función
b
( ) (2 12m b b mf f− + −= , ( ) (2 2m b m bf f+ − + += ( )xg
( )4
8 6
x m b m bg x f f+ + −⎛ ⎞ ⎛
⎜ ⎟ ⎜
⎝ ⎠ ⎝
− = + ⎞
⎟
⎠
Rpta.:
( )
( )
4
13
12
−=
−=
xg x
11. La función
xg x
( ) 1 5− es inyectiva enxf x x= + ] [2,10−
Rpta: No es inyectiva
: 5, ,72 7xf b a→ = es biyectiva. Hallar el valor de12. Si la función
2
/ 8f x x− +[ ] [ ] ( ) a b+
Rpta: 5a b+ =
13. Sea la función definida por:g R B→ ( )
] [
6 7
2 3
5 5
3
3
x
x ,
g
x
x
x
⎧
− − −⎪⎪
= ⎨
⎪ >
⎪ −⎩
. Hallar B para que ion sea
suryectiva R
la func
pta: ] [ ] [5 1 1B : , ,− ∞U
14. Sea la función ( )
2
3
2
3x
x
x
f
+
= . Es sobreyectiva?
x
−
+
tiva
5. Dada la función
x
⎧ + ≥⎪
= ⎨
− <⎪⎩
5 5
Rpta: Es sobreyec
1 ( ) 2
f
x
hallar y ( )22x
3 3
5 3
2
x
x x x
) ( ) (x x x
g f f
− −
= +
( )
3 2
10 38 45xg x x= − +Rpta.:
11

CURSO BASICO
16. Hallar la grafica de lg
a
x si: y
0
1
a
a
>⎧
⎨
≠⎩ 1
lg ( ) lg ( ) 0
lg ( )
lg ( ) lg ( ) 0
a a
a
xa a
x x
x
x
≥⎧
⎪
= ⎨
<⎪⎩
17. Demostrar que cualquier función se puede expresar como la suma de dos funciones, de las cuales una
es par y la otra impar.
18. Expresar las funciones como la suma de una función par y otra impar
a) 1y x= − b) ( )1y sen x= + c) ( )3 2
y sen x x= + d)
2
2
1
1
x
y
x
−
=
+
e) x
y e−
=
19. Dado ] ]3,2k ∈ − y ( ) 1 1f x x= − + , hallar ( )f k y construir su grafica.
20. En un circuito el voltaje disminuye de acuerdo con la ley lineal, en un principio la tensión es de 12
voltios y al final del experimento que duro 8 segundos es de 6.4 voltios, expresar el voltaje en función del
tiempo.
FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
Hallar el dominio de las funciones:
a)
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
cos 2 cos 3 cos 4
2 3 4
x x x
y
sen x sen x sen x
+ +
=
+ +
Rpta: /
3
x IR n Z
π⎧ ⎫
∈ − ∈⎨ ⎬
⎩ ⎭
b)
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2
2 3cos 2
cos 2 3 2
sen x x
y
x sen x
+
=
−
Rpta: ( ) ( )6 1 , 6 1
12 12
k k k
π π⎤ ⎡
Z− + ∧⎥ ⎢⎦ ⎣
∈
c)
cos
4 4
cos
4 4
sen x x
y
sen x x
π π
π π
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
−⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠=
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
+⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Rpta: ( ) ( )4 1 , 4 3k k k+ + ∧ ∈⎡ ⎡⎣ ⎣ Z
d) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )sec cos cscy x x x sen x tg x ctg x= − − −⎡ ⎤⎡ ⎤⎡⎣ ⎦⎣ ⎦⎣ ⎤⎦ Rpta: ( ) ( )8 1 , 4 1
4 2
k k k
π π⎡ ⎡
Z+ + ∧ ∈⎢ ⎢⎣ ⎣
e)
( )( )
( )( )
csc sec
sec sec
x
y
x
= Rpta: ( )2 1
2
x k k Z
π
≠ + ∧ ∈
Hallar el rango de las funciones
a) ( ) ( )csc cscy x= + x Rpta: { }2, 0⎡ ⎡∞ +⎣ ⎣
b)
( ) ( )
( ) ( )
2
2
csc
csc
sen x x
y
sen x x
−
=
+
Rpta:] ] { },0 1−∞ − −
12

CURSO BASICO
c) Rpta:( ) ( )3y tg x ctg x=
1
,3
3
IR
⎡ ⎤
− ⎢ ⎥⎣ ⎦
d) ( ) ( ) ( )sec
2 2
x
y sen x x tg x tg
π⎛
= − − + +⎜
⎝ ⎠
⎞
⎟ Rpta:] [1,1−
e)
( )
( )
2
2
sec 2
2 csc
x
y
x
−
=
−
Rpta: ] [1,IR − ∞
Encontrar el periodo de las siguientes funciones
a) ( )cosy n= x Rpta.:
n
T
π2
= g) ( )0seny ω= x Rpta.:
0ω
π
=T
b)
( )
( )
( )
2
cos 2
2
sen x
y x
sen x
= + Rpta:
2
T
π
= h)
2 x
y sen
k
π⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
Rpta.: kT =
c) ( )
3 3
3
2 2
y sen x ctg x tg x
⎡ ⎤⎛ ⎞
= −⎜ ⎟⎢ ⎥
⎝ ⎠⎣ ⎦
Rpta: 2
3
T
π
= i)
(2 )
cos(2 ) 4
sen x
y
x
=
+
d) ( )
3 5
x x
y sen x sen sen
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Rpta: π30=T j) cos
6 6
x x
y se
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
n
e)
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
3 5
cos cos 3 cos 5
sen x sen x sen x
y
x x x
+ +
=
+ +
Rpta:T π= k)
( ) (2 ) (3 )
(2 ) (3
tg x tg x tg x
y
tg x tg x
+ +
=
⋅
f) ( )( ) ( )( )co s cos cosy sen x= x Rpta:
2
T
π
= l) 2 2y x x= −
Analizar y graficar las siguientes funciones:
a) ( ) ( )( )2
2cos10 xf x = g) ( ) ( ) ( ) ( )y tg x ctg x tg x ctg x= − + +
b) ( ) ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−−= −
4
50cos3 2 π
xef x
x h) ( ) ( ) ( ) ( )cos cos 1y sen x x sen x x= + + + −
c) ( ) 2
2
2cos1 +⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−−=
π
xf x i) ( ) ( )2 cos 2y sen x x= +
d)
( )
( )
( )
( )
3 cos 3
cos
sen x x
y
sen x x
= + j) ( ) (sec cosy x x= − −⎡ ⎤⎣ ⎦ )x
e)
2
2cos
4
y x x
π⎛ ⎞
= − ⎜ ⎟
⎝ ⎠
k) ( )y x sen x= +
f)
( )
cos( ) 0
( )
0
x x
f x
sen x x
<⎧⎪
= ⎨
≥⎪⎩
13

CURSO BASICO
FUNCION INVERSA
Hallar la inversa de las siguientes funciones
1. ] ]2
16 7 , 7y x x= − + − −∞ −
2.
3
1
1
1
y x
x
= ≠
−
3.
3 32
1y x x x x= + − + − −2
1 Rpta.: ( )
3
1 3
2x
x x
f − −
=
4.
3
3
2
x x
y
−
= Rpta.:
3 32 2
1 1y x x x x= + − + − −
5. 2y x x= +
6. Si ( ) [ 11x [f x x x x ,= + − ∈ − . Hallar Rpta.:( )xf 1−
( ) ( ) [ [21
11xf x x x x ,−
= − + ∈ −
7. Si ( )
1 x
x
f x
+
= . Hallar Rpta.:( )xf 1−
( )
1
1
x
x
f x
−
=−
8. Si ( ) ( )5 1 5xf x x= − + + − x . Hallar Rpta.:( )xf 1−
( ) ( )1 21
180
36xf x−
= −
9. Si ( )
2
3 7x 2 3f x x x ,⎡= + + ∈ ⎣
⎤
⎦ . Hallar Rpta.:( )xf 1−
( )
2
1 3 5
8x
x x
f − + +
=
6
10. Hallar ( )
1
( )f g x
−
+ y graficar si ] ]( ) 4 ,4xf x x= − ∈ −∞ y
[ [
] [
2
4 9 4,
( )
8 ,4
x
g x
⎧ + + ∞⎪
= ⎨
−∞⎪⎩
Rpta.:( ) [ ]
] [
2
1
9
1,9
( ) 2
4 ,0
x
f g x x
x
−
⎧ −
⎪
+ = ⎨
⎪ − −∞⎩
11. Hallar
1
( )f x
−
y graficar si
] ]
] [
2
,0
( ) 1
0,
x
f x
x
⎧− −∞
⎪
= ⎨
∞⎪
⎩
Rpta.:
] ]
] [
1
2
,0
( ) 1
0,
x
f x
x
−
⎧− − −∞
⎪
= ⎨
∞⎪
⎩
12. Hallar
1
( )f x
−
y graficar si
1 1
( ) 1 2
3 5 2 4
x x
f x x x x
x x
⎧− − <
⎪
= − ≤ <⎨
⎪ − ≤ <⎩
13 Hallar
1
( )f x
−
y graficar si
3
3 0
( )
1
x x
f x
x x
<⎧⎪
= ⎨
≥⎪⎩
Rpta.:
] [
] [
1
3
,0
3( )
1,
x
f x
x
−
⎧
−∞⎪
= ⎨
⎪ ∞⎩
14

CURSO BASICO
14 Hallar
1
( )f x
−
y graficar si
2
4 2
( ) 2 2 6
2 10 6
x x
f x x x
x x
⎧ − < −
⎪⎪
= − − ≤ <⎨
⎪− + ≥
⎪⎩
Rpta.:
] [
] ]
] ]
1 2
4 0,
( ) 2 2,0
1
5 , 2
2
x
f x x
x
−
⎧
+ ∞⎪
⎪
= + −⎨
⎪
⎪− + −∞ −
⎩
15 Hallar
1
( )f x
−
y graficar si
] [ ]
2
2 2 -3 2
( ) 3 -1,1 1,2
2 1
x x x
f x x
x
⎧
[
+ − ≤ < −
⎪
= ⎨ +
⎪ − −⎩
U
Rpta:
] [ ]
3 1 2 1
( ) 3 , 5 1,
1
x x
f x x
x
⎧− + − − < <⎪
= ⎨ − −∞ − ∞⎪ +⎩
U [
16 Hallar
1
( )f x
−
y graficar si
2
2
( 1)
4
2
lg ( 1) 3 13
( ) 1 3
2 1 0 1
x
x x
f x x
x x x
−
− ≤ <⎧
⎪
⎪
= ≤⎨
⎪
⎪
<
− − ≤ <⎩
17 Hallar
1
( )f x
−
y graficar si
[ ]
] ]
] [
2
2
2 2,2
( ) 1 2,6
2 6,7
x
x
f x
x x
⎧ + −
⎪
⎪
= − −⎨
⎪
⎪ +⎩
18 Hallar
1
( )f x
−
y graficar si
[ [
[ ]
] ]
2
2
2
1 4, 2
( ) 2 2,2
10
2,6
4
x
x
f x x
x
⎧
+ − −⎪
⎪
= + −⎨
⎪ −⎪ −
⎩
15

CURSO BASICO
PRIMER PARCIAL
LÍMITES
LIMITES POR DEFINICION (Demostrar mediante la definición de límite)
1 ( )
4
lim 2 1 9
x
x
→
+ = 15 ( )
3
lim 7 3 2
x
x
→
− = − 29 1
2
1 6
lim 2
5 5x
x
→−
⎛ ⎞
− = −⎜ ⎟
⎝ ⎠
2
2
3
lim 2 3 1 10
x
x x
→
− + = 16 ( )3
0
lim 1 1
x
x
→
+ = 30
2
0
lim 1 1
2x
x
→
− =
3
3 2
5
lim 2 140
x
x x x
→
+ − = 17 5
4
1
lim 9
1x
x
x→−
−
= −
+ 31
2
24
16
lim 2
4x
x
x x→
−
=
−
4
2
22
2 6
lim
43 8 4x
x x 7
x x→
− −
=
− +
18
3
lim 3
6 5x
x
xπ π→
=
−
32
2
1
1
lim 1
1x
x
x→−
+
=
+
5
7
1 8
lim
9 60 3x
x
x→
+
=
−
19
6
lim 2
3x
x
x→
=
−
33
4
1 1
lim
42x x→
=
+
6
1
lim 1 0
x
x
→−
+ = 20
5
lim 5 5 10
x
x
→
+ = 34 ( )5
lim 5 5 10
x
x
→
+ =
7
2
1
lim 4 3
x
x
→
− = 21
9
3 1
lim
23x x→
=
+
35 1
2
1 1
lim
4 2x
x
→
− =
8
3 2
2
3 1
lim
3 3x
x
→
−
=
1 22
1
1
lim 2
x
x
x→
+
= 36
1
2
lim 3 1
x x→
⎛ ⎞
− =⎜ ⎟
⎝ ⎠
9 22
lim 1
3x
x x
x x→
+
=
+ −
23
2
3 1
lim 5
2 1x
x
x x→
−
=
− −
37 1
4
1
lim
2x
x x
→
− =
10
( )2
3
sgn 1 1
lim
4 7x
x
x→
−
=
+
24 1
4
1
lim
2x
x x
→
− =
38
22
2 2
lim
33 2x
x x
x x→
− +
=
+ −
11 3
2
2
lim 1
x
x
x x→
−
=
− 25
1
1
15lim
5 1 4x
x
x→
+
=
−
39
( )
21
sgn
lim 1
13 1
4 2
x
x x x
x
→−
+
=
⎛ ⎞
− −⎜ ⎟
⎝ ⎠
12
2
1 1
lim 4
2 2x
x
x→
− −
=
+ −
26 ( )
0
lim 2 cos 1
x
x
→
− = 40
( )
0
1 cos
lim 0
x
x
x→
−
=
13 20
lim 0
1x
x
sen x→
=
+
27
( )
2
lim 1 0
x
sen x
π
→
− =
41
10
lim 3
3 2x
x
x→∞
+
= −
−
14
3 2
3
8 2 2
lim 4
4 3 2x
x x
x x→∞
+ −
=
− +
28
1
lim 1
1x
x
x→∞
+
=
−
42 22
1
lim
4x x+
→
= +∞
−
16

CURSO BASICO
CALCULO DE LÍMITES ALGEBRAICOS (calcular los siguientes limites de tipo algebraico)
1
( )( )( )
x
xxx
imL
x
131211
0
−+++
=
→
l Rpta.: 6=L
2
( ) ( )
3 22 3
3 21
1 1
4 5 2x
x x
L im
x x x→
− − −
=
− + −
l Rpta.: 9L =
3
2
24
3 17 2
4 25 3x
x x
L im
0
6x x→
− +
=
− +
l Rpta.: 1L =
4
7 7
3 3x a
x a
L im
x a→
−
=
−
l Rpta.: 47
3
L a=
5
( ) ( )5
2 50
1 1
x
5x x
L im
x x→
+ − +
=
+
l Rpta.: 10L =
6
( )
( )
202
102 3
20
12 16
x
x x
L im
x x
→
− −
=
− +
l Rpta.:
10
3
2
L
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
7
22
2 2
3 6 2 5x
L im
x 2x x→
= −
− − +
l Rpta.:
4
9
L =
8
4 3 2
4 3 21
4 9 3 5
3 9 9 3x
x x x x
L im
3
x x x x→−
+ + − −
=
+ + +
l Rpta.:
7
3
L =
9
1
.......32
1 −
−+++
=
→ x
nxxxx
imL
n
x
l Rpta.:
( )
2
1+
=
nn
L
10 ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−
−
=
→ 1
3
1
1
31 xx
imL
x
l Rpta.: 1=L
11
m m
x a
x a
L im
x a→
−
=
−
l Rpta.:0>m 1−
= m
maL
12
( )
( )2
1
ax
axnaax
imL
nnn
ax −
−−−
=
−
→
l Rpta.:
( ) 2
2
1 −−
= n
a
nn
L
13
2
22
2
5 6x
x x
L im
x x→
−
=
− +
l Rpta.- 2L = −
14
20 14
23 151
3 2
4 3x
x x
L im
5
x x→
+ −
=
− −
l Rpta.-
8
7
L =
15
100
501
2 1
lim
2 1x
x x
L
x x→
− +
=
− +
Rpta.:
1
2
24
L =
16
( )(
( )( )
)3 2
31
108 1 2
lim
3 1x
x x x
L
x x→−
+ +
=
+ −
Rpta.: 27L =
17

CURSO BASICO
17
( )21
1 1
log1x
L im
xx→
= −
−
l Rpta.: L = ∃
18
( ) (
( )( )
)
1
1 1
1 1
b a
a bx
a x b x
L im
x x→
− − −
=
− −
l Rpta.:
2
a b
L
−
=
19
( )
( )
2 1
21
1
1
a a
x
ax a x x
L im
x
+ +
→
− + +
=
−
l Rpta.:
( )1
2
a a
L
+
=
20
( ) ( )
20
1 1
lim
n m
x
mx nx
x→
+ − +
Rpta.:
( )
2
mn n m
L
−
=
21
1
lim( )
1 1mx
m n
n
x x→
−
− −
Rpta.:
2
m n
L
−
=
22
( )1
11
1 1
lim
1
n n
p px
nx n x
x x x
+
+→
+ − +
− + −
Rpta.:
( )1
2
n n
L
p
+
=
23
( ) ( )
( )
1
2
n n n
x a
x a na x a
L im
x a
−
→
− − −
=
−
l Rpta.:
( )
2
1
2 n
n n
L
a −
−
=
24
( ) ( )
3 2
3 21
5 3
2 1 2x
x x x
L im
x n x n x n→−
− − −
=
+ − + − −
l Rpta.:
4
1
L
n
=
+
25
( )4
22
4 1
2x
x
L im
6
x x→
− −
=
− −
l Rpta.:
32
3
L = −
26
4
51
3 2
4 3x
x x
L im
x x→
− +
=
− +
l Rpta.: 10L =
27
( ) ( )
2
2 21
1
1x
x
L im
ax a x→
−
=
+ − +
l Rpta.:
2
1
1
L
a
=
−
CALCULO DE LÍMITES CON RADICALES (calcular los siguientes limites con radicales)
1
3
8210
327 −
−+
=
→ x
x
imL
x
l Rpta.:
8
27
=L
2
4
37
4 −
−+
=
→ x
x
imL
x
l Rpta.:
24
1
=L
3
3
8
7
8x
x
L im
x→
+ −
=
−
l
3
Rpta.:
1
72
L =
4
4 4 2
20
1
x
x x
L im
1
x→
+ − +
= l Rpta.:
1
2
L = −
18

CURSO BASICO
5
31
3 2
1 1x
L im
x x→
⎛ ⎞
= −⎜
− −⎝ ⎠
l ⎟ Rpta.:
1
2
L =
6
2
22
4 1
1 13 5
n
mx
x x
L im
xx→
⎛ ⎞⎛ ⎞− −
⎜ ⎟= ⎜⎜⎜ ⎟ − −⎝ ⎠− +⎝ ⎠
l
1−
⎟⎟
Rpta.: 6
m
L
n
=
7
x
babax
imL
x
+−++
=
→0
l Rpta.:
ba
L
+
=
2
1
8
2 2
23
2 6 2 6
4 3x
x x x x
L im
x x→
− + − + −
=
− +
l Rpta.:
1
3
L = −
9
( )
3 2 3
28
4 4
8x
x x
L im
x→
− +
=
−
l Rpta.:
1
144
L =
10
4
520
2 4
12 2x
x
L im
x→
− −
=
+ −
l
4
Rpta.: 5L =
11
3 2
3
1 6
3x
x x
L im
x→
− −
=
−
l Rpta.:
7
2
L = −
12
35
2 1
1 3 1x
x
L im
x→
− −
=
− − −
l Rpta.: 3L = −
13
2
50 1 5 1x
x
L im
x x→
=
+ − −
l Rpta.:
1
2
L = −
14
2
23
3
3 26 3 26 3 33
15 6
4 2
3
x
x x x
L im
x x
x
→
− + − − +
=
+ −
−
+
l Rpta.: 69L = −
15
34
1
3
1x
x x x
L im
x→
+ + −
=
−
l Rpta.:
13
12
L =
16
( )
( )
1
21
1
lim
1
n
x
x n x
L
x
+
→
− + +
=
−
n
Rpta.:
( )1
2
n n
L
+
=
17
( ) ( )
( )
1
2
lim
n n n
x a
x a na x a
L
x a
−
→
− − −
=
−
Rpta.:
( ) 21
2
nn n
L a −−
=
18
1
1
1
n
mx
x
L im
x→
−
=
−
l Rpta.:
m
L
n
=
19
x
xx
imL
nm
x
βα +−+
=
→
11
0
l Rpta.:
nm
L
βα
−=
19

CURSO BASICO
20
( )( )( ) ( )
( ) 1
43
1 1
1.........111
−→ −
−−−−
= n
n
x x
xxxx
imL l Rpta.:
!
1
n
L =
21
2 3
1
lim
1
n
x
x x x x n
L
x→
⎛ ⎞+ + + + −
= ⎜
⎜ −⎝ ⎠
L
⎟
⎟
Rpta.:
( )1
2
n n
L
+
=
22
( ) ( )
x
xxxx
imL
nn
x
−+−++
=
→
22
0
11
l Rpta.: nL 2=
23
2
4
16
2 1 3x
x
L im
x→
−
=
+ −
l Rpta.: 24L =
.24
( )2 2 33
3
2 2
lim
a b
a b
x ax a x x b
L
a x x b
−
→
+ + + + − −
=
− − +
Rpta.:
2
2
2 (1 9
9
b x x
L
)
x
+ +
=
25
2 23
3 22
3 8 6 2
lim
2 2x
x x x x
x x x→
− − + − +
− + −
Rpta.:
29
30
L =
26
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
+−−++=
→ xxxxxx
imL
x
111111
0
l Rpta.: 1=L
27
523
37
2
3 2
1 −+
+−+
=
→ xx
xx
imL
x
l Rpta.:
96
1
−=L
28
5 35 3 3
20
1 1
lim
1x
x x x
x x x→
+ + + + −
− +
2
Rpta.: 2L = −
29 2
32 2 2 33
( 1)1
( 1) 2 2
lim
xx
x x
−→
+ − + + 4
Rpta.:
3
4
9
L =
30
32 23
6 3
lim
2 1x
x
2x x x→−
− −
− − − − − + x
Rpta.:
1
18
L =
31
5 6
18 250
1 3 1 2
lim
1 1x
x x
x x→
+ − ⋅ + +
+ + + − 2
Rpta.:
135
43
L = −
32
9 1311
3 5 76
7 4 7 7 4
lim
6 7 5 7 7x
x x x
L
x x x→
− + − − − +
=
− − − + − −3
Rpta.:
3584
4719
L =
33
9
5 8
7 2 2x
x x x
L im
x x→
− − − −
=
+ − +
l Rpta.:
14
5
L =
34
22 336 9
2 36 21
1 1 1 1
lim
3 3 1 1x
x x x x
L
x x x
+
→
⎛ ⎞⎛ ⎞− − − + − −⎜= ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜− + −⎝ ⎠ −⎝ ⎠
⎟
⎟
Rpta.:
1
2
L =
20

CURSO BASICO
35
3
3 231
3 3
lim
3 3x
x x x
x x x→
+ ⋅ − −
+ ⋅ − ⋅ −
1
1
Rpta.:
27
8
L =
36
0
1 1
lim
m n
x
kx x
x
λ
→
− ⋅ + −1
Rpta.:
k
L
m n
λ
= +
37
0
1 1
lim
( )
m n
x
a x b x
sen b x→
+ ⋅ − + ⋅
⋅
Rpta.:
1a
L
bm n
= +
38
0
1 1
x
x x
L im
x→
− − +
= l Rpta.: 1L = −
40
5 72 2
0
2 10 1 10
x
x x x x
L im
x→
+ + − + +
= l
1
Rpta.:
4
7
L =
41
3 3
30
27 27
2 4x
x x
L im
x→
+ − −
=
−
l Rpta.:
2
27
L =
42
3
1
5 3 3 1
3 2x
x x
L im
x x→
+ − +
=
− +
l Rpta.:
2
15
L =
43
( )
3 2 33
2
1
2 3
1x
3x x x x
L im
x+
→
− + + −
=
−
l
x
Rpta.:
1
9
L =
44
5
3 4 2 2 6 4
5x
x x x
L im
x→
+ − − − +
=
−
l
5
Rpta.:
9
10
L = −
45
( )
2
5 2
4
21
1 1
12 1x
x
L im x
5 xx x→−
⎡ ⎤
−⎢ ⎥⎛ ⎞
= −⎢ ⎥⎜
+− + ⎝ ⎠⎢ ⎥
⎣ ⎦
l ⎟ Rpta.: 150L =
46
3
0
1 7 5 1 1
x
x x
L im
x→
+ +
= l
−
Rpta.:
31
6
L =
47
2
3 3 22
8 12
19 5x
x x
L im
x x→
− +
=
+ − +
l Rpta.: 18L =
48
3
1
9
1x
x x
L im
x+
→−
− + −
=
+
l
2
Rpta.:
7
6
L = −
49
2
3
6
1 2x
x x
L im
x→
− − +
=
+ −
l
6
Rpta.:
70
3
L =
50
0
1 1 1 1 1 1
x
L im
x x x x x x+
→
⎡ ⎤
⎢= + + − − +
⎢
⎣ ⎦
l ⎥
⎥
Rpta.: 1L =
51
25 3
2
1
5 2 3 2 2 2 1 6
x
x x x x
L im
x x−
→
− + − + − + −
=
−
l
6
Rpta.: 14L =
21

CURSO BASICO
52
5 4
2
1
5 2 4 1 2 3 2 2 1 2 5
x
x x x x
L im
x x−
→−
+ − − − + + − − − + +
=
+
l
3x
Rpta.: 11L = −
53
3 2 2
231
3 4 4 5 10 6
3 6 8 5x
2
x x x x
L im
x x x→
+ + + + + −
=
+ + + + −
l
x
Rpta.:
506
371
L =
54
( )
25 3
21 32 2 33
3 2 1 2 5 4 5 3 1 8 3
1 2 2 2 4
x
x x x x
L im
x x
→
− − − + + − −
=
+ − + +
l Rpta.: 0L =
55
5 7
9 30
3 243 36 279936 3
7 262144 117 117649 5x
x x
L im
x x→
+ − + − +
=
+ − +
l
x
+
Rpta.: 0L =
56
3
7
2 2 2 1 3 3
7x
x x x
L im
x→
+ − + − −
=
−
l Rpta.:
1
3
L = −
57
23
2
2 3 2 3 5 5 11
2x
x x
L im
x→
+ − + +
=
−
l Rpta.:
11
2
L = −
CALCULO DE LÍMITES AL INFINITO (calcular los siguientes límites al infinito)
1
3
2 3
lim
x
x
L
x x→∞
+
=
+
Rpta.: 2L =
2
2
2
2
lim
3x
x x
L
x
x x→∞
+ +
=
+
Rpta.: 1L =
3
3 54 3
3 7
3 4
lim
1x
x x
L
x→∞
+ − +
=
+
Rpta.: 0L =
4
3 2
3
2
lim
1x
x x
L
1
x→∞
+ +
=
+
Rpta.: 2L =
5
( )
( )
62
43
2 1
lim
3 1
x
x
L
x
→∞
+
=
+
Rpta.:
64
81
L =
6
6 7 3
3 4 4
6
lim
5x
x x
L
x x→∞
+ +
=
+
Rpta.: 0L =
7
( ) ( )
( )
20 30
50
2 3 3 2
lim
2 1x
x x
L
x→∞
− +
=
+
Rpta.:
30
3
2
L
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
8
3 3 32 3 3lim 8 8 8 8 2
x
L x x x x
→∞
⎛ ⎞
= + + + −⎜
⎜
⎝ ⎠
x ⎟
⎟
Rpta.:
1
6
L =
9 ( )( )lim 3 2
x
L x x x
→∞
⎡= − − −
⎣
⎤
⎦
Rpta.:
5
2
L =
22

CURSO BASICO
10
( )
( )
1
lim
1
m n
m nx
x x
L
x x→∞
+
=
−
Rpta.: 1L =
11 lim 2
x
L x x x
→∞
⎡= +
⎢⎣
⎤−
⎥⎦
Rpta.: L = ∞
12
3 3 3 32 4 2
lim 27
x
L x x x
→−∞
⎛ ⎞
= + + −⎜
⎜
⎝ ⎠
2
x ⎟
⎟
Rpta.: 1L =
13
3 32
lim 1 30 2 5
x
L x x x
→∞
⎛= − − + + −⎜
⎝ ⎠
2 3
x ⎞
⎟ Rpta.: L = ∞
14
2 2
2 2 3 33lim
2 2a
b a b a
L a x a x
→∞
⎛ ⎞− −⎜= + − +
⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎟ Rpta.:
2
9 4
36
x
L
x
+
=
15 2 2 2 2 2 2
lim 2
2a
a b
L a a x b a x a x
→∞
⎛ ⎞+
= + + + − +⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
Rpta.: 0L =
16 2
lim 3 2
x
L x x
→∞
⎛= + −⎜
⎝ ⎠
x⎞− ⎟ Rpta.:
3
2
L =
17
3 54 3
3 7
3
lim
1x
x x
L
x→∞
⎛ ⎞+ − +⎜=
⎜ ⎟+⎝ ⎠
4 ⎟ Rpta.: 0L =
18
3 3 2
2 2
6 16
lim
2 1x
x x x
L
x x x→∞
⎛ ⎞+ − −⎜=
⎜ ⎟+ + − −⎝ ⎠x
⎟ Rpta.:
1
3
L =
19 lim
x
x
L
x x x→∞
=
+ +
Rpta.: 0L =
20
3 3 2
3 3 2
5 4 6 2
12 1x
x x x
L im
x x x→∞
+ + + −
=
− + +
l Rpta.:
1
16
L = −
21
2 2
3 3
8 1
lim
1x
x x x
L
x x→∞
⎛ ⎞− ⋅ + + −⎜ ⎟
⎝=
⋅ +
1
⎠ Rpta.: 1L =
22 [ xxxximL
x
++−+=
∞→
1222
3
l ] Rpta.:
4
1
−=L
23 2 2
2 2
x
L im x x x x x
→∞
⎛= + − + +⎜
⎝
l x⎞
⎟
⎠
Rpta.:
1
4
L = −
24 ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−+=
∞→
xxxximL
x
2l Rpta.: ∞=L
25
3 2
3 3 2
2
12 6 3
lim 3 1 7
2 7x
x x
L x
x→∞
⎛ ⎞+ −
= − +⎜
⎜ +⎝ ⎠
x x+ − ⎟
⎟
Rpta.: 4L =
23

CURSO BASICO
26 ( )
3
2 2 2lim 2 1 1 2 1 1
2x
x
L x x x x sen
→∞
⎛ ⎞⎛ ⎞= + − + + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Rpta.:
( )
2
2 2
2 1
L =
+
27
2 3
3
lim
3 3 1x
L x
x x x
→∞
= −
− +
Rpta.: 1L = −
28
5 47 3
6 8 7
3 2 1
lim
1x
x x
L
8
x x x→∞
+ + +
=
+ + −
Rpta.: L = ∞
29
3 3 2
3 3 2
5 4 6 2
lim 4 4 4 2
16 1x
x x x
L x x x x
x x x→∞
⎛ ⎞
+ + + − ⎛⎜ ⎟= +⎜⎜ ⎟⎝ ⎠⎜ ⎟− + +⎝ ⎠
⎞
+ − ⎟ Rpta.:
1
32
L = −
30 ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−++=
∞→
xxxximL
x
2444l Rpta.:
2
1
=L
31 ( )68166816 22
+−−++=
∞→
xxxximL
x
l Rpta.: 2=L
32
3 3 23 5
3 5
1 1
8 32 64 24
x
L im x x x
x x→−∞
⎡ ⎤⎛ ⎞
= + + + − +⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟
⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
l 3+ Rpta.:
1
2
L = −
33
2
2
3
3x
x
L im
x→−∞
−
=
−
l
34
3 2
4
2 3
4 4x
x x
L im
5
x x→−∞
− +
=
+ −
l Rpta.: 0L =
35 2 2
2 6 2 5
x
L im x x x x
→−∞
= + −l + Rpta.:
2
4
L =
36
1n
x x x
L im
x→∞
+ +
=
+
l Rpta.: 1L =
37
n
L im x x x
→∞
= + + −l x Rpta.:
1
2
L =
38
1 2
n
a a n
L im x x x a
n n n n→∞
⎡ −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛
= + + + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎢
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝⎣ ⎦
l L
1 ⎤⎞
⎟⎥
⎠
Rpta.:
2
a
L x= +
39
2 2
1 2
n
a a n
L im x x x a
n n n n→∞
⎡ ⎤−⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎢ ⎥= + + + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
l L
2
1
Rpta.:
2
2
3
a
L x ax= + +
40
( )
1 2 3
1 3 5 2 1n
n
L im
n→∞
+ + +
=
+ + + −
KKK
l
KKK
Rpta.:
1
2
L =
24

CURSO BASICO
41
( )( ) (
( )
)2
1
2
1 1
lim
1
n
nn
n
x x x
L
nx
+→∞
+ + +
=
⎡ ⎤+⎢ ⎥⎣ ⎦
L 1
Rpta.:
( )1
2
n n
L n
+
−
=
42
3 3 3
3
1 2
lim
4n
n n
L
n→∞
⎛ ⎞+ + +
= ⎜
⎜
⎝ ⎠
L
− ⎟
⎟
Rpta.:
1
2
L =
43
( )
( )
22 2
22 2
1 3 2 1
lim
2 4 2n
n
L
n→∞
⎛ ⎞+ + + −
⎜=
⎜ + + +⎝ ⎠
L
L
⎟
⎟
Rpta.: 1L =
44
2 2
1 1
lim
n n
nx
x x x x
L
x→∞
⎛ ⎞ ⎛− − + + −⎜ ⎟ ⎜
⎝ ⎠ ⎝=
⎞
⎟
⎠ Rpta.: 2n
L =
45
( )
( )
33 3 3
2
1 4 7 3 2
lim
1 4 7 3 2n
n
L
n→∞
+ + + + −
=
+ + + + −
L
Rpta.: 3L =
LIMITES TRIGONOMÉTRICOS
1 ( )
1
1 tg
2x
x
L im x
π
→
⎛
= − ⎜
⎝ ⎠
l
⎞
⎟ Rpta.:
π
2
=L
2
0
1 cos
lim
1 cosx
x
L
x+
→
−
=
−
Rpta.: 0L =
3
( )
( )
2
0
1 cos
1 cosx
x
L im
x→
−
=
−
l Rpta.: 2L =
4
( ) ( )
20
cos cos 3
x
x x
L im
x→
−
= l Rpta.: 4L =
5
( ) ( )
ax
ax
imL
ax −
−
=
→
coscos
l Rpta.: ( )aL sen−=
6
( ) ( )
20
cos cos 3
x
x x
L im
x→
−
= l Rpta.: 4L =
7
( ) ( )
x a
sen x sen a
L im
x a→
−
=
−
l Rpta.: ( )cosL a=
8
( )
( )
2
3
2
1
cosx
sen x
L im
xπ
→
−⎡ ⎤⎣= l ⎦ Rpta.: 0L =
9
( ) ( )
( )
4
cos
1x
sen x x
L im
tg xπ
→
−
=
−
l Rpta.:
2
2
L =
25

CURSO BASICO
11
( ) ( )
x a
ctg x ctg a
L im
x a→
−
=
−
l Rpta.: ( )2
secL a= −
12
( ) ( )20
2 1
lim
1 cosx
L
xsen x→
= −
−
Rpta.:
1
2
L =
13
( ) ( )
30
1 1
x
tg x sen x
L im
x→
+ − +
= l Rpta.:
1
4
L =
14
( )
4
x
sen x x
L im
xπ
→
+
= l Rpta.:
2 2
L
π
π
+
=
15
( )
( ) ( )
3
3
4
1
2x
ctg x
L im
ctg x ctg xπ
→
−
=
− −
l Rpta.:
3
4
L =
16
( ) ( )
( )2
cos 4 cos
x
x x
L im
sen xπ→
−
= l Rpta.:
7
2
L = −
17
( )
x
x
imL
x 2
cos
2
−
=
→ ππ
l Rpta.:
2
1
=L
18
( )
( )1
sen
sen
a
bx
x
L im
x
π
π→
= l Rpta.:
a
L
b
=
19
( )
( )nx
mx
imL
x sen
sen
π→
= l Rpta.: ( )
n
m
L
nm−
−= 1
20
( )
( )0
lim
x
tg x x
L
x sen x→
−
=
−
Rpta.: 2L =
21 ( )( )π−=
∞→
xximL
x
arctg2l Rpta.: 2−=L
22
( ) ( )
30
2sen2tg
x
xx
imL
x
−
=
→
l Rpta.: 4=L
23
2
arcsen
2 1x
x
L im x
x
π
→∞
⎛ ⎞
⎜= −
⎜
+⎝ ⎠
l ⎟
⎟
Rpta.: 1=L
24
( ) ( )
( ) ( )0
1 cos
1 cosx
sen x x
L im
sen px px→
+ −
=
+ −
l Rpta.:
1
L
p
=
25
( ) ( )
ax
ax
imL
ax −
−
=
→
arcsenarcsen
l Rpta.:
2
1
1
a
L
−
=
26
( ) ( )
30
sencos
x
xxx
imL
x
−
=
→
l Rpta.:
3
1
−=L
27
( ) ( )
30
arctgarcsen
x
xx
imL
x
−
=
→
l Rpta.:
2
1
=L
26

CURSO BASICO
28
( ) ( )
30
lim
x
tgh x sh x
L
x→
−
= Rpta.:
1
2
L = −
29
( ) ( )
( ) ( )0
2 3 4
lim
5 6 7x
tg x arcsen x
L
sen x arctg x→
−
=
−
Rpta.:
10
37
L =
30
30
2
x
arcsenx arcsen x
L im
2
x→
−
= l Rpta.: 1L = −
31
( ) ( ) ( )
20
2 2
x
sen a x sen a x sen a
L im
x→
+ − + +
= l Rpta.: ( )L sen a=
32
( ) ( ) ( )
20
cos 2 2cos cos
x
a x a x a
L im
x→
+ − + +
= l Rpta.: ( )cosL a= −
33
( ) ( ) ( )
20
2 2
x
tg a x tg a x tg a
L im
x→
+ − + +
= l Rpta.:
( )
( )3
2
cos
sen a
L
a
=
34
( ) ( ) ( )
20
2 2
x
ctg a x ctg a x ctg a
L im
x→
+ − + +
= l Rpta.:
( )
( )3
cos
2
a
L
sen a
=
35
( ) ( ) ( )2
0
2
x
sen a x sen a x sen x
L im
x→
+ + −
= l Rpta.: ( )
3
2
2
L sen x=
36
( ) ( )2
0
sec sec
x
arc x h arc x h
L im
x→
+ − +
= l Rpta.:
2
1
1
L
h h
=
−
37
( )
( )0
2
2x
x arcsen x
L im
x arctg x→
−
=
+
l Rpta.:
1
3
L =
38
( ) ( )
( )
3
20
cos cos
x
x x
L im
sen x→
−
= l Rpta.:
1
12
L = −
39
( ) ( )
20
2 cos cos
x
x x
L im
x→
− −
= l Rpta.:
3
4
L =
40
( )
6
3 2cos
2sen
6
x
x
L im
x
π π
→
−
=
⎛
−⎜ ⎟
⎝ ⎠
l
⎞
Rpta.:
1
2
L =
41
( )
( )0
2
2x
x arcsen x
L im
x arctg x→
−
=
+
l Rpta.:
1
3
L =
42
( )
( ) ( )0 1 cos secx
tg ax
L im
ax x ax→
=
− +⎡ ⎤⎣ ⎦
l Rpta.: L a=
43
( ) ( ) ( )
20
tg 2 2tg tg
x
a x a x a
L im
x→
+ − + +
= l Rpta.:
( )
( )a
a
L 3
cos
sen2
=
27

CURSO BASICO
44
( )
2
cos 1
lim
1
xx
x x
L
x
π
→∞
⎛ ⎞+ +⎜ ⎟
⎝=
− −
⎠ Rpta.: 1L =
45
( )
( )
3
20
1 cos
lim
3x
x x
L
x In x tg x→
+ −
=
+
Rpta.:
1
2 3 3 2
e
L = −
46
( ) ( )
40
3 cos 3 2
x
ch x x
L im
x→
+ −
= l Rpta.:
27
4
L =
47
( )( )
( )( ) ( )( )
1 cos
cos 1 cos 1 cosx
sen x
L im
x tg xπ→
+
=
⎡ ⎤ ⎡+ −⎣ ⎦ ⎣
l
⎤⎦
Rpta.: 1L =
48
( )
( )( ) ( )( )xx
x
imL
ba
ba
x sen1sen1
sen1
2
−−
−
=
+
→
π
l Rpta.:
ab
ba
L
+
=
49
( )
0
2arccos
x
x
L im
x
π
→
−
= l Rpta.: 2L =
50
( ) ( )
6
20x
x
L im
tg x sen x→
=
−⎡ ⎤⎣ ⎦
l Rpta.: 4L =
51 ( )
4
2
4x
L im tg x tg x
π
π
→
⎛
= ⎜
⎝ ⎠
l
⎞
− ⎟ Rpta.:
1
2
L =
52 Demostrar el siguiente limite especial:
( ) 1
sen
0
=
→ x
x
im
x
l
53
( ) ( )100 3 200cos
x
sen x x
L im
x→∞
+
= l Rpta.: 0L =
54 Rpta.:( ) ( )1
x
L im sen x sen x
→∞
= + −⎡⎣l ⎤⎦
55 ( ) ( )1
x
L im sen x sen x
→∞
⎡= + −
⎣
l ⎤
⎦
Rpta.: 0L =
56 lim 1
x
L sen x sen
→∞
= + − x Rpta.: 0L =
57 6 3 5
1 1 1
lim 2 1 ( ) ( ) ( )x x
x x xx
L x sen sen senπ π π
+ + +→∞
= + ⋅ ⋅ ⋅ Rpta.: 3
15 2L π= ⋅
58 3 5
1 1 1
2
1 cos
1
lim ( ) ( ) ( )
3 1
1
x x
x x xx
xx
L sen sen sen
x
In
x
π π π
π
+ + +→∞
⎡ ⎤⎡ ⎤⎛ ⎞
− ⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥ +⎝ ⎠ ⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎢ ⎥= ⋅ ⋅
⎣ ⎦ ⎢ ⎥+ ⎛ ⎞⎢ ⎥ +⎜ ⎟⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎝ ⎠⎣ ⎦
Rpta.:
5
15
2
L
π
=
59 ( )0
2 3 2 2
lim
22 2
x
x
x w w
L x arctg tg arctg e
xw x w x wx w x→∞
⎛ ⎞⎛ ⎞+ ⎛ ⎞
= +⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟
⎝ ⎠+ + + +⎝ ⎠⎝ ⎠
⎟ Rpta.:
2
1
w
e
L
w
=
+
28

CURSO BASICO
60
( )
( )
1
1 1 cos
lim
1
3 1
x
x
x
L
x In
x
→∞
⎡ ⎤⎛ ⎞
+ − ⎜ ⎟⎢ ⎥
⎝ ⎠⎣=
⎛ ⎞
+ +⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎦ Rpta.:
1
2
L =
61
( )
2
20
1 cos( ) cos
lim
( )
x
x
x senx e
L
sen x
−
→
⎛ ⎞− ⋅ ⋅⎜=
⎜
⎝ ⎠
x⎟
⎟
Rpta.: 0L =
62
30
( ) ( )
lim
x
tg x sen x
L
x→
−
= Rpta.:
1
6
L =
63
3
20
1 cos( ) cos(2 ) cos(3 )
lim
x
x x x
L
x→
− ⋅ ⋅
= Rpta.: 3L =
64 lim ( )
4 1x
x
L x arctg
x
π
→∞
⎛
= −⎜
+⎝ ⎠
⎞
⎟ Rpta.: 1L =
65
3
3
lim
1 2cosx
sen x
L
xπ
π
→
⎛ ⎞
−⎜ ⎟
⎝=
−
⎠ Rpta.:
1
3
L =
66
0
1
2 2x
x x
L im x arctg arctg
x x→
⎡ +⎛ ⎞ ⎛
= −⎜ ⎟ ⎜⎢ + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
l
⎤⎞
⎟⎥ Rpta.:
1
2
L = −
67
0
lim , 1
x
x senax
L
x senbx→
−
=
+
b ≠ Rpta.:
1
1
a
L
b
−
=
+
68
( )
2 20
1 cos 1 cos
lim
x
x
L
x sen x→
− −
= Rpta.:
1
2
L =
69
( ) ( ) 2
20
lim
x
tg a x tg a x tg a
L
x→
+ ⋅ − −
= Rpta.: 4
1L tg a= −
70
( ) ( ) ( )
( )30
arccos 1
lim
2 4 3 8 2x
x tg x sen x
L
x x→
−
=
+ + − + x
Rpta.:
4
2
3
L =
71
0
csc csc
x
x a
L im
x a→
−
=
−
l Rpta.:
2
cosa
L
sen a
= −
72 lim
2 2x a
x a x
L sen tg
a
π
→
−⎛ ⎞ ⎛
= ⋅⎜ ⎟ ⎜
⎝ ⎠ ⎝
⎞
⎟
⎠
Rpta.:
a
L
π
= −
73
( )
( )
20
cos 3 cos(2 )1 cos( ) 1
lim cos
x
x xx
L
tg x x x→
⎛ ⎞−− ⎛ ⎞
= ⋅ +⎜ ⎜ ⎟⎜ ⎝ ⎠⎝ ⎠
⎟⎟ Rpta.:
5
2
L = −
74
( ) ( ) 20
2
lim
2x
L
sen x sen x sen x→
=
⋅
1
− Rpta.:Secreto
75
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )0
2
2x
arctg x h arctg h x arctg x
L im
arcctg x h arcctg h x arcctg x→
+ − − −
=
+ − − −
l Rpta.: 1L = −
29

CURSO BASICO
76
( )( ) ( )( )
2
arccos cos
2x
arcsen sen x x
L im
xπ π→
−
=
−
l Rpta.: 0L =
77
( )
2 2x a
sen x a x
L im tg
a
π
→
− ⎛ ⎞
= ⎜
⎝ ⎠
l ⎟ Rpta.:
a
L
π
= −
78
( )( )
( )2
20
1 cos 1 cos
csc
2x
x x
L im tg x
x→
− − ⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
l Rpta.:
1
2
L =
CALCULO DE LÍMITES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICOS
1
( )
( )
2
0
cos
cos
x
x
mx
L im
nx
−
→
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
l Rpta.:
( )2 21
2
n m
L e
−
=
2 ( ) ( )tg
2
sen
x
x
L im x
π
→
= ⎡ ⎤⎣ ⎦l Rpta.: 1=L
2
( )
( )
1
x a
x a
sen x
L im
sen a
−
→
⎡ ⎤
= ⎢ ⎥
⎣ ⎦
l Rpta.:
( )ctg a
L e=
4
3
2 1
2
3 1
2 1
x
x
x
x x
L im
x x
−
→∞
⎛ ⎞− +
= ⎜
⎜ + +⎝ ⎠
l ⎟
⎟
Rpta.: 0L =
5
1
2
2
2 1
2 3 2
x
x
x x
L im
x x→∞
⎛ ⎞+ −
= ⎜
⎜ − −⎝ ⎠
l ⎟
⎟
Rpta.: 1L =
6
( )
2
2
0
1 2arccos 1
x
x
x x
L im
x
π
→
⎛ ⎞− − + +⎜=
⎜
⎝ ⎠
l ⎟
⎟
Rpta.: 1=L
7
( ) ( ) ( )
( ) ( )
3 c
0
2 1 2
2cos 3
os 3sen x tg x x
x
e x
L im
x tg x→
− + −
=
⋅
l Rpta.: 1L =
8
0
( 1) (1 )
lim
( 1) (1 )x
In x In x
arctg x arctg x→
+ − −
+ − −
Rpta.: 2L =
9
( ) ( )
( )2
x a x b
x a bx
x a x b
L im
x a b
+ +
+ +→∞
+ +
=
+ +
l Rpta.: ( )ba
eL +−
=
10
x
x
x a
L im
x a→∞
+⎛ ⎞
= ⎜
−⎝ ⎠
l ⎟ Rpta.: 2a
L e=
11
1
2 1
2
1
1
x
x
x
x
L im
x
−
+
→∞
⎛ ⎞−
= ⎜ ⎟
⎜ ⎟+⎝ ⎠
l Rpta.: 1L =
30

CURSO BASICO
12
( )
( )
2
0 x xx
tg x
L im
x a a→
=
+ −
l Rpta.: L a=
13
( )
( )
3
3
0
3 2
1
sen x xx
x
L im
cos x→
+
=
+
l Rpta.: 2
3
24=L
14
( ) ( )0
ax bx
x
e e
L im
sen ax sen bx→
−
=
−
l Rpta.: 1L =
15
( ) ( )
0h
arctg x h arctg x
L im
h→
+ −
= l Rpta.:
2
1
1
L
x
=
+
16
ax
xx
imL
ax
ax −
−
=
→
l Rpta.: aaL a
ln=
17
2
2
2
2
x
x
x
L im
x→
−
=
−
l Rpta.: aaL a
ln=
18
x
x
x
x
L im
x
π
π
π
π
π→
−
=
−
l Rpta.: ( ) ( )2 1
ln lnL
π
π π
π π π π
π
⎡ ⎤
= −⎢ ⎥⎣ ⎦
−
19
x a
x x
x ax a
a a
L im
x a→
−
=
−
l Rpta.: ( )2
ln
a
a
L a a=
20
x x
x x
x xx a
x a
L im
x a→
−
=
−
l Rpta.: 1a
a
L a −
=
21
( ) ( )
n n
x a
a a
L im
nIn x nIn a→
−
=
−
l Rpta.: n
L a=
22
x a
x a a x
x ax a
a x x a
L im
ax xa→
−
=
−
l Rpta.:
( )
( )2
1
ln
a
a
a a
L
a a
−
=
23
( )31 1
x
x x
x
x x
L im
x→
−
=
−
l Rpta.: 1L =
14
1
1
lim
( )
x
x
x
L
x In x→
−
=
⋅
Rpta.: 1L =
15
2 2
1
0
xx x
x xx
a b
L im
a b→
⎛ ⎞+⎜=
⎜ ⎟+⎝ ⎠
l ⎟ Rpta.:
1
L
ab
=
16
( )2
x a a x
x a
x x a a
L im
x a→
− + −
=
−
l Rpta.: ( )
1
lna
L a a
a
⎛ ⎞
= +⎜ ⎟
⎝ ⎠
17 Rpta.: 0L( )2
0x
L im xIn n
→
= l =
31

CURSO BASICO
18
( )
2 2
20
x x
x x x
a b
L im
a b
→
−
=
−
l Rpta.:
1
ln
a
L
b
−
⎛ ⎞⎛ ⎞
= ⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠
19
2
2
2 1
x
x
x
L im
x→∞
+⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
−⎝ ⎠
l Rpta.: 0L =
20
( )
( )
3
4
2
3
2
3 1
1
x a
In x x
L im
sen x
→
⎛ ⎞
⎜ ⎟ + −
⎜ ⎟
⎝ ⎠=
−
l Rpta.: 1L =
21
( )bx
ax
imL
x sen
4
tgln
0
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
=
→
π
l Rpta.:
b
a
L
2
=
22
( )[ ]
( )[ ]bx
ax
imL
x cosln
cosln
0→
= l Rpta.:
2
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
b
a
L
23
( )[ ]
( )[ ]bx
ax
imL
x senln
senln
0→
= l Rpta.: 1=L
24
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
−
+
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−+
++
=
→
1
1
ln
1
1
ln
2
2
2
0
x
x
xx
xx
imL
x
l Rpta.:
8
1
=L
25
0
1 1
1x
x
L im In
x x→
⎛ ⎞+
= ⎜⎜ −⎝ ⎠
l ⎟⎟ Rpta.: 1L =
26
20
2
lim
x h h x h
x
a a a
L
x
+ −
→
+ −
= Rpta.: 2
( )a
L a In a= ⋅
27
1
0
lim
3
x x x x
x
a b c
L
→
⎛ ⎞+ +
= ⎜
⎜
⎝ ⎠
⎟
⎟
Rpta.: ( )
1
3
L abc=
28
1
1 1 1
0
lim
x x x x
x
a b c
L
a b c
+ + +
→
⎛ ⎞+ +
= ⎜ ⎟
⎜ ⎟+ +⎝ ⎠
Rpta.: ( )
1
a b c a b cL a b c + +=
29
( ) ( )
30
cos 3 cos 2x x
x
x x
L im
x
−
→
−
= l Rpta.: ( )ln 6L = −
30
( ) ( ) ( )
( )
3 2
0
1 2 2 cos
x
In x sen x x x
L im
arctg x→
+ − +
= l Rpta.:
4
3
L =
32

CURSO BASICO
31
( ) (
( )
)2 2
20
1
x
3
x In x arcsen x
L im
x sen x x→
+ −
=
⋅ −
l Rpta.: 6L = −
32
( ) ( )
( ) ( )
3 3
0
1 1
1 3 1x
arcsen x arctg x
L im
arctg x arcsen x→
+ − −
=
+ − −
l
2
4
Rpta.:
2
7
L =
33 [ ]lim ( 1) ( )
x
L x In x In
→∞
= + − x Rpta.: 1L =
34
1
4
x
x
L im tg
x
π
→∞
⎡ ⎤⎛ ⎞
= +⎜ ⎟⎢
⎝ ⎠⎣ ⎦
l ⎥ Rpta.: 2
L e=
35
( ) ( ) ( )
20
lg lg 2lg
lim
h
x h x h
L
h→
+ + − −
=
x
Rpta.:
( )
2
lg e
L
x
= −
36 [ ]lim ( 2) ( 2) 2( 1) ( 1) ( )
x
L x In x x In x x In x
→∞
= + ⋅ + − + ⋅ + + ⋅ Rpta.: 0L =
37
1 1 1
22 2
lim
2
x x x x x x
x x xx
a b c b c a
L x a
a b c
+ + +
→∞
⎛ ⎞− − + + −
= ≠⎜⎜ − −⎝ ⎠
bc⎟⎟
Rpta.: 1L =
38
( )1
21
lim 3 2
a xtg
a x
x
a x
L
a x
π ⋅ +⋅
⋅
→∞
⋅ +⎛ ⎞
= −⎜ ⎟
⋅⎝ ⎠
Rpta.:
4
L eπ=
39
0
1
1
x
x
L im
x→
⎛
= +⎜
⎝ ⎠
l
⎞
⎟ Rpta.: 1L =
40
( )
1
0
1
x
x
x e
L im
x→
+ −
= l Rpta.:
2
e
L = −
41
20
1
lim
x
x
e x
L
x→
+ −
= Rpta.:
1
2
L =
42
( )
20
cos
lim
x
x
a xIn a
L
sen x→
− −
=
x
Rpta.: 21
( ) 1
2
L In a⎡ ⎤= +
⎣ ⎦
43
( )
( )2
lim
x e
x eIn x
L
x e→
−
=
−
Rpta.:
1
2
L
e
=
44
2
20
1
lim
x x
x
xe e x
L
x→
− + +
= Rpta.:
3
2
L =
45
( )
5
0
lim
ln 1 2
sen x senx
x
e e
L
x→
−
=
+
Rpta.: 2L =
46
1
0
1 cos
lim
1 4 cos4
x
x
senx x
L
sen x x→
+ −⎛ ⎞
= ⎜
+ −⎝ ⎠
⎟ Rpta.: 0L =
33

CURSO BASICO
47
2
2
2 1
lim
4 2
x
x
x x
L
x x→∞
⎛ ⎞− +
= ⎜
⎜ − +⎝ ⎠
⎟
⎟
Rpta.: 2
L e=
48 ( )
1
2 2
0
lim 1 x
x
L tg x
−
→
= + Rpta.: L e=
49
( )
( )
3
40
ln 4
lim
ln 3
x
xx
x e
L
x e
−
−→
+
=
+
Rpta.: 1L = −
50
( )
( )
2
1
2
lim
ln cos 2
x
xx
sen
L
π
π→
=
⎡
⎢ ⎥⎣ ⎦
⎤
Rpta.: 2L = −
51
( )( )
1
1 1
1
x
x
nIn x
L im
x→
− −
=
−
l Rpta.: L n=
52
( )
( )21
ln ln 4
lim
4
x
xx
L
sen
π
π→
⎡ ⎤
⎢ ⎥⎣= ⎦ Rpta.: L = ∞
53
1
0
lim
senx
x
sena senx
L
sena senx→
+⎛ ⎞
= ⎜
−⎝ ⎠
⎟ Rpta.: 2csca
L e=
54
0
lim cosx
x
L
→
= x Rpta.:
1
2L e
−
=
55 lim cos
x
x
n
L
x→∞
⎡ ⎤⎛ ⎞
= ⎢ ⎜ ⎟
⎝ ⎠⎣ ⎦
⎥ Rpta.:
2
2
n
L e
−
=
56
2
lim
3 1
x
x
x
L sen
x
π
→∞
⎡ ⎤⎛ ⎞
= ⎜ ⎟⎢ +⎝ ⎠⎣ ⎦
⎥ Rpta.: 0L =
57
( )2
5
1
0
lim
In x
x
L x
+
→
= Rpta.:
5
2L e=
58 Rpta.: 0L( )2
0x
L im xIn x
→
= l =
59
( )
2
5 4
0
In x
x
L im x
+
+
→
= l Rpta.:
1
2
L e=
60 ( )
1
2
2
1
x
x
L im x
−
→
= −l Rpta.: L e=
61 Rpta.: 0L( )
0
lim
x
L xIn
→
= x =
34

CURSO BASICO
62
( )
0
1
sen x
x
a
L im
x→
−
= l Rpta.: L = ∞
63
( ) ( )
( )
2 3
3 4
2
31
1
1
x
In x x
L im
sen x
−
→
+ −⎡ ⎤⎣ ⎦=
−⎡ ⎤⎣ ⎦
l Rpta.: 1L =
64
( )
( )
4
2 2
2
2
cos 2
x
tg
xx
sen x
L im
x e
π π
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎛ ⎞→ −⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎡ ⎤
⎢ ⎥
+⎢ ⎥
= ⎢
⎢ ⎥
⎢ ⎥+⎣ ⎦
l ⎥ Rpta.: 1L =
65
( ) ( )
2
0
2
1 secx
x
L im
tgh x h x→
=
−
l Rpta.: 2L =
66
( ) ( )
( )0
9 5
x
sh x sh x
L im
x ch x→
−
=
⋅
l Rpta.: 4L =
67 ( )
1
0
x x
x
L im x e
→
= +l Rpta.: 2
L e=
68
( )( )
( )21
1
x
x
x In x
L im
sen xπ→
+ +
= l Rpta.: L = ∞
69
( )
x a
In ax
L im
x
In
a
→
=
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
l Rpta.: 1L =
70 ( )
0
x
x
L im sen x
→
= l Rpta.: 1L =
71
1
1
1
x
x
L im e
−
+
→
= l Rpta.: 0L =
72
0
1 2x
x
L im x
→
= −l Rpta.: 2
L e−
=
73
( ) 2
1
0
x
x
sen x
L im
x→
⎡ ⎤
= ⎢ ⎥
⎣ ⎦
l Rpta.:
1
6
L e
−
=
74
( ) 2
1
0
x
x
arcsen x
L im
x→
⎡ ⎤
= ⎢
⎣ ⎦
l ⎥ Rpta.:
1
6L e
−
=
75
2
0x x
x
1L im a a+
→∞
= l < < Rpta.: 0L =
35

CURSO BASICO
76
( ) ( )
( ) ( )0
n
nx
sen x x In x
L im
sen x In x x→
+
=
+
l Rpta.:
1 0
1 1
n n n
L L L
< =
= −∞ = =
1>
77
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
13 1 1 2
15 3 3 3
1
2 2
5
3 32
cos cos 3 2
1 3 1 cos 4
a x
a x
a x a x sen a x sen a x
L im
e sen a x sen a x
→
−
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛
⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜− − − − −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜
⎜ ⎟ ⎜⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝⎣ ⎦=
⎡ ⎤
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦⎣ ⎦
l Rpta.:
1
6
L =
78
22
2
1 1
11x
x x x
L im In In
xx x
−
→∞
⎡ ⎤⎛ ⎞+ + ⎡ + ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎢⎢ ⎥ −⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎣ ⎦− −⎝ ⎠⎣ ⎦
l ⎥ Rpta.:
1
8
L =
79
( )
( )
2
10
1
1x
In x x
L im
In x x→∞
− +
=
+ +
l Rpta.:
1
5
L =
80
( )2 1
1
2
x
x arctg x
L im
x
− −
−→∞
−
= l Rpta.: 2L = −
81 ( )( )
1
3
3
0
1 3
sen x
x
L im sen x
+
→
= +l Rpta.: 1L =
82
( )
( )
( )
4 32 3
1
2 5 4 7x
In xx
L im x x
x xIn x→∞
⎛ ⎞−−
= − −⎜⎜ − −⎝ ⎠
l 2 ⎟⎟
Rpta.:
3
2
L =
83
( )
( )
2 2 2
2 2 senxx
x sen x
L im
x sen x e→∞
− ⋅
=
+⎡ ⎤⎣ ⎦
l Rpta.: L = ∃
84
( )
: 1,a
x
x In bxx
e
L im si a b
x→∞
= l 0f f Rpta.: 0L =
85
1
lim 1x
x
L x a
→∞
⎛ ⎞
⎜=
⎜
⎝ ⎠
⎟−
⎟
Rpta.: ( )L In a=
86 3
lim
n
xx
x
L
e→∞
= Rpta.: 0L =
87
1 1
lim
2
x
x x
x
a b
L
→∞
⎛ ⎞
⎜ ⎟+
= ⎜
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎟ Rpta.: L a= b
36

CURSO BASICO
88 lim
bbx
x
e In x
L
x→∞
⎛ ⎞+
⎜=
⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎟ Rpta.:
89
( )
3
2
1
2
1 2lim
arcsen x
x
x
x
xL
x
π
−
−
→∞
− +
+= Rpta.:
1
3
L =
90
2
1
1 4
lim
1 2
x x
xx
x
L
x→∞
⎛ ⎞+
= ⎜ ⎟
⎜ ⎟+⎝ ⎠
Rpta.: 1L =
91 ( )3 1
lim
1 2
arcsen x
x
x
L x
x x
π
→∞
⎡ ⎤
= ⎢
+⎣ ⎦
− + ⎥ Rpta.:
1
3
L =
92
( )
( )
3
20
1 cos
lim
lg 3x
x x
L
x x tg x→
+ −
=
+
Rpta.:
1 1
2 3 3 2
L e= −
93
( )
( )
2
2
0
2 1
lim
1 cos
sen x x
x
L
x→
⎛ ⎞+
⎜=
⎜ +
⎝ ⎠
⎟
⎟
Rpta.: 4L =
94
( )
( )
( )( )
( )
0
lim
1
ctg x
tg x xx
xx
e x
L
sen x→
⎛ ⎞
+⎜ ⎟
= ⎜ ⎟
⎜ ⎟+⎜ ⎟
⎝ ⎠
Rpta.: L e=
95
1
1
0
1
lim
2
x
x
x
x
L
x
−
−
→
+⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
+⎝ ⎠
Rpta.:
1
2
L =
96
1
1
1
1
lim
2
x
x
x
x
L
x
−
−
→
+⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
+⎝ ⎠
Rpta.:
2
3
L =
97
1
11
lim
2
x
x
x
x
L
x
−
−
→∞
+⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
+⎝ ⎠
Rpta.: 1L =
98
1 1
lim cos
x
x
L sen
x x→∞
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢
⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
⎥ Rpta.: L e=
99 ( )0
lim cosx
x
L x
→
= Rpta.:
1
2
L e
−
=
94
( )
2
2
0
1 2arccos 1
lim
x
x
x x
L
x
π
→
⎛ ⎞− − + +⎜=
⎜
⎝ ⎠
⎟
⎟
Rpta.: 1L =
37

CURSO BASICO
CALCULO DE LÍMITES LATERALES
1 Rpta.: 3L
3
lim 4
x
L x
+
→
= + x− =
2 ( )2
2
lim 2 1
x
L x x x
+
→
= + − Rpta.: 16L = −
3
3
36 5 36 5
lim
10 10x
x x
L
+
→
− +
= ⋅ Rpta.: 10L =
4
3 2
2
2 4
lim
2x
x x x
L
x→
− − +
=
−
8
Rpta.: 0L =
5
1
3323
1 −
−+−
=
→ x
xxx
imL
x
l Rpta.: 4=L
6
3
21
1
lim
1 1x
x
L
x x→
−
=
− + −
Rpta.: 3L =
7 ( )2
0
lim 3 sgn 1 1
x
L x x
→
= + − − Rpta.: 0L =
8 ( )2 2
2
lim sgn 1 1
x
L x x
−
→−
⎡= + −
⎢⎣
⎤−
⎥⎦
Rpta.: L = ∃
9 ( )2 2
2
lim sgn 1 1
x
L x x
+
→
⎡= − −
⎢⎣
⎤−
⎥⎦
Rpta.: 1L =
10 2
0
lim 9
x
L x
→
= + Rpta.: L = ∃
11
2
3
6
lim
2 10
x
x
x
L
x→
−
=
+
Rpta.: L = ∃
12
23
1
lim
x
x x
L
x x→−
− −
=
−
Rpta.:
1 2
2 3 13
L L+ −
= − ∧ = −
13
1
6
3
12
lim
3 10
x
x
L
x+
→
−
=
⋅ −
Rpta.:
6
5
L = −
14
2
lim
x
L x x x
→
= + + Rpta.: 2L =
15
3
3
2 6
2lim
2x
x x
L
x x+
→
⎛ ⎞
+ +⎜ ⎟
= ⎜
+⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎟ Rpta.:
25
9
L =
38

CURSO BASICO
16
2
3 22
2 1
10
1lim
9 24 2x
x
0
x x
xL
x x x−
→
+
−
−=
− + −
Rpta.: L = ∞
17
( )
3 3
31 35
1 7
8
2 4 7 205sgn 8x
x
x x x
L im
x x→−
+ + + − − +
=
+ − −
l
2
Rpta.:
235
7
L = −
18
2 35
5 2 36
4 31 3 21 5
4
9 10 4x
x
x x x
L im
x x
+
→
+ − + + − + −
=
− +
l
2
Rpta.:
5
400
L =
19
2
3 22
2 1
10
1lim
11 38 40x
x
x x
xL
x x x−
→
+
−
−=
− + −
Rpta.:
5
3
L =
20
3
3 2
23
3 3
lim
9sgn( 1)
x
x
x
x
L
x x→ −
− + −
=
− −
Rpta.:
1
6
L =
21
22
3
1
9
lim
( 2)( 1)
x
x
x
x x x
L
x x−
−
−
→
⎛ ⎞
+ +⎜ ⎟
⎝=
+ −
⎠ Rpta.: 6L =
22
2
2
lim 9 6
x
x x
L
x x→±∞
⎛ ⎞
= − +⎜
⎜
⎝ ⎠
⎟
⎟
Rpta.: 4L =
23
3
1
lim
x
x x
L
x x→
− −⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
−⎝ ⎠
Rpta.: 2L L+ −= −∞ = −
24
2
2
2 1 2
lim
3 2x
x x
x−
→
+ + + −
+
2
Rpta.:
4 2
6
L
+
=
25
3
36 5 18
10 5 2lim
4x
x x
L
x x→
−⎛ ⎞
+⎜ ⎟
= ⎜
+ −⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎟ Rpta.:
10
3
L =
26
3 2
1
25 7 3 2 21lim 4 3 4
37x
x x x xL x x
xx+
→
⎡ ⎤− − − −= + +⎢ ⎥−−⎣ ⎦
+ Rpta.: 3L =
27
3 23 22
3 2
3 2 4 3 22
2 1 2 15 9 1 1010
1 6 6 1lim
9 24 20 11 38 40x
x x x xx xx x
x x x xL
x x x x x x x−
→
+ + + + −−
− + − −= +
− + − − + −
Rpta.: L = ∞
28
( )3
3
1 3 sgn 36 55 36lim
10 9 1x
x x x
0
xxL
x+
→
⎛ ⎞− + + −+= ⎜ ⎟
⎜ −⎝ ⎠
⎟
Rpta.: 3
5 3L = −
39

CURSO BASICO
29
( )
2
21
1 1 9
lim
2 3 2x
x x x x x x
L
x x x+
→
⎛ ⎞
− + − −⎜ ⎟
⎝ ⎠=
− − +
Rpta.: 0L =
30
( ) ( )2 2
22
5 sgn 1 1
lim
1x
x x x
L
x x→
+ + − − − +
=
+ +
Rpta.: L = ∃
31
( )
1
1
0
lim
In sen x
x
L x
+
→
= Rpta.: L e=
32 Rpta.: L( ) ( )
2
2
2
6 2
lim ? 6 1 2
2 3 2
x x
x
x x x
L f f x
x x x
→
⎧ − <
⎪
= = = <⎨
⎪
− − >⎩
≤ = ∃
33 ( ) ( )3
1 1
1 3
4 4
lim ?
2 1
3 4
2 5 2
x x
x
x x
x
x x
L f f
x
x
x x
+
→
− + +⎧
− ≤ <⎪
− −⎪
= = = ⎨
− +⎪ ≤ <⎪ − −⎩
Rpta.: 1L = −
34 ( ) ( )
2
2
2 5
2
3
lim ? 4 2
1
2sgn 3 2
3
x x
x
x
x x
x
L f f x
x
x
x
→−
⎧ +
− < < ∞⎪
+⎪⎪
= = = − = −⎨
⎪ −⎛ ⎞⎪ + −∞ < < −⎜ ⎟
+⎪ ⎝ ⎠⎩
Rpta.: 4L = −
35 ( ) ( )2
1
9 2
lim ?
3 3 8
3 2 7
x x
x
x x
x
x x
L f f x
x x
x
x x
→−
− −⎧
− ≤ < −⎪ −
⎪
= = = ⎨
− −⎪
− ≤ <⎪
−⎩
Rpta.: L = ∃
HALLAR LAS ASUNTOTAS OBLICUAS:
1
( )
2
( ) 2
9
3
x
x
f
x
+
=
−
5
2
( )
2 5
3
x
8x x
f
x
+ −
=
+
9
5 4
3 3
( ) 4 2
5 1
1
11 80
x
x x
f x
x x
+ +
= − +
− −
2
2
( ) 2
1
4
x
x
f
x
−
=
−
6
3
2
( ) 2
2 3 1
6
6
x
x x
f x
x x
+ +
= + +
+ −
10
2 3
2
( ) 2
1
36 1
1
x
x x
f x
x
+ −
= − +
+
3
( )
1
( )
1
x
x
x
f x
x
+
=
+
7 3 2 2
0y y x y x− + + = 11
3
2
( ) 2
3 3 1
4
6
x
x x
f x
x x
+ +
= − +
+ −
4
2
4
( ) 2
21 4
7 8
x
x x
f
x x
+ −
=
+ −
8 3 2 3
6 0y x x− + = 12 3 3 2
( ) 5 25 125xf x x x= − − +
40

CURSO BASICO
13
8
5
3
1
2 1
1
8
1
( ) 1 1
3
2 7
1
2 1
x x
x
x
x
f x x
x
x x
x
x
−
⎧ + +⎪ − ∞ < ≤ −
⎪ +
⎪
+⎪
= − − < ≤⎨
+⎪
⎪
+ +⎪ < < ∞
⎪ −⎩
Rpta.: 1y x y= ∧ =
14
( )
( )
3
3
2
2
2 3
2 2
( ) 3 1
1
1
1
1
x
x
x
f x x
x
x
x
x
⎧
⎪ + <
⎪
⎪
+⎪
= − ≤⎨
−⎪
⎪ −
⎪ ≥
⎪ +⎩
< 5Rpta.: 1 1x y y x= ∧ = ∧ = −
15
( )( )
( ) ( )
( )( )
] [
2 2
2 2
3 2
2
3 2 3
4 21 2 1
3
1 2 2 3
2 1
( ) 3,2 , 1
2 2 3
6 2
x x x x
x
x x x
x x x
f x x
x x x
x x x
⎧ − − + +
⎪ ≤
⎪
− + −⎪
⎪
+ − +⎪
= ∈⎨
− + −⎪
⎪
⎪ − ≥⎪
⎪
⎩
x− ≠
Rpta.:
1
2 1 3 2
2
x x x y y x= ∧ = ∧ = − ∧ = ∧ = −
ANALIZAR LA CONTINUIDAD
1 ( )2
( ) sgn 2 3xf x x= + − 8 ( ) 2 1xf x= − 14 2 2
( )xf x x= −
2 ( )xf x x= − 9 ( ) 1 1xf x x x= − + − − 16 ( )
1
xf
x
=
3 ( )xf x x= − 10 ( )xf x x x= − − 17 ( )
1
xf x
x
= ⋅
4 1
1
( )
1
1
x
xf
e
−
=
+
11 ( )
1 1
1
1 1
1
x
x xf
x x
−
+=
−
−
18
( )
( )x
sen x
f
x
=
5 ( )
1
sgn
1
x
x
f
x
−⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
+⎝ ⎠
12 ( )xf x x= ⋅ 19 ( )xf x x= −
6 ( )( )( ) sgnxf sen x= 13 ( )( )xf x sen xπ= ⋅ 20 ( ) 2 1xf x x= + ⋅ −
41

CURSO BASICO
7
2
( )
1
sgn
2
x
x
f
x
⎛ ⎞−
= ⎜ ⎟
⎜ ⎟+⎝ ⎠
14 ( ) 2
1
sgnxf sen
xx
π⎛ ⎞⎛ ⎞
= ⋅ ⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠
21 ( )
1
sgn cosxf
x
⎛ ⎞⎛ ⎞
= ⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠
22 ( )
cos 1
2
1 1
x
x x
f
x x
π⎧ ⎛ ⎞
≤⎪ ⎜ ⎟
= ⎝ ⎠⎨
⎪ − >⎩
Rpta.:
1
1
continua x
discontinua x
=
= −
23 ( )
1
sgn en su dominio
2
2 1
3 2
3
x
x
x
f
x
x
⎧ −⎛ ⎞
⎜ ⎟⎪⎪ +⎝ ⎠= ⎨
+⎪ − ≤ ≤ −
⎪⎩
Rpta.:
2
1
continua x
discontinua x
= −
=
24
( )
( )
2 2
2
1 1
3
sgn 0
x
x
x
xf
x x x x
⎧ −
− ≤ ≤⎪⎪ −= ⎨
⎪− + + ≠
⎪⎩
Rpta.: 1continua x =
25
( )
2
2
2
( )
2
4
25
3< 5
9
sgn 16
3
3
25
5
2
x
x
x
x
x
f x
x
x
x
x
x
⎧
⎪ −
≤⎪
−⎪
⎪
−⎪⎪
= ≤⎨
⎪ −
⎪
⎪
⎪ −
>⎪
−⎪⎩
0x∧ ≠ Rpta.:
5
3
3
5
continua x
discontinua x
discontinua x
continua x
= −
= −
=
=
Analizar la continuidad de ( )xh si:
26
[ ]
( )( )
( ) [ [ ( )
] [
] [
2
( )
3 1,2 1 2 , 1
2 1,7
en su dominio 2 2,
x x x
x
x x x
h f x x x g
f g x x
⎧ ∈ − ⎧ − ∈ −∞ −⎪ ⎪
= ∧ = − ∈ − ∧ =⎨ ⎨
+ ∈ ∞⎪⎪ ⎩⎩
o
Rpta.:continua 1 discontinua 2x x= − ∧ =
27
( )( )
( ) [ [ ( )
[ ]
] ]
2
( )
4 5,3 3 4 0,2
0,3
1 2,5en su dominio
x x x
x
x x x
h g x x f
x xf g
⎧ ⎤ ⎤− ∈ ⎧ + ∈⎪ ⎪⎦ ⎦
= ∧ = ∈ ∧ =⎨ ⎨
− ∈⎪⎪ ⎩⎩
o
Rpta.:continua 5 discontinua 2 3x x x= ∧ = ∧ =
28
( )( )
( )
[ ]
] ] ( )
[ [
[ [
( )
10 5 1,3 1 1,2
en su dominio 3 2 3,6 2,5
x x x
x
x x x x x x
h f g
f g x x x x
− ≥⎧ ⎧⎧ ∈ − − ∈⎪ ⎪
= ∧ = ∧ =⎨ ⎨
− ∈ ∈⎪ ⎪⎪ ⎩ ⎩⎩
o
⎪
⎨
x xRpta.:continua 5 discontinua 2; 3; 4x x= ∧ = = =
42

CURSO BASICO
29
( )( )
( )
] [
] [ ( )
( ) [ ]
] ]
2
( ) 2
0 2 1 1,1 sgn 1,1
en su dominio 1 1,2 3 1,3
x x x
x
x x x x x x
h f g
f g x x x x
⎧= ⎧ − ∈ −⎧ ∈ −⎪ ⎪ ⎪
= ∧ = ∧ =⎨ ⎨ ⎨
− ∈ − ∈⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎩ ⎩
o
Rpta.:continua 0; 2 discontinua 1x x x= = ∧ =
30 Continuidad de ( )( )x
h f g= o ( ) ( )( ) sgn 1x xf x g x= ∧ = + − x
h f g= o ( )( ) 2
0
2 0
x x
x xx x
f g
x x
<⎧+ ⎪
= ∧ = ⎨
≥⎪⎩
h g f= o ( )( ) 2
3 3 1
41 0 3
x x
x x x
f g
xx x
⎧ − > +⎪
= ∧⎨ =
−− < ≤⎪⎩
h f g= o ( )
2
( )
1 1 2
0 1 2 2
x x
x x x
f g
x x
⎧⎧ ≤ 2− ≤⎪ ⎪
= ∧ =⎨ ⎨
> >⎪ ⎪⎩ ⎩
h f f= o
2
( )
1 0
2 0
x
x x
f
x x
⎧⎪ − ≤
= ⎨
+ >⎪⎩
HALLAR LOS VALORES DE PARA QUE LAS FUNCIONES SEAN CONTINUAS,a b ∧ L
1 ( )
2
3 4
4
4
4
x
x x
x
f x
L x
⎧ − −
⎪ ≠
= ⎨ −
⎪ =⎩
Rpta.: 5L =
5 ( )
2
4
4
4
x
x
x
f x
L x
⎧ −
≠⎪
= ⎨ −
⎪ =⎩
Rpta.:
1
4
L =
2 ( )
2
1
1 1
1
x
x x
f x x
L x
⎧ − <
⎪⎪
= − >⎨
⎪
=⎪⎩
1
Rpta.: 0L =
6 ( )
2
4
2
2
x
x
xf
ax bx L x
⎧
≥⎪
= ⎨
⎪
+ + <⎩
Rpta.: 1L = −
3 ( )
( )
0
4
0
ctg x
x
tg x x
f
L x
π⎧⎡ ⎤⎛ ⎞⎪ − ≠⎜ ⎟⎢ ⎥= ⎨ ⎝ ⎠⎣ ⎦
⎪
=⎩
Rpta.: 1L =
7 ( )
2
0
cos cos2 1
0
x
x
x
f x x
L x
⎧
≠⎪
= ⎨ −
⎪ =⎩
Rpta.:
2
3
L = −
4 ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
1
cos
0
cos
0
sen x
x
a sen x
xf a sen x
L x
⎧
⎡ ⎤⎪ +⎪ ≠⎢ ⎥= ⎨ −⎣ ⎦⎪
⎪ =⎩
Rpta.: 2sec( )a
L e=
8
( )
( )1 3
0
1 1
0
x
In x
x
f x
L x
+⎧
≠⎪
= + −⎨
⎪ =⎩
Rpta.: 6L =
43

CURSO BASICO
9
( )
( )
( )
2
2
( )
2 2
1
2
sen x x
f x a bsen x x
sen x x
π
π π
π
⎧
− ≤⎪
⎪
⎪
= + − < <⎨
⎪
⎪
− ≤⎪
⎩
−
< ∞
Rpta.: 1 1a b= ∧ = −
10
( )
0
( ) 0
cos 2
sen x
x
x
f x ax b x
x x
π
π
π π
⎧
− < <⎪
⎪⎪
= + ≤ <⎨
⎪ ≤ <
⎪
⎪⎩
Rpta.: 0 1a b= ∧ = −
11
( ) ( )
0
( ) 2
1 2
2
2 2
sen x
x
x
f x ax b x
x
x
In x In
π
π π
π
π
π π
⎧
⎪ ≤ ≤
⎪
⎪
= + < ≤⎨
⎪
⎡ ⎤−⎪ >⎢ ⎥⎪ −⎣ ⎦⎩
Rpta.:
1
1a b
π
= ∧ = −
12 Rpta.:
2 2
( ) 3 2 1
3 2 1
x a x
f x ax b x
x b x
+ <⎧
⎪
= + − ≤ <⎨
⎪ − ≥⎩
−
1 2
3 3
a b= ∧ =
13 ( )
( )2
2
sgn 9 4
16 1 1
4
x
x x
f x x
L x
⎧ − >
⎪
⎪
= − − <⎨
⎪
=⎪
⎩
Rpta.:
1
0 3
4
a b L= − = =
14
32 2
23
5
2 3
8 24 2
5 1
7 5 4
( ) 1
31 6 8
1
( 26 5 8)
x x x
a x
x x
a
f x x
b
x x
x
b x x
⎧ ⎛ ⎞+ − − +⎪ ⎜ ⎟ − ≤ < −
⎪ ⎜ ⎟− + − −⎝ ⎠⎪
⎪
= =⎨
⎪
⎪ − − −
> −⎪
⋅ − − −⎪
⎩
− Rpta.:
24.531
13.600
a =
135
204
b =
15 ( )
3 2
2
2
2 2
1 1
2
1
1
10 4 1 3
x
x ax x x
b x x
1f x
x
a x x x
⎧ + + − ≤ −
⎪
⎪ + −
= −⎨
+⎪
⎪ − − < ≤⎩
< ≤
−
−
Rpta.:
4 3
5 9
a a
b b
= =
∧
= =
44

CURSO BASICO
16 ( )
3 2
3
3
3
1
1
1
1
1
1
1
x
x x x
si x
x
1f ax b si x
x
si x
x
⎧ + + +
< −⎪
+⎪
⎪
= + − < <⎨
⎪
−⎪ >
⎪ −
⎩
Rpta.:
0
2
3
a
b
=
=
HALLAR EL VALOR DE LAS CONSTANTES:
1
2
lim
x
x
x a
L
x a
−
→∞
−⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
+⎝ ⎠
e= Rpta.: 1a =
2
2
1
0
1x
x
L im ax b
x→∞
⎛ ⎞+
= − −⎜ ⎟
⎜ ⎟+⎝ ⎠
l = Rpta.: 1 1a b= ∧ = −
3 2
1
x
L im x x ax b
→−∞
⎛= − + − −⎜
⎝
l 0⎞ =⎟
⎠
Rpta.: 1 ?a b= ∧ =
4
32 2
3 1 3
0
3x
x x
L im ax b
x→∞
⎛ ⎞− + +⎜ ⎟= −
−⎜ ⎟
⎝ ⎠
l − = Rpta.: 1 3a b= ∧ =
5
34 8 6 3
2
1 1 5 5
lim 0
4x
x x x
L
x→∞
⎛ ⎞+ + + + −⎜=
⎜ +⎝ ⎠
ax b⎟+ − =
⎟
Rpta.: 5 2a b= ∧ =
6
32 2
3 1 5
lim 0
3x
x x
L a
x→∞
⎛ ⎞+ + +⎜ ⎟= −
+⎜ ⎟
⎝ ⎠
x b⋅ − = Rpta.: 1 0a b= ∧ =
7
344 12 3 9
3
6 4 1 1
lim 7 3 2 0
8x
x x x x
L a
x→∞
⎛ ⎞+ + − − +⎜ ⎟=
⎜ ⎟−⎝ ⎠
x b+ − − = Rpta.: 2 3a b= ∧ = −
8
35 10 2 6 2
4 3
2
3 1 6 1 3
lim 0
1 1x
x x x x x x
L ax bx
x x x→∞
⎛ ⎞+ + − − + − + +⎜ ⎟= − −
⎜ ⎟+ + + −⎝ ⎠
1 ?cx d b− − − = Rpta.: a b= ∧ =
9
( )32 3
3 1 5
2 1
lim 0
3x
x
x sen x arctg x
x
L a
x
π
→∞
⎛ ⎞⎛ ⎞
+ + +⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠⎜ ⎟= −
+⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
x b− = Rpta.: 1 3a b= ∧ =
10
4 3
2
3
1
lim 3 10
1x
x ax
L x
x x→∞
⎛ ⎞+ +
= − + −⎜ ⎟
⎜ ⎟− +⎝ ⎠
x k=
45

CURSO BASICO
SEGUNDO PARCIAL
DERIVADA POR DEFINICION. Aplicando la definición calcular la primera derivada en:
1
1
2 1
y
x
=
+
11 ( )2y In sen x= ⎡ ⎤⎣ ⎦ 21
2
1x x
y e +
=
2
2
ax bx c
y a + +
= 12 2
3senx
y e x= + 22 4 3
cosy sen x x= ⋅
3 x a
y a x= ⋅ 13 (2 )x
y sen= 23 x a
y a x=
4 2 2x
y e sen x= + 14 ( )y sen sen senx= ⎡ ⎤⎣ ⎦ 24
2
1y x x= − −
5 ( )3y arcsen x= − 15 cos x
y senx e= ⋅ 25
3
x
y x=
6 ( )1 3 1arctg In x
y e
+ +
= 16
senx
y x= 26 ( )1 (2 3)arctg In x
y e
+ +
=
7
cos
3x
senx x
y
+
= 17
2
2
x
e
y
x
−
= 27
2
x
Inx
y =
8
( )
( )
2sen x
y
tg x
= 18
1
1
x
y arctg
x
⎛ ⎞−
= ⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠
28
2
1y In arctg x
⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠
9
2
2
1
1
x
y x x
x
= − −
−
19
2 3 2x x
y sen e + −⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
29
2
1x
y In arctg a
⎛ ⎞⎛ ⎞
= +⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠
10 2tgx
y = 20 7 4
2 cox
y sen x−
= ⋅ s x 30
2
4 1y x x= − − −
DERIVADA POR DEFINICION. Aplicando la definición de derivada (de orden superior) calcular la
derivada de orden superior que sen indica:
1 Hallar si: Rpta:''y ( )y ctg x=
( )
( )3
cos
'' 2
x
y
sen x
=
2 Hallar si: Rpta:'''y ( )y sen x= ( )''' cosy x= −
3 Hallar si: Rpta:'''y ( )y tg x= ( ) ( ) ( )2 2 2
''' 2 2 sec secy tg x x⎡ ⎤= +
⎣ ⎦
x
4 Hallar si: Rpta:'''y ( )y arctg x=
( )
2
32
3 1
''' 2
1
x
y
x
⎡ ⎤
⎢ ⎥−
= ⎢ ⎥
⎢ ⎥+
⎣ ⎦
5 Hallar si:'''y ( )arccosy = x Rpta:
2
2 5
2 1
'''
(1 )
x
y
x
+
= −
−
46

CURSO BASICO
DERIVACION MEDIANTE TABLAS: Hallar y simplificar al máximo.'y
1 623 263 2
13
6
5
9
7
18
2
3
xxxxxxxy +++= Rpta:
( )
3
3
1
'
x
x
y
+
=
2 ( ) 22
23arctg3 xbxxb
xb
x
by −+−
−
= Rpta:
xb
x
xy
−
= 4'
3
11
11
ln
++
−+
=
x
x
e
e
y Rpta:
x
e
y
+
=
1
1
'
4
a
x
axay arcsen22
+−= Rpta:
xa
xa
y
+
−
='
5
a
x
axaxy arcsen222
+−= Rpta: 22
2' xay −=
6
cos
cos
senx x x
y
x senx x
− ⋅
=
⋅ +
Rpta:
( )
2
2
'
cos
x
y
x x senx
=
+ ⋅
7
cos
arccos
cos
b a x
y
a b x
+⎛
= ⎜
+⎝ ⎠
⎞
⎟ Rpta: ( )
2 2
' sgn
cos
a b
y s
a b x
−
=
+
en x
8
( ) ( )
( ) ( )
cos cos
cos cos
sen x x senx x
y arctg
sen x x senx x
⎛ ⎞+ −
= +⎜ ⎟⎜ ⎟− +⎝ ⎠
Rpta: 2
'
4
y ctg x
π⎛ ⎞
= +⎜ ⎟
⎝ ⎠
9
2
2
arccos 1 1 1
2 1 1
x x
y In
x x
⎛ ⎞− −⎜= +
⎜ ⎟+ −⎝ ⎠
⎟ Rpta:
arccos
'
x
y
x
−
=
10 2
2
1ln
1
arcsen
x
x
xx
y −+
−
= Rpta: 3
2
1
arcsen
'
x
x
y
−
=
11
( )
( )
( )
1
2
1
sen x
y In arctg sen x
sen x
⎛ ⎞+
⎜ ⎟= +
⎜ ⎟−⎝ ⎠
Rpta:
xx
y
sencos
2
'=
12
( ) ( ) ( )7 6
3 1 1
56 2 1 24 2 1 40 2 1
y
x x x
= − −
− −
5
−
Rpta:
( )
2
8
1
'
2 2 1
x
y
x
−
=
−
13 ( ) ( )
( )
2 4
2
1 1
1 1
2 4 2 1
y In x In x
1
x
= + − + −
+
Rpta:
( )( )4 2
2
'
1 1
x
y
x x
=
+ +
14
2
2 2
1 2 1 1
ln
4 2 2 22 1 1
2x x x
y a
x x x
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ +
= +⎜ ⎟ ⎜⎜⎜ ⎟− + −⎝ ⎠⎝ ⎠
rctg ⎟⎟ Rpta:
4
1
'
1
y
x
=
+
15
( ) ( )2
2
22
2
2
1ln
2
1
1
arcsen x
x
xx
e
e
ee
y −
−
−−
−+
−
= Rpta:
( )
3
2 2
22
1
arcsen2
'
x
xx
e
exe
y
−
−−
−
−=
47

CURSO BASICO
16
2 2
2
1 2 3 1
ln
24 3 2 3
x x x
y ar
xx x
⎛ ⎞ ⎛+ − +⎜ ⎟ ⎜= +
⎜ ⎟ ⎜+ +⎝ ⎠ ⎝
2
ctg
⎞
⎟
⎟
⎠
Rpta:
( )4 2
1
'
1 2
y
x x
=
− +
17
4
4 4
1 2 2
1 2 1
x x x
y In arctg
x x x
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ −⎜ ⎟ ⎜= −
⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠⎝ ⎠
⎟
⎟
Rpta:
2
4
2 2 1
'
1
x
y
x
+
=
−
18
2
2 2 2
1 1
1 1 1
x
y
x x x x
−
= + −
⎛ ⎞+ + + +⎜ ⎟
⎝ ⎠
Rpta:
( )
2
3
2
2 1
'
1
x x
y
x
− −
=
+
19 ( ) ( )21 1 1 2
1 1 1
2 6 3 3
x
y In x In x x arctg
1−⎛ ⎞
= + − + + ⎜
⎝ ⎠
⎟ Rpta:
3
1
'
1
y
x
=
+
20 (
5
3sen cos 5 15
cos sen cos
6 3 4 48
x x
y x
⎛ ⎞
= + + ⋅⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
)x x x+ Rpta: 6
' cosy x=
21
4 44 4
4 4
1 1 1 1
ln
4 21
x x x
y arctg
xx x
⎛ ⎞ ⎛+ + +⎜ ⎟ ⎜= −
⎜ ⎟ ⎜+ −⎝ ⎠ ⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
Rpta:
4 4
1
'
1
y
x
=
+
22
( )
9 8 7 6 5 4 3
1024
3 5 11 21 43 85 1 1
171
9 8 7 6 5 4 3 2 3 2
x x x x x x x x x
y x In
x
⎛ ⎞−
⎜ ⎟= − + − + − + − + +
⎜ ⎟+⎝ ⎠
Rpta:
10
2
'
2
x
y
x x
=
+ −
23
( ) ( ) ( ) ( )5 2 4
9 1 3 2
3
5 2 2 2 2 2
y
x x x x
= − − +
+ + + +
3
+ Rpta:
( )
3
6
1
'
2
x
y
x
−
=
+
24
( )( )( )
( )
2 4 2 2
2
1 10sec 9 cos csc
3 1 cos sec
tg x tg x x x x
y
x x
− + −
=
−
Rpta:
4 4
1
'
cos
y
sen x x
=
25 (
3 2
3sen cos cos 1 1
sen cos
2 3 4 16
x x x
y
⎛ ⎞
= + −⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
)x x x− Rpta: 2 4
' cosy sen x x=
26
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )sen sen sen sena b c x a b c x a b c x a b c x
y
a b c a b c a b c a b c
− + + − − − + +
= + − −
− + + − − − + +
Rpta: ( ) ( ) ( )' 4cosy ax sen bx sen= cx
27
( )2
1 2
2 2 2 2
4 2 sec 4 2 4 2 2
tgx tg x
y arctg arctg
x
⎡ ⎤⎛ ⎞
⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟= + − − ⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟− + −⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
2
Rpta:
2 2
8 8
cos
'
cos
sen x x
y
sen x
=
+
28
3 3
23 3
1 1
ln 3
3
1
2x x
y arc
x x
⎛ ⎞ ⎛ ⎞−⎜ ⎟= + ⎜⎜⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠+ +⎝ ⎠
tg
+
⎟⎟
Rpta:
( )3
1
'
1
y
x x
−
=
−
48

CURSO BASICO
29 ( ) ( )21
1 1
2 2
x
y x arctgx x arctgx In x
⎡ ⎤ 2
1⎡ ⎤= − + + − + −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦
Rpta: ( )2
' 1y x arctgx In x= ⋅ ⋅ +
30
( )
( )
( )
( )⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−+
−−
−⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−+
++
=
xx
xx
xx
xx
y
cossen23
cossen23
ln
64
1
1cossen2
1cossen2
ln
24
1
Rpta:
( )x
x
y
2sen21
sen
'
+
=
31
1 1 1 1 1
1 1 ln
2 4 1 1 1 1
x x
x x x
x x
e
y e e e
e e
−
⎡ ⎤⎛ ⎞⎛+ − − −⎛ ⎞ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎜= − + − − +⎜ ⎟
⎢ ⎥⎜ ⎟⎜⎝ ⎠ + + + −⎝ ⎠⎝⎣ ⎦
1 e ⎞
⎟
⎟
⎠
Rpta:
xx
ee
y
−++
=
11
1
'
32
( )22
2
4 4 10 11 2 2 5 1
ln
3 1 6 2 1 4 2 10
x x xx x
y arctg
x x x x
⎛ ⎞⎛ ⎞ − + − +− + ⎜ ⎟⎜ ⎟= − +
⎜ ⎟+⎜ ⎟ + + − +⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Rpta:
( )2 2
1
'
2 2 2 5
y
x x x
=
+ − +
33
( )
2
24
3 2 1 3
16 2 8 22 1 14 1
2
2x x x x
y In arctg
x x xx
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ +
= + −⎜ ⎟ ⎜⎜⎜ ⎟− + ++ ⎝ ⎠⎝ ⎠
⎟⎟ Rpta:
( )
24
1
'
1
y
x
=
+
34
2
2 2 2 2 2 2
2 2 1 2 2 2
x x x
y x x In x x x In
x
⎛ ⎞+ + + +⎛ ⎞ ⎜ ⎟= + + + + + + + −⎜ ⎟
⎜ ⎟⎝ ⎠
⎝ ⎠
Rpta:
2
2 2
'
x x
y
x
+ +
=
35
2 2
21 1 1 1 2
1
1 2 2 1
x x x x x x x
y In x x x In
x x
⎛ ⎞+ + − + + +⎛ ⎞ ⎜ ⎟= − + + + + + +⎜ ⎟
+ +⎜ ⎟⎝ ⎠
⎝ ⎠
1
Rpta:
( )
2
2
1
'
1
x x
y
x
+ +
=
+
36 21 1 1
1 2 2
2 12 2
2x x
y x x arcsen arcsen
x
x
⎛ ⎞+ −⎛ ⎞
= − + − − − ⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟+⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Rpta:
( )
3
2
'
1 1 2
x
y
x x x
=
+ + −
37
( )
( )
( )
( )
2 cos 1 3 2 cos3 1
4 2 2 cos 1 4 6 3 2 cos
senx x senx x
y In In
senx x senx x
⎛ ⎞ ⎛+ + + −
= −⎜ ⎟ ⎜
⎜ ⎟ ⎜+ − − −⎝ ⎠ ⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
Rpta:
( )
2cos
'
1 2 2
senx x
y
senx x
−
=
+
38
2 2 2 2
2 2
cos 2
cos 2
b a x b a senx a b x
y In arctg tg
a b x a ba b
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎟
⎟
⎠
+ + − −⎜ ⎟ ⎜= +
+ +⎜ ⎟ ⎜−⎝ ⎠ ⎝
Rpta:
( )
2 2
1
'
cos
b a
y
a b x
− +
=
+
39
( )( )
( ) ( )
2 4 2
2 24 2 2 2
8 1 6 1
8
6 1 16 1
x x x x
y arctg x
x x x x
⎛ ⎞
− − +⎜ ⎟
= ⎜ ⎟
⎜ ⎟− + − −
⎝ ⎠
− pta:R
2
2
8
'
1
x
y
x
−
=
+
40 2 2 2 2
1 2 1 1y xIn x x x In x x x⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + − + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2 Rpta: 2 2
' 1y In x x⎛ ⎞= + +⎜ ⎟
⎝ ⎠
41 ( )( )2 2 21 27
2 1 8 8 17 1 2 1 2 1
64 128
y x x x x x In x x x⎛ ⎞= + + + + + + + + + +⎜ ⎟
⎝ ⎠
Rpta: ( )
32
' 1y x x= + +
42
9
3 5 7 263 21 21 9 63
1 1
256 128 160 80 10 256
x
y x x x x x In x x⎛= − + − + + − + +⎜
⎝ ⎠
2 ⎞
⎟ Rpta:
10
2
'
1
x
y
x
=
−
49

CURSO BASICO
( ) ( )( ) ( ) ( )( )1 1
2 2 2 4 2 3cos
2 10 0
x x x
y e sen x x s x x
−
= − + +
) Rpta: secreto
cos 2
5
en − Rpta: 2
' x
y x e sen x= ⋅ ⋅43
( ) (2 2
cos cosy sen x sen x=44
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )s s s sh a b c x h a b c x h a b c x h a b c x
y
c b c a b c
=
+ − −a b a a b c
− + + − − − + +
+ − −
− + − + +
Rpta: secreto
S y = = hallar
45
46 i ( )uf y u ( )xg 2
2
dx
yd
; 3
dx
3
yd
Rpta: 222
dxdudxdudx
+⎟
⎠
⎜
⎝
= ;
2222
uddyduydyd ⎞⎛
3
3
2
2
2
23
3
3
3
dx
=
3
3
dx
ud
du
dy
dx
du
dx
ud
du
yd
dx
du
du
ydyd
++⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
ACIÓN SUCESIVA. Demostrar los siguientes problemas
D '' ' 0x y xy n y− − =
DERIV
1 Si emostrar (1−( )n arcsen x
y e= )2 2
2 Si 2
1
k
y x x⎛ ⎞= + +⎜ ⎟
⎝ ⎠
Demostrar x y+ +
3 Si Demostrar
( )2 2
1 '' ' 0xy k y− =
( ) ( )1 2 3 4cosnx nx
y a e a e a nx a sen nx−
= + + +
4
4
4
d y
n y
dx
=
( ) ( )21
2
x In x bIn x c
y ae
⎛ ⎞
+ +⎜ ⎟
⎝ ⎠= ( ) ( )( )
3
3 22
2
''' 3 ' '' 2 ' '' ' 0
y y
y y y y y y y y y
x x
− ⋅ ⋅ + + ⋅ − − =4 Si Demostrar que
5 Si Demostrar que( )( )cos 10 arccosy x= ⋅ ( )2
1 '' ' 100x y x y y 0− − ⋅ + =
2
2 2 3 1 4 6 (2y In x x arcsen x⎛ ⎞= ⋅ ⋅ − − − ⋅ ⋅⎜ ⎟
⎝ ⎠
) Dem.
2
2 2
2
2
2 3 1 4 1 4
2 3 1 4
' '
40 80 1 4 6
x x x
x x
y y
x x
⎛ ⎞− − −⎜ ⎟− − ⎝ ⎠ ' 0+ =
⎛ ⎞− + ⋅⎜ ⎟
⎝ ⎠
6 Si
( )
2 43
2 2 2 2 2 23 3
2 2
a x a
y x x a a x In x a x⎛ ⎞= ⋅ + + + + + +⎜ ⎟
⎝ ⎠
Dem. ( )
32 2 2 2
2 2 2
2 2
' '' ''' 4
2
x a x a
y y y x a
x x a
+ +
+ − = +
+
7 Si
2
2
cot
2
a x
y arc g
ax x
⎛ ⎞−
⎜ ⎟=
⎜
−⎝
⎟
⎠
Demostrar 2 2 2
2
(8 3 ) ' 4( ) 2 '' ( ) ''' 4
ax
ax x y ax x xy ax x y
ax x
⎡ ⎤− − − − − =
⎣ ⎦
−
8 Si
9 Si ( ) (1y ctgx In s− ⋅ + )
2
x
In tg enx x
⎡ ⎤
= −⎢ ⎥⎣ ⎦
Dem.
2(1 )
cos (1 )
' '
(1 ) (1 ) senx
' 2
x senx senx ctgx
y y
In senx senxsenx In senx +
⋅ +
+ =
+ − +
10 Si Demostrar
( )arcsen x
y e= ( ) ( ) ( ) ( )
( )2 12 2
1 2 1 1
n n n
x y n xy n y
+ +
− − + − + 0=
11 Si 2 2
cos( )
x
y a x arc= − − ar
a
Demostr
3
2 2 2( )
2 ' ''
a x a x a
y y
a x a x a
− −
⋅ − ⋅ =
+ +
50

CURSO BASICO
( )( )y sen n arcsen x= Demostrar 0( )2 2
1 ''' 'x y xy n y− − + =12 Si
4 2 4
4 4
1 2 1 2 1
1 2 8
4
4
2
1 2
x x x x x x
y arcctg arctg arcctg
x x x x x
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞+ − − + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟= + −
⎜ ⎟⎜ ⎟+ + + −⎝ ⎠⎝ ⎠
Demostrar13 Si
1 x ⎜ ⎟+ ⎝ ⎠
0
dy
dx
=
1 1 1
2
11 1
x x x
y In arctg
xx x
⎛ ⎞ ⎛+ − − −
= +⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜ ++ + −⎝ ⎠ ⎝
⎞
⎟⎟
⎠
Demostrar que
2 2
2
1
(1 ) 1
' '' 2 0
1
x x x
y x y
xx x
− ⋅ −
⋅ + − =
+
14 Si
− −
15 Si ( ) ( )( ) ( )
( ) ( )
( )
2
cos cos cos
4 2 2
sen x sen x
y x arctg x x In
sen x
π ⎛ ⎞−
= ⋅ − − ⎜ ⎟
⎜ ⎟+⎝ ⎠
Demostrar que
2
1
''
1 cos
y y
x
+ =
+
2
2 2
2 2
x a x
y a x arcsen
a
⎛ ⎞
= − + ⎜ ⎟
⎝ ⎠
Demostrar ( )
2
2 2
2 2
2
' '' '''
a
y xy a x y
a x
− − − =16 Si
−
17 Si
( )arccos 1 1
1 1
x x x
y In
x x x
⎛ ⎞+ − −
= + ⎜ ⎟⎜ ⎟+ + −⎝ ⎠
Demostrar
2 2
2 1
' ''
1
y y
x x x
0+ − =
−
18 Si
1 cos 1 cos 1 cos 1 cos
arccos arccos cos
1 cos 1 cos 1 cos 1 cos
x x x x
y sen In In
x x x x
⎡ ⎤ ⎡⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − − + − −
= −⎢ ⎥ ⎢⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ + − + + −⎢ ⎥ ⎢⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣
⎤
⎥
⎥⎦
trar ( ) 3
'' ''' ' 2
2 2cos
senx tgx
tgx y y y tg x
x
⋅ + − =Demos
2 2
1 1x x x x x
y arctg e e arctg e e e⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − − + − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
19 Si 2
1− Demostrar:
( )
2 4
2
2 3 2
2
1 3 ''
''' ' 1
11
x x
x
x x
x
e e y
y y
e ee
− −
− − =
−−
e +
20 Si
2
4
2
1 1 2 1 2 1
2 3 3 31
x x x x
y In arctg arctg
x x
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + −⎛ ⎞ ⎛⎜ ⎟= + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝− + ⎝ ⎠⎝ ⎠
( )
⎞
⎟
⎠
Demostrar:
4 4
2 4 6
4 2
1 1 2
1 3 9 10 ' '' '''
2 2 1
x x x x x
x x x x y y y
3
x x
+ + + +
− + − − − + =
+ +
21 Si
( )
( ) ( ) ( )cos
2 1
4 2 2
2 c
3 3
x
x
tg
sen x
y arctg x sen x In sen x senx x
⎛ ⎞⎛ ⎞
+⎜ ⎟⎜ ⎟+ ⎝ ⎠⎜ ⎟= − ⋅ − +⎡ ⎤⎣ ⎦
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
( )
os+ − Demostrar:
1
''' '
2
y y
sen x
+ =
+
FFFFF
DDDD
51

CURSO BASICO
DERIVACION IMPLÍCITA. Hallar la primera derivada de las funciones dadas en forma implícita.
1 a
xy
xy
xy
xy
=
−
+
+
+
−
Rpta:
x
y
y
2
'=
2
2
1
x
yx y
In e
x y
⎛ ⎞+
+ =⎜ ⎟
−⎝ ⎠
. Rpta:
x
y
y ='2
2 2
1
x y xy
x y x y
−
+ =
+ +
. Rpta:
x
y
y ='3
y
xy arctg
x
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
. Rpta:
2 2
2 2
1
'
1
y x y
y
x x y
⎛ ⎞− −
= ⎜ ⎟
⎜ ⎟+ +⎝ ⎠
4
5 . Rpta:cos 5x y
e seny e x− = '
cos cos
x y
y x
e seny e senx
y
e x e y
+
=
−
6 ( ) ( )
b b
a b x ax by c arctg tg ax by c
a a
⎛ ⎞
− = + + − + +⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
. Rpta:
7
( )2
'y tg ax by c= + +
2 2
2
2 2 2
y y y x
x
y y x ax e
⎛ ⎞
+ −⎜ ⎟
⎝ ⎠
+ − = . Rpta:
2
' 1
y
y
x
⎛ ⎞
= −⎜ ⎟
⎝ ⎠
2 2
1
1
x
x y
x y e
+
+ −
+ − = Rpta:
3
'
3 1
y x
y
y x
− −
=
+ +
8
9 Rpta:2 2
2 2 2 0ax b x y cy d x e y k+ ⋅ + + + + = '
ax by d
y
bx cy e
+ +
= −
+ +
y x
x y= Rpta: '
y xIny y
y
x yInx x
⎛ ⎞−
= ⎜ ⎟
−⎝
10
⎠
11 ( ) ( )
2 2
2 2 2
2 2
3 2
x y 2
In x xy y In x xy y
x y
−
+ + + = − +
+
Rpta: '
y
y
x
=
2 2
3 3
2
3x y a+ =12 Rpta: 3'
y
y
x
= −
13 2 2
ln
y
arctg x y
x
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝⎝ ⎠ ⎠
Rpta: '
x y
y
x
+
=
y−
14 ( )1 x y x y
x y x y e e⋅ − ⋅
+ ⋅ = ⋅ − Rpta: '
x
y
y
= −
15 y Rpta:x y
e x−
= ⋅
( ) ( )
( )
2 2
32
1 1
'
1
y x y
y
x y
⎡ ⎤− + +
⎢ ⎥⎣ ⎦=
+
52

CURSO BASICO
16 Rpta:( )
2 22 2
0x y
tg x y e e+ + + =
( )
( )
22 2 2
22 2 2
sec
'
sec
x
y
x y ex
y
y
x y e
⎛ ⎞
+ +⎜ ⎟
= − ⎜ ⎟
⎜ ⎟+ +
⎝ ⎠
17 Rpta:
( ) ( ) 5
xsen y
x sen y= +⎡ ⎤⎣ ⎦
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
'
cos
x sen y
xsen y
x sen y In seny x sen y
y
x x y In x x sen y ctg
−⎡ ⎤⎣ ⎦=
y⎡ ⎤− ⎡ ⎤⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦
18 Hallar si:''y ( ) ( )2 2 2
2 3sen y x In y x y x− − − + − − = 0 Rpta: '' 2y =
19 Hallar si:''y 8
x y
x y x y
e In
x y
+
−
⎛ ⎞−
⎜ ⎟+ =
⎜ ⎟+
⎝ ⎠
. Rpta:
2
2
''
y
y
x
=
20 Hallar
dx
dy
y
dy
dx
en
m
x
y
y
x
m ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
= . Rpta:
x
y
dx
dy
= ;
y
x
dy
dx
=
DERIVACION IMPLÍCITA. Hallar la derivada de orden superior de las funciones dadas en forma
implícita.
1 Hallar si: Rpta:''y ayx =+ 33
5
2
''
y
ax
y −=
2 Hallar si:''y
1 1
2 2
x y+ = a Rpta:
3
2
''y x
−
=
3 Hallar si:''y
2 2
3 3
2
3
x y a+ = Rpta:
2
3
1 4
3 3
''
3
a
y
y x
=
4 Hallar si: . Rpta:'''y 222222
bayaxb =−
6
4 5
3
'''
b x
y
a y
=
5 Hallar si:''y 22
lnarctg yx
x
y
+= Rpta:
( )
( )3
22
2
''
yx
yx
y
−
+
=
6 Hallar si: Rpta:''y ( )
2 33 2
5 x y x
In x yx e + −
+ − = 1
2
'' 6
y x
y
x
⎛ ⎞+
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
7 Hallar si: Rpta:''y 2 2
2 2 2 0ax b x y cy d x e y k+ ⋅ + + + + =
( )3
''
ctte
y
bx cy e
=
+ +
8 Hallar si:''y ( ) ( )2 2 2
2 3sen y x In y x y x− − − + − − = 0 Rpta: '' 2y =
9 Hallar si:''y
2 2x x
y x= Rpta: '' 0y =
53

CURSO BASICO
10 Hallar si:''y
2 2
2 2
4
x
yx y
e
x y
−
−
+ =
+
Rpta: '' 0y =
11 Hallar si:''y
2 2 2 2
3 3
2 2
5
x y
y y
y x
−
+ = +
−
Rpta:
43
4
''
3
y
x y
=
12 Hallar si''y
3 3 3shx shx shx y shx+ + + ∞ =L
13 El área total de un cilindro recto circular de radio r y altura h viene dado por: ,
suponiendo que S es constante calcular
rhrS ππ 22 2
+=
dh
dr
. Rpta:
hr
r
dh
dr
+
−=
2
14 En la circunferencia Demostrar:
222
ryx =+
( )( ) r
y
y 1
'1
''
2
3
2
=
+
15 Si:
1
2 1 2
y a
tg tg
a
−⎛ ⎞ ⎛ ⎞
=⎜ ⎟ ⎜ ⎟
+⎝ ⎠ ⎝ ⎠
x
Dem. ( )
( ) ( )2 3
2
2
1 cos 1 cos
1 cos ' '' ''' 1
cos cos 2
a x a x
a x y y y a
senx x a x a
+ +
+ + − = −
− +
16 Si: 10
y x y x
y x y x
− +
+
+ −
= Demostrar: ( )4 2 2 '
8 ''' 1 '' 6 '
4 2
y y
x y x y x y
x
− + + = +
17 Si: Demostrar:3 3
3 0x y a x y+ − ⋅ =
2 2
2 2
2
'
2
xy a y ax xy
y
xay x y ax
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ −
+ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠
18 Si: ( ) 1xy In y− = Demostrar: ( )2
1 ' 0y xy y+ − =
19 Si: ( )y x arctg y= + Demostrar: 4 5 11 2 4
' '' ''' 35 12 21y y y y y y y y+ + = − −
20 Si:
y
xa bx xe
−
+ = Demostrar:
( )
( )( )23
2
'' ' '''
2
bx a
x y xy y y
a bx x
⎛ ⎞−
⎜ ⎟ + − =
⎜ ⎟+⎝ ⎠
21 Si: Demostrar: ( )0x y
ye e+ = ( )
( )5
3 5
1 ' 1 '' '''
2 1
y
x
y e
y y y y y
y e
−
− + − + = −
+
22 Si:
x y
arctg
a a
+⎛ ⎞
=⎜ ⎟
⎝ ⎠
y
Demostrar:
( ) ( )
( ) ( )
3 6 2
2 222 2
' '' ''' 0
2 2 3 5
x y x y a
y y y
a x ya x y a
⎛ ⎞
+ +⎜ ⎟
+ + −⎜ ⎟⎡ ⎤ ++ +⎜ ⎟⎢ ⎥⎣ ⎦⎝ ⎠
=
23 Si: 3
3 1
3 3 3
2
3
xy xy xy
tg tg xy tg
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
− = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
⎟ Demostrar:
( )
( )
2 3 2 5
' '' '''
101 0
IV
Vy y y y y
y
xx x x x
+ + + + + =
FFF
FFF
FFF
54

CURSO BASICO
DERIVADAS PARAMETRICAS. Hallar la primera derivada de las funciones.
1
( )
2
1
2
1
1 1
x t
y t t
−
⎧ = +⎪
⎨
⎛ ⎞⎪ = − +⎜ ⎟
⎝ ⎠⎩
Rpta:
( )2
1
'
1
t
y
t t
+
=
+
2
( )
2
2
2
2
1
1
1
at
x
t
a t
y
t
⎧
=⎪
+⎪
⎨
−⎪
=⎪
+⎩
Rpta:
2
2
'
1
t
y
t
= −
−
3
3
3
1
1
x t
y t
⎧ = −⎪
⎨
⎪ = −⎩
Rpta:
( )
( )
4
6 33
1
'
1
t
y
t t
−
=
−
4
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 cos
cos
x In t In t sen t
y sen t t
= − + −⎧⎪
⎨
= +⎪⎩
Rpta: ( )'y tg t=
5
( )
( )1 cos
x a t sen t
y a t
⎧ = −⎡ ⎤⎪ ⎣
⎨
= −⎡ ⎤⎪ ⎣ ⎦⎩
⎦
Rpta: '
2
t
y ctg
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
6
3
3
cosx a t
y b sen t
⎧ =⎪
⎨
=⎪⎩
Rpta: ( )'
b
y tg
a
= − t
7
1
2
1
2
arccos 1
1
x t
y arcsen t t
−
−
⎧ ⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎪ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎪⎪ ⎝
⎨
⎛ ⎞⎪ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎪ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎪ ⎝ ⎠⎩
⎠
Rpta:
1 0
'
1 0
t
y
t
− <⎧
= ⎨
>⎩
8
2 2
2 2
cost
t
x e t
y e sen t
⎧ =⎪
⎨
=⎪⎩
Rpta: ( )'
4 4
y tg t tg t t k
π π
π
⎛ ⎞
= + ≠⎜ ⎟
⎝ ⎠
+
9
2
5 2 4
x t t
y t t t
⎧ = +⎪
⎨
= +⎪⎩
Rpta: ' 2y t= + t
DERIVADAS PARAMETRICAS. Hallar la derivada de segundo orden de las funciones.
1
2
3
2
3
x t t
y t t
⎧ = −⎪
⎨
= −⎪⎩
Rpta:
( )
3
''
4 1
y
t
= −
−
2
( )
( )
3cos 3
2 3
x t
y sen t
=⎧⎪
⎨
=⎪⎩
Rpta: ( )33
'' csc 2
4
y t= −
55

CURSO BASICO
3
( ) ( )
( ) ( )
cos
cos
x a sen t t t
y a t tsen t
⎧ = −⎡ ⎤⎪ ⎣
⎨
= +⎡ ⎤⎪ ⎣ ⎦⎩
⎦
Rpta:
3
1
''
2
y
a t sen t
= −
4
( )
( 2
1 )
x arctg t
y In t
=⎧
⎪
⎨
= +⎪⎩
Rpta: 2
'' 2 2y t= +
5 Rpta:
( )
( ) ( )
'
'
t
t
x f
y tf f t
=⎧⎪
⎨
= −⎪⎩ ( )
1
''
'' t
y
f
=
6 Hallar 3
3
dx
yd
si: Rpta:
⎩
⎨
⎧
=
=
tty
ttx
sen
cos
( )5
23
3
3
sencos
sen4sen12cos3sen4
ttt
ttttttt
dx
yd
−
++−−
=
7 Hallar si: Rpta:( )xy '''
( )
( ) ( )⎪⎩
⎪
⎨
⎧
−⋅=
=
tt
t
ffty
fx
'
'
( )
( )
( )( )3
''
'''
'''
t
t
x
f
f
y −=
8 Hallar si:( )xy '''
( ) ( )
( ) ( )
2
cos
cos
t
x In tg
sen t t
y arctg
sen t t
⎧ ⎛ ⎞
= ⎜ ⎟⎪
⎝ ⎠⎪
⎨
⎛ ⎞−⎪ = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎪ +⎝ ⎠⎩
Rpta: ( ) ( )
3
3
cos 2
d y
t sen t
dx
=
DERIVADAS PARAMETRICAS. Dadas las funciones en notación parametrica, hallar el valor de z:
1 Si:
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
−−=
−−=
t
t
t
t
a
y
t
t
t
t
t
a
x
sen
cos22
sencos
22
; '2 ' senz xy y= + Rpta: z y=
2 Si: ;
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
−=
−=
23
2
2
23
tty
ttx
( ) ( ) yyyz +−=
32
'2' Rpta: 0=z
3 Si: ;
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
+=
+=
32
2
2
32
tty
ttx
( ) ( ) yyyz −+=
32
'2' Rpta: 0=z
4 Si:
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
+=
=
− tt
beaey
tx
22
sen
Demostrar: ( ) yxyyx 2'''1 2
=−−
5 Si:
( )
( )
cosx a t
y asen t
=⎧⎪
⎨
=⎪⎩
Demostrar:
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )52
' '' cos
2
sen t
y a sen t y sen t t sen t
ctg t
+ = − +⎡ ⎤⎣ ⎦
6 Si:
( ) ( )
( )
( )
2 2
cos
cos2
2
t sen ta
x
tt t
ta
y s
t t
⎧
= − −⎪
⎪
⎨
⎪
= − −⎪⎩
en t
Demostrar: ( )2 ' 'x y sen y y⋅ + =
56

CURSO BASICO
7 Si:
( )
( )1 cos
x a t sen t
y a t
⎧ = −⎡ ⎤⎪ ⎣
⎨
= −⎡ ⎤⎪ ⎣ ⎦⎩
⎦
Demostrar: ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
2 2 2
' 1 cos '' 1 cos 1 2y t sen t y a cs t t sen t⎡ ⎤− + − + =⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦
8 Si:
( )
( )
cos
cos
x a t
y b t
=⎧⎪
⎨
=⎪⎩
demostrar
( ) ( )
( ) ( )
3
4
2 3
' '' ''' 5 0
tg t sen t b
y y y sen t tg t
aa a
+ + ⋅ + =
9 Si:
( )
( )
x sen t
y sen k t
=⎧⎪
⎨
=⎪⎩
Demostrar: ( )2 2
1 '' 'x y xy k y− − + = 0
10 Si:
( )
( )
3
3
cosx a t
y asen t
⎧ =⎪
⎨
=⎪⎩
Dem. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 4 2 7 3 23
'4 '' 2 '''9 cos cos
16
a
y sen t ctg t y sen t y a t sen t t sen t+ − + = 3
11 Si:
( )
( )2
1
x arcsen t
y In t
=⎧
⎪
⎨
= −⎪⎩
Demostrar:
2
'
'' 0
1
y
y t
t
− =
−
12 Si:
( )
( )
cosx at t
y at sen t
=⎧⎪
⎨
=⎪⎩
Demostrar:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )( )3
2
coscos
' ''
cos 2
a t t sen tt t sen t
y y
t t sen t t
− ⋅− ⋅
2 0+ − =
⋅ + +
13 Si: Demostrar:
2
3
3
3
x t
y t t
⎧ =⎪
⎨
= −⎪⎩
( )36 '' 3 3y y x x− = +
14 Si:
( )
( )cos
t
t
x e sen t
y e t
⎧ =⎪
⎨
=⎪⎩
Demostrar: ( ) (2
'' 2 'y x y xy y+ = − )
15 Si:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
cos '
' cos
t t
t t
x f t f sen
y f sen t f t
= −⎧
⎪
⎨
= +⎪⎩
t
Demostrar: ( ) ( )( )
2
2 2 2
''t tds dx dy f f dt= + = + 2
)
DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR Y N-SIMAS.
1 Hallar si: Rpta:
( )n
y ( baxy += ln ( ) ( )( )
( )n
nn
n
bax
an
y
+
−−
=
−1
1!1
2 Hallar si:
( )n
y
1
1
x
y
x
−
=
+
Rpta: ( ) ( )
( )
1
1
2 1 !
1
n
n
n
n
y
x
+
+
−
=
+
3 Hallar si:
( )n
y
a x
y
a x
−
=
+
Rpta: ( ) ( ) ( )
( ) 1
1 2
n
n
n
a n
y
a x
!
+
−
=
+
4 Hallar si:
( )n
y
( )2
1
1
y
x
=
−
Rpta: ( ) ( )
( ) 2
1 !
1
n
n
n
y
x
+
+
=
−
5 Hallar si:
( )n
y
2
2
1
x
y
x
=
−
Rpta: ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )1 1
1 ! 1 1
n nn
y n x x
− + − +n⎡ ⎤= − + + −
⎢ ⎥⎣ ⎦
57

CURSO BASICO
6 Hallar
( )n
y si:
2
1
3 2
y
x x
=
− +
Rpta:
( ) ( ) ( )
( ) ( )1 1
1 1
1 !
2 1
nn
n n
y n
x x
+ +
⎛ ⎞
⎜ ⎟= − −
⎜ ⎟− −⎝ ⎠
7 Hallar si:
( )n
y
23
23
3 2
+
−
+=
x
x
xy Rpta: ( ) ( )
( )
1
1
4 3 1 !
3 2
nn
n
n
n
y
x
+
+
⋅ −
=
+
; 3≥n
8 Hallar si:
( )n
y
2 3
2
2 3
x
y x
x
−
= +
+
Rpta: ( ) ( )
( )
1
1
6 2 1 !
2 3
nn
n
n
n
y
x
+
+
⋅ −
=
+
; 2n ≥
9 Hallar si: Rpta:
( )n
y ( ) ( )axbxy sencos += ( )
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
++⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=
2
sen
2
cos
ππ
naxanbxby nnn
10 Hallar si:
( )n
y ln
b mx
y
b mx
+⎛
= ⎜
−⎝ ⎠
⎞
⎟ Rpta: ( )
( ) ( )( )
( )
( ) ( ) ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
+
−−=
−
nn
nn
x
n
bmxbmx
nmf
11
!11
1
11 Hallar si:
( )n
y ( )
( )2
2−
=
x
x
f x Rpta: ( ) ( ) ( )
( ) 2
2
2!1
+
−
+−
= n
n
n
x
nxn
y
12 Hallar
( )100
y si:
1
1
x
y
x
+
=
−
Rpta: ( ) ( ) ( )
( )
100
100100
197 !! 399
2 1 1
x
y
x x
−
=
− −
13 Hallar si:
( )20
y 2 2x
y x e= . Rpta:
( )
( )20 20 2 2
2 20x
y e x x= + 95+
14 Hallar si:
( )n
y 2 4x
y x e−
= . Rpta:
( )n
y e ( ) ( ) ( )( )1 24 2
4 2 4 1 4
n n nx
x n x n n
− −− ⎡ ⎤− + − + − −=
⎢ ⎥⎣ ⎦
15 Hallar si:
( )n
y
67
1
3
2
+−
++
=
xx
xx
y . Rpta: ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
+
+
+
−
−−
= +++ 111
2
28
3
7
1
15
20
!1
nnn
n
n
xxx
n
y
( )n
y si: n
y x x= Rpta: ( ) ( )3 5 7 2 1
2
n
n
n x
y
⋅ ⋅ +
=
L
16 Hallar
17 Hallar
( ) ( ) ( ) ( ) ( )50 50 2 1225
2 2 50 cos 2
2
y x sen x x x sen x2
⎡ ⎤
= − + ⋅ +⎢ ⎥⎣ ⎦
50
y si: Rpta:( )2
y x sen x=
( )n
y ( ) (50
) ( ) ( )( )3 2 3 2
2 8 12 6 1 1 2
n x
y e x nx n n x n n n
− − ⎡ ⎤− + − − + − −3 4x
y x e−
= = −Rpta:18 Hallar si:
⎣ ⎦
( )10
y y = Rpta:
0
si: (2
sen x19 Hallar ) ( )100 99
2 2 999
2
y sen x
π⎛ ⎞
= +⎜ ⎟
⎝ ⎠
20
( )10
y si: ( ) ( ) ( )2 3y sen x sen x sen x= Rpta: ( ) ( ) ( ) (10
)18 8 10
2 2 2 4 2 3 6y sen sen x sen x= − − +8
xHallar
21 Hallar
( )n
y ( )
( )!
n
ay n g=( ) ( ) ( )
n
x xf x a g= − Rpta:si:
( )n
y si: Rpta:( )cosx
y e x= ( ) 2
2 cos
4
n
22 Hallar
n x
y e x n
π⎛ ⎞
= +⎜ ⎟
⎝ ⎠
23
( ) ( ) ( )( )VI
y Rpta:si:
3
2035
VI x
2 828cos 2y e sen x x= − +⎡( )3
2x
y e sen x= ⎤⎣ ⎦Hallar
58

CURSO BASICO
( )n
y si: ( )cos bx24 Hallar ( )2
y sen ax=
ta:Rp
( ) ( )
( )
( )
( )
2 2
cos os cos 2
2 4 4 4 4 4
n nn a b a b
bx n a b n a b x nc 2
n b
y x
π π π− +⎛ ⎞ ⎡ ⎡ ⎤
+ − − + + +⎜ ⎟
⎤
= −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Ha25 llar
( )n
y si: ( ) ( )3 2
3 cos 2y sen x x π= +
Rpta: ( ) 1 1n n
y sen n se
1 3 3 3 5
3 3 9 9 7 7 13 5
8 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
n n
n n
x n sen x n sen x n x n sen x n sen x n
π π π π π⎧ ⎫⎪ ⎪⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
− + + + − + + + +⎨ ⎬⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪ ⎪⎩ ⎭
26 Hallar
π+ ⎛ ⎞
= + +⎜ ⎟
( )n
y si: Rpta:( )cosax
y e bx c= + ( )
( )2 2
cos
nn ax b
y e a b bx c arctg
a
⎡ ⎤⎛ ⎞
= + + + ⎜ ⎟⎢ ⎥
⎝ ⎠⎣ ⎦
( )n
y si:
( )
m
x In t
y t
⎧ =⎪
⎨
=⎪⎩
Rpta: ( ) mnn
x tmy =27 Hallar
( )n
y si:
22
1
2 1
x t
y t t t
( )
( )( )
1−
−
⎧ = +⎪
⎨
= + +⎪
⎩
Rpta:
( ) 0
n
y =28 Hallar
29 Hallar
( )n
y si:
( )
( )
cos
cos
x t
y n
=⎧⎪
⎨
=⎪⎩ t
Rpta:
( ) 1
2 !
n n
y n−
=
30 Hallar
( )n
y ( ) ( ) ( )2 3 4y senx sen x sen x sen x= ⋅ ⋅ ⋅si:
( ) 1
6 cos 6 8 cos 8 10 cos 10
8 2 2
n n n n
y x n x n x
2
n
π π π⎧ ⎫⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= − + − + + +⎨Rpta: ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎭
31 Hallar
( )n
y si: Rpta:3 3
cosy sen x x= + ( ) 4
cos cos 4
2 2 8
n
n
y sen x n x n x n
2
π π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛
= + + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝
⎞
⎟
⎠
32 Hallar
( )n
y si: 4 4
cosy sen x x= + Rpta: ( ) 1
4 cos 4
2
n n
y x n
π− ⎛ ⎞
= +⎜ ⎟
⎝ ⎠
( )n
y si:
2 2
xcos
1 1
sen x
y
ctgx tgx
= − −
+ +
Rpta:33 Hallar ( ) 1
2 2
2
n n
y sen x n
π− ⎛ ⎞
= +⎜ ⎟
⎝ ⎠
34 Hallar
( )n
y ( )1
1
a x x
y e e
+⎡= +
⎢ ⎥⎣ ⎦
si: ⎤ Rpta: ( ) ( )1
( 2) 1
n
y
a xn x
a e e
+⎡ ⎤+ +=
⎢ ⎥⎣ ⎦
35 Hallar
( )n
y 3 2
3 1 3
3 3 3
xy xy
tg tg
⎛ ⎞ ⎛
−⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
xy
xy tg
⎛ ⎞⎞ ⎛ ⎞
= − ⎜ ⎟⎜ ⎟ Rpta:si: ( ) ( 1) !n
n
n
n y
y
x
− ⋅
=
36
( )n
y si: ( )
1
2
3 2y x x
−
= − + Rpta: 1 1
1 1
1
2 1
( n ) n
y ( ) n!= − n n
( x ) ( x )+ +
⎡ ⎤
−⎢ ⎥− −⎣ ⎦
Hallar
( ) ( )y I In x− Rpta:
2
3 5 2n x x= + + ( ) (n
y( )n
y ) ( ) ( )1 ! 2 2 3 1
n n nn n
n x x x
− − −⎡ ⎤+ + + −= −37 Hallar si:
⎢ ⎥⎣ ⎦
38 Hallar
( )n
y si:
2
3 2
3 2
3 2
x x
y
x x
+ +
=
+
Rpta:
( ) ( ) ( )
2 1
1 ( 1)! 1 3 !
(3 2)
n n n
n
n n
n n
y
x x+ +
− + −
= +
+
59

CURSO BASICO
2
2
y sen x
π⎛ ⎞
= +⎜
⎝
( )n
y39 Hallar si: ⎟
⎠
Rpta: ( ) 2 2 ( 1)
2
n n
y sen x n
π⎛ ⎞
= + +⎜ ⎟
⎝ ⎠
40 Hallar
( )n
y si: ( ) 10
x y
n
⎛ ⎞+
⎜ ⎟ = Rpta:
x y
x y
I
x y
π
−
+
+
⎜ ⎟−
⎝ ⎠
( ) 0, 3
n
y n= ∀ ≥
A FUNCION. Hallar la primera dDERIVADAS FUNCION erivada
( )
( ) ( )
2
3 4
y = −
+ +
2
1 3
x
x x
+
Rpta:1
( )( )
( ) ( )
2
4 5
2 5 19 20
'
1 3
x x x
y
x x
+ + +
= −
+ +
2
( )
( ) ( )
9
5 1
2
1 3
x
y
x x
−
= −
− −
1 )
Rpta:
( )( )(
2
7 1
'
1 2 3
x x
y y
x x x
− +
=
− − −
2
( )
( )
3 4
25
1
3
x x
y
x
+ −
= −
− ( )( )
( )
( )
2 42
25
1 22 57
'
x
yRpta:
302 361
20 2 3 3
x xx
x x x
+ −− +
− − −
=
x y
y x=3 Rpta:
( )
( )
'
xIn y yy
y
x yIn x x
⎛ ⎞−
= ⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠
2
x
y x= Rpta: ( )
2
1
' 1 2x
y x In x+
= +⎡ ⎤⎣ ⎦4
5
x a b
b x⎛ ⎞ ⎛ ⎞a
y
b x a
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Rpta: '
a a b
y y In
b x
⎡ −⎛ ⎞
= −⎜ ⎟⎢ ⎥
⎝ ⎠⎣ ⎦
⎤
6
x
x
y x= Rpta: ( ) ( )2 1
'
x
x x
y x x In x In x
x
⎛ ⎞
= + +⎜ ⎟
⎝ ⎠
7 a
y x a a= + Rpta: 2a x x a
y a x ax a Ina a a In a− −a a x
x a
+ a a 1 1
'
a a x
= + +
8 ' 1 1
xx e
x e e
y e e e
⎛ ⎞⎛ ⎞
= + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠
xx e
x e e
y e e e= + + Rpta:
9
2xx
y x= Rpta:
2
1 2 2 2
' 1 2
x
x x
y x x x In x x In x− ⎡ ⎤= + +
⎣ ⎦
10
( ) ( )
2
xxx
y e= Rpta: + ⎤⎦
1
( ) ( )1
' 1
xx x
x x x
y e x x x In x In x−⎡ ⎤= − ⎡ ⎤ ⎡⎣ ⎦ ⎣⎣ ⎦
( )
x
y arctg x= ⎡ ⎤⎣ ⎦ Rpta: ( )
( ) ( )2
'
1
x y
y yIn arctg x
x arctg x
⋅
= +⎡ ⎤⎣ ⎦
+
1
60

Guia de calculo 1 MATEMATICA

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

La actualidad más candente (20)

Similar a Guia de calculo 1 MATEMATICA

Similar a Guia de calculo 1 MATEMATICA (20)

Más de Armando Cavero

Más de Armando Cavero (16)

Último

Último (20)

Guia de calculo 1 MATEMATICA