Description of a program and method to find an optimum energy spectrum for use in the Collapsed Cones Convolution/Superposition algorithm implemented in CAT3D. Some other details for modeling the Collapsed Cones on CAT3D are also presented. The executable code of FixCC_Spectrum.exe is available upon request to the author.

1. Reconstrucción del espectro energético de una haz experimental para configurar el método de Convolución de Conos Colapsados en el CAT3D. Programa “FixCC_Spectrum.exe”. (*)
Autor: Armando Alaminos Bouza. Mevis Informática Médica LTDA. Brasil.
Introducción.
El método de convolución de conos colapsados (CCC) depende de una biblioteca de mapas de depósito de energía en el entorno de un sitio de interacción de fotones monoenergéticos. A estos mapas se les denomina usualmente de “energy deposition kernels” o EDK. Los detalles de este método pueden encontrarse en diversas fuentes [5].
Para modelar haces de fotones polienergéticos se debe resolver la convolución de cada uno de los componentes del haz o usar una variante simplificada que emplea una única convolución de un EDK polienergético creado a partir de la combinación de los EDKs monoenergéticos. Independientemente del método adoptado para resolver la convolución, necesitamos conocer el espectro, o al menos una aproximación discreta del mismo que sea equivalente.
Un haz real de acelerador lineal (LINAC) es formado por un espectro energético de fotones resultante del impacto de los electrones acelerados sobre el material del blanco y de otras interacciones con diversas partes de la estructura, como filtro aplanador, colimador, etc. De todo ello resulta un espectro complejo y difícil de modelar en forma teórica, aun cuando se conozcan los detalles de diseño del sistema. En principio, podemos estudiar el espectro con la espectroscopia de dispersión Compton, pero no resulta satisfactorio por depender de recursos poco comunes en un servicio de radioterapia. También es posible modelar el espectro con Monte Carlo introduciendo toda la estructura y geometría de la fuente, filtro aplanador, el blanco y los colimadores, pero es muy complejo y solo será válido para un LINAC que conserve exactamente sus especificaciones de diseño.
Por otra parte, uno de los datos básicos de toda unidad de radioterapia, el por ciento de dosis en profundidad (PDD), es una consecuencia del espectro efectivo del LINAC. Para los fines de un sistema de planificación de radioterapia y para la dosimetría clínica en general, no necesitamos conocer el espectro real sino un espectro equivalente que haga que el método CCC reproduzca los parámetros físicos relevantes para la dosimetría clínica.
(*) - código ejecutable del FixCC_Spectrum está disponible y puede solicitarse al autor.

2. Método.
Sea z el eje central del haz. Consideremos que la distribución de dosis del haz real es una integral en energía de la dosis aportada por cada componente monoenergético del espectro. Como necesitamos una representación discreta del espectro, pues los EDK son para algunas energías solamente, expresaremos el modelo como:
n
D(z) = Σ [ fi Di(z) ] equ.1
i=1
donde n es el número de componentes del espectro, fi es la fracción del componente i-esimo en el espectro y Di(z) es la dosis que deposita el componente i-esimo en la profundidad z. Los valores de Di(z) para haces monoenergéticos los podemos conseguir con corridas de Monte Carlo en las mismas condiciones geométricas que las medidas disponibles.
Ahora podemos definir el error del modelo como:
m
E = Σ ( D(z) - Dj(z))2 equ.2
J=1
Donde m es el total de medidas de PDD que se tienen, para distintas profundidades y Dj(z) son los valores de dosis medidos.
En principio la solución del problema del espectro efectivo consiste en encontrar el conjunto de [f1..fn] que minimiza el error E. Naturalmente, debemos imponer la restricción de que los valores de fi deben ser positivos :
fi >= 0.0 , para cualquier i . equ.3
El problema que presenta este modelo, particularmente si se necesita un espectro realista, es ser mal condicionado. La formulación presentada tiene la forma de una ecuación integral de Fredholm de primer tipo [1]. En estos problemas, pequeños errores en los datos experimentales generan grandes alteraciones de la solución, pues la solución no depende continuamente de los datos medidos. Adicionalmente, existen un gran número de soluciones del espectro discreto [f1..fn] que resultan en mínimos locales del error E.
Con el fin de alcanzar soluciones más realistas del espectro hemos explorado dos caminos en el código FixCC_Spectrum. En ambos casos introducimos restricciones a la forma de la solución, o sea el espectro. La primera solución parte de la idea que los espectros experimentales de LINAC presentan formas relativamente suaves con solo un máximo entre la componente de energía mínima y la energía máxima. Para favorecer

3. estas formas de espectro se introdujo una penalización para cada región de máximo o mínimo dentro del espectro evaluado como candidato a solución. La penalización es proporcional al cuadrado de la segunda derivada del espectro en cada punto de máximo o mínimo.
La segunda solución emplea la idea propuesta por Gui Li y coautores [2]. En este caso se introduce una restricción más fuerte a la forma del espectro. Solamente se exploran soluciones que correspondan con un espectro de Schiff modificado por Jun Deng [3]. El modelo de Schiff es una entre diversas formulaciones para el “cross-section” de radiación de frenado (bremsstrahlung) dentro de la aproximación de Born. El modelo de Schiff, pese a ser el más empleado para expresar el espectro de un LINAC, es insatisfactorio para las condiciones reales por ignorar las perturbaciones creadas por el sistema de filtro y los colimadores. Para flexibilizar el modelo los autores proponen introducir una función con tres parámetros adicionales. Finalmente llegan a una fórmula de Schiff modificada que depende de seis parámetros: T, Z, t, a, c, Ep. T es la energía de los electrones incidentes en el blanco. Z es el número atómico efectivo del sistema generador del haz. t es el espesor efectivo del sistema. a es el semiancho del pico de máximo en el espectro. c es un parámetro para normalización y Ep es la energía en el pico del espectro, o energía más probable. De esta forma, del universo de soluciones de [f1..fn] estamos excluyendo todas las que no tenga la forma funcional del modelo de Schiff modificado por Deng [3].
El programa FixCC_Spectrum utiliza el modelo de la ecuación 1 y la función objetivo de la ecuación 2, y realiza múltiples tentativas de obtener un error mínimo con perturbaciones aleatorias de las soluciones previas. Cada vez que alcanza un espectro que mejora el resultado previo grava los valores en un archivo log. Al final encontramos el mejor espectro investigado y ya está con la sintaxis requerida por el CAT3D, por ejemplo:
EDK_SPECTRUM = 11 0.20 0.50 1.00 1.25 1.50 2.00 2.50 3.00 4.00 5.00 6.00 0.026049 0.031569 0.034178 0.051400 0.066049 0.120097 0.188063 0.190340 0.194154 0.069054 0.029046
Esas últimas líneas pueden ser copiadas y pegadas al archivo de modelaje del CAT3D (.RSD). Este sería el espectro del haz al llegar a la superficie del tejido o agua.
Es importante agregar que el método representado por las ecuaciones 1, 2 y 3 no considera la presencia de electrones contaminantes en el haz primario. Para evitar que la solución sea afectada por los contaminantes recomendamos que los valores medidos que se ingresen al FixCC_Spectrum sean de profundidad mayor que 2 veces la profundidad del máximo de dosis.

4. Otros parámetros necesarios para modelar completamente un haz con el algoritmo CCC del CAT3D :
EDK_CALIBRATION : Valor que calibra el flujo del campo 100x100 a SSD= SSDref, para Depth = 100 mm (sugerimos a 100 mm para evitar problemas con contaminación de electrones). Ejemplo:
EDK_CALIBRATION = 1.67489
Con este parámetro conseguimos que las unidades monitoras necesarias para administrar una dosis deseada a la profundidad de referencia (100 mm) para el campo 100x100 mm2 coincidan entre la medidas con cámara de ionización y el CCC del CAT3D.
Factores de Corrección del flujo de energía en aire.
El algoritmo CCC necesita un modelo de variación de flujo en aire como función del tamaño de campo de forma precisa. La palabra clave para este dato en el RSD es:
EDK_FLUX_CORRECTION
Ejemplo de uso:
EDK_FLUX_CORRECTION = 5
40 80 100 200 300
1.0074 1.0033 1.00 0.9872 0.9814
En el ejemplo previo se introducen 5 puntos de control, para 5 tamaños de campo cuadrados. Es importante incluir el 100x100 y este debe ser 1.000, pues el campo 100 previamente debe ser exacto si está bien dimensionado el parámetro EDK_CALIBRATION .
Existe otro parámetro que define si el haz tiene una variación de energía con la distancia al eje central. Este fenómeno es común a todos los LINAC que incluyen un filtro aplanador (flattening filter). Por otra parte, este fenómeno no está presente, por ejemplo, en una unidad de cobalto. Ejemplo para un LINAC:
EDK_OFFAXISSOFTENING = 1
El modelo de dependencia de la energía con la distancia al eje central usado en el CAT3D es genérico, se basa en publicaciones de varios autores [4] mostrando que dicho comportamiento es repetible en diversos LINAC independientemente del modelo o fabricante; al menos hasta donde este fenómeno es clínicamente significativo.

5. El algoritmo descrito de CCC no contiene una representación de la contaminación del haz con electrones. Sin modelar esta contaminación tenemos diferencias significativas en la región del “buildup” y algunos mm más, especialmente en energías nominales superiores a 8 MeV. El CAT3D incluye un modelo simple de contaminación con electrones que asume una caída exponencial de la dosis por electrones contaminantes en la profundidad. Este modelo, aunque simplificado, es suficiente para conseguir correspondencia satisfactoria en todos los casos tratados.
A continuación mostramos un ejemplo de sintaxis que define la contaminación en el archivo RSD:
EDK_CONTAMINATION = 4 50 0.42 0.59 20 100 0.49 0.41 20 200 0.55 0.35 20 320 0.54 0.32 20
La cláusula EDK_CONTAMINATION determina para cuantos tamaños de campo se especificará. Cada línea contiene: el tamaño del lado equivalente [mm], la fracción máxima de energía depositada en superficie por los electrones, un coeficiente de atenuación lineal [mm-1] y la profundidad máxima del efecto de la contaminación [mm]. El valor de la profundidad máxima de contaminación se introdujo por razones de eficiencia, pues permite ignorar el cálculo de esta contribución a partir de dicha profundidad.
La figura siguiente muestra el resultado de modelar un haz de LINAC, de 15 MeV de fotones, con y sin contaminación de electrones.

6. En la figura anterior, la curva azul es generada por los datos medidos con cámara de ionización, la curva amarilla es resultado del CCC sin considerar la contaminación de electrones, la curva roja es creada por el CCC del CAT3D considerando la contaminación de electrones.
La figura que sigue presenta una comparación del resultado medido (azul) y de la curva creada por CCC do CAT3D (rojo), con contaminación de electrones. El espectro empleado fue resultado de la corrida del programa FixCC_Spectrum.exe.

7. Bibliografia
1 - Du H., Cui, M., “Approximate solution of the Fredholm integral equation of the first kind in a reproducing kernel Hilbert space” Applied Mathematics Letters 21 (2008) 617-623.
2 - Li G., Zheng H., Sun G., Wu Y., “Photon Energy Spectrum Reconstruction Based on Monte Carlo and Measured Percent DepthDose in accurate radiotherapy” . Progress in Nuclear Science and Technology, Vol. 2, pp. 160-164. 2011.
3 - Deng, J., Jiang B., Pawlicki T., “Derivation of electron and photon energy spectra from electron beam central axis depth dose curves”, Phys. Med. Biol., 46[5], 1429-1449 (2001).
4 - Taylor R.C., Tello V.M., Schroy C.B., Vossles M., Hanson W.F., “A generic off-axis energy correction for linac photon beam dosimetry”, Med. Phys. 25, 662 (1998).
5 - Ahnesjo A., “Collapsed cone convolution of radiant energy for photon dose calculation in heterogeneous media”, Med. Phys. 16, 577 (1989).