Continuidad

1. 2.4.2. Ejercicios resueltos sobre continuidad de funciones.
1. Considérese la función definida por:
 x−2
 , x ≠ 2
f ( x) =  x 2 − 4
 4,
 x = 2
Analícese la continuidad de f en el punto x = 2. Si es discontínua, clasifique la
discontinuidad.
Solución:
Se debe analizar si f satisface las condiciones para ser contínua en x = 2.
i. f (2) = 4 (Existe)
x−2
ii. Lim f ( x ) = Lim f ( x ) = Lim f ( x ) = Lim
x→2+ −
x→2 x→2 x→2 x2 − 4
x−2
= Lim
x→ 2 ( x − 2 )( x + 2 )
1 1
= Lim = (Existe).
x→ 2 x+2 4
1
iii. Lim f ( x ) = ≠ f ( 2) = 4
x→ 2 4
Como falla esta última condición, f no es contínua en x = 2.
1
Ahora, puesto que Lim f ( x ) = (existe), la discontinuidad es removible o
x→2 4
evitable en x = 2.
Para remover o evitar la discontinuidad, se redefine la función, de forma que coinciden
Lim g ( x) con g (2).
x→ 2
 x−2
 2 , x ≠ 2
Asi, g ( x) =  x − 4
1
 , x = 2
 4
En la fig. 2.14. aparecen las gráficas de f y g cerca de x = 2.

2. fig. 2.14.
2. Considérese la función f definida por:
 2 x + 1 si x ≤1
f ( x) =  2
 x + 3 si x >1
Analícese la continuidad de f en el punto x = 1. Si f es discontínua, clasifique
su discontinuidad.
Solución:
Como en el caso anterior, se analizan primero las condiciones de continuidad.
i. f (1) = 2 .1+1 = 3 (Existe)
Lim f ( x ) = Lim ( x 2 + 3) = 4 
x →1+ x →1+ 
ii.  ⇒ Lim f ( x ) NO EXISTE
Lim f ( x ) = Lim ( 2 x + 1) = 3  x →1
x →1− x →1− 
De i. y ii. se concluye que f no es contínua en el punto x = 2.

3. Además, como Lim f ( x ) NO EXISTE, la discontinuidad es ESENCIAL y no
x →1
puede removerse. En la figura 2.15. aparece dibujada la función f.
fig. 2.15.
3. Considérese la función f definida por:
 3x + 6a si x < −3

f ( x ) =  3 ax − 7 b si −3≤ x ≤3
 x − 12 b si x >3

Determínense los valores de las constantes a y b para que f sea contínua en
todo su dominio.
Solución:
Como f ha de ser continua en todo su dominio, debe serlo en particular en los puntos
x = −3 y x = 3 .
De la continuidad de f en el punto x = −3 , se deduce que:
Lim f ( x ) = Lim + f ( x ) = f ( − 3 ) (1).
x → −3 − x → −3
Pero, Lim f ( x ) = Lim− ( 3 x + 6 a ) = − 9 + 6 a (2).
x → −3− x → −3
También, Lim+ f ( x ) = Lim+ ( 3 ax − 7 b ) = − 9 a − 7 b = f ( − 3 ) (3).
x → −3 x → −3

4. Sustituyendo (2) y (3) en (1) se obtiene:
15 a + 7 b = 9 (4).
De la continuidad de f en el punto x = 3, se deduce que:
Lim− f ( x ) = Lim+ f ( x ) = f ( 3 ) (5).
x→ 3 x→3
Pero, Lim− f ( x ) = Lim− ( 3 ax − 7 b ) = 9 a − 7 b = f ( 3 ) (6).
x→3 x→ 3
También, Lim+ f ( x ) = Lim+ ( x − 12 b ) = 3 − 12 b (7).
x→3 x→3
Sustituyendo (6) y (7) en (5) se obtiene:
9 a + 5b = 3 (8).
Al resolver simultáneamente las ecuaciones (4) y (7) se obtiene finalmente los
valores: a = 2 y b = – 3.
Con estos valores, ¿cómo queda definida la función f? Dibújesele.