FBSDZXVXV

1. Transformada Discreta
de Fourier.

2. La transformada discreta de Fourier, o DFT, es la
principal herramienta del procesamiento digital de
señales. La base del producto es la transformada rápida
de Fourier (FFT), un método para calcular la DFT con un
tiempo de ejecución reducido.

3. Como definir la DFT
La transformada se denota a veces por el símbolo F,
igual que en X=F{x} o Fx
La transformada inversa de Fourier discreta (IDFT) viene dada
por:

4. Obtenemos una sinudoide de amplitud

5. Propiedades:
Completud:
Ortogonalidad:

6. Los teoremas de Plancherel y Parseval
Periodicidad:

7. Teorema de desplazamiento
Teorema de la Convolución circular y de la correlaciona cruzada:

8. También se puede demostrar que:

9. Desarrollo en serie de Fourier discreto (DFS)
N
x(n)  x(k) n  k
k0
N
N1  j2 ksn
e
n 0
 
 0 k s
N k  s
j2 kn
N
N1
x(n)   X(k) e
k 0
x(n) e
 j2 sn
N N
k 0
 
X(k) e

 N1 j2 kn 


e
 j2 sn
N
 j2sn
N
N1
x(n) e
n 0
j2 ksn
N
N1 N1
 X(k) e
k 0 n 0
 j2 sn
N
n 0
N 1
x(n) e    N  X(s)
 j2 kn
N
1
N
j2 kn
N
N1
X(k)  x(n) e
n 0
N1
x(n)  X(k) e
k 0

10. Ejemplo de DFS.
1 0  n  4
x(n)  
0 5  n  9
n 0
9
X(k)  x(n) e
 j2 kn 4  j2 kn
10  e 10
n 0
1e

1e
 j2 k5
10
 j2 k
10
X(k) 
e
e
 jk
2
 jk
10
e

 e
 jk
e
jk
2
jk
10  e
2
 jk
10
 e j0.4k

 
sen
 k
 2 
 
sen

  k 
 10 


11. Propiedades del DFS.
a"s$n&, /"u$n& a"S()*,/"U()*
s$n&"u$n&
S()*"U()*
s$n 01 &
S() 02*
4 " 3
· ! S(2*U() 02*
2#5
3
4
4 " 3
1 #5
! s$1&$u$n" 1&
6 7 $S()
*
" 9
8w ) $
1
7
6 $s$n&
%9
8w 2 :
Linealidad
Producto
Convolución periódica
Desplazamiento temporal
Desplazamiento frecuencial
– N N
0
~
x2[m]
– N N
0 m
2
x
~ [– m]
– N N
0 m
m
~
x1[m]
– N N
0 m
2 2
x [1 – m] = x [–(m – 1)]
~ ~
~
x2 [2 – m] = x
~ [–(m – 2)]
2
Ejemplo de convolucion periódica
m
– N 0 N

12. Muestreo de la Transformada de
Fourier de una secuencia discreta (I)

Xe jw
 x(n) e jwn
n
N

U(k)  X
e

 j2 k 
 

 j2 kn
N
n

 x(n) e
j2kn
N
1
N1
u(n)  U(k) e
N
k 0
N
N
k 0

m
N1 
u(n) 
1
x(m) e e


 j2km  j2kn
N

N
e
k 0

1
m 
u(n)  x(m) 
N
N1 j2knm



Aplicando
N1 j2knm
e N  
N n  m  r  N
r entero
 0 n  m r  N
k 0

13. Muestreo de la Transformada de
Fourier de una secuencia discreta (II)
Se llega finalmente a

u(n)  
m
x(m
)
 (n  m  r

N)  u(n)  
r
x(n  r N)
0 8
x[n]
∞
x
~[n] = x[n – r12]
r = –∞
...
n
N = 12 ∞
x
~[n] = x[n – r7]
r = –∞
...
n
...
–12 0 8
...
n
–14 –7 0 14
N = 7

14. Transformada Discreta de Fourier (DFT).
Conclusiones a tener en cuenta.
Se define la Transformada Discreta de
Fourier (DFT) de una señal xn como .
N1  j2 kn
X(k)  x(n) e
n 0
N
La Transformada inversa queda
definida como (ecuación de sintesis)
x(n) 
1
N
j2 kn
N
N1
X(k) e
Si se define
WN  e
 j2
N
X(k)  x(n) W kn
N
N1

n 0
x(n) 
1
N
 X(k) W kn
N
N1

Ec Análisis
Ec Síntesis
k 0

15. Ejemplo de DFT (I).
1 x[n]
0 4 n
7 8
1
...
0
4
X(k)  x(n) e
n 0
~
X[k]
...
9 10 11 k
4w ω
...
5 10 15 20 n
 j2 kn
1 e j2 k 0 k  5 r
5    r entero
2 j k
5 k  5 r
1 e 5

16. Ejemplo de DFT (II).
~
x[n]
– 10 0 4 10
1
n
Operando

  k 
9  j 2 k n 4  j  k n  j  k sen 
X(k)  x(n) e 10  x(n) e 5 
1 e
 e j 0.4k

 2 
 j k 
  k 
n 0 n 0 1 e 5 sen
 10 
 
X(k) 
9

n 0
x(n) e
 j 2
10
k n

4

n 0
 j kn
1e j k
x(n) e 5 
 j k
1 e 5

sen

 e j  0.4k
 

sen


 k 
2


 k 
10


5 |X[k]|
3.24 3.24
1.24 1 1.24
–10 0 10 &X[k]k
0.4 w
0.2 w
–10 0 10 k
–0.2 w
–0.4 w

17. Cuestiones a tener en cuenta con la DFT
La Transformada de Fourier de una secuencia
discreta x(n) viene definida de la siguiente forma