aplicacion derivadas

1. República Bolivariana de Venezuela
Instituto universitario de tecnología
“Antonio José de Sucre”
Extensión San Cristóbal
Aplicación de derivadas
Autor
Yisney Santeliz
CI 27920612
1er semestre
San Cristóbal, enero 2021

2. Aplicación de derivadas
La definición de derivada es la siguiente: Por tanto, analíticamente una
derivada es un límite y existirá siempre que exista el límite.
La derivada tiene una gran variedad de aplicaciones además de darnos la
pendiente de la tangente a una curva en un punto. Se puede usar la derivada para
estudiar tasas de variación, valores máximos y mínimos de una función,
concavidad y convexidad, etc.
Ejemplo
Encuentre los máximos y mínimos de la ecuación:
Por el criterio de la primera derivada. Obtenemos la primera derivada de la
función:
Encontrando las raíces para la primera derivada tenemos:
Por lo tanto tenemos algún máximo o mínimo en el punto x=0, para determinar si
es un máximo o un mínimo tendremos que valuar la pendiente antes y después de
cero, es decir, en sus vecindades de este punto.
Evaluando en y´(-0.01) tenemos:
y´(-0.01)= -0.004
Evaluando para x después de cero tenemos:
y´(0.01)= 0.004
como la derivada alrededor de cero cambia de positivo negativo a positivo por
tanto tenemos un mínimo local en (0,0).
Teorema del Valor Medio:
Si f es continua en el intervalo cerrado [a,b] y derivable en el intervalo abierto (a,b)
existe al menos un número c∈(a,b) tal que:
“.
Ejemplo
(a+h)=hf'[a+t(b-a)]+f(a)

3. En nuestro caso sea f(x)=ln(x) x para con a=1 y h=x2. Como x2 es siempre
positivo, el logaritmo se puede calcular para todo x y la función es continua para
todo x. También es derivable en todo valor real siendo la derivada:
Aplicando el teorema:
Pues f(1)=ln 1=0
Y como para x distinto de cero:
Dado que la penúltima fracción es igual a ln(1+x2), queda finalmente:
Como queríamos probar.
Teorema de Rolle:
Suponiendo que f es continua en el intervalo cerrado [a,b] y derivable en el
intervalo abierto (a,b). Si f(a) = f(b), existe al menos un número c∈(a,b) entre a y b tal
que:
F’(c)= 0
Ejemplo:
f(x)=x3
+ 4x2
-7x-10
en el intervalo [-1, 2]
f'(x)=3x2+ 8x-7
f(-1)=(-1)3+4(-1)2-7(-1)-10=-1+4+7-10=0
f(2)=23+4.22-7.2-10=8+16-14-10=0
Se cumplen por tanto las hipótesis del teorema y ha de existir un c tal que:

4. Donde hay que despreciar la segunda solución por no pertenecer al intervalo
considerado.
Teorema de Cauchy
Sean f(x) y g(x) dos funciones continuas en [a, b] y derivables en ]a, b[, tales que
sus derivadas no se anulan simultáneamente en ningún punto de ]a, b[ y g(b) es
distinto de g(a). Entonces existe, al menos, un punto c del intervalo ]a, b[ tal que:
“
Ejemplo del Teorema de Cauchy
f(x)= sen x
g(x)= 1+ cos x
en
f'(x)= cos x
g'(x)= 1- sen x
Las derivadas de f(x) y g(x) se anulan simultáneamente en x= pero dicho punto
no pertenece al intervalo abierto y como además:
Se cumplen todas las hipótesis del teorema y podemos aplicar la relación que en
el enunciado del mismo se da para encontrar el valor de c, es decir:

5. Perteneciendo ambos valores al intervalo es estudio y siendo, por tanto, válidos
ambos.
Integrales
Integrales Indefinidas:
Se llama integral indefinida de una función f(x), al conjunto de todas las
primitivas de la función f(x), y se simboliza
Esta expresión se lee «integral de efe de equis diferencial de equis».
Por las propiedades de la función primitiva, si F(x) es una primitiva de f(x),
Donde C representa una constante llamada constante de integración.
Ejemplo:
Integrales definidas:
Se llama integral definida de la función f(x) 0 entre a y b (a estos dos valores
se les denomina límites de integración), al área de la porción de plano
limitada por la gráfica de la función, el eje X y las rectas paralelas x = a y x =
b