Trabajo sobre las derivadas

1. REPÚBLICA BOLIVARANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN UNIVERSITARIA,
CIENCIA Y TECNOLOGÍA
INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGIA
“ANTONIO JOSÉ DE SUCRE”
EXTENSIÓN ANACO
APLICACIÓN DE LA DERIVADA
Bachiller: Kedily Piñeiro
CI: 30.218.077
Matemática I SC
Anaco, Julio 2021

2. INDICE
Pag
INTRODUCCIÓN…………………………………………………………...3
DESARROLLO……………………………………………………………..4
Aplicaciones de la Derivada………………………………………............4
Monotonía de la Función…………………………………………………4/5
Curvatura de una Función…………………………………………………5
Puntos de Inflexión…………………………………………………………6
Máximos y Mínimos……………………………………………………….6/7
Teorema de los Valores Extremos……………………………………7/8/9
Tasa de Variación…………………………………………………….......9
Teoremas de las Derivadas…………………………………………….9/10
Optimización……………………………………………………………….11
CONCLUSIÓN……………………………………………………..…......12
BIBLIOGRAFIA……………………………………………………………13

3. INTRODUCCIÓN
La derivación constituye una de las operaciones de mayor
importancia cuando tratamos de funciones reales de variable real
puesto que nos indica la tasa de variación de la función en un instante
y para el valor concreto de la variable, si ésta no es el tiempo.
Es una herramienta de cálculo fundamental en los estudios de
Física, Química y Biología.
Un aspecto importante en el estudio de la derivada de una
función es que la pendiente o inclinación de la recta tangente a la
curva en un punto representa la rapidez de cambio instantáneo. Así
pues, cuanto mayor es la inclinación de la recta tangente en un punto,
mayor es la rapidez de cambio del valor de la función en las
proximidades del punto.
Además de saber calcular la derivada de una función en un punto,
es conveniente ser capaz de determinar rápidamente la función
derivada de cualquier función.

4. DESARROLLO
APLICACIONES DE LAS DERIVADAS
La derivada tiene una gran variedad de aplicaciones además de
darnos la pendiente de la tangente a una curva en un punto. Se puede
usar la derivada para estudiar tasas de variación, valores máximos y
mínimos de una función, concavidad y convexidad, etc.
MONOTONÍA DE UNA FUNCIÓN
Una de las características más importantes a la hora de hacer la
representación gráfica de una función es estudiar su monotonía, es
decir donde crece y donde decrece nuestra función. Así como
determinar los máximos y/o mínimos en el caso de que los tuviera.
Además, si todavía tenemos algunas dudas sobre la representación,
también podemos estudiar su curvatura y los puntos de inflexión.

5. Para hallar los intervalos de monotonía de una función hay que
realizar el siguiente procedimiento:
1. Derivar la función, obteniendo f’(x).
2. Hallar las raíces de la derivada, es decir, los valores de x tales que
en ellos la derivada sea f’(x) = 0.
3. Crear intervalos abiertos con extremos las raíces halladas de f’(x).
4. Estudiar el signo que toma la derivada en un valor interior de cada
intervalo.
CURVATURA DE UNA FUNCIÓN
La forma de una función y el decidir si es cóncava o convexa se llama
curvatura y se hace utilizando la segunda derivada de la función. Más
concretamente, estudiando el signo de la segunda derivada. O sea,
más o menos lo mismo que con la monotonía pero con la segunda
derivada.
Los puntos donde la función cambie de cóncava a convexa o
viceversa, se llamarán puntos de inflexión.
En términos visuales, una función cóncava se asemeja a una
montaña, mientras que una función convexa a un valle.

6. PUNTOS DE INFLEXIÓN
La derivada permite estudiar existencia de los puntos de inflexión.
Un punto de inflexión de una función es el lugar de su dominio en
donde cambia de curvatura, donde cambia de cóncavo a convexo o
viceversa.
En un punto de inflexión, la tangente atraviesa la gráfica de la función.
Si además la primera derivada es nula, f’(a) = 0, es un punto de
inflexión de tangente horizontal.
Para que una función f(x) tenga un punto de inflexión en el punto
(a, f(a)) es condición necesaria que la segunda derivada, si esta
existe, sea nula en dicho punto (f’’(a) = 0).
Esta condición es necesaria, pero no suficiente. Puede que
sea f’’(a) = 0 y no haber punto de inflexión en a. Pero, por el contrario,
si fuese f’’(a) ≠ 0, podemos afirmar que no hay un punto de inflexión
en f(a).
MÁXIMOS Y MÍNIMOS
Los máximos y mínimos en una función f son los valores más grandes
(máximos) o más pequeños (mínimos) que toma la función, ya sea en
una región (extremos relativos) o en todo su dominio (extremos
absolutos).
 Máximos y mínimos absolutos
Los extremos absolutos son los valores de una función f más
grandes (máximos) o más pequeños (mínimos) de todo el dominio.

7. El máximo absoluto de la función f es el valor más grande en todo
el dominio.
El mínimo absoluto de la función f es el valor más pequeño en todo
el dominio
 Máximos y mínimos relativos
Los extremos relativos de una función f son los valores más grandes
(máximos) o más pequeños (mínimos) de una región del dominio.
Los extremos relativos también son conocidos como extremos locales.
La función f tiene en M un máximo relativo si f (M) es mayor que sus
valores próximos a izquierda y derecha
En términos de sus derivadas, sean f y f ’ derivables en M.
Entonces M es máximo relativo de f si:
La función f tiene en m un mínimo relativo si f(m) es menor que sus
valores próximos a izquierda y derecha
En términos de sus derivadas, sean f y f ’ derivables en m.
Entonces m es mínimo relativo de f si:
TEOREMA DE VALORES EXTREMOS
La regla de l’Hôpital sirve para resolver muchos casos
de límites queden indeterminación, especialmente los casos más
complejos, exponenciales o términos no racionales. Se aplica
directamente a límites con indeterminaciones del tipo 0/0 o ∞/∞. Eso
no impide que pueda aplicarse a otros casos de límites

8. indeterminados, realizando transformaciones para llegar a una de los
tipos anteriores. La regla de l’Hôpital puede aplicarse sucesivamente.
Requiere conocer bien la técnica de la derivación.
Si dos funciones f(x) y g(x) continuas en un intervalo que contiene el
punto a toman los valores f(a) = g(a) = 0, se verifica que
Las funciones deben derivarse por separado en el numerador y en el
denominador.
Es una indeterminación del tipo 0/0.
Entonces se verifica que:
Siempre que exista el límite en a de f’/g’ y que g’(x) ≠ 0 en cualquier
punto del intervalo diferente de a. (El que no exista el límite f’/g’ no
excluye que pudiera existir el límite de f/g).
El valor del límite en a puede ser cualquiera en el intervalo derivable
de ambas funciones, incluyendo +∞ y -∞.
La regla de L’Hôpital se puede aplicar también directamente a límites
laterales y a límites indeterminados del tipo ∞ / ∞ ya que del caso del
enunciado inicial se puede hacer la transformación:

9. En los límites que den indeterminaciones exponenciales del
tipo 1∞
, 00;
o ∞0
, mediante transformaciones basadas en
las propiedades de los límites y de los logaritmos, llegar a
una indeterminación cociente 0/0 o ∞/∞ a la que sí que se le podría
aplicar la regla de L’Hôpital.
TASA DE VARIACIÓN
La tasa de variación media se corresponde con la pendiente de la
recta que une los puntos de la función de abscisas a y a, a + Δx, es
decir, la tangente del ángulo α.
La tasa de variación instantánea de f(x) en un punto de abscisa a es
el límite del valor de la tasa de variación media cuando el incremento
de x tiende a cero. La T.V.I es la derivada de la función en ese punto:
TEOREMAS DE LA DERIVADAS
 Teorema de Rolle
El teorema de Rolle consiste en que si una función f(x) verifica que
es continua en un intervalo cerrado [a, b] y derivable en el intervalo
abierto (a, b). Si los valores de la función en los extremos son
iguales f(a) = f(b), entonces hay, al menos, un punto del
intervalo c ∈ (a, b) en el que su derivada primera se anula, f’(a) = 0.
El teorema de Rolle se utiliza para demostrar el teorema de Lagrange.
De hecho, el teorema de Rolle es un caso particular del teorema de
Lagrange cuando se cumpla que f(a) = f(b). Del teorema de
Rolle surgen las importantes series de Taylor.

10.  Teorema del Valor Medio (Teorema de Lagrange)
El teorema del Valor Medio o teorema de Lagrange enuncia que si
una función f(x) es continua en un intervalo cerrado [a, b], existe al
menos un punto pertenenciente al intervalo abierto, que es a su
vez derivable, c &fisin; (a, b), en el se cumple que:
El teorema del valor medio es una generalización del teorema de
Rolle, puesto que no requiere que los extremos del intervalo sean
iguales.
 Teorema de Cauchy
El teorema de Cauchy establece que dadas
dos funciones f(x) y g(x) continuas en el intervalo [a, b] y derivables en
(a, b). Si g(a) ≠ g(b), existe al menos un punto c perteneciente a (a, b),
siempre que g’(c) ≠ 0 tal que se cumple:
El primer término de la igualdad es una constante, a la que
llamaremos k.
El teorema de Cauchy se denomina también teorema Generalizado del
Valor Medio.
OPTIMIZACIÓN
La optimización se consigue con derivadas. Hallando el máximo o
mínimo de una función determinada que recoja el objetivo a optimizar, se
averigua el valor o valores de las variables que hay que ajustar.

11. CONCLUSIÓN
Las derivadas sirven para solucionar problemas de física y todas las
materias que se basan en ella como estática, cinemática, calor,
mecánica, ondas corriente eléctrica, magnetismo. Aplicable también
en la economía para hallar valores mínimos y máximos cuales son
importantes para proyectar en economía. Sirven para explicar el
comportamiento de la curva de una función trigonométrica. Es decir
tiene un número sin fin de aplicaciones en las cuales toma un papel
importante.

12. BIBLIOGRAFÍA
https://www.ieszaframagon.com/matematicas/matematicas2/derivada/63_curvatur
a_de_la_funcin_puntos_de_inflexin.html
https://www.universoformulas.com/matematicas/analisis/aplicaciones-derivadas/
https://matematica.laguia2000.com/general/monotonia-de-una-funcion
https://www.derivadas.es/aplicaciones-de-la-derivada/