Deber de monografia 2

1
Derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas
Ejercicios: (1 - 80)
1.- y = 7
y’ = 7
y’ = 7 Rpt.
2.- y = 7
y’ = 7 . 3
y’ = 21 Rpt.
3.- y =
y = . 2x
y = 2x Rpt.
4.- y =
y’ = .
y’ = Rpt.
5.- y = x
y’ = x . + (1)
y’ = (x + 1) Rpt.

2
6.- y =
y’ = . (-1) + . 2x
y’ = x (2- x) Rpt.
7.- y =
y’ =
y’ =
y’ = Rpt.
8.- y =
y’ = (0)
y’ = 0 Rpt.
9.- y =
y’ = .
y’ = Rpt.

3
10.- y = 3 ln x
y = 3 ln x
y = 3. . x
y = Rpt.
11.- y =
y’ =
y’ =
12.- y =
y’ =
y’ =
y’ =
y’ = Rpt.

4
13.- y =
y =
y’ = (-x)
y’ = = Rpt.
14.- y = x .
y’ = x + (x)
y’ = x . (-2x) +
y’ = (1 – 2x2
) Rpt.
15.- y =
ln (x + 1) – ln (x + 1)
y’ = -
y’ = Rpt.
16.- y = ln
y’ =
y’ = Rpt.

5
17.- y = log
y’ = . .
y’ = Rpt.
18.- y =
y’ =
y’ =
y’ = Rpt.
19.- y = ln
y’ = ln (x2
+ 1) – ln (x + 1)
y’ = . (x2
+ 1) - (x + 1)
y’ = - Rpt.
20.- y =
y = –
y’ = . – . 2x
y’ = – Rpt.

6
21.- y =
y’ =
y’ = Rpt.
22.- y = log
y’ = x log e
y’ = log eRpt.
23.- y =
y’ =
y’ =
y’ = Rpt.
24.- y =
y’ =
y’ = Rpt.

7
25.- y =
y = ln (x + 2) e3x
– ln (x2
+ 1)
y = ln (x + 2) + ln e3x
– ln (x2
+ 1)
y = ln (x + 2) + 3x ln e – ln (x2
+ 1)
y = ln (x + 2) + 3x – ln (x2
+ 1)
y’ = (1) + 3 - . 2x
y’ = - + 3 Rpt.
26.- y =
y = = . 3 ln x
y’ = . + 3 lnx .
y’ = + Rpt.
27.- y = ax
y = ax
lna .x
y = ax
ln a Rpt.

8
28.- y = loga x
y = = . log x
y = . + log x .
y’ = + Rpt.
29.- y =
y =
y = . 2x + . – 1
y = (2x – 1) Rpt.
30.- y =
e
y = +
y’ = . 2x + 2e
y’ = 2 ( ) Rpt.
31.- y =
y =
y’ = Rpt.

9
32.- y =
y =1 + + 1 +
y = 2
y = 2 – 1
y = - 2 Rpt.
33.- y =
y =
y = Rpt.
34.- y = 3 ln x
y = 3 ln x
y = 3. . x
y = Rpt.
35.- y =
y = ln x – 7
y = . x - . 7
. (1) = Rpt.

10
36.- y = ln2
y = 1/2 (1)
y = 1/2 Rpt.
37.- y = ln 3 +
y = ln 3 + 0.77
y = .
y = Rpt.
38.- y = (ln 3) (ln x)
y = ln 3.
y’ = Rpt.
39.- y =
ln x – ln 7
(1) = Rpt.
40.- y = ln (3x + 7)
y = . 3
y = Rpt.

11
41.- y = (x2
+ 5)
y = . 2x
y = Rpt.
42.- y = ln (1 + )
y = .
y = Rpt.

14
57.- 6 ln x
yI
= 6 * 1 *1
X
yI
= 6
X
58. log3 (x+1)
yi
= ln (x+1) = 1 * ln(x+1)
Ln3 ln3
yI
= 1 * 1
Ln3 x+1
yI
= 1
(X+1) ln3

15
59. ln x
logx
YI
= log x *1 – ln x * 1
Xx
(Log x)2
YI
= log – ln
(Log x)2
60. Y= log2x
log3 x
Ln x
YI
= ln 2
Ln x
Ln 3
YI
= 3 ln x
2 ln x
YI
= 3
2
61. (log3 x) (log2 x)
YI
= ln x * ln 2
ln 3 ln x
YI
= ln 2
ln 3
YI
= ln 3 *1 (0) – ln 2 * 1 (0)
23
( ln3 )2
YI
= -1
(ln 3)2

16
62. y=log x2
X
YI
= lnx2
Lnx
YI
= ln x
63. y=logx x2
YI
= lnx2
Lnx
YI
= ln x
64. y=log x
X
YI
= ln x
ln x
YI
= 1
65. logx(x+1)
YI
= ln (x+1) = ln x-1
* ln(x+1)
Lnx
yI
= ln x-1
1 + ln (x+1) * ln x-1
x+1
yI
= ln x-1
- 1 ln (x+1)
x+1 x
yI
= 1 - 1 ln (x+1)
Ln x (x+1) x
yI
= -1
x Ln (x+1)

17
66.- 8ln x
yI
= 8 * 1 *1
x
yI
= 8
X
67. Encuentre
68.

18
69. en (0,0)
70. y= xlnx en x=1
y= xlnx y=ln1=0 p (1,0)

19
71. en x=0
72. en x=0 y=ln1=0
73.

23
79.
80.
Aplicación de máximos y mínimos en la administración y en la economía.
Ejercicios (1 – 30)
1.-La función de costo y demanda de una Empresa son:

24
 C(x)= 5x
 P = 20 – x
Encuentre el nivel de producción:
X=?
Umax=?
2.-La demanda y la función de costo de una industrial es:
 P= 19 – 8x
 C(x)= 5x - x2
Encuentre:
X= ?
P =?
X= 2

25
3.- El costo total de producir un bien esta
Determine la tasa de producción x que maximizan las utilidades.
Hallar:
4.- Determine el valor X y maximice el valor de la ganancia si la función de
costos es =
Encuentre:

26
5.- La función de costo y demanda de una Empresa son:
 C(x)= 6x
 P = 1000-2x
X=?
Umax=?
6. Si los costos fijos son 9000 su costo variable es 21cada uno y el precio de
v 56 por unidad determine el punto de equilibrio.

27
Cf=9000 YC =CV+CF
Cv=21 c/u YC=9X-10
P=56
PE=? Yi=6x2
U=I-C
U=6x2
-9X-900
7. Consideremos que un comerciante puede vender su producto a $80 por
unidad.
P=80
C(x)=5x+2000
a) PE
b) X=?
U=2000
8. Si los costos diarios de una compañía son Ct=10000+100x-x2
cuando se
producen por unidades por día y el precio de venta es 50 por unidad.
Determine el punto de equilibrio.
Ct=100+10x-x2
U=I -C
P=50 U=50X-100-10X-X2
U=40X-100-X2
Umax=40(20)-100-(20)2
umax= 300
U´= 12x-9
X=9/12
X=0.75
Umax= 6(0.75)2
-9(0.75)-900=-13.4
U´= 40-2x
X=40/2
X=20
U=I-C
U=2X2
-(10X+20)
U=2X2
-10X-20
U=2X2
-10x-20
U´= 4x-10
X=10/4
X=2.5
Umax=2(2.5)2
-10(2.5)-20
umax= -32.5

28
9. Un comerciante vende su producto en $60.00 c/u su c(x)=3x+1000
averiguar el punto de equilibrio y determine cuanto se debe vender para
obtener una ganancia de 1000
a) Punto de equilibrio
b) U=1000
c) Punto de equilibrio
d) U=2000
e) Punto de equilibrio
f) U=2000
U= I-C U´=60-6x
U=60X-(3X2
+100) X=10
U=60X-3X2
-100
Umax=60(10)-3(10)2
-100
Umax=200
U= I-C U´=8- 40x
U=8X-(6X2
+120) X=40/8
U=8X-20X2
-120 x=5
umax=8(5)-20(5)2
-120
Umax=-580
U= I-C U´=6- 40x
U=6X-(6X2
+120) X=40/6
U=6X-20X2
-120 x=6.6
umax=6(6.6)-20(6.6)2
-120
Umax=-951.6

29
12. Si los costos diarios de una compañía son 13+16x+ cuando se produce
x unidades por día y el precio de venta es $30 por unidad determine el punto
de equilibrio.
Ct=13+16x+ U´= 2X +14
P=$30 X=14/2
X=7
U=30x-(13+16x+ ) Umax=(7)2
+14(7)-13
U=30x-13-16x-
Umax=134
U= +14x-13
13. Si los costos diarios de una compañía son 16+13x+ cuando se produce
x unidades por día y el precio de venta es $30 por unidad determine el punto
de equilibrio.
Ct=16+13x+ U´= 2X +17
P=$30 X=17/2
X=8.5
U=30x-(16+13x+ ) Umax=(8.5)2
+17(8.5)-16
U=30x-16-13x-
Umax=200.75
U= +17x-16
14.- i = 700 (x + 2)2
– 300 determine la utilidad física marginal cuando la
producción es c = 10x2
U= I-C U´=1380x+2800
U=700(x+2)2
-10x2
X=2800/1380
x=2.02
umax=700(2.02+2)2
-10(2.02)2
Umax=11271.45

30
15.- I = 400 (x + 1)2
– 500 determine la utilidad física marginal cuando la
producción es x = 3x2
.
16. Consideremos que un comerciante puede vender su producto a $80 por
unidad.
P=80
C(x)=9x2
+100
a) PE
b) X=?
17.- la función de costo y de demanda de una empresa son C(x) = 3x P = 15 –
3x.
X = ?
Umax= ?
I = P . X
I = (15 – 3x) x
I = 15x – 3x2
U = I – C
= 15x – 3x2
– 3x
= 12x - 3x2
U= I-C U´=894x+400
U=400(x+1)2
-500 -3x2
X=400/894
x=-0.44
umax=400(-0.44+1)2
-500-3(-0.44)2
Umax=-375.14
U=I-C
U=80X-(9X2
+100)
U=80x-9X2
-100
U´= -18x-80
X=80/18
X=4
Umax=80(4)-9(4)2
-100
umax= 76

31
U’(x) = 12 – 3x
= 12 – 3x = 0
= - 3x = - 12
X = 4
U(4) = 12 (4) – 3(4)2
= 48 – 48
= 0
18.- la demanda y la función de costo es P = 10 – 2x determinar la cantidad y
el precio.
X = ?
P = ?
Umax= ?
I = P . X
I = (10 – 2x) x
I = 10x – 2x2
U = I – C
= 10x – 2x2
– 6x – x2
= 4x - x2
U’(x) = 4x - x2
= 4 – 2x = 0
= - 2x = - 4
x = 2

32
U(2) = 4 (2) – (2)2
= 8 – 4
= 4
P = 10 – 2(2)
= 10 – 4
= 6
19.- determine el valor de x y maximice el valor de la ganancia si la función
de costo es C(x) = 6x – 3x2
y la ecuación de demanda P = 7 – 4x.
X = ?
Umax= ?
I = P . X
I = (7 – 4x) x
I = 7x – 4x2
U = I – C
= 7x – 4x2
– 6x – 3x2
= x - 7x 2
U’(x) = 7x
= 7x = 0
= x = 0
U(0) = x - 7x2
= 0 – 7 (0)2
= 0

33
20.- la función de costo y de demanda de una empresa son C(x) = 2x P = 12 –
2x.
X = ?
Umax= ?
I = P . X
I = (12 – 2x) x
I = 12x – 2x2
U = I – C
= 12x – x2
– 2x
= 10x - x2
U’(x) = 10 – 2x
= 10 – 2x = 0
= - 2x = - 10
X = 5
U(4) = 10x - x2
= 10(5) – (5)2
= 25
21.- determine el valor de x y maximice el valor de la ganancia si la función
de costo es C(x) = 6x – 3x2
y la ecuación de demanda P = 7 – 4x.
X = ?
Umax= ?
I = P . X
I = (3 – 5x) x
I = 3x – 5x2
U = I – C
u = 3x – 5x2
– 5x – 10x2
u= 2x - 15x2

34
U’(x) = 2x - 15x
= 2 – 15x = 0
= x = 0.13
U(0) = 2x - 15x2
= 0.26 – 0.25
= 0.01
22. (UM) Una empresa vende todas las unidades que produce a $4 cada uno.
El costo total de la empresa por producir x unidades esta dado en dólares
a. Encuentre el valor de x
b. Calcule el Ingreso
c. ¿Cuál es el valor de la U Máxima?
I=p.x
I=4x
U=I-C
U=4x-
U=4x-
U=2.7x-
U'=2.7-0.002x Umax=2.7 (1350)-50-0.001
2.7-0.002x=0 Umax=3645-50-1822.5
Umax=1772.5
x=1350

35
23. (UM) Una compañía advierte que puede vender toda la existencia de
cierto producto que elabora a una tasa de $2 por unidad. Si estima la función
de costo como dólares por x unidades producidas.
a. I=? I=p.x
b. U=? I=2x
U=I-C
U=2x-
U=2x-
U=2x-1000-(-50x)
U=2x-1000+50x
U=52x-1000
24. (UM) Los artículos en cuestión se venden a $8 cada uno. Encuentre el
valor de x que maximiza la U y calcule la Um.
I=p.x
I= 8x
U=I-C
U=8x-
U=8x-
U'(x) =8-0.03x Umax=8(266.67)-100-0.015(266.67)
8-0.03x=0 Umax=2.02936
-0.03x=-8
x=266.67

36
25. (UM) De los artículos que se vende a $30. Determine el valor de x que
maximiza la utilidad y calcule la Umax.
I=p.x
I= 30x
U=I-C
U=30x-
U=30x-
U=28x-1-
U'(x) =28-2x Umax=28(14)-1-
28-2x=0 Umax=392-1-196
-2x=-28 Umax=195
x=14
26. (UM) Para cierto artículo, la ecuación de demanda es
¿Qué valor de x maximiza el ingreso? Si la función de costo
es C=2800+x
Encuentre el valor de x que maximiza la U.
Calcule la Umax.
C=2800+x
I=p.x
I= (5-0.001x) x
I=5x-0.001

37
U=I-C U'(x)=4-0.002x
U=5x-0.001 -(2800+x) 4-0.002x=0
U=5x-0.001 -2800-x -0.002x=-4
U=4x-0.001 -2800 x=
x = 2000
Umax=4x-0.001 -2800
Umax=4(2000)-0.001 -2800
Umax=8000-4000-2800
Umax=1200
 C(x)= 6x
 P = 10 – x
X=?
Umax=?

38
28.- La demanda y la función de costo de una industrial es:
 P= 16 – 8x
 C(x)= 4x + x2
Encuentre:
X= ?
P =?
29.-El costo total de producir un bien esta
Determine la tasa de producción x que maximizan las utilidades.
Hallar:

39
30.-Determine el valor X y maximice el valor de la ganancia si la función de
costos es =
Encuentre:
 C(x)= 8x
 P = 24 – x
X=?
Umax=?

41
Elasticidad de la Demanda.
Ejercicios (1 – 15)
Determine la elasticidad de la demanda para las relaciones de demanda.
2.-
3.-
(8-p)
1/2

43
9. La función de demanda de cierto producto es
X unidades son vendidas a un precio p cada uno utilice la elasticidad de la
demanda para determinar si un aumento en el precio aumentara o disminuirá
el ingreso total.
Si la demanda
a. x =400
b. x =900
2-10p

44
Disminuye el ingreso
Disminuye el ingreso
10. Determine la elasticidad de la demanda.
x =1-p-

45
11. x =200-2p Elasticidad de la demanda.
12.- si la relación es x = 400 – 100p determine la elasticidad de la demanda
cuando:
a) p = 1
b) p = 2
c) p = 3
= - 100
= (-100)
= (-100)
= =
= =
= = - 2
= = = 3

46
13.- si la relación de demanda es x = 1000 – 50p, calcule la elastidad de la
demanda cuando:
a) p = 5
b) p = 10
c) p = 15
= - 50
= (- 50)
= (- 50)
=
= = =
= = =
= = =
14.-Determine la elasticidad de la demanda para las relaciones de demanda.

48
Cálculo integralEjercicios (1 – 51)

54
25.
=
=
26. (x-2) (2x+3)
= dx
=
=
=
=

60
43.- 3x2
-5x + +
=
= 3 +
= - + 7 ln x + + C
44.- (x + 2)2
= dx
= dx + 4
= +4. + 4.x+ C
= + + 4x+ C
45.-(2x – 3)2
dx
= 4
= - + 9 . x + C
= - + 9x + C
46.- x2
(x + 1)
dx
=

61
= + + 1.x + C
= + + x + C
47.-
=
= dx =
= + C
48.- ln 3
= ln 3)dx
=
= .x + ln3.x + C
= x + ln 3x + C
49.-
=
=
= = dx
= 3

62
= – 6x – C = – 6x + C
50.- + + 2x +1 + +
= dx
= 4 + 1
= + + + 1 . x + 1 + 1 .x .
= x4
+ x3
+ 1x +1 + C
51.-
=
= =
= 2x + C
Método de integración por sustituciónEjercicios (1-40)

63
1.-
u = 3x + 2
= 3
dx =
.
= .
= + C
= + C
2.-
= .
=
u = 5 – x
= - 1
dx =
= .
= 1 + C
= + C
3.- dx

64
u = 2x + 1
= 2
dx =
.
= . du
= + C
= + C
= + C
4.- dt
u = 2 – 5t
= - 5
dx =
= .
= . du
= + C
= + C

65
= + C
5.- dx
= .
=
u = 3x + 2
= 3
=dx =
= .
= + C
6.- dx
u = 3x + 1
= 3
dx =
= .
= . du
= + C

66
= + C
= + C
7.- dt
u = 1 – 3t
= - 3
dt =
=
= = lnu + C
= ln + C
8.-
2)

69
2.
3.
=
13.-.
1. u =
2.
3.
=
14.-.
=
1. u = 2x-2
2. dx = -
3.
15.-.

70
1. u = lnx.x dx
u =
2.
3.
16.-.
1. u =
2.
3.
17.-.

71
1. u =
2.
du = 2dt
3.
18.-
u = 5x + 2
= 5
dx =
.
= .
= + C
= + C
19.-

72
= .
=
u = x+1
= 1
dx =
= .
= 1 + C
= + C
20.- dx
u = 2x - 1
= 2
dx =
.
= . du
= + C
= + C= + C
21.- dt

73
u = 5 – 2x
= - 2
dx =
= .
= . du
= + C
= + C
= + C
22.- dx
= .
=
u = 3+ x
= 1
=dx =
= .
= + C
23.- dx

74
u = 2x + 3
= 2
dx =
= .
= . du
= + C
= + C
= + C
24.- dt
u =
= 2x+3
dt =
=
= * du
= = -1/2 (2x+3)-2
+ C
25.-

77
29.-
u = 3x + 9
= 3
dx =
.
= .
= + C
= + C
30.-
= .
=
u = t+1
= 1
dx =
= .

78
= 1 + C
= + C
31.- dx
u = x3
- 3
= 3x
dx =
.
= . du
= + C
= + C
= + C
32.- dt
u = x2
+1
= 2x
dx =
= .

79
= . du
= + C
=- + C
= + C
33.- dx
= .
=
u = x- 5
= 1
=dx =
= .
= + C
2)

80
35.- dt
u =
= 2t+3
dt =
=
= * du
= = -1/2 (2t+3)-2
+ C
35.- dt

81
u =
= 2t+3
dt =
=
= * du
= = -1/2 (2t+3)-2
+ C
36)

87
Integración por partes Ejercicios 1- 35
1.- x ln x dx
lnxxdx

88
u = lnx
=
du =
= x dx
v =
= lnx . - .
= lnx -
= lnx - + C
2.- lnx dx
u = lnx
=
du =
=
v =
lnx . - .
lnx - + C

89
3.-
u = ln (x + 1)
= (1)
du = dx
dv = dx
= dx
v =
u . v -
= ln (x + 1) . - .
= ln (x + 1) - dx
= ln (x + 1) - + C
= + C
= + C
4.-
u = ln (x + 1)
= (1) = du = dx
dv =

90
v = x
= x -
= x ln (x + 1) – x + C
5.-ln dx
u = ln
=
du = dx
=
V =
lnx. dx -
xlnx – x + C
6.-

96
1. u =
2.
3.
13.- t ln t dt
Lnttdt
u = lnt

97
=
du =
= t dt
v =
= lnt . - .
= ln t -
= lnt - + C
14.- lnx dx
u = lnx
=
du =
=
v =
lnx . - .
lnx - + C

98
15.-
u = ln (x + 2)
= (1)
du = dx
dv = dx
= dx
v =
u . v -
= ln (x + 2) . - .
= ln (x + 2) - dx
= ln (x + 2) – + C
= + C
= + C
16.-
u = ln (ex)

99
= = du = dx
dv =
v = x3
/3
= x3
/3 -
= -x3
/3 ln (ex) + C
17.-ln dh
u = ln
=
du = dh
=
V =
lnh. dh–
hlnh – h + C
18.-

101
20.- t log t dt
Lnttdt
u = lnt
=
du =
= t dt
v =
= lnt . - .
= ln t -
= lnt - + C

102
21.- log x dx
u = lnx
=
du =
=
v =
lnx . - .
lnx - + C
22.-
u = ln (x + 2)
= (1)
du = dx
dv = dx
= dx
v =
u . v -
= ln (x + 2) . - .

103
= ln (x + 2) - dx
= ln (x + 2) – + C
= + C
= + C
23.-
u = ln (ex)
= = du = dx
dv =
v = x3
/3
= x3
/3 -
= -x3
/3 ln (ex) + C
24.-log dt
u = ln
=
du = dh
=

104
V =
lnt. dt –
t ln t – h + C
25.-

107
4. u =
5.
6.
30.
4. u =
5.
6.

112
Integrales definidasEjercicios (1-30)
1.- y = 2 + x -

113
+ + 2(2) - + + 2 (– 1)
+ + 4 - + – 2
+ 6
2.- y = – x
- - -
-
= - 0.25
3.- y = dx

114
u = -3x – 2
= 4x – 3
dx = du
2(2)2
– 3 (2) – 2(1)2
– 3(1) – 2
0 + 3 = 3
4.- y = (x)1/3
dx
-
(15.9)
11.93
5.- y =

115
u = lnt
=
dx =
ln – ln e
1 – 1 = 0
6.- y =
u = lnx
=
dx = du

116
=
7.- y = (x + 1) dx
u =
= 2x + 2
dx =
8.- y =

117
1
e =2.72
9.-y =
10.- y =
(1) = 7.39
11.- y = 4 - x = 0 x = 2

118
4 (2) - – 4(0) -
8 - = =
12.- y = x = 1 x = 4
42.6 + 24 – 4 – 0.6 + 1.5 – 1
62.6 – 1.1 = 61.5
13.-
u =
= 2x
dx =

119
ln
ln 5 - ln 2
(1.61) - (0.69) = 0.46
14.- y = x = 0 x = 3
u = x + 1
= 1
dx =
ln (3) + 1 - ln (0) + 1
ln4 - ln 1
1.38 - = 0.38
15.- x = 0 x = 3

120
= 81
16.- y = 2 + t–t2
+ + 2(2) - + + 2 (– 1)
+ + 4 - + – 2
+ 6
17.- y = – t
- - -
-

121
= - 0.25
18.- y = dx
u = -3t – 2
= 4t – 3
dx = du
2(2)2
– 3 (2) – 2(1)2
– 3(1) – 2
0 + 3 = 3
19.- y = (x)1/3
dx
-
(15.9) = 11.93
20.- y =

122
u = lnt
=
dx =
ln – ln e
1 – 1 = 0
21.
22.

123
23.
1. u=
2.
3.
24.
1. u = 3x+2
2.
3.

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