Este documento define funciones cuasicóncavas y cuasiconvexas. Una función es cuasicóncava si sus conjuntos de sobrenivel son convexos, y es cuasiconvexa si sus conjuntos de bajonivel son convexos. Una función cóncava es siempre cuasicóncava, pero lo recíproco no es cierto. Se demuestra que una función es cuasicóncava si y solo si cumple cierta propiedad para pares de puntos. Finalmente, se dan ejemplos de funciones cuasicóncavas y se discuten algunas propiedades adicionales

1. Funciones Cuasic´oncavas
(cuasiconvexas)
Dr. J. Rogelio P´erez Buend´ıa
Instituto Tecnol´ogico Aut´onomo de M´exico
Noviembre 2014

2. Conjunto de Sobrenivel
Definici´on
Sea f (x) una funci´on definida en un conjunto convexo S de Rn
. Para
cada real a se define un conjunto de sobrenivel de f :
Pa = {x ∈ S : f (x) a} .

3. Funci´on cuasic´oncava
Definici´on
Una funci´on f definida sobre un conjunto convexo S es cuasic´oncava
si el conjunto de sobrenivivel Pa es convexo, para todo n´umero a.
Una funci´on es cuasiconvexa si −f es cuasic´oncava, es decir, f es
cuasiconvexa si y s´olo si el conjunto de bajonivel
Pa
= {x : f (x) a}
es convexo para todo n´umero a.

4. No c´oncava pero s´ı
cuasic´oncava
Figura: Esta es la gr´afica de una funci´on cuasic´oncava pero no c´oncava. El
segmento PQ est´a por encima de la gr´afica de f , pero sus conjuntos de
sobrenivel son convexos.

5. Notar:
• Una funci´on c´oncava es cuasic´oncava.
• Una funci´on convexa es cuasiconvexa.
El rec´ıproco no es verdad como vimos anteriormente.

6. Demostraci´on.
Demostremos el primer caso. Si f es c´oncava entonces para todos par
de puntos x, x0 ∈ S y todo λ ∈ (0, 1), se cumple que:
f (λx + (1 − λ)x0) λf (x) + (1 − λ)f (x0).
Queremos demostrar que todo conjunto de sobrenivel es convexo. As´ı
que si ahora tomamos a x, x0 ∈ Pa , entonces f (x) a y g(x) a por
lo que entonces:
f (λx + (1 − λ)x0) λf (x) + (1 − λ)f (x0) λa + (1 − λ)a = a
y entonces todo el segmento λx + (1 − λ)x0 ∈ Pa , por lo que Pa es
convexo.

7. Teorema:
Sea f una funci´on en n variables definida en un conjunto convexo S
de Rn
. Entonces f es cuasic´oncava si y s´olo si, para todo x, x0 ∈ S y
todo λ ∈ [0, 1] se tiene que:
f (x) f (x0) =⇒ f (λx + (1 − λ)x0) f (x0).

8. Teorema:

9. Ejemplos:
• f (x) = e−x2
es cuasic´oncava.
• Verificar que la parte (b) y (c) se verifican Si F1(u) = ln u u
f2(u) = 1
u para u > 0.

10. Coob-Douglas
La funci´on z = Axα1
1 xα2
2 · · · xαn
n , definida para xi > 0 para cada i y
A, α1, . . . , αn constantes positivas es:
• homog´enea de grado α1 + α2 + · · · + αn
• cuasic´oncava si las αi ’s son positivas
• c´oncava para a1 + a2 + . . . + an 1
• estrictamente c´oncava para a1 + a2 + . . . + an < 1.

11. Estrictamente cuasic´oncava
Una funci´on f (x) es estrictamente cuasic´oncava si:
f (x) f (x0); x = x0; λ ∈ (0, 1) ⇒ f (λx + (1 − λ)x0) f (x0).
Observamos entonces que si f es estrictamente cuasic´oncava, entnces
es cuasic´oncava.

12. Criterio de Hessianos
Orlados

13. Problemas