Objetivo 8 de Matemática II COD 178 para la UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA.

1. Capitulo II
Matemática II (178)
Objetivo 8. Resolver problemas donde estén involucrados conceptos
relativos a costo, ingreso, ingreso marginal y elasticidad de la demanda,
análisis marginal y técnicas para la construcción de la gráfica de una función.
Ejercicio 1
Un heladero ha comprobado que, a un precio de 50 céntimos de
bolívares la unidad, vende una media de 200 helados diarios. Por cada céntimo
que aumenta el precio, vende dos helados menos al día. Si el costo por unidad
es de 40 céntimos, ¿a qué precio de venta es máximo el beneficio diario que
obtiene el heladero? ¿Cuál será ese beneficio?
Solución
Justificación: En este caso nos piden que maximicemos la función
beneficio, dada ciertas condiciones, por ello, en este tipo de problemas,
conseguiré la(s) función(es) condición(es) y luego la función a optimizar.
Función(es) condición(es)
Como la función a optimizar es el beneficio, y ya sabemos que el
beneficio viene dado por la diferencia entre el ingreso y el costo, es decir:
B = I -C
Deberemos construir para éste problemas las funciones ingresos y
costo.
Sabemos que el ingreso es el producto del precio de venta por la
cantidad de productos vendidos, si llamamos x al número de céntimos en los
que aumenta el precio, se tendrá que el nuevo precio de venta es: 50 + x y con
la frase del problema: Por cada céntimo que aumenta el precio, vende dos
helados menos al día, se tendrá que venderá la cantidad de 200 - 2x , por lo
tanto, bajo estas condiciones el ingreso del heladero será:
I = (50 + x)(200 - 2x)
Por otro lado se tiene que el gasto de obtener 200 - 2x unidades es de
40 céntimos, por lo tanto el costo de esa cantidad vendida es:
C = 40(200 - 2x)
Función a optimizar

2. Sabemos que B = I -C , sustituyendo las funciones condiciones
encontradas, se tiene:
B = I -C = (50 + x)(200 - 2x) - 40(200 - 2x)
A ésta función le buscaremos los puntos críticos, pero primero la
desarrollaremos, para mayor facilidad a la hora de derivarla, así:
B =10000 -100x + 200x - 2x2 -8000 + 80x
B = -2x2 +180x + 2000
Ahora buscamos la primera derivada:
B' = -4x +180
Ahora igualamos a cero ésta primera derivada para hallar los puntos
críticos:
' 180
B = - x + = ® x = x = =
4 180 0 4 180 45
4
Ahora debemos verificar que éste punto crítico es un máximo, para ello
aplicaremos el criterio de la segunda derivada.
Cálculo de la segunda derivada:
B' = -4x +180® B'' = -4
Al evaluar esta derivada en el punto crítico x = 45 , se tiene:
= - = -
'' 4 4
45
B
x
=
Por lo tanto el punto x = 45 es un máximo porque la segunda derivada al
evaluarla es negativa.
Por lo tanto el precio de venta que maximiza el beneficio es:
50 + x = 50 + 45 = 95 , y para este precio se tendrá el beneficio:
( ) ( ) ( ) 2 B 45 = -2 45 +180 45 + 2000 = -4050 + 8100 + 2000 = 6050
Se tiene un beneficio de 6050 céntimos, ó 60,50 bolívares.
Respuesta: El precio de venta es: 90. El beneficio es
B(45) = 6050 centimos .
Ejercicio 2
Una empresa de taxis que recién inicia operaciones en Venezuela está
promocionando la renta por hora de los mismos en el perímetro de la ciudad. El
propietario dispone de 40 carros y puede rentarlos a 100 Bs c/u. Sin embargo,

3. observa que puede incrementar en 5 Bs el precio por cada vez que renta un
carro menos. Determine:
a.- La función Ingreso
b- ¿Cuántos carros debe rentar para obtener un máximo ingreso?
Solución
Justificación: En este caso analizaremos cada una de las preguntas.
a) Primero, daremos nombre con variables a la situación planteada, por
un lado tenemos el número de carros rentados, que llamaremos q y el número
de carros no rentados p , ya que nos hablan de carros rentados y no rentados.
Ahora bien, para determinar el ingreso de la renta de un taxi en una hora,
tenemos lo siguiente: Contamos con 40 taxis y la renta de un taxi es de Bs. 100
y se menciona que la renta de un taxi no rentado tiene un incremento de Bs. 5.
De esta manera es claro que el ingreso por p taxis no rentados es de 5 p y el
ingreso por la renta de un taxi es de: 100 + 5 p . El ingreso total se obtiene,
multiplicando en ingreso de la renta de un taxi, por el número de taxis a rentar,
es decir:
I = (100 + 5p)q
Como el número de taxis rentados más el número de taxis sin restar es
40, por ser el total de taxis, se tiene:
p + q = 40
Despejando el número de carros no rentados: p = 40 - q
Se tiene que la función ingreso es:
I = (100 + 5(40 - q))q
Desarrollando:
I = (100 + 200 - 5q)q = (300 -5q)q = 300q - 5q2
En fin, se tiene que la función ingreso es: I = -5q2 + 300q
b) Como nos piden maximizar el ingreso, deberemos buscarle a ésta
función los puntos críticos, así:
Derivando:
I ' = -10q + 300
Ahora igualamos a cero ésta primera derivada para hallar los puntos
críticos:

4. ' 300
I = - q + = ® q = q = =
10 300 0 10 300 30
10
Ahora debemos verificar que éste punto crítico es un máximo, para ello
aplicaremos el criterio de la segunda derivada.
Cálculo de la segunda derivada:
I ' = -10q + 300® I '' = -10
Al evaluar esta derivada en el punto crítico q = 30 , se tiene:
= - = -
'' 10 10
30
I
q
=
Por lo tanto el punto q = 30 es un máximo porque la segunda derivada al
evaluarla es negativa.
Como se rentan 30 taxis, de p = 40 - q se tiene que no se rentan 10
taxis, porque p = 40 - 30 =10 .
El ingreso de rentar un taxi es: 100 + 5 p =100 + 5(10) =100 + 50 =150
Respuesta:
a) La función Ingreso es: I = -5q2 + 300q
b) Se deben rentar 30 taxis para obtener un ingreso máximo.
Ejercicio 3
Supongamos que el costo de producción en bolívares de un número x
de material instruccional para una asignatura de la Universidad Nacional
Abierta está dado por la función: C(x) =100000 +100x2 .
Determinar:
a) La función costo marginal
b) El costo marginal en el nivel correspondiente a 3000 unidades de producción
Solución
Justificación:
a) El costo marginal, no es más que la primera derivada, por lo tanto la
función costo marginal es:
C' (x) = 200x
b) El costo marginal para el nivel de x = 3000 , es simplemente sustituir
este valor en la función costo marginal ya obtenida, así:
C' (3000) = 200(3000) = 600000

5. Respuesta:
a) La función costo marginal es: C' (x) = 200x .
b) El costo marginal para el nivel x = 3000 es: Bs. 600000
Ejercicio 4
La ecuación de la demanda para el producto de un fabricante es
10 p + x + 0,01x2 = 700 y la función de costo es C(x) =1,000 + 0,01x2 . Calcular la
función utilidad marginal y también evaluar la utilidad marginal para:
a) x =100 unidades b) p =10 Bs/unidad.
Solución
Justificación: La utilidad marginal, es simplemente la derivada de la
función utilidad, que no es más que la diferencia entre el ingreso y el costo, es
decir:
U = I -C
En este caso, ya tenemos la función costo, a saber:
C(x) =1,000 + 0,01x2 , pero debemos calcular la función ingreso que es:
I = px
De la ecuación de la demanda para el producto de un fabricante
despejaremos p , así:
2
p x x p x x p
+ + = ® = - - = - -
2 2 700 0,01
10 0,01 700 10 700 0,01
x x
10
Podemos simplificar esta expresión, así:
- - 2 2
p = = - - = - x -
x
2 700 0,01 700 0,01
70 0,1 0,001
x x x x
10 10 10 10
Sustituyendo en la ecuación de ingreso, se tiene:
( 2 )
= = - -
= - -
70 0,1 0,001
I px x x x
I x x 2 x
3
70 0,1 0,001
Por lo tanto la función utilidad es:
U = I -C = 70x - 0,1x2 - 0,001x3 -(1,000 + 0,01x2 )
= - - - -
= - - + -
2 3 2
70 0,1 0,001 1,000 0,01
U x x x x
3 2
0,001 0,11 70 1,000
U x x x
Entonces al derivar una vez esta función, se tiene la utilidad marginal:

6. U' = -0,003x2 - 0, 22x + 70
Para el apartado “a” en x =100 , se tiene que la utilidad marginal es:
( ) ( ) ( )
( ) ( )
' 2
= - - +
= - - +
100 0,003 100 0,22 100 70
100 0,003 10000 22 70
( )
( )
100 30 22 70
100 52 70
( )
'
'
'
'
100 18
U
U
U
U
U
= - - +
= - +
=
Para el apartado “b” donde p =10 , debemos sustituir este valor en la
función: 10 p + x + 0,01x2 = 700 , y despeja equis de ésta, para luego sustituirla
en la función utilidad marginal, así:
10(10) + x + 0,01x2 = 700
100 + x + 0,01x2 = 700
0,01x2 + x +100 - 700 = 0
0,01x2 + x - 600 = 0
Hemos llegado a una ecuación de segundo grado, que resolveremos con
la fórmula de la resolvente de una ecuación de segundo grado, así:
+ - = ® = -b ± b 2
- a
2 4
0,01 1 6 0
2
x x 00 x
c
a
( )( )
( )
( )( )
( )
- 1 ± 1 2
- - 1 ± 1 + 600 = = = - 1 ± 1 +
24
=
0,01 0,04
0,01 0,02 2

 = - - = - = - 1
2
4
2
1 5 6(100)
300
2
600
5
1 5 4(10
100
2
100
2 2
1
00 100 2
100
1 2
0)
200
2
5 1
x
x
x
x
- ± - ±  = = = 
 = - + = =
-
 

 



Descartamos el valor negativo porque no tiene sentido vender -300
unidades, por lo tanto evaluaremos nuestra función utilidad marginal en
x = 200 , así:

7. ( ) ( ) ( )
( ) ( )
' 2
= - - +
= - - +
100 0,003 200 0, 22 200 70
100 0,003 40000 44 70
( )
( )
'
'
100 120 26
'
100 94
U
U
U
U
= - +
= -
Respuesta:
a) U' (100) =18 Bs/unidad adicional.
b) U' (100) = -94 Bs/unidad extra.
Ejercicio 5
q
La ecuación de la demanda p 300 e
50
-
= donde q ³ 0 . Si la función de
costo es: c (q) = 350L n (q +1) + 400 donde q ³ 0 , obtenga:
1) La función de beneficio
2) La función de beneficio medio
3) La función de beneficio marginal
4) La tasa con la cual varía el beneficio en un nivel de producción.
Solución
Justificación:
1) la función beneficio es: B = I -C , y la función ingreso es: I = pq , por
q
lo tanto la función ingreso es: I 300 qe
50
-
= , por ende la función beneficio es:
( ( ) )
q
-
= - + +
= - + -
300 350 n 1 400
B qe L q
( )
50
q
-
300 350 n 1 400
B qe 50
L q
2) La función de beneficio medio viene expresada por el cociente:
B
B
q
=
Sustituyendo la función beneficio ya encontrada en “1”, se tiene que la
función beneficio medio es:

8. 300 50 350 n ( 1) 400 300 50 350 n ( 1) 400
300
q q
B qe L q qe L q
B
q q q q
-
q
q
e
q
B
- -
- + - + +
= = = -
=
50
350 L n ( q + 1 ) + 400 - q 350 L n ( q
+ 1 ) +
400
50 - = 300
e
-
q q
3) La función beneficio marginal es la primera derivada de la función
beneficio, así:
( ) ( ) ( )
( )
( )
' '
 -   -
 +
' 50 ' 50
=   +   -
    +
 -  '
-  -
 =   +   -     +
' 50 50
- -
 -    =   +   -     +
' 50 50
' 50 50
1
300 300 350
1
1
300 300 350
50 1
1 1
300 300 350
50 1
350
6 300
1
q q
q q
q q
q q
q
B q e q e
q
q
B q e e
q
B q e e
q
B qe e
q
- -
 
= - +   -
  +
4) La tasa con la cual varía el beneficio en un nivel de producción “ a ” no
es más que el beneficio marginal evaluado para éste nivel ( x = a ), así:
' ( ) 350
6 50 300
50 1
a a
B a ae e
a
-  - 
= - +   -
  +
Respuesta:
q
-
1) B = 300 qe 50 - 350 L n ( q
+ 1) -
400
- q 350 L n ( q
+ 1 ) +
400
2) B 300
e
50 q
= -
3) ' 350
6 50 300
50 1
q q
B qe e
q
-  - 
= - +   -
  +
' ( ) 350
4) 6 50 300
50 1
a a
B a ae e
a
-  - 
= - +   -
  +
Ejercicio 6
Un empresario ha determinado que el costo total C de funcionamiento
de su fábrica es: C(q) = 0,5q2 +15q + 5000 donde q es el número de unidades
fabricadas. ¿A qué nivel de producción es mínimo el costo medio por unidad?
Solución

9. Justificación: Primero determinamos la función costo medio:
2 2
= = + + = + +
( ) 0,5 15 5000 0,5 15 5000
C q q q q q
2
( )
0,5
( )
C q
q q q q q
q
C q
=
q
15 q
+
q
5000 5000
+ = 0,5q + 15
+
q q
Para determinar donde el costo medio es mínimo, igualamos a cero la
primera derivada del costo medio, así:
( )'
5000
2
C(q) 0,5
q
= -
2
- = ® - = ® - = ® = ® =
5000 0,5 5000 5000
2 2 2
0,5 0 0 0,5 5000 0 0,5 5000
2 2
0,5
q
q q q
q q
q2 =10000®q = 10000q =100
Ahora debemos determinar si este punto ciertamente es mínimo, para
ello utilizare el criterio de la segunda derivada.
La segunda derivada es:
( ) ( ) ' ''
5000 10000
= - ® =
C(q) 0,5 C(q)
2 3
q q
Evaluando esta segunda derivada en el punto crítico: q =100 , se tiene:
( )''
10000 10000
= = >
(100) 0
3 3
100
C
q
Como la segunda derivada evaluada en el punto crítico q =100 es
POSITIVA se concluye que el punto crítico q =100 es un mínimo.
Respuesta: En el nivel de producción q =100 , es mínimo el costo medio
por unidad.
Ejercicio 7
La función de la demanda de un cierto bien en un mercado de
competencia está dada por la relación q = 400 - 0,5 p2 . Determina si la
demanda es elástica, inelástica o ni lo uno ni lo otro para p = 20 .
Solución
Justificación: Primero, en el siguiente gráfico explicaré el significado de
la demanda elástica:

10. La elasticidad se determina a través de la ecuación:
p dq p '
q
q dp q
h
 
=   =
 
i
Se observa que necesitamos la derivada q' , por lo tanto:
q = 400 - 0,5p2 ®q' = -(2)0,5p = - p
Sustituyendo en la ecuación de la elasticidad, se tiene:
p dq p
( p
) 400 0,5 2
q dp p
h
 
=   = -   -
i
2
p
400 0,5 p
2
h = -
-
Para p = 20 , se tiene:
( )
2
( ) ( )
- 20 = = - 400 = - 400 = - 400
= -
2
2
400 0,5 20 400 0,5 400 400 200 200
h
- - -
Ahora extraemos el valor absoluto de la elasticidad, así: h = -2 = 2 .
Finalmente comparamos este valor absoluto con la unidad, en este caso:
h = 2 >1

11. Por lo tanto concluimos que la demanda para p = 20 es elástica.
Respuesta: La demanda para p = 20 es elástica.
Ejercicio 8
Si la función de beneficio asociada a cierto bien viene expresada por:
= 3
+ >
10000
B(q) Ln(q 1) q 0
2
q
Determinar:
a. La función de beneficio marginal
b. El beneficio medio correspondiente a q = 40.
Solución
Justificación:
a) La función beneficio marginal, no es más que la derivada de la función
beneficio, así:
   
10000 10000 10000
( ) ( )
'
3 ' 3 3 '
= + ® =   + +   +
B(q) Ln(q 1) B (q) Ln(q 1) Ln(q 1)
2 2 2
q q q
   
  3 = - 20000 + + 10000 ( + 1)
'
   +    
' 3
( ) ( 1)
q
3 2 3
( 1)
B q Ln q
q q q
  2

20000 10000 3
= - + +      + 
' 3
( ) ( 1)
q
3 2 3
( 1)
B q Ln q
q q q
  3 q2
 
 
 
20000 10000
= - + +
' 3
B (q) Ln(q 1)
3 2
q q
 
 
  (q3 + 1)
 
20000 30000
= - + +
' 3
( ) ( 1)
3 3
1
B q Ln q
q q
+
b) La función beneficio medio viene dada por:
3
2
= = = 3
+
3
10000
+
( 1)
Ln q
( ) 10000
B q q
( ) ( 1)
B q Ln q
q q q
Por lo tanto, el beneficio medio para q = 40 , es:
10000 10000 10
B (40) = Ln (40 3
+ 1) = Ln (64000 + 1) = Ln (64001)
=
3
40 64000 64
5
B = Ln »
(40) (64001) 1,73
32
Respuesta:
a) ' 3
20000 30000
= - + +
( ) ( 1)
3 3
1
B q Ln q
q q
+

12. b) B(40) »1,73
Ejercicio 9
La ecuación de demanda de un cierto bien es p = 400 - 2q , mientras que
la función costo es C(q) = q2 + 20q + 2000 , q ³ 0 . Determina:
a. El costo mínimo.
b. La función Ingreso.
c. La función beneficio.
Solución
Justificación:
a) Para calcular el costo mínimo, debemos derivar una vez e igualar a
cero para obtener los puntos críticos, así:
C' (q) = 2q + 20
Sabemos que q ³ 0 , por lo tanto se observa claramente que
C' (q) = 2q + 20 , siempre es positiva, por lo tanto la función siempre es creciente,
así, función C(q) = q2 + 20q + 2000 alcanza su menor valor en q = 0 , y éste vale:
C(0) = 02 + 20(0) + 2000 = 2000
b) La función ingreso viene dada por: I = p.q , y como sabemos que
p = 400 - 2q se tiene:
I = (400 - 2q).q = 400q - 2q2
c) La función beneficio viene dada por:
B = I -C
Por lo tanto:
2 ( 2 )
2 2
= - - + +
= - - - -
400 2 20 2000
400 2 20 2000
B q q q q
B q q q q
= - 2
+ -
3 380 2000
B q q
Respuesta:
a) min C = 2000
b) I = 400q - 2q2
c) B = -3q2 + 380q - 2000
Ejercicio 10

13. Suponga que la demanda q y el precio p de cierto artículo se relacionan
mediante la ecuación lineal q = 240 - 2 p si 0 £ p £120 .
a) Exprese la elasticidad de la demanda como una función de p
b) Calcule la elasticidad de la demanda cuando el precio es p = 50 . Explique su
respuesta.
Solución
Justificación: La elasticidad viene dada por la expresión:
p dq p '
q
q dp q
h
 
=   =
 
i
Así:
a) Calculando la derivada de q , se tiene:
q = 240 - 2 p®q' = -2
Sustituyendo en la ecuación de la elasticidad:
h = - = - = - = -
2 2 2
p p p
( 2
) ( )
- - - - i
240 2 p 240 2 p 2 p
120
2
p
p
=
- ( p - 120) p
-
120
b) Cuando p = 50 , la elasticidad tiene el valor:
( ) 50 50 5
h = = = - » -
50 0,71
- -
50 120 70 7
Es decir, cuando el precio es igual a 50, un incremento del 1 por ciento
en el precio, generará una disminución de 0; 71 por ciento en la demanda
aproximadamente.
Respuesta:
a)
p
120
p
h =
-
b) Para p = 50 la elasticidad es: h (50) » -0,71.
A continuación se te presentaran una serie de ejercicios propuestos,
¿Por qué es importante resolverlos? Por que tú estarás solo en el examen y tu
eres quien a las finales debes aprehender para tener éxito en la asignatura.
Cualquier duda de los problemas que a continuación se te presentan, déjamelo
saber, a través, de mi correo: jorgegranadillomat@gmail.com. Recuerda que en
mi página en el apartado “novedades” en la sección “material durante el

14. estudio” se encuentra un programa de nombre Mathype que es un excelente
editor de ecuaciones con el cual podrás escribir tus dudas matemáticas, o
escanea las páginas de tu cuaderno y envíame las dudas para darte respuesta
a la brevedad posible.
Por último recuerda resolver cada ejercicio bajo la estructura,
justificación y respuesta, ya que en los exámenes de desarrollo deberás
justificar todas y cada una de tus respuestas, de manera, que es importante
que tomes el hábito de estructurar las soluciones de esta manera, siempre
dando justificación y luego la respuesta.
EJERCICIOS PROPUESTOS
Ejercicio 1
La función de costo asociada a la producción de cierto bien es una
función cuadrática. El costo fijo de producción es: 207360 u.m. En el nivel de
producción correspondiente a 72 unidades se igualan el costo marginal y el
costo medio. Además la tasa de crecimiento del costo en el origen es de: 48
u.m/u.p. Obtenga:
a) La función de costo.
b) La velocidad instantánea de crecimiento del costo en el nivel: q = 75
unidades.
c) La función de costo medio.
d) La función de costo marginal.
Ejercicio 2
La ecuación de la demande de un cierto bien es:
 + £ £
=   - < £
( ) 500 0,5 q
0 q 650
1800 1,5 650 q 1000
P q
q
El costo fijo de producción es 2600. Cuando se producen 650 unidades
el costo medio de producción es 30 u . m
.
u p . La velocidad instantánea con la
cual crece el costo es la misma independientemente del nivel de producción.
Obtenga:
a) La función de beneficio
b) El beneficio medio en q =1000

15. Ejercicio 3
La ecuación de la demanda de un cierto bien es p = 80q2 - 0.1q Si la
función de costo es C(q) = q Ln(q+1) + 50, q ≥ 0. Obtén las funciones de Costo
y Beneficio Marginal.
Ejercicio 4
Si la ecuación de la demanda de un cierto producto es
p = q2 - 150q + 7 200, q ³ 20. Determina el número de unidades q a producir
para que el ingreso sea mínimo.
Ejercicio 5
Si la ecuación de la oferta de un cierto bien es: p = 3 2s3 +10s+1 , s ³ 0.
Determina la elasticidad de la oferta.
Ejercicio 6
Suponga que el costo en bolívares fuerte de producir x lavadoras es
C(x)=2000 + 100x - 0,1x2.
Calcular:
a) El costo promedio por máquina al producir las primeras 100
lavadoras.
b) El costo marginal cuando se producen 100 lavadoras.
Ejercicio 7
La función costo asociada a la producción de cierto bien es una función
cuadrática. El costo fijo de producción es 10 500 u.m. En el nivel de producción
correspondiente a 10 unidades son iguales el costo marginal y el costo medio.
Además la tasa de crecimiento del costo en q = 0 es igual 100 u.m./u.p.
A continuación hacemos algunas afirmaciones relacionadas con el
enunciado. Indica con una V o una F en el espacio correspondiente, según que
la afirmación hecha sea verdadera o falsa, respectivamente.
a. La función costo viene dada por la expresión: C(q) = 1050q2 + 100q+1050
_____
b. La función costo marginal está dada por la expresión:
C ¢(x) = 2100q + 100 _____

16. La función costo medio está dada por la expresión: C (x) = 105q +
100 +
10500
q
_____
Ejercicio 8
Si la función de costo medio de un determinado bien es la función:
C(q) = 80q + 21q2 + 20150 q1/2 q ≥ 0
Calcula la función de costo marginal.
Ejercicio 9
El ingreso medio de cierto bien viene expresado de la siguiente manera:
I (q) =
1
q1/3 +
9
28
3
1
+
q 1
q ≥ 0.
Obtén:
a. La función de ingreso
b. El ingreso medio en q = 27.
Ejercicio 10
El costo de un bien está dado por la relación:
C(q) = 200q3 - 15q2 + 1500q, 0 £ q £ 5 000. Si la ecuación de la demanda es
p = 5(q - 200)2, determina el número de unidades q a producir para que el
beneficio medio sea mínimo.