1) El documento presenta las ecuaciones de Maxwell en medios con fuentes y describe cómo se pueden obtener las expresiones de los potenciales escalar y vectorial a partir de estas ecuaciones. 2) Explica cómo resolver la ecuación de onda escalar no homogénea para obtener la expresión del potencial escalar retardado para una distribución de carga volumétrica variable en el tiempo. 3) Introduce la noción de trabajar con fasores cuando las fuentes tienen una variación armónica en el tiempo y obtiene las expresiones de los pot

1. PROPAGACION Y RADIACION
ELECTROMAGNETICA II
Miguel Delgado Le´on
28 de Julio del 2005

2. 2

3. Cap´ıtulo 1
Radiaci´on Electromagn´etica
1.1 Ecuaciones de Maxwell en medios con fuentes
las ecuaciones de Maxwell en medios con fuentes en su forma diferencial son las
siguientes:
· D(r, t) = ρ(r, t) Ley de Gauss (1.1)
· B(r, t) = 0 Ley de Gauss Magn´etico (1.2)
3

4. 4 CAP´ITULO 1. RADIACI ´ON ELECTROMAGN ´ETICA
× E(r, t) = −
∂
∂t
B(r, t) Ley de Faraday (1.3)
× H(r, t) = J(r, t) +
∂
∂t
D(r, t) Ley de Ampere Maxwell (1.4)
con las ecuaciones constitutivas:
D(r, t) = ε0 E(r, t) B(r, t) = µ0 H(r, t) (1.5)
1.2 potencial escalar y potencial vectorial
De (1.2) se deduce que B es un rotacional, as´ı:
B(r, t) = × A(r, t) (1.6)
reemplazando en (1.3), obtenemos:
× E(r, t) +
∂
∂t
A(r, t) = 0 (1.7)
Como sabemos, si el rotacional de un vector es cero, este vector es un gradiente,
seg´un la ecuaci´on anterior, el t´ermino entre parentesis es un gradiente, entonces:
E(r, t) = − V(r, t) −
∂
∂t
A(r, t) (1.8)
Aqui, V es el potencial escalar y A es el potencial vectorial. Reemplazando (1.5)
en (1.6) obtenemos:
H(r, t) =
1
µ0
× A(r, t) (1.9)

5. 1.3. SOLUCI ´ON DE LA ECUACI ´ON DE ONDA ESCALAR NO HOMOG ´ENEA5
(1.8) en (1.5), este resultado y (1.9) en (1.4) obtenemos:
×
1
µ0
× A(r, t) = J(r, t) + ε0
∂
∂t
− V −
∂
∂t
A(r, t) (1.10)
la expresi´ıon anterior puede modificarse, quedando:
× × A(r, t) + µ0ε0
∂2
∂t2
A(r, t) + µ0ε0
∂
∂t
V(r, t) = µ0J(r, t) (1.11)
Utilizando la conocida identidad vectorial × ( × A) = ( · A) − 2
A que
reemplazando en la ecuaci´on anterior, obtenemos:
( · A(r, t)) − 2
A(r, t) + µ0ε0
∂2
∂t2
A(r, t) + µ0ε0
∂
∂t
V(r, t) = µ0J(r, t) (1.12)
Imponiendo la llamada condici´on de Lorentz o norma de Lorentz 1
· A(r, t) + µ0ε0
∂
∂t
V(r, t) = 0 (1.13)
que reemplazado en la ecuaci´on anterior, la simplifica a:
2
A(r, t) − µ0ε0
∂2
∂t2
A(r, t) = −µ0 J(r, t) (1.14)
Esta es conocida como la ecuaci´on de onda vectorial no homog´enea. (1.8) en
(1.5) y luego en (1.1), llegamos a:
−ε0
2
V(r, t) + ·
∂
∂t
A(r, t) = ρ(r, t) (1.15)
Despejando de (1.13) · A(r, t) y reemplazando en (1.15) llegamos a:
2
V(r, t) − µ0ε0
∂2
∂t2
V(r, t) = −
1
ε0
ρ(r, t) (1.16)
es la ecuaci´on de onda escalar no homog´enea
1.3 Soluci´on de la ecuaci´on de onda escalar no ho-
mog´enea
En el caso est´atico: ∂V/∂t = 0, (1.16) se reduce a la ecuaci´on de Poisson, cuya
soluci´on se conoce:
2
V(r) = −
1
ε0
ρ(r) =⇒ V(r) =
1
4πε0 v
ρ(r )
R
d v (1.17)
1
Al finalizar la exposici´on se probar´a est´a condici´on

6. 6 CAP´ITULO 1. RADIACI ´ON ELECTROMAGN ´ETICA
donde R = r − r , r es el vector posici´on donde se localiza la carga y r el punto
donde se evalua V. Cuando la distribuci´on de carga es una carga puntual q en el
origen, la soluci´on es:
V(r) =
q
4πε0 r
(1.18)
La soluci´on de la ecuaci´on diferencial de (1.16) es muy complicada, sin embargo,
se puede utilizar un artificio para llegar a resolverla: considerando la distribuci´on
una carga puntual en el origen que oscila siempre en el origen. Entonces, (1.16)
se reduce a:
2
V(r, t) −
1
c2
∂2
∂t2
V(r, t) = 0 en r 0 (1.19)
Cuando la carga est´a siempre en el origen, existe sim´etria en coordenadas esf´ericas
con respecto a θ y φ, es decir, V = V(r) y la ecuaci´on anterior se reduce a:
1
r2
∂
∂r
r
∂
∂r
V(r, t) −
1
c2
∂2
∂t2
V(r, t) = 0 (1.20)
haciendo un cambio de variable V = χ/r que reemplazado en (1.20), llegamos a:
∂2
∂r2
χ(r, t) −
1
c2
∂2
∂t2
χ(r, t) = 0 (1.21)
es la ecuaci´on de onda unidimensional que satisfece cualquier funci´on con argu-
mento r − ct o t − r/c
χ(r, t) = f(r − ct) = f(t − r/c) (1.22)
donde f puede ser cualquier funci´on. Entonces, el potencial escalar ya es cono-
cido:
V(r, t) =
χ(r, t)
r
=
f(t − r/c)
r
(1.23)
En situaci´on est´atica (1.23) debe coincidir con (1.18), por tanto:
f(r) =
q(r)
4πε0
(1.24)
Hemos encontrado la expresi´on de f, entonces, la soluci´on de la carga puntual
oscilante es:
V(r, t) =
q(t − r/c)
4πε0 r
(1.25)
Generalizando para el caso de una distribuci´on de carga volum´etrica se tiene la
soluci´on de (1.16)
V(r, t) =
1
4πε0 v
ρ(r , t )
R
d v para t = t −
R
c
(1.26)

7. 1.3. SOLUCI ´ON DE LA ECUACI ´ON DE ONDA ESCALAR NO HOMOG ´ENEA7
A est´a soluci´on se conoce como el potencial escalar retardado. De manera simi-
lar se puede obtener la solucion de (1.14)
A(r, t) =
µ0
4π v
J(r , t )
R
d v para t = t −
R
c
(1.27)
A est´a soluci´on se conoce como potencial vectorial retardado La interpretaci´on
f´ısica es:
En un punto dado r y en un instante t, los potenciales se determinan por
la carga y la corriente que existian en otros puntos r’ en instantes anteriores
t’(=t-R/c)
Ejemplo 01
Una carga el´ectrica se distribuye en la superficie de una regi´on esf´erica de radio
a. La distribuci´on de carga es variable con el tiempo y tiene una densidad de
carga dada por σ = σ0 cos(ω t). Determine el potencial escalar V en todo el
espacio.
fig 1.1:
σ = σ0 cos(ωt )
Condici´on de Lorentz:
.
−→
A(r,t) + µ0ε0
δ
δt
V(
−→r ,t)
= 0
Soluci´on:
V(
−→r ,t)
=
1
4πε0
S
σ(r ,t )
R
ds =
1
4πε0
S
σ0 cos ω(t − R
C
)
R
ds
Trabajando con fasores:
cos θ = Re ejθ
V(
−→r ,t)
=
1
4πε0
S
σ0Re ejωt−jω R
C
R
ds
V(
−→r ,t)
= Re





1
4πε0
S
σ0e− jω R
C
R
ds


ejωt




8. 8 CAP´ITULO 1. RADIACI ´ON ELECTROMAGN ´ETICA
Tenemos:
V(
−→r )
=
σ0
4πε0
S
ejKR
R
ds
R2
= a2
+ z2
− 2az cos θ
diferenciando:
RdR = azsendθ
V(
−→r )
=
σ0
4πε0
π
0
2π
0
e−jKR
a2
senθ
R
dθdφ
fig 1.2:
V(
−→r )
=
σ0a2
2ε0
e−jKR
az
dR
V(
−→r )
=
σ0a
2ε0z
z+a
z−a
e− jKR
dR
Para z mayor que a o puntos fuera de la distribuci´on
V(
−→r )
=
σ0
2zε0
e−jKR
K
|z+a
z−a
V(
−→r )
=
jσ0a
2ε0zK
e−jK(z+a)
− e−jK(z−a)
V(
−→r )
= −
jσ0a
2ε0zK
e−jKz
2 jsen(Ka)
V(
−→r )
=
σ0a
ε0zK
sen(Ka)e− jKz
z > a
En un punto cualequiera z=r en tiempo real
V(
−→r ,t)
=
σ0a
ε0rK
sen(Ka) cos(ωt − Kz)

9. Cap´ıtulo 2
Expresiones generales de los
campos electromagn´eticos radiados
En el cap´ıtulo anterior hemos obtenido los potenciales retardados:
A(r, t) =
µ0
4π v
J(r , t )
R
d v V(r, t) =
1
4πε0 v
ρ(r , t )
R
d v (2.1)
donde t = t − R/c y R = r − r . Si las fuentes tienen una variaci´on arm´onica ω,
podemos trabajar con fasores, es decir, separar el espacio del tiempo:
A(r, t)
V(r, t)
= Re
A(r)
V(r)
ej ω t
(2.2)
Puesto que las fuentes varian arm´onicamente, entonces, la corriente puede ex-
presarse como:
J(r , t ) = Re{ J(r ) ejω t
} = Re{ J(r ) ejω (t−R/c)
} = Re{ J(r ) e−jω R/c
ejω t
} (2.3)
que reemplazado en (2.1), tenemos:
A(r, t) = Re
µ0
4π v
J(r )e−jω R/c
R
dv ejω t
= Re A(r) ejω t
(2.4)
El t´ermino entre corchetes es (seg´un (2.2)) el fasor potencial vectorial. Con-
siderando adem´as k = ω/c, los potenciales retardados fasoriales ser´an:
A(r) =
µ0
4π v
J(r )e− jk R
R
d v V(r) =
1
4πε0 v
ρ(r )e− jk R
R
d v (2.5)
Las expresiones en tiempo real pueden pasarse a fasores cambiando ∂/∂t → jω.
De (1.8) obtenemos el campo el´ectrico:
E(r) = − V(r) − jωA(r) (2.6)
9

10. 10CAP´ITULO 2. EXPRESIONES GENERALES DE LOS CAMPOS ELECTROMAGN ´ETICOS
Reemplazando (2.5) en est´a ecuaci´on,obtenemos:
E(r) = −
1
4πε0 v
ρ(r )
e−jk R
R
+ jωµ0ε0J(r )
e− jk R
R
d v (2.7)
No es d´ıficil demostrar que:
e−jk R
R
= −jk −
1
R
e−jk R
R
ˆR (2.8)
que reemplazando en (2.7), el campo el´ectrico queda como
E(r) =
1
4πε0 v
jk +
1
R
e− jk R
R
ρ(r ) ˆR − jωµ0ε0J(r )
e− jk R
R
d v (2.9)
Esta expresi´on del campo el´ectrico es general y exacta. De (2.5) en (1.6) pode-
mos obtener el campo magn´etico:
B(r) = ×
µ0
4π v
J(r )
R
e−jk R
dv =
µ0
4π v
e−jk R
R
× J(r ) dv (2.10)
quedando finalmente como:
B(r) = −
µ0
4π v
jk +
1
R
e−jk R
R
ˆR × J(r ) dv (2.11)
Es la expresi´on general y exacta del campo magn´etico
2.0.1 Campos inducidos
Las expresiones exactas de E
y de B se pueden evaluar en
zonas cercanas a las fuentes o
en zonas lejanas:
fig 2.1:
zona cercana Si: kR 1 =⇒
k
R
1
R2
(2.12)

11. 2.1. APROXIMACI ´ON DE LOS CAMPOS RADIADOS A GRANDES DISTANCIAS11
Entonces en (2.9) y (2.11) predomina uno de los t´erminos:
Ei
(r) =
1
4πε0 v
ˆR ρ(r )
R2
e−jk R
dv (2.13)
y
Hi
(r) =
j k
4π v
J(r ) × ˆR
R2
e−jk R
dv (2.14)
Son los campos electromagn´eticos cercanos a las fuentes
2.0.2 Campos radiados
Los campos en zonas muy alejadas de las fuentes deben cumplir
zona lejana Si: kR 1 =⇒
k
R
1
R2
(2.15)
Entonces en (2.9) y (2.11) predomina uno de los t´erminos:
Er
(r) =
j k
4πε0 v
ρ(r ) ˆR −
√
µ0ε0 J(r )
e−jk R
R
dv (2.16)
Hr
(r) = −
j k
4π v
ˆR × J(r )
e− jk R
R
dv (2.17)
2.1 Aproximaci´on de los campos radiados a grandes
distancias
En la secci´on anterior hemos
visto que a grandes distan-
cias de la fuente se cumple:
k R 1 que implica r r .
Entonces las aproximaciones
que se pueden realizar son:
fig 2.2:
R =| r − r |≈ r 1 − 2
r · r
r2
1/2
= r 1 −
r · r
r2
= r − ˆr · r (2.18)

12. 12CAP´ITULO 2. EXPRESIONES GENERALES DE LOS CAMPOS ELECTROMAGN ´ETICOS
tambi´en
e−jk R
R
≈
e− jk r
r
ejk ˆr·r
y ˆR ≈ ˆr (2.19)
Utilizando la ecuaci´on de continuidad:
ρ(r ) = −
1
jω
· J(r ) (2.20)
Reemplazando estas relaciones en (2.16), (2.17) y (2.5) obtenemos:
Er
(r) =
jωµ0
4π
e− jk r
r
ˆr × ˆr ×
v
J(r )ejk ˆr·r
dv (2.21)
Hr
(r) = −
j k
4π
e−jk r
r
ˆr ×
v
J(r )ejk ˆr·r
dv (2.22)
y
Ar
(r) =
µ0
4π
e−jk r
r v
J(r )ejk ˆr·r
dv (2.23)
Se observa que:
Er
(r) = −
µ0
ε0
ˆr × Hr
(r) = η0 Hr
(r) × ˆr (2.24)
Los campos electromagn´eticos en funci´on del potencial vectorial:
Er
(r) = jω ˆr × ˆr × Ar
(r) y Hr
(r) = − j
ω
η0
ˆr × Ar
(r) (2.25)
Asumiendo la expresi´on de Ar
(r) en coordenadas esf´ericas:
Ar
(r) = Aρˆr + Aφ
ˆφ + Azˆz (2.26)
que reemplazando en la expresi´on anterior resulta:
Er = 0 Eθ = −jωAθ Eφ = −jωAφ (2.27)
y
Hr = 0 Hθ = − j
ω
η0
Aφ = −
Eφ
η0
Hφ = −j
ω
η0
Aθ =
Eθ
η0
(2.28)

13. 2.2. VECTOR DE RADIACI ´ON N 13
2.2 Vector de Radiaci´on N
En las expresiones (2.21), (2.22) y (2.23) aparece una integral com´un, que se
conoce como el vector de radiaci´on:
N =
v
J(r )ejk ˆr·r
dv (2.29)
de manera que el campo A resulta:
Ar
(r) =
µ0
4π
e−jk r
r
N (2.30)
Reemplazando en (3.14) y (3.15) obtenemos
Eθ = − jωµ0
e−jk r
4π r
Nθ Hφ = − j k
e−jk r
4π r
Nθ (2.31)
y
Eφ = − jωµ0
e−jk r
4π r
Nφ Hθ = j k
e−jk r
4π r
Nφ (2.32)
2.3 Vector de Radiaci´on y la transformada de Fourier
La distribuci´on de la fuente y el vector de radiaci´on N es una transformada de
Fourier:
N =
∞
−∞
ejkx x
dx
∞
−∞
ejkyy
dy
∞
−∞
ejkzz
J(x , y , z )dz (2.33)
Si J es de una antena lineal, tenemos:
J(x , y , z ) = ˆz I(z )δ(x )δ(y ) (2.34)
donde δ son las funciones Delta de Dirac
OBSERVACION:

14. 14CAP´ITULO 2. EXPRESIONES GENERALES DE LOS CAMPOS ELECTROMAGN ´ETICOS
Distribuci´on de corriente:
fig 2.3:
fig 2.4:
fig 2.5:
Ejemplo Calcular los campos radiados de una antena tipo dipolo de lon-
gitud l donde l λ (λ longitud de onda). A esta ´antena se conoce como
dipolo el´ectrico hertziano.
Soluci´on Puede considerarse la distribuci´on de corriente como:
I(z , t ) = I0 cos(ωt ) donde I(z ) = I0 (2.35)
Reemplzando (3.21) y luego en (3.20) tenemos:
N =
∞
−∞
ejkx x
δ(x )dx
∞
−∞
ejkyy
δ(y )dy
∞
−∞
ˆz I0 ejkzz
dz (2.36)
Las dos primeras integrales es 1 entonces queda:
Nz = I0
l/2
−l/2
ejkzz
dz = I0 l
sen(kzl/2)
kzl/2
= I0 l (2.37)

15. 2.3. VECTOR DE RADIACI ´ON Y LA TRANSFORMADA DE FOURIER 15
Descomponiendo kz en coordenadas esf´ericas, tenemos:
Nr = I0 l cosθ Nθ = −I0 l senθ (2.38)
Reemplazando en (3.17), (3.18) y (3.19) obtenemos:
Az(r) =
µ0I0 l
4π
e−jk r
r
Eθ(r) = jωµ0I0 l
e−jk r
r
senθ Hφ(r) =
Eθ
η0
(2.39)

16. 16CAP´ITULO 2. EXPRESIONES GENERALES DE LOS CAMPOS ELECTROMAGN ´ETICOS

17. Cap´ıtulo 3
Antenas Lineales
El Institute of Electricaland Electronic Engineers (IEEE) define la an-
tena como aquella parte de un sistema transmisor o receptor disenada es-
pecificamente para radiar o recibir ondas electromagn´eticas.
La radiaci´on de ondas electromagn´eticas se cumple eficientemente con ayuda
de estructuras conductoras o diel´ectricas llamadas antenas. Cualquier es-
tructura puede emitir ondas electroman´eticas, pero no todas son mecanis-
mos de radiaci´on eficientes.
3.1 Par´ametros de las antenas en transmisi´on
Una antena formar´a parte de un sistema m´as amplio, de radio comunica-
ciones o radar, por ejemplo. Los par´ametros de la antena en transmisi´on
son: Impedancia, Intensidad de radiaci´on, Diagrama de radiaci´on, Direc-
tividad, Polarizaci´on y Ancho de banda
3.1.1 Impedancia
A la entrada de una antena puede definirse una impedancia de entrada Ze
mediante relaciones tensi´on corriente en ese punto, la impedancia poseer´a
una parte real Re(ω) y una parte imaginaria Xe(ω), ambas dependientes de
la frecuencia. Si Ze no presenta una parte reactiva a una frecuencia se dice
que la antena es resonante.
Dado que la antena radia energ´ıa hacia el espacio, hay una ”p´erdida”neta
de potencia Prad hacia el espacio, que seg´un la teor´ıa de circuitos asigna una
resistencia de radiaci´on Rrad, esta resistencia no existe, es hipot´etica. En-
tonces, la potencia radiada hacia el espacio es:
Prad = I2
ef Rrad (3.1)
17

18. 18 CAP´ITULO 3. ANTENAS LINEALES
Superpuestas a la resistencia de radiaci´on, se tienen las p´erdiadas en la an-
tena representada por una resistencia RΩ. Se define la eficiencia de radiaci´on
ξ como:
ξ =
Prad
Pentrada
=
I2
ef Rrad
I2
ef RΩ + I2
ef Rrad
=
Rrad
Rrad + RΩ
(3.2)
Desde elpunto de vista de la teoria de campos electromagn´eticos, la potencia
radiada Prad es la densidad de flujo de potencia en una superficie esf´erica
que encierra a la antena:
Prad =
s
S · ˆn ds (3.3)
Teniendo en cuenta la expresi´on de S, (2.31) y (2.32)
S =
1
2
Re{E × H∗
} = ˆr
η
8λ2r2
{|Nθ|2
+ |Nφ|2
} (3.4)
3.1.2 Intensidad de radiaci´on U(θ, φ)
Una de las caracter´ısticas fundamentales de una antena es su capacidad
para radiar en cierta direcci´on. La intensidad de radiaci´on U(θ, φ) es la po-
tencia radiada por unidad de ´angulo s´olido en una determinada direcci´on.
Como se sabe:
Prad =
s
S · ˆn ds =
Ω
S r2
senθ dθ dφ =
s
S r2
dΩ (3.5)
donde dΩ = senθ dθ dφ es el diferencial del ´angulo s´olido, el integrando del la
´ultima integral es la potencia radiada por unidad de ´angulo s´olido, teniendo
en cuenta (3.5) y (3.4), llegamos a
U(θ, φ) = S r2
=
η
8λ2
{|Nθ|2
+ |Nφ|2
} (3.6)
3.1.3 Diagrama de radiaci´on
Es la gr´afica que describe la intensidad de campo lejano en funci´on de la
direcci´on a una distancia fija. Por lo general, el diagrama es tridimensional
y varia con θ y φ en esf´ericas. La gr´afica en funci´on de θ para φ constante
se conoce como diagrama en el plano E. La gr´afica en funci´on de φ para θ
constante se conoce como diagrama en el plano H

19. 3.2. ELEMENTOS FINITOS EN LA TEOR´IA DE ANTENAS 19
3.1.4 Directividad
La medida de la concentraci´on de potencia radiada en una direcci´on partic-
ular es la ganancia directiva Gd(θ, φ)
Gd(θ, φ) =
U(θ, φ)
Uprom
=
U(θ, φ)
Prad
4π
=
4πU(θ, φ)
Prad
(3.7)
Puesto que U = S r2
, reemplazando en la ecuaci´on anterior y despejando S ,
tenemos
S =
Gd(θ, φ)
4π r2
Prad (3.8)
relaci´on ´util para la ecuaci´on de transmisi´on de Friis. La directividad de
una antena es la raz´on de la intensidad de radiaci´on m´axima a la intensidad
de radiaci´on promedio
D =
Umax
Uprom
= Gd max ==
4πUmax
Prad
(3.9)
La ganancia directiva y la directividad pueden expresarse en decibeles dB
D(dB) = 10 log10 D (3.10)
3.1.5 Polarizaci´on
La polarizaci´on de una antena en una direcci´on fija es la de la onda ra-
diada por ella en esa direcci´on. La polarizaci´on de una onda es la f´ıgura
geom´etrica descrita al transcurrir el tiempo. Como hemos estudiado, ten-
emos tres casos: polarizaci´on lineal, eliptica y circular
3.1.6 Ancho de banda
Todas las antenas, est´an limitadas a operar satisfactoriamente en una banda
o margen de frecuencia. Este intervalo de frecuencias, en el que un par´ametro
de antena determinado no sobrepasa unos limites prefijados, se conoce como
ancho de banda de la antena. El ancho de banda de la antena lo impondr´a
el sistema del que forme parte y afectar´a al par´ametro m´as sensible o cr´ıtico
en la aplicaci´on.
3.2 Elementos finitos en la teor´ıa de Antenas
El diseno y an´alisis de antenas de radio es un tema reconocido en ingenier´ıa
que recibi´o un impulso sustancial con el advenimiento de la computaci´on

20. 20 CAP´ITULO 3. ANTENAS LINEALES
digital que hizo posible atacar muchos problemas hasta entonces irresol-
ubles con relativa facilidad. La t´ecnica num´erica m´as importante en la
soluci´on de las ecuaciones integrales de antenas es el m´etodo de los mo-
mentos. El problema que un disenador de antenas tiene que resolver es el
c´alculo de las corrientes distribuidas en un cierto arreglo de antenas.
3.2.1 Ecuaci´on de Pocklington
Est´a ecuaci´on integral es una de las m´as ´utiles en el an´alisis num´erico de
antenas lineales. En este caso se considera un alambre conductor cilindrico
recto, con secci´on transversal pequeno en comparaci´on con su longitud. El
potencial vectorial retardado seg´un (2.5) es:
Az =
µ0
4π
l/2
−l/2
I(z )e−j k R
R
dz (3.11)
donde se ha usado un valor medio de R
R = a2 + (z − z)2 (3.12)
Aqui a es el radio de la antena lineal. El campo el´ectrico debido a la dis-
tribuci´on descrita de corriente es seg´un (2.6)
Ez = −
∂V
∂z
− jωAz (3.13)
donde V es el potncial escalar. utilizando la norma de Lorentz (1.13)
∂Az
∂z
= −µ0ε0 jωV (3.14)
Despejando V y reemplazando en (3.13) obtenemos:
jωε0Ez =
1
µ0
∂2
Az
∂z2
+ ω2
ε0Az (3.15)
Ahora (3.11) en (3.15) obtenemos la ecuaci´on integral de Pocklington para
la distribuci´on de corriente I(z )
jωε0Ez =
l/2
−l/2
I(z )
∂2
∂z2
+ k2 e− jkR
4πR
dz (3.16)

21. 3.2. ELEMENTOS FINITOS EN LA TEOR´IA DE ANTENAS 21
3.2.2 Soluci´on de elementos finitos
Si el cilindro se excita en z = 0, entonces Ez, al ser el campo tangencial en
una superficie conductora perfecta, se anula en todas partes excepto sobre
la superficie cilindrica del entrehierro excitado. La soluci´on num´erica se
obtiene dividiendo la longitud de la antena en M elementos finitos sobre
cada uno de los cuales se supone constante I(z ), con valores I1, I2, · · ·, IM si
se sustituyen estos valores constantes en (3.16) se llega a una matriz
V = ZI (3.17)
Resolviendo el sistema de ecuaciones, determinamos la distribuci´on de cor-
riente en una antena lineal de longitud l. La soluci´on num´erica es aproxi-
mada a las siguientes distribuciones:
I(z ) = I0 cuando l λ (3.18)
I(z ) = I0 1 − 2
|z |
l
cuando l ≤
λ
5
(3.19)
I(z ) = I0 cos(k z ) cuando l =
λ
2
(3.20)
I(z ) = I0 sen k(l/2 − |z |) cuando l ≥
λ
2
(3.21)
Ejemplo Para una antena lineal de media onda, determinar: los campos
electromagn´eticos radiados E y H, la intensidad de radiaci´on U(θ, φ), la po-
tencia radiada Prad, la resistencia de radiaci´on Rrad, la directividad D, y la
eficiencia de radiaci´on ξ para una frecuencia de 60 MHz, la antena es de
cobre, de radio 2 mm.
Soluci´on La distribuci´on de corriente fasorial, seg´un el programa raida.m
es aproximadamente
I(z ) = I0cos(k z ) para − λ/4 ≤ z ≤ λ/4 (3.22)
reemplazando e (2.34) y (2.33), llegamos a:
N =
∞
−∞
ejkx x
δ(x )dx
∞
−∞
ejkyy
δ(y )dy
∞
−∞
ˆz I0cos(k z ) ejkzz
dz (3.23)
Las dos primeras integrales son 1, entonces queda
N =
λ/4
−λ/4
ˆz I0cos(k z ) ejkzz
dz =
λ/4
−λ/4
ˆz I0cos(k z ) ejk cosθ z
dz (3.24)

22. 22 CAP´ITULO 3. ANTENAS LINEALES
El resultado de est´a integral no es d´ıficil,
Nz =
2 I0cos(π
2
cosθ)
k sen2θ
(3.25)
utilizando la identidad vectorial conocida ˆz = ˆr cosθ − ˆθsenθ, tenemos
Nr =
2 I0cos(π
2
cosθ) cos θ
k sen2θ
Nθ = −
2 I0cos(π
2
cosθ)
k senθ
(3.26)
Utilizando (2.31) llegamos a:
Eθ =
jωµoI0e−jkr
cos(π
2
cosθ)
2πkrsenθ
Hφ =
I0e−jkr
cos(π
2
cosθ)
2πrsenθ
(3.27)
Reemplazando (3.15) en (3.4) obtenemos la intensidad de radiaci´on
U(θ, φ) =
ηI2
0cos2
(π
2
cosθ)
2λ2k2sen2θ
=
ηI2
0cos2
(π
2
cosθ)
8π2sen2θ
(3.28)
se ha utilizado λ = 2π/k. La potencia radiada Prad, seg´un (3.5) es
Prad =
π
θ=0
2π
φ=0
U senθ dθ dφ =
ηI2
0
4π
π
θ=0
cos2
(π
2
cosθ)
senθ
dθ (3.29)
La ´ultima integral no tiene soluci´on anal´ıtica, mediante m´etodos num´ericos
(trapecio o simpson) se llega a 1.2188, teniendo en cuenta que η = 120π, la
potencia radiada queda
Prad = 36.564I2
0 (3.30)
teniendo en cuenta (3.1) Prad = I2
ef Rrad = I2
0Rrad/2 = 36.564I2
0 obtenemos la
resistencia de radiaci´on Rrad = 73.128Ω. La ganancia direccional se obtiene
reemplazando (3.17) y (3.18) en (3.7) obtenemos
Gd =
4π
ηI2
0 cos2(0.5πcosθ)
8π2sen2θ
ηI2
0
4π
1.2188
= 1.64
cos2
(0.5πcosθ)
sen2θ
(3.31)
La directividad D es la Gd max, es decir, D = 1.64. De la relaci´on λ f = c
obtenemos λ = 5 m., la antena tiene una longitud l = 2.5 m.. La resistencia
superficial Rs es
Rs =
π fµ
g
=
π6 × 107 × 4π × 10−7
5.8 × 107
=
π
500
3
29
(3.32)

23. 3.2. ELEMENTOS FINITOS EN LA TEOR´IA DE ANTENAS 23
La resistencia debido a las p´erdidas es
RΩ = Rs
l
2πa
=
π
500
3
29
2.5
2π × 2 × 10−3
= 0.4020 (3.33)
La eficiencia de radiaci´on es
ξ =
Rrad
Rrad + RΩ
=
73.1
73.1 + 0.4020
= 0.9945 (3.34)
Ejemplo Determine el vector de radiaci´on N de un dipolo el´ectrico elemental
p
Soluci´on Haciendo la aproximaci´on
ej k ˆr·r
= 1 + jkˆr · r + · · ·
considerando el primer t´ermino en (2.29), tenemos:
N =
v
J(r )ej k ˆr·r
d v =
v
J(r ) d v (3.35)
Utilizando la identidad conocida
· x J = x · J + x · J = Jx + x · J
que integrando sobre el volumen de la fuente, resulta
v
· x J d v =
v
Jx d v +
v
x · J d v
ampliando el volumen, a un volumen mayor que v y aplicando el teorema
de la divergencia al primer lado de la ecuaci´on anterior, se obtiene cero,
quedando:
v
Jx d v = −
v
x · J d v
generalizando la expresi´on en (3.35) tenemos
N =
v
J(r ) d v = −
v
r · J(r ) d v (3.36)
utilizando la ecuaci´on de continuidad:
· J(r ) + j ω ρ(r ) = 0
despenado J y reemplazando en (3.36), obtenemos la respuesta
N =
v
j ω ρ(r ) r d v = j ω p

24. 24 CAP´ITULO 3. ANTENAS LINEALES
donde p es el momento dipolar el´ectrico
Tarea Demostrar que el vector de radiaci´on N para un dipolo elemental
magn´etico es
N = j k m × ˆr
donde m es el momento dipolar magn´etico

25. Contenido
1 Radiaci´on Electromagn´etica 3
1.1 Ecuaciones de Maxwell en medios con fuentes . . . . . . . . 3
1.2 potencial escalar y potencial vectorial . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Soluci´on de la ecuaci´on de onda escalar no homog´enea . . . . 5
2 Expresiones generales de los campos electromagn´eticos radiados 9
2.0.1 Campos inducidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.0.2 Campos radiados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1 Aproximaci´on de los campos radiados a grandes distancias . 11
2.2 Vector de Radiaci´on N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3 Vector de Radiaci´on y la transformada de Fourier . . . . . . 13
3 Antenas Lineales 17
3.1 Par´ametros de las antenas en transmisi´on . . . . . . . . . . . 17
3.1.1 Impedancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.1.2 Intensidad de radiaci´on U(θ, φ) . . . . . . . . . . . . . 18
3.1.3 Diagrama de radiaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.1.4 Directividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.1.5 Polarizaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.1.6 Ancho de banda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.2 Elementos finitos en la teor´ıa de Antenas . . . . . . . . . . . 19
3.2.1 Ecuaci´on de Pocklington . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.2.2 Soluci´on de elementos finitos . . . . . . . . . . . . . . 21
25