1. Introduccion
Matematica Nivelatoria
9- Oct-2011
Ing. Medardo Galindo

2. Números Naturales
• Algunos autores definen el Conjunto de
Números naturales como el conjunto que
sirve para contar.
• Se identifica con el símbolo N y
comprende la siguiente colección:
N={0,1,2,3,4,5….}

3. Expresión General de un
Numero Natural
Proceso de sustituir el valor de las variables
por su valor numérico.
Si n = 1, entonces n+1=1+1= 2
Si n = 5, entonces n+5= 5+1= 6

4. Evaluar
Evaluar la siguiente expresión:
• 3n2-2m, si n=2 y m=1
• 3n2-2m, si n=5 y m=4

5. Sucesor y Antecesor
• La expresión n+1 en los naturales se
llama sucesor de n y se representa por:
n+ = n +1
• La expresión n-1 en los naturales se llama
antecesor de n y se representa por:
n- = n -1

6. Por lo tanto
• El sucesor del numero 4 es :
4+ = 4 +1=5
• El antecesor del numero 4 es:
4- = 4 -1= 3

7. Operaciones Básicas con los
Números Naturales
• La adición es una operación binaria por
que se opera con dos elementos
(números) . Los dos elementos se llaman
sumandos y el resultado suma o total.
12,820 + 4320 = 17,140
Sumandos Suma o Total

8. Problema a Solucionar
• Jorge lleva al colegio 12 lápices. Luis lleva
8 mas que Jorge y Pedro, 3 mas que los
dos juntos. ¿Cuántos Lápices llevan entre
los tres

9. Multiplicación en los Naturales
• Es también una operación binaria , es
decir se opera siempre sobre dos
números. Los dos números se separan
por medio del signo x, un ., o (). Así
• a x b = c , siendo a el multiplicando
• a.b = c, siendo b el multiplicador
• (a)(b)= c, siendo c el producto

10. Ejemplo
• Se compran 10 terneras por L.970 cada
una y después se venden por L1,056
cada una. ¿Cuál es la ganancia total?

11. Propiedades Multiplicación de
Números Naturales
• Asociativa
• Si a, b, c son números naturales
cualesquiera se cumple que:
• (a · b) · c = a · (b · c)
• Por ejemplo:
• (3 · 5) · 2 = 15 · 2 = 30
• 3 · (5 · 2) = 3 · 10 = 30

12. Propiedades Multiplicación de
Números Naturales
• Conmutativa
• Si a, b son números naturales
cualesquiera se cumple que:
• a·b=b·a
• Por ejemplo:
• 5 · 8 = 8 · 5 = 40

13. Propiedades Multiplicación de
Números Naturales
• Distributiva del producto
• Si a, b, c son números naturales
cualesquiera se cumple que:
• a · (b + c) = a · b + a · c
• Por ejemplo:
• 5 · (3 + 8) = 5 · 11 = 55
• 5 · 3 + 5 · 8 = 15 + 40 = 55

14. Sustracción en los Números
Naturales
• No siempre la diferencia entre dos
números naturales es otro numero natural.
Los dos números se llaman Minuendo el
primero y Sustraendo el segundo y el
resultado se llama diferencia.
Sustraendo S
2,508 – 1,349 = 1,159 , Luego; M-S=D
Minuendo M Diferencia D

15. Ejemplo
• Se ha comprado un aparato electronico
por Lps 1,200. Se dio de prima Lps 500;
despues un pago de Lps 130 y despues
otro de Lps 253. ¿Cuánto se debe?

16. División en los Números
Naturales
• La división N es una operación Binaria. No
siempre el resultado de la división entre
dos naturales es otro numero natural.
• El primer numero se llama dividendo, el
segundo divisor, el tercero cociente y lo
que sobra residuo.

17. Importante
• Todo numero dividido por 1 es igual al
mismo numero.
• Cuando el divisor es 0, la división no esta
definida. (a/0, 0/0; no es posible realizar)
• Cuando el residuo es cero la división se
llama exacta y en caso contrario inexacta

18. Propiedades Adición de
Números Naturales
• Asociativa:
Si a, b, c son números naturales cualesquiera se
cumple que:
(a + b) + c = a + (b + c)
• Por ejemplo:
(7 + 4) + 5 = 11 + 5 = 16
7 + (4 + 5) = 7 + 9 = 16

19. Propiedades Adición de
Números Naturales
• Conmutativa
• Si a, b son números naturales
cualesquiera se cumple que:
• a+b=b+a
• En particular, para los números 7 y 4, se
verifica que:
• 7+4=4+7

20. Propiedades Adición de
Números Naturales
• Elemento neutro
• El 0 es el elemento neutro de la suma de
enteros porque, cualquiera que sea el
número natural a, se cumple que:
• a+0=a

21. Potencias en Números
Naturales
• Cuando dos o mas numeros se
multiplican, cada uno de ellos se llama
factor. Tanto el multiplicando como el
multiplicador son factores. Según lo
anterior:
5 x 4 = 20, 5 y 4 son factores de 20
16 x 5 = 80, 16 y 5 son factores de 80

22. Potencias en Números
Naturales
• A veces un mismo numero aparece mas
de una vez como factor de un producto:
3 x 3 = 9, 9 tiene dos factores iguales a 3
• Cuando existen productos de factores
iguales se leen así:
3 x 3 = 32 , Se lee ´´Tres a la dos´´

23. Definicion
• Si a, n son números naturales, n≥0, a≠0,
llamaremos potencia enésima de a y la
representaremos an al producto a.a.a…n
veces. El numero a se llama Base y n se
llama exponente.

24. Leyes Exponentes, Base y
Exponente Natural
• Multiplicación potencias de misma base
am.an = am+n
• Para multiplicar potencias de la misma
base, se escribe la base y se suman los
exponentes de los factores.
23x 25x 20x 21= 23+5+0+1=29

25. Leyes Exponentes, Base y
Exponente Natural
• Potencia de Potencia
(am)n=amn
• Para desarrollar una potencia de potencia,
se escribe la base y se multiplican los
exponentes.
• ((72)3)4=72x3x4=724

26. Leyes Exponentes, Base y
Exponente Natural
• Cociente de potencia de la misma base
am÷an=am-n
• Para dividir potencias de la misma base,
se escribe la base y se restan los
exponentes.
34÷32=34-2=32

27. Resolver
• Simplificar la expresión:
• 35 x 38 x 30 x 34
3 2 x 39
• 25 x 36 x (32)3
24 x 32 x (33)2

28. Jerarquía de las Operaciones
• Efectuar primero las potencias.
• Efectuar después de las multiplicaciones y
divisiones (la primera que se encuentre)
en el orden de izquierda a derecha.
• Por ultimo, efectuar las adiciones y
sustracciones (la primera que se
encuentre) en el orden de izquierda a
derecha

29. Esto Implica
• 36 ÷ 4 -1 = Significa (36÷4)-1= 9-1 = 8
• 7 x 4 +3 = Significa (7x4)+3 = 28+3 = 31
• 6x8 - 7x2= Significa (6x8)-(7x2)=48-14=34
• 30 ÷ 10 x 3= Significa (30÷10)x3 =3x3= 9

30. Operaciones Combinadas
Resolver los siguientes ejercicios
• 23 + 3 x 22 – 5 x 8 + 60
• 82 ÷ 16 + 32 x 18 - 45 ÷ 32 -17

31. Operaciones con Paréntesis y
con Números Naturales
• Todo los que esta encerrado dentro de un
paréntesis se considera como una sola
cantidad.
• En muchos casos el paréntesis puede
estar encerrado, encajado y anidado
dentro de otro.
• Los signos mas usados son Paréntesis
Común (), Corchetes [], Llaves {}

32. Ejercicios
• Realizar los siguientes ejercicios:
5 +{2 +4 + 3 (5-1) – [18÷3]}
3{172 +[32 – (14-6) +8]} - 256

33. Raíz Cuadrada Exacta de un
Numero Natural
• Un cuadrado perfecto es un numero
positivo que tiene raíz cuadrada entera
exacta.
• Todo cuadrado perfecto se puede
expresar como el producto de dos
factores iguales, es decir como una
potencia de exponente 2.

34. Importante
• √0 = 0
• √n2 = n siendo n un cuadro perfecto
Positivo
• √n = b entonces b2 = n, siendo n≥0
• √n2 = (√n2 ) 2 es igual a n

35. Propiedad Multiplicativa de las
raíces
• Si m y n no son cuadros perfectos
entonces:
√n*m = √n * √m
Ver ejemplos.

36. Valor Absoluto de un Entero
• El valor absoluto de un numero esta
definido por el numero natural que le
corresponde, es decir, por 0 o por un
positivo.
• Si x es un numero entero, entonces el
valor absoluto de x, es
x si x > 0
0 si x = 0
-x si x < 0

37. Propiedades Valor Absoluto
• El valor absoluto de un producto es igual
al producto de los valores absolutos de
los factores.
• El valor absoluto de un cociente es igual
al cociente de los valores absolutos de los
términos del cociente

38. Propiedades Valor Absoluto
• El valor absoluto de una suma es, menor
o igual que la suma de los valores
absolutos de los sumandos.
• El valor absoluto de un numero negativo,
es igual al valor absoluto del mismo
numero positivo.

39. División en el conjunto de los
Números Enteros
• (+) ÷ (+) = +, mas entres mas, da mas
• (+) ÷ (-) = -, mas entre menos, da menos
• (-) ÷ (-) = +, menos entre menos da mas
• (-) ÷ (+) = -, menos entre mas, da menos

40. Mínimo Común Múltiplo
• Dados números naturales a,b, llamaremos
Mínimo Común Múltiplo de a y b y lo
representaremos por m.c.m(a,b) al menor
de los múltiplos distinto de cero, comunes
a ambos

41. Máximo Común Divisor
• Dados los números naturales a,b,
llamaremos Máximo Común Divisor de a y
b y lo representaremos por M.C.D(a,b), al
mayor de los divisores comunes a ambos
numeros

42. Lineamientos para Resolver
Problemas
• Entender el problema
• Traducir problema al lenguaje matemático
• Realizar los cálculos matemáticos
necesarios para resolver el problema
• Comprobar la respuesta obtenida en el
paso 3
• Asegurarse de haber respondido la
pregunta