conjuntos numéricos

1. Propiedad Intelectual Cpech
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20102010
Clase N° 1Clase N° 1
Conjuntos numéricos I
Propiedad Intelectual Cpech

2. Propiedad Intelectual Cpech
APRENDIZAJES ESPERADOS
• Utilizar y clasificar los distintos conjuntos
numéricos en sus diversas formas de expresión,
tanto en las ciencias exactas como en las ciencias
sociales y en el ámbito cotidiano.
• Aplicar la operatoria básica en los números
naturales y enteros.

3. Propiedad Intelectual Cpech
1. Números Naturales
1.1 Consecutividad numérica
1.2 Paridad e imparidad
1.3 Números primos
1.4 Múltiplos y divisores
1.5 Mínimo Común Múltiplo y Máximo Común Divisor
1.6 Operatoria en los naturales
2. Números Cardinales
Conjuntos Numéricos
3. Números Enteros
3.1 Operatoria en los enteros
3.2 Propiedades
3.3 Prioridad de las operaciones

4. Propiedad Intelectual Cpech
1. Números Naturales (N)
1.1 Consecutividad numérica
Conjunto de la forma:
IN = {1, 2, 3, 4, 5, …}, conjunto infinito,
ordenado y discreto.
Todo número natural tiene un sucesor, y se obtiene
sumando 1 al número, es decir:
• Sucesor
Si n pertenece a IN, su sucesor será n +1.

5. Propiedad Intelectual Cpech
n - 1 n + 1n
Naturales Consecutivos
• Antecesor:
Todo número natural (exceptuando el 1), tiene un
antecesor, y se obtiene al restar 1 al número, es
decir: Si n pertenece a IN, su antecesor será n -1
antecesor sucesor

6. Propiedad Intelectual Cpech
1.2 Paridad e imparidad
• Números Pares {2, 4, 6, 8, 10……, 2n}
Son de la forma 2n, con n en los naturales.
Sucesor par: Se obtiene sumando 2 al número.
Si el número es 2n, entonces su
sucesor es 2n+2.
Antecesor par: Se obtiene restando 2 al número.
Si el número es 2n, entonces su
antecesor es 2n-2.
2n - 2 2n + 22n
Antecesor par Sucesor par

7. Propiedad Intelectual Cpech
Se obtiene sumando 2 al número
impar. Si el número es 2n-1,
entonces su sucesor es 2n+1.
• Números Impares {1, 3, 5, 7, 9…… ,2n-1}
Son de la forma 2n-1, con n en los naturales.
Sucesor impar:
Antecesor impar:
2n - 3 2n + 12n -1
Antecesor impar Sucesor impar
Se obtiene restando 2 al número
impar. Si el número es 2n-1, entonces, su
antecesor es 2n-3.

8. Propiedad Intelectual Cpech
1.3 Números Primos
Son aquellos números que son sólo divisibles
por 1 y por sí mismos:
{ 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29…}
Nota: El 1 NO es primo.
1.4 Múltiplos y Divisores
• Múltiplos
Se llama “múltiplo” de un número, a aquel que se
obtiene al multiplicar dicho número por otro cualquiera.
Por ejemplo: 5, 10, 15, 20 son múltiplos de 5.

9. Propiedad Intelectual Cpech
• Divisores
Se llama “divisor” de un número a aquel que lo
divide exactamente.
(Cabe en él una cantidad exacta de veces)
Por ejemplo:
Los divisores de 24 son los números que lo dividen
exactamente:
{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24}
Nota: El 5 no es divisor de 24, ya que al dividir
24 por 5 resulta 4,8.

10. Propiedad Intelectual Cpech
• Mínimo Común Múltiplo
El mínimo común múltiplo (m.c.m.) de dos o más
números, corresponde al menor de los múltiplos
que tienen en común.
Ejemplo:
-Algunos múltiplos de 3 son:
{3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36,…, 60}
-Algunos múltiplos de 6 son:
{6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48…, 60}
-Algunos múltiplos de 15 son:
{15, 30, 45, 60, 75,…}

11. Propiedad Intelectual Cpech
m.c.m. = 3 ∙ 2 ∙ 5 =30
El m.c.m. entre 3, 6 y 15 es 30.
(Dentro de los múltiplos que tienen en común, 30 es
el menor)
El m.c.m. entre 3, 6 y 15 se puede obtener a través
del siguiente método:
3 6 15 3
1 2 5 2
1 5 5
1
Se divide cada número por números primos hasta
que en cada columna quede 1, y el producto de
ellos corresponde al m.c.m.

12. Propiedad Intelectual Cpech
• Máximo Común Divisor
El máximo común divisor (M.C.D.) de dos o más
números, corresponde al mayor número que los
divide simultáneamente.
Ejemplo:
-Los divisores de 36 son:
{1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}
-Los divisores de 18 son:
{1, 2, 3, 6, 9, 18}
-Los divisores de 24 son:
{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}

13. Propiedad Intelectual Cpech
El M.C.D. entre 36, 18 y 24 es 6.
(Dentro de los divisores que tienen en común, 6 es el
mayor)
El M.C.D. entre 36, 18 y 24 se puede obtener a
través del siguiente método:
36 18 24 2
18 9 12 3
6 3 4
Se divide por números primos que sean divisores
de cada número, hasta que ya no se pueda dividir
a todos en forma simultánea.
M.C.D. = 2 ∙ 3 = 6

14. Propiedad Intelectual Cpech
1.6 Operaciones en IN
• Adición, sustracción, multiplicación y
división
Esta información se encuentra en tu libro en la
página 18.
Propiedades de la Adición:
a) Clausura:
b)Conmutativa: Si a y b son números naturales,
entonces se cumple que:
La suma de dos números naturales
es siempre un natural.
Por ejemplo: 12 + 5 = 5 + 12
a + b = b + a
a + b = c, donde a y b sumandos y c suma.

15. Propiedad Intelectual Cpech
c) Asociativa: Si a, b y c son números naturales,
entonces se cumple que:
a +(b+c) = (a+b) + c
Ejemplo: 13 +(5+9) = (13+5) + 9
13 + (14) =(18) + 9
27 = 27
Nota: En los naturales no existe neutro aditivo.
Propiedades de la Multiplicación:
a)Clausura: El producto de dos números naturales
es siempre un natural.
a ∙ b = c, donde a y b factores y c producto.

16. Propiedad Intelectual Cpech
4 ∙ (15) = (20) ∙ 3
Si a y b son números naturales,
entonces se cumple que:
Por ejemplo: 4 ∙ (5∙3) = (4∙5) ∙ 3
Por ejemplo: 34∙5 = 5∙34
a (b∙c) = (a∙b) c
b) Conmutativa:
c) Asociativa: Si a, b y c son números naturales,
entonces se cumple que:
Nota: El elemento neutro de la multiplicación es el 1.
Ver más en las páginas 18 y 19 del Libro.
a∙b = b∙a
170 = 170
60 = 60

17. Propiedad Intelectual Cpech
RECUERDA QUE:
En la sustracción:
a - b = c, donde a minuendo, b sustraendo y c diferencia.
En la división:
a : b = c, donde a dividendo, b divisor y c cuociente.
Si la división NO es exacta:
a : b = c, donde a dividendo, b divisor, c cuociente y d resto.
d
Ejemplo:
16 : 5 = 3
1
16: dividendo, 5: divisor, 3: cuociente y 1: resto
Donde, 16 = 5 ∙ 3 + 1

18. Propiedad Intelectual Cpech
2. Números Cardinales ( N0)
Conjunto de la forma:
IN0 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, …}, conjunto infinito,
ordenado y discreto.
2.1 Operaciones en IN0
• Adición, sustracción, multiplicación y
división
Si a es un número cardinal, entonces:
En este conjunto se cumplen las mismas propiedades
que en los naturales.
La diferencia es que incluye al cero, y por tal razón
posee “elemento neutro aditivo”.
a + 0 = 0 + a = a

19. Propiedad Intelectual Cpech
3. Números Enteros (Z)
Conjunto de la forma:
Z = {…, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …}, infinito,
ordenado y discreto.
Se puede representar como: Z = Z-
U IN0
Z = Z-
U {0} U Z+
Recta numérica:
Z-
Z+
0-3 -2 -1 1 2 3

20. Propiedad Intelectual Cpech
Paridad e imparidad
• Números Pares {…,- 4, - 2, 0, 2, 4,……}
Son de la forma 2n, con n en los enteros.
Sucesor par: Se obtiene sumando 2 al número.
Si el número es 2n, entonces su
sucesor es 2n+2.
Antecesor par: Se obtiene restando 2 al número.
Si el número es 2n, entonces su
antecesor es 2n-2.
2n - 2 2n + 22n
Antecesor par Sucesor par

21. Propiedad Intelectual Cpech
Se obtiene sumando 2 al número
impar. Si el número es 2n-1,
entonces su sucesor es 2n+1.
• Números Impares {- 3, - 1, 1, 3, 5, 7,...}
Son de la forma 2n-1, con n en los enteros.
Sucesor impar:
Antecesor impar:
2n - 3 2n + 12n -1
Antecesor impar Sucesor impar
Se obtiene restando 2 al número
impar. Si el número es 2n-1, entonces, su
antecesor es 2n-3.

22. Propiedad Intelectual Cpech
Valor absoluto:
El valor absoluto de un número representa la distancia
del número al origen (cero de la recta numérica).
Por ejemplo, la distancia del 5 al origen es cinco
unidades, igual que la distancia del -5 al origen.
La notación es: |5| = 5 y |-5| = 5
-5 50
5 unidades 5 unidades
Luego:
|-20| = 20 |34| = 34 |-12| = 12

23. Propiedad Intelectual Cpech
3.1 Operaciones en Z
Al realizar sumas, restas, multiplicaciones y divisiones
en los enteros, debemos considerar algunas reglas
con respecto a los signos:
Si a y b son números enteros, entonces se cumple que:
a) Al sumar enteros de igual signo, se suman los
números y el signo se mantiene.
Ejemplo:
25 + 8 = +33
-5 + - 9 = -14

24. Propiedad Intelectual Cpech
b) Al sumar enteros de distinto signo, se calcula la
diferencia entre sus valores absolutos, conservando
el signo del que tiene mayor valor absoluto.
Ejemplo:
-10 + 7 = -3
75 + -9 = +66
c) Al restar dos enteros, se debe sumar al minuendo el
inverso aditivo del sustraendo.
a – b = a + - b Ejemplo:
5 – 9 = 5 + - 9 = – 4
a – (-b) = a + b Ejemplo:
12 – (-8) = 12 + 8 = 20

25. Propiedad Intelectual Cpech
-42 ∙ -8 = +336
d) Si a y b son dos números enteros de igual signo,
entonces:
- El producto y el cuociente entre ellos es positivo.
e) Si a y b son dos números enteros de distinto signo,
entonces:
- El producto y el cuociente entre ellos es negativo.
Ejemplo:
Ejemplo:
-28 : -7 = +4
125 : -5 = -25
37 ∙ -5 = -185

26. Propiedad Intelectual Cpech
3.2 Propiedades
La suma de números enteros cumple con la propiedad
de Clausura, Conmutatividad y Asociatividad.
Ejemplo:
(-3)+ 2 = 2 + (-3)
-1 = -1
La suma de números enteros tiene “elemento neutro”:
el cero.
Ejemplo: (-8)+ 0 = -8
Además, cada número entero posee inverso aditivo.
Si a ∈ IZ, entonces – a ∈ IZ.

27. Propiedad Intelectual Cpech
3.3 Prioridad en las operaciones
Tanto en los números naturales como en los enteros,
hay operaciones que tienen prioridad sobre otras.
Existe un orden para resolver ejercicios como:
-5 + 15 : 3 - 3 = ?
¿Qué se resuelve primero?
El orden para ejecutar las operaciones que involucran
paréntesis y operaciones combinadas es:
1° Paréntesis
2° Potencias
4° Adiciones y sustracciones
3° Multiplicación y/o división (de izquierda a derecha)

28. Propiedad Intelectual Cpech
Resolver : -5 + 15 : 3 - 3
Los contenidos revisados anteriormente los puedes
encontrar en tu libro, desde la página 14 a la 23.
= -5 + 5 – 3
= 0 – 3
= – 3

29. Propiedad Intelectual Cpech
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Equipo Editorial: Patricia Valdés
Pablo Espinosa