El documento habla sobre diferentes métodos para cifrar imágenes digitales y textos usando álgebra lineal, así como esquemas para distribuir secretos entre múltiples participantes de forma que se requiere de un cierto número de ellos para reconstruir la información original. Se describen métodos matriciales para cifrar imágenes tratándolas como matrices, y esquemas basados en polinomios y sombras matriciales para distribuir imágenes secretas entre participantes.

1. Cifrado de imágenes y reparto de secretos en clase de Matemáticas Ángela Rojas Dpto. Matemáticas Universidad de Córdoba

3. Cifrado matricial de un mensaje de texto Mensaje=“ATAQUE AHORA” A T A Q U E A H O R A 0 20 0 17 21 4 31 0 7 15 18 0 340 100 289 85 110 83 62 93 269 96 36 54 MATRIZ CLAVE Para poder descifrar necesitamos que la matriz clave sea inversible A B C D E F G H I J K L M N Ñ O P 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 Q R S T U V W X Y Z . , ¿ ? 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31

4. Cifrado matricial de texto con aritmética modular Mensaje=“ATAQ…” Mensaje cifrado=“TEBU…” 340 100 289 85 110 … Para poder descifrar necesitamos que la matriz clave sea inversible pero en aritmética módulo 32 340 100 289 85 110 … (módulo 32) 20 4 1 21…. T E B U…. A B C D E F G H I J K L M N Ñ O P 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 Q R S T U V W X Y Z . , ¿ ? 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 MATRIZ CLAVE

6. Cifrado de imágenes digitales: método matricial o método de Hill Clave no válida Clave válida HILL, L.S. (1929). Cryptography in an algebraic alphabet , The American Mathematical Monthly, Vol. 38, 135-154. La matriz clave debe ser inversible módulo 256 Imagen original Imagen cifrada

7. Cifrado de imágenes digitales: métodos matriciales HILL, L.S. Cryptography in an algebraic alphabet , The American Mathematical Monthly, (1929). ACHARYA, B. et al. Image encryption with advanced Hill Cipher algorithm , International Journal of Recent Trends in Engineering, (2009) Matrices autoinversibles: LIPING, S., ZHENG, Q. Scrambling Matrix Generation Algorithm for High Dimensional Image Scrambling Transformation , IEEE Conference on Industrial Electronics and Applications, (2008). Matrices triangulares

8. Reparto de un número secreto El esquema umbral de Shamir se basa en el uso de polinomios. Esquema (4,3): el dueño del secreto S generará un polinomio con coeficientes aleatorios salvo el término independiente que se hace coincidir con el número secreto S Calcula y se los da a los 6 participantes (uno a cada uno). Sólo cuando se junten al menos 3 de los 6 participantes se podrá recuperar el secreto, resolviendo el sistema lineal correspondiente. Por ejemplo: 2, 3 y 5 A. Shamir, “ How share a secret ” , Communications of the ACM, 22 (11), pp. 612-613, (1976).

10. Reparto de una imagen secreta El esquema umbral de Shamir se adapta fácilmente para una imagen. Esquema (4,3): Para cada nivel de gris g de la imagen Calcula El nivel de gris del píxel de la sombra del participante i se pone a Sombra 1 Sombra 2 Sombra 3 Sombra 4

11. Reparto de una imagen secreta: método matricial o de Hill El método de Hill permitía cifrar una imagen Esquema (2,2): le damos al participante 1 las columnas impares y al participante 2 las pares. Participante 1 Participante 2