El documento presenta conceptos básicos sobre matrices como orden, igualdad y propiedades. Explica la multiplicación de matrices incluyendo un ejemplo. Luego describe propiedades como asociatividad, distributividad y transpuesta del producto. Finalmente, introduce la matriz identidad y su uso para representar sistemas de ecuaciones lineales en forma matricial.

1. Matrices II Parte Prof. Lic. Javier Velásquez Espinoza

2. PRIMERO UN BREVE REPASO ¿Qué es una matriz? ¿A qué llamamos orden de una matriz? ¿En qué se diferencia un vector fila de un vector columna? ¿En qué caso dos matrices son iguales? Si A es una matriz ¿qué significa A T ? ¿Qué es una matriz nula? ¡Cuándo una matriz es cuadrada? ¿A qué llamamos matriz diagonal? ¿En qué caso es cierto que A + B = 0? Si A es una matriz y k un escalar, ¿en qué caso se cumple que kA = 0?

3. MULTIPLICACIÓN DE MATRICES Dadas las matrices A m x n y B n x p , entonces el producto AB resulta ser una matriz C de orden m x p cuyos elementos c ij se obtienen de la siguiente forma: 1.- Se multiplican respectivamente los elementos de la fila i de la matriz A con los elementos de la columna j de la matriz B. 2.- Se suman todos los productos realizados pues el resultado de esta suma es el elemento c ij buscado Ejemplo: C 14 = C 12 = C 13 = C 21 = 2(3) + (  1)(  2)+4(  4) = C 22 = C 23 = C 24 = 27 C 11 = 2(2) + (  1)(3) + 4(7) = 2(1) + (  1)(5) + 4(  2) = 2(0) + (  1)(9) + 4(1) = 5(3) + (3)(  2) + 0(  4) = 5(2) + (3)(3) + 0(7) = 5(1) + (3)(5) + 0(  2) = 5(0) + (3)(9) + 0(1) =  8 29  11  5 9 19 20  8 29  11  5 9 19 20 27

4. PROPIEDADES DEL PRODUCTO DE MATRICES Propiedad asociativa: A(BC) = (AB)C Propiedad distributiva: A(B+C) = AB + BC 3. Transpuesta de un producto: (AB) T = B T A T OBSERVACIONES 1. El producto de dos matrices no siempre es conmutativo Ejemplo: Luego: AB  BA 2. AB = 0, no implica A = 0  B = 0 3. AB = AC, no implica B = C

5. MATRIZ IDENTIDAD Definición.- La matriz identidad de orden “n” y denotada por I n es aquella matriz diagonal cuyos elementos en la diagonal principal son todos iguales a 1. Ejemplos: PROPIEDADES DE LA MATRIZ IDENTIDAD 1. I T = I 2. A I = I A = A Ejemplo:

6. Solución: POTENCIA DE UNA MATRIZ Si A es una matriz cuadrada y “k” un entero positivo, entonces la k-ésima potencia de A, denotada por A k , es el producto de k factores A A k = A.A.A . . . A k factores Ejemplo:

7. ECUACIONES MATRICIALES Los sistemas de ecuaciones lineales pueden representarse por medio de la multiplicación de matrices. Por ejemplo, consideremos la ecuación matricial: El producto del lado izquierdo tiene orden 2x1, así que es una matriz columna. Por tanto: Por la igualdad de matrices, las entradas correspondientes deben ser iguales, de modo que obtenemos el sistema: De aquí que este sistema de ecuaciones lineales puede definirse por la ecuación matricial (1), que en forma abreviada la escribiremos: AX = B Donde A es la matriz obtenida de los coeficientes de las variables, X es una matriz columna constituida por las variables y B es una matriz columna cuyos elementos son las constantes

8. SISTEMAS DE ECUACIONES EN FORMA MATRICIAL Represente el sistema dado por medio de la multiplicación de matrices Solución Primero se ordenan y completan con cero los lugares donde no está presente una variable La ecuación matricial será: Matriz de los coeficientes Matriz columna de las variables Matriz columna de las constantes