contiene ejercicios resueltos de mcm y mcd

1. BALOTARIO DE PREGUNTAS DE ARITMETICA
MCM-MCD
Problema 01
¿Cuántos divisores comunes tienen los números:
5040; 6720 y 12600?
a) 16 b) 20 c) 32
d) 40 e) 24
Solución:
Para calcular la cantidad de divisores comunes de
5040; 6720 y 12600, se siguen los dos pasos
siguientes:
1.- Se halla el M.C.D.
2.- Se halla la cantidad de divisores del M.C.D.
Es decir:
5040 6720 12600 2
2520 3360 6300 2
1260 1680 3150 2
630 840 1575 3 M.C.D.
210 280 525 5
42 56 105 7
6 8 15
  











3 1 1 1
M.C.D. 2 3 5 7   
    M.C.D.# D 3 1 1 1 1 1 1 1    
M.C.D.# D 4 2 2 2     32 Rpta.
Problema 02
¿Cuál es el menor número que tiene como divisores
a: 48; 90 y 96? Dar como respuesta la cifra de mayor
orden del número calculado.
a) 1 b) 2 c) 4
d) 3 e) 5
Solución:
Para calcular el menor número que contenga a 48;90
y 96, basta con calcular el M.C.M. de dichos
números.
48 90 96 2
24 45 48 3
8 15 16 2
4 15 8 2
M.C.M.
2 15 4 2
1 15 2 2
1 15 1 15
1 1 1
  
 










M.C.M. 2 3 2 2 2 2 15      
M.C.M. 1440
Nos piden la cifra de mayor orden: 1 Rpta.
Problema 03
Calcular el M.C.D. de A, B y C
4 3
A 21 12 
2 3
B 42 24 
2 2
C 36 63 
a)
2
96 42 b)
3
54 42 c)
4
6 42
d)
3
27 42 e)
2
108 42
Solución:
Descomponiendo canónicamente cada número:
   34 2 6 7 4
A 3 7 3 2 2 3 7     
   32 3 11 5 2
B 2 3 7 3 2 2 3 7      
  22 2 2 4 6 2
C 2 3 3 7 2 3 7     
   4 5 2
M.C.D. A,B,C 2 3 7  
   22 3
M.C.D. A,B,C 2 3 2 3 7    
 M.C.D. A,B,C 
2
108 42 Rpta.
Problema 04
Siendo:
n
A 12 15 
n
B 15 12 
Además: M.C.D.  A,B 1620
Hallar el valor de “n”  n 1
a) 2 b) 3 c) 4
d) 5 e) 6
Solución:
Descomponiendo canónicamente A y B
  n2 2 n 1 n
A 2 3 3 5 2 3 5

     
  n2 2n n 1
B 3 5 2 3 2 3 5

     
   2 n 1 n 1
M.C.D. A,B 2 3 5 20 3
 
    
Del dato:
n 1
20 3 1620

 
n 1 4
3 81 3

 
n 1 4 n    3 Rpta.
Problema 05
Hallar “n” en los números:
n
n
A 45 60
B 60 45
 
 
Para que se cumpla:
   M.C.M. A,B 12 M.C.D. A,B
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5

2. Solución:
Descomponiendo canónicamente A y B
  n2 2 2n n 2 n 1
A 3 5 2 3 5 2 3 5
 
      
  n2 2 2 2n 1 n 1
B 2 3 5 3 5 2 3 5
 
      
Luego:
  2 n 2 n 1
M.C.D. A,B 2 3 5
 
  
  2n 2n 1 n 1
M.C.M. A,B 2 3 5
 
  
Del dato:
2n 2n 1 n 1 2 n 2 n 1
2 3 5 12 2 3 5
         
2n 2n 1 n 1 2 n 2 n 1
2 3 5 12 2 3 5
         
2n 2n 1 n 1 4 n 3 n 1
2 3 5 2 3 5
   
    
Luego:
2n 4 n 2  
2n 1 n 3 n 2    
2 Rpta.
Problema 06
Hallar dos números cuyo M.C.D. es 12, sabiendo
además que los cocientes sucesivos para hallar el
M.C.D. por divisiones sucesivas fueron: 1; 2; 2; 3; 3.
a) 672 y 1144 b) 144 y 948 c) 873 y 948
d) 672 y 948 e) 565 y 346
Solución:
Sean A y B los números, tal que A > B, donde:
 M.C.D. A,B 12
Completando el algoritmo de Euclides de derecha a
izquierda.
1 2 2 3 3
A B 276 120 36 12
276 120 36 12 0
B 2 276 120 672   
A 1 672 276 948   
672 y 948 Rpta.
Problema 07
Si el máximo común divisor de dos números A y B es
ab , sabiendo que los cocientes sucesivos que se
obtuvieron al hallar el M.C.D. por divisiones
sucesivas han sido: 5; 4; 3 y 2.
Además: A B 5797  . Hallar  a b
a) 4 b) 5 c) 6
d) 7 e) 8
Solución:
Del enunciado:  M.C.D. A,B ab
Completando el algoritmo de Euclides de derecha a
izquierda.
5 4 3 2
A B 7ab 2ab ab
7ab 2ab ab 0
B 4 7ab 2ab 30ab   
A 5 30ab 7ab 157ab   
Además del dato:
A B 5797 
157ab 30ab 5797 
187ab 5797
ab 31
Luego:
a b  4 Rpta.
Problema 08
Hallar la suma de dos números si se sabe que en el
cálculo del M.C.D. por el “Algoritmo de Euclides” se
obtuvieron como cocientes sucesivos: 3; 1; 2 y 4;
además el M.C.M. de dichos números es 1872.
a) 183 b) 122 c) 61
d) 305 e) 244
Solución:
Sea:  M.C.D. A,B d
Además:  M.C.M. A,B 1872
Completando:
3 1 2 4
A B 9d 4d d
9d 4d d 0
B 1 9d 4d 13d   
A 3 13d 9d 48d   
Se sabe:
     A B M.C.D. A,B M.C.M. A,B 
Luego: 13d 48d 1872d 
Resolviendo: d 3
  B 13 3 39 
 A 48 3 144 
Nos piden: A B  183 Rpta.
Problema 09
Hallar  x y sabiendo que los cocientes sucesivos
para calcular el máximo común divisor por el
Algoritmo de Euclides de los números:
  x 2 y 1 0  y  x 1 xy fueron:
1 ; 1 ; 1 ; 3 y 2
a) 11 b) 13 c) 15
d) 12 e) 9

3. Solución:
Sea:
    d M.C.D. x 2 y 1 0, x 1 xy     
Luego, completando el algoritmo de Euclides (de
derecha a izquierda) tenemos:
Nota:     x 1 xy x 2 y 1 0   
1 1 1 3 2
 x 1 xy   x 2 y 1 0  9d 7d 2d d
9d 7d 2d d 0
  x 2 y 1 0 16d   …(1)
 x 1 xy 25d  …(2)
De (1) se observa que: x 2
De (2) se deduce que:
 
o
x 1 xy 25 xy 75   
x 7 y 5
Luego: x y  12 Rpta.
Problema 10
La suma de dos números es 972 y al determinar el
M.C.D. por el Algoritmo de Euclides se obtienen los
restos 30; 7; a; b; 0 donde la diferencia entre a y b
es 1. Hallar el mayor de los números si los dos
primeros cocientes son iguales.
a) 815 b) 637 c) 429
d) 324 e) 157
Solución:
Del enunciado: A B 972  …()
Además:
q q 3q 4q 5q
A B 30 7 a b
30 7 a b 0
Luego:
B 30q 7  …(1)
A qB 30  …(2)
Reemplazando (2) en ():
 qB 30 B 972  
 B q 1 942 
De (1):
  30q 7 q 1 942  
  30q 7 q 1 157 6   
q 1 6 q 5   
 B 30q 7 157  
A 972 157   815 Rpta.
Problema 11
Hallar dos números primos entre sí, que se
diferencian en 7 unidades y que además su M.C.M.
es 330. Dar como respuesta la suma de cifras del
menor de dichos números.
a) 4 b) 5 c) 6
d) 7 e) 8
Solución:
Si A y B son “primos entre sí” (PESI), entonces:
 M.C.D. A,B 1
 M.C.M. A,B A B 
Luego, del enunciado:
A 22A B 7
A B 330 B 15
  

  
Nos piden la suma de cifras de B, es decir:
1 5  6 Rpta.
Problema 12
El cociente de dos números es 13, si el M.C.M. de A y
B es 312. Calcular la suma de dichos números.
a) 346 b) 354 c) 336
d) 356 e) 332
Solución:
Si “A” es múltiplo de B” (A>B), entonces:
 M.C.D. A,B B menor 
 M.C.M. A,B A mayor 
Luego, del enunciado:
 oA
31213 A B
B 24B
13
A 312

  
 
 
Nos piden: A B  336 Rpta.
Problema 13
La suma de dos números es 224 y su M.C.D. es 28.
Hallar la diferencia de dichos números (una de las
soluciones).
a) 124 b) 84 c) 112
d) 56 e) 28
Solución:
Sean A y B dos números, siendo A B y además:
 M.C.D. A,B d , entonces:
1 2A dq B dq  
(siendo 1q y 2q “primos entre si”)
En el problema:
A B 224  …(1)
d 28
 1A 28q 2B 28q

4. Reemplazando en (1):
1 228q 28q 224 
1 2q q 8
 
   1 2q q
7 1
5 3
Se presentan 2 soluciones:
 
 
A 28 7 196
B 28 1 28
 
 
A B 168  
 
 
A 28 5 140
B 28 3 84
 
 
A B   56 Rpta.
Problema 14
El producto de dos números es 2100 y su M.C.D. es
10. Hallar la diferencia de dichos números.
a) 80 b) 70 c) 60
d) 50 e) 40
Solución:
Del enunciado:
A B 2100  …(1)
d 10
Sabemos que: 1A dq
2B dq
Luego: 1A 10q
2B 10q
Reemplazando en (1):
  1 210q 10q 2100
1 2q q 21
 
   1 2q q
21 1
7 3
Se presentan 2 soluciones:
 
 
A 10 21 210
B 10 1 10
 
 
A B 200  
 
 
A 10 7 70
B 10 3 30
 
 
A B   40 Rpta.
Problema 15
La razón de dos números A y B es 45/20, si el
M.C.M. (A,B) = 900. Hallar “A”.
a) 275 b) 225 c) 200
d) 325 e) 175
Solución:
Sean A y B dos números, luego:
 M.C.D. A,B d
 M.C.M. A,B m
Además:
1 2A dq B dq  
Se cumple:
1 2m dq q
En el problema:
1
2
dqA 45 45
B 20 dq 20
  
Como 1q y 2q son “PESI”, entonces:
11
22
q 9q 9
q 4q 4

  

1 2m dq q
900 d 9 4  
d 25
Finalmente:  A 25 9  225 Rpta.
Problema 16
La suma de números es 540 y su M.C.D. es 45.
Hallar la diferencia de dichos números.
a) 455 b) 120 c) 101
d) 225 e) 125
Solución:
A B 540  se sabe que
 
 
A mcd A 45
B mcd B 45
   
   
 45( ) 540 
 ( ) 12  como alfa y beta deben de ser primos
entre si elegimos los siguientes valores para ambos.


11 y 7
1 y 5


luego se tiene dos respuestas
A B 45 (11 1) 450
A B 45 (7 2) 225
    
    
225 Rpta.

5. 1. Cuál es el MCD de los números: 765; 935 y 1615.
a) 5 b) 55 c) 85
d) 15 e) 65
2. Cuál es el MCM de los números 196; 70 y 500.
a) 32500 b) 64500 c) 52400
d) 25400 e) 24500
3. Hallar la suma de las cifras de sumar el MCM y
MCD de los números: 120; 360 y 480.
a) 1560 b) 120 c) 1440
d) 12 e) 8
4. Hallar la cifra de mayor orden de la diferencia
entre el MCM y MCD de los números: 560; 480 y
720.
a) 0 b) 1 c) 2
d) 3 e) 4
5. Hallar la cifra mayor de él producto de
multiplicar el MCM y MCD de A; B y C, si.
2 3
A 36 20 
3 2
B 14 16 
2
C 35 42 22  
a) 0 b) 4 c) 6
d) 8 e) 9
6. Hallar el MCD de los números 48 y 37 por el
algoritmo de Euclides y dar como respuesta la
suma de los cocientes obtenidos.
a) 8 b) 9 c) 10
d) 7 e) 11
7. Hallar el MCD de los números 134 y 98 por el
Algoritmo de Euclides y dar como respuesta la
suma de los restos encontrados por dicho
método.
a) 136 b) 96 c) 100
d) 10 e) 84
8. Hallar el MCD de los números 56 y 24 por el
Algoritmo de Euclides y dar como respuesta la
suma de los cocientes encontrados. Sabiendo
que las divisiones se hicieron por exceso.
a) 7 b) 5 c) 4
d) 3 e) 2
9. Hallar el MCD de los números 129 y 93 por el
Algoritmo de Euclides y dar como respuesta la
suma de los cocientes por exceso encontrados.
a) 121 b) 87 c) 13
d) 93 e) 64
10.Hallar el mayor de dos números cuyo MCD es 5 y
los cocientes obtenidos de hallarlo por el
Algoritmo de Euclides son: 1; 2; 3; 2; 1; 2 y 2.
a) 455 b) 895 c) 735
d) 1055 e) 1790
11. Hallar la diferencia de dos números cuyo MCD es
13 y los cocientes sucesivos de hallarlo por el
Algoritmo de Euclides son: 2; 1; 2; 1 y 2.
a) 123 b) 247 c) 390
d) 143 e) 533
12.Hallar la suma de dos números cuyo MCD es 6 y
los cocientes obtenidos por el Algoritmo de
Euclides son: 2; 2; 2; 3; 2; 2 y 2.
a) 258 b) 144 c) 114
d) 30 e) 4686
13.La suma de dos números es 764 y los cocientes
sucesivos de hallar su MCD por el Algoritmo de
Euclides son: 1; 2; 3; 4 y 5. Hallar el mayor de los
números.
a) 124 b) 640 c) 450
d) 314 e) 520
14.La diferencia de dos números es 1545 y los
cocientes de hallar su MCD por el Algoritmo de
Euclides son: 5; 4; 3; 2 y 2. Dar como respuesta
la suma de las cifras del menor.
a) 18 b) 11 c) 10
d) 9 e) 14
15. El producto de dos números es 3822 y los
cocientes obtenidos de hallar su MCD por el
Algoritmo de Euclides son: 3; 2; 2; 2; 2 y 2. Dar
como respuesta la suma de las cifras de la
diferencia de los números, si las divisiones
fueron por exceso.
a) 13 b) 7 c) 10
d) 6 e) 15
16.Hallar la diferencia de dos números PESI
(primos entre sí) si los cocientes de hallar su
MCD por el Algoritmo de Euclides son: 1; 2; 1; 2;
1; 2 y 2.
a) 1 b) 34 c) 97
d) 71 e) 26
17. Hallar el MCM de dos números relativos, si los
cocientes de hallar su MCD por el Algoritmo de
Euclides son: 2; 1; 2; 1; 2 y 2.
a) 1 b) 26 c) 1973
d) 71 e) 1846
18.Se tiene tres depósitos llenas de vino, cada uno
conteniendo 780 litros, 660 litros y 1020 litros,
se desea desocupar en recipientes de la mayor
capacidad posible de tal manera que no sobre ni
falte. Cuál es la capacidad de cada recipiente.
a) 80 litros b) 120 litros c) 1 litro
d) 20 litros e) 60 litros
19.Se tiene tres sacos con arroz que contienen:
195kg, 285kg y 255kg y se desea embolsar en
saquillos que tenga la mayor capacidad posible

6. de tal manera que no sobre ni falte. Cuantos
saquillos como mínimo se usaran.
a) 13 b) 15 c) 3
d) 19 e) 49
20.Se tiene cuatro fardos de tela con 420m, 540m,
450m y 360m cada uno y se desea obtener
pedazos de la misma longitud de tal manera que
no sobre ni falte. Cual es la menor cantidad de
cortes necesarios para obtener estos pedazos.
a) 59 b) 30 c) 55
d) 11 e) 17
21.Un alumno que postula a Medicina se baña cada
30 días, un aluno que postula a Ingeniería se
baña cada 50 días y un aluno que postula a
Turismo cada 70 días. Si el día de hoy los tres se
bañaron. Dentro de cuantos días se volverán a
bañas otra vez el mismo día.
a) 105 días b) 850 días c) 2060 días
d) 10 días e) 1050 días
22.Cesar, Alex y Frank visitan a Venus la diosa del
amor cada 8; 9 y 12 días respectivamente. Si la
visitaron juntos el 10 de Julio. ¿Cuál será la fecha
más próxima en la que los tres visitarán de
nuevo a la diosa del amor?
a) 21 de septiembre. b) 20 de septiembre.
c) 19 de septiembre. d) 18 de septiembre.
e) 17 de septiembre.
23.Un médico le dice a su paciente que tomara una
pastilla azul cada 10 horas, una pastilla verde
cada 12 horas y una pastilla amarilla cada 18
horas. Si su tratamiento empezó tomado las tres
pastillas el día 12 de diciembre del 2005 a las
6p.m. ¿Cuándo y a que hora volverá a coincidir
tomando las tres pastillas? Y cuantas pastillas
amarillas tomo hasta la fecha.
a) 20 de diciembre a las 6 a.m.; 11 pastillas.
b) 20 de diciembre a las 6 p.m.; 10 pastillas.
c) 20 de diciembre a las 6 a.m.; 10 pastillas.
d) 19 de diciembre a las 6 p.m.; 11 pastillas.
e) 18 de diciembre a las 6 p.m.; 10 pastillas.
24.Tres ciclistas parten simultáneamente y de la
misma línea de partida en una pista circular. En
cada vuelta tardan respectivamente: 1 min. 12
seg.; 1 min. 30 seg. y 1 min. 45 seg. ¿Cuántas
vueltas habrá dado cada ciclista, cuando hayan
pasado nuevamente y a la vez por la línea de
partida?
a) 35; 28 y 25 vueltas. b) 35; 28 y 20 vueltas.
c) 30; 28 y 26 vueltas. d) 35; 28 y 24 vueltas.
e) 24; 28 y 35 vueltas.