Solución del examen de la 2ª evaluación que han hecho los alumnos de 4º A y B

1. Matemáticas
1º examen de la 2ª evaluación
4º ESO AB

2. 1
a) Explica que es el discriminante de una ecuación de 2º grado
y como influye en el número de soluciones de la ecuación.
2
Sea una ecuación de 2º grado: a x  bx  c= 0
El discriminante ∆ es la expresión que aparece dentro de la raíz cuadrada
en la fórmula de resolución de la ecuación:
−b± b 2−4⋅a⋅c 2
x=  ∆ = b −4⋅a⋅c
2⋅a
∆0  La ecuación tiene dos soluciones reales distintas
∆=0  La ecuación tiene una solución real doble (o dos soluciones iguales)
∆ 0  La ecuación no tiene solución real

3. 1
b) Clasificación de los sistemas de ecuaciones; interpretación
gráfica de cada caso.
COMPATIBLE
Rectas
DETERMINADO
secantes
Tienen una única solución
Con solución
Rectas
coincidentes
Sistemas COMPATIBLE
INDETERMINADO
Tienen infinitas soluciones
Rectas
paralelas
Sin solución INCOMPATIBLE

4. 2 Resuelve la ecuación:
a) 4 2
x 10 x −119 = 0
Por ser bicuadrada hacemos el cambio: x2 = t y x =t
4 2
−10± 10 −4⋅1⋅−119  t = −10± 100476 
2
2
t 10 t −119 = 0  t = 2
2⋅1
−10± 576 −10±24
t=  t=
2 2
−1024 14 x 1 =  7
t1 =  t1 =  t 1 = 7  x2 = 7  x = ± 7 
2 2 x 2 = − 7
−10−24 −34
t2 =  t2 =  t 2 = −17  2
x = −17
2 2
Los cuadrados siempre son positivos, luego esta solución no sirve

5. 2 Resuelve la ecuación:
b) 3−4 x x−1
− =0
2 x−3 3 x−3
Eliminamos los denominadores multiplicando por el mcm: (2x -3)(3x-3)
3−4 x ⋅3 x−3− x−1⋅2 x−3=0 
2
9 x−9−12 x 212 x−2 x 22 x3 x−3=0  −14 x 26 x−12 = 0 
13± 169−168 13± 1
7 x −13 x6 = 0  x =
2
 x=
14 14
131 14 Este valor hace cero el 2º denominador,
x1 =  x1 =  x1 = 1 por lo que la solución no sirve
14 14
3 .1−3=0
13−1 12 6
x2 =  x2 =  x2 = Es la única solución válida
14 14 7

6. 2 Resuelve la ecuación:
c)
2+ 3 √ 2− x=x
Por ser irracional tenemos que elevar al cuadrado, pero primero “aislamos” la raíz:
2 2
3  2−x = x − 2  3  2−x =  x − 22  9( 2− x) = x −4 x+ 4 
−5±√ 25+ 56 
18−9 x = x 2 −4 x + 4  x 2 + 5 x−14 = 0  x=
2 4
−5+ 9
x1 =  x1 = = 2
2 2
−5±√ 81 −5±9
x=  x=  −5−9 −14
2 2 x2 =  x2 = = −7
2 2
Debemos comprobar cada una de las soluciones
2+ 3 √ 2−2 = 2+ √ 0 = 2  Esta es la solución
2+ 3 √ 2+ 7 = 2+ √ 9 = 2+ 3 = 5 ≠ −7  Esta solución no sirve

7. 2 d) Encuentra el valor de m para que la ecuación
x 2 −m x+ 121 = 0
tenga una única solución.
Para que la solución sea única, el discriminante ha de valer cero
2 2 2
b −4⋅a⋅c = 0  (−m) −4⋅1⋅121 = 0  m −484 = 0 
m1 = + 22
m = 484  m = ±√ 484  m = ±22 
2
m2 = −22

8. 3 a) Resuelve el siguiente sistema por el método de reducción.
x y 56
+ =
3 5 15
6 x+ 7 y = 91
Eliminamos denominadores en la primera ecuación, multiplicando por el mcm= 15,
5 x+ 3 y = 56
6 x+ 7 y = 91
Para eliminar la y, multiplicamos la primera ecuación por 7 y la segunda por -3
35 x+ 21 y = 392
−18 x−21 y = −273
17 x = 119 → x =7
Para eliminar la x, multiplicamos la primera ecuación por -6 y la segunda por 5
−30 x−18 y = −336
30 x+ 35 y = 455
17 y = 119  y = 7

9. 3 b) Resuelve el siguiente sistema por el método de sustitución
x+ 2 y = 12
x . y = 10
Despejamos x en la segunda ecuación, y sustituimos en la primera
10 10
x=  + 2 y = 12 →
y y
10+ 2 y 2 = 12 y  2 y 2−12 y+ 10 = 0  y 2−6 y+ 5 = 0 →
6±√ 36−20 6±√ 16 y=
6±4
y=  y=  
2 2 2
6+ 4 10 10
y1 =  y1 = = 5  x1 = =2
2 2 5
6−4 2 10
y2 =  y2 = = 1  x2 = = 10
2 2 1

10. 4 a) En un almacén hay dos tipos de lámparas, las de tipo A que
utilizan 3 bombillas y las de tipo B que utilizan 7 bombillas.
Si en total en el almacén hay 23 lámparas y 153 bombillas,
¿cuántas lámparas hay de cada tipo?
Identificamos las incógnitas: Nº de lámparas tipo A = x Nº de lámparas tipo B = y
3 x+ 7 y = 153
Planteamos el sistema
x+ y = 23  x+ y = 23  x = 23− y
3(23− y)+ 7 y = 153  69−3 y+ 7 y = 153  4 y = 84  y = 21
x = 23−21 = 2
Por lo tanto la solución será que hay 2 lámparas de tipo A y 21 de tipo B
Comprobación:
Nº de lámparas tipo A = 2 x 3 bombillas = 6 bombillas
Nº de lámparas tipo B = 21 x 7 bombillas = 147 bombillas
Nº total de lámparas = 23 Total = 153 bombillas

11. 4 b) Calcula las longitudes de los lados de un rectángulo sabiendo que la
diagonal mide 65 cm y el lado mayor excede en 23 cm al menor.
Identificamos las incógnitas: Planteamos el sistema
y −23 = x
 y = x+ 23 
65
cm x x 2 + y 2 = 65 2
y
x 2 + (x + 23)2 = 4225 →
2
x 2 + x 2+ 46 x+ 529 = 4225  2 x 2 + 46 x −3696 = 0  x + 23 x−1848 = 0
−23±√ 529+ 7392  −23±√ 7921 −23±89
x= x=  x= →
2 2 2
−23+ 89 66
x1 =  x1 = = 33 → y 1 = 33+ 23 = 56
2 2
−23−89 −112
x2 =  x2 = = −56 Como es negativa, esta solución no sirve
2 2
Por lo tanto la solución será que el lado mayor mide 56 cm y el menor 33 cm
Comprobación:
56−33 = 23 562 + 332 = 3136+ 1089 = 4225 = 65 2

12. 5 a) Resuelve la inecuación, expresando gráficamente las
soluciones
8 x−2 2 x−3
<
−3 −6
Multiplicamos por el mcm que es -6, (observa que hay que cambiar el signo de
la desigualdad por ser negativo):
(−6) .(8 x−2
−3 )
> (−6).
2 x−3
−6 ( )
2(8 x−2) > 1 (2 x−3)
−∞ ∞
1
16 x−4 > 2 x −3
14
16 x−2 x > 4−3
14 x > 1
1
x>
14
Por lo tanto la solución será el intervalo
( 1
14,
+∞
)

13. 5 b) Resuelve la inecuación, expresando gráficamente las
soluciones
∣ x+ 3∣ ≤ 2
De la inecuación obtenemos dos desigualdades:
x+ 3 ≤ 2 y −( x+ 3) ≤ 2 que resolvemos:
x+ 3 ≤ 2  x ≤ 2−3  x ≤ −1
−∞ ∞
−1
−( x+ 3) ≤ 2  x+ 3 ≥ −2  x ≥ −5
−∞ ∞
−5
Por lo tanto la solución será el intervalo [−5, −1]

14. 5 c) Resuelve la inecuación, expresando gráficamente las
soluciones
4 x 2−52 x+ 144 < 0
2
Descomponemos el polinomio de 2º grado: 4 x −52 x+ 144 = 4.(x −9).(x −4)
Con lo que la inecuación será: 4. ( x−9). ( x−4) < 0
Para que un producto sea negativo ambos factores deben tener signos opuestos:
( x −9)< 0 x< 9
→
( x−4)> 0 x> 4
−∞ 4 9 ∞
En este caso hay puntos en común, por lo tanto la solución será el intervalo (4, 9)
( x −9)> 0
→ x> 9
( x−4)< 0 x< 4 −∞ ∞
4 9
Como vemos en este caso no hay puntos en común

15. 5 d) Resuelve el sistema de inecuaciones, expresando
gráficamente las soluciones
2 x+ y < 6
3 x− y > −1
Resolvemos cada una de las dos inecuaciones por separado, para hallar después la
región solución común a ambas:
Para la primera inecuación:
2x + y < 6  2x + y = 6
x =0  y =6 ( 0, 6 )
y =0  x =3 ( 3, 0 )
 0, 0   2.0 + 0 < 6
Para la segunda inecuación:
3 x − y > −1  3x − y = −1
x =0 → y =1  0, 1 
1 1
y = 0  x =− (− , 0 )
3 3
( 0, −5 )  3.0 + 5 ≥ −3

16. Calificación del examen
Cada apartado 1 punto.
Cada apartado 0,5 puntos.
Cada apartado 1 punto.
Cada apartado 1 punto.
Cada apartado 0,5 puntos.