El documento motiva al lector a estudiar matemáticas a distancia, señalando que la matemática no es la asignatura más difícil y que con motivación y esfuerzo es posible aprenderla. También proporciona recursos en un sitio web para apoyar el aprendizaje de matemáticas y ofrece ayuda personalizada a través de correo electrónico.

1. Hola!!! Se que estas bien anímicamente y si este material llego a tus
manos es porque ya estas preparado internamente para comenzar a estudiar a
distancia las asignaturas de matemática. Como sabes, se han escrito muchos
libros de Matemática, tanto comerciales como los libros diseñados en las
universidades a distancia, y ellos tienen, como todo en la vida, sus fortalezas y
debilidades, así, en este material se pretende fortalecer esa debilidad que a mi
juicio tienen algunos escritos de Matemática.
En lo primero que debemos caer en la cuenta es QUE LA MATEMÁTICA
NO ES LA ASIGNATURA MÁS DIFICIL DEL MUNDO, es importante que dejes
de pensar en esta idea, de esta manera, quizás el primer pago para lograr
aprender Matemática es la vigilancia de tus pensamientos, es en superar ese
primer obstáculo, ese obstáculo que muchos no ven, pero que esta allí y existe,
me refiero a ti mismo, basta con que observes la trayectoria de algunos
eventos de tu vida y te darás cuenta que ciertamente cuando has sentido esa
energía positiva, esa fé, ese pleno convencimiento de algo, pues sucede. Fíjate
que nadie discute si la UNA queda en Venezuela o si Simón Bolívar es el
libertador de América, simplemente la aceptamos como verdades absolutas sin
la menor duda, pues de esa misma manera deberás convencerte que tu si
puedes pasar Matemática, que puedes aprenderla, que puedes obtener las
habilidades para resolver distintos ejercicios y problemas, que si otros lo han
logrado, tu también puedes, porque tu también tienes esa chispa, ese poder
que todos los seres humanos tenemos y que heredamos de nuestro único
padre-madre.
Espero que esta breve introducción te motive y más aun, te convenza
que si puedes lograrlo, que jamás la vida nos pone reto que no podemos
superar, jamás se te pedirá que resuelvas el problema del calentamiento global
a ti solo, porque sencillamente no puedes, sin embargo seguro que los
problemas actuales de tu vida puedes resolverlas, busca siempre dentro de ti,
intenta tener paz y calma para estudiar, de obtener el hábito de estudio
mañanero que es el ideal, sin embargo, tu eliges, tu decides como, donde y
cuando estudiar, y recuerdas siempre tienes 2 opciones: ser una víctima de la
Matemática o aprender de ella, tiene mucho que enseñarte, desde la música, el
cine, el celular y toda la tecnología reposa sobre la sólida base de la
Matemática, e inclusive la naturaleza es Matemática por ser perfecta.

2. Quiero hacer hincapié en lo siguiente: NO SOLO TE MOTIVES AL LEER
ESTO EN ESTE INSTANTE DE TU VIDA, PROCURA SOSTENER ESA
MOTIVACIÓN EN EL TIEMPO, CUANDO DEJES DE LEER ESTO, CUANDO
CRUCES ESA PUERTA POR DONDE SALDRAS, TRATA, TRATA Y SIGUE
TRATANDO DE MANTENERTE MOTIVADO, claro esta es natural que como
seres humanos tengamos altas y bajas emocionales y mentales, pero es
precisamente en las bajas donde tu te demostraras que eres grande, que si
puedes superar ese “bajón” y seguir adelante, ya que el problema no es caer,
sino no permanecer caído, y entender que gracias a esas caídas, gracias a
esos errores, aprendemos y crecemos como persona, como pareja, como hijo,
como hija, como madre, como padre, como amigo, como amiga, como
estudiante…
En la página https://sites.google.com/site/jorgegranadillomat1/
encontraras ayuda de múltiples maneras en la Matemática, e inclusive en la
vida, porque estoy convencido que hay que buscar un equilibrio, una armonía
de vida para lograr un aprendizaje significativo.
Este libro es abierto y se escribirá en forma continua, porque pretende
dar respuesta y solución a los ejercicios y problemas que se te presenten, en
formar un grupo de personas que nos ayudemos mutuamente, que pasemos
los favores de conocimiento, en fin, lograr que tu amigo, amiga logres tus
anheladas metas de no solo graduarte, sino de aprehender realmente
Matemática y puedas multiplicar esta información a tu familia, amistades y todo
aquel que lo necesite.
Al estudiar afirma: TODO LO QUE ESTUDIO HOY LO ASIMILO CON
FACILIDAD Y LO RECUERDO EN EL MOMENTO NECESARIO…
Espero este material te ayude, y me ayudes a mejorarlo con tus
comentarios que me puedes hacer llegar a través de los correos:
jorgegranadillomat@gmail.com y jorgegranadillo_mat@yahoo.com
Gracias por leer este material y sobre todo gracias por creer en ti, en mi
y en la ayuda que estoy seguro encontraras, si no observas el tema que te
interesa desarrollar en este libro, dímelo y a la brevedad lo pondremos para tu
beneficio, encontraras títulos abiertos de lo que pretendemos desarrollar para ti
y donde corresponda puedes decirme lo que necesitas para avanzar a la
medida de tus necesidades, por ejemplo, si lo que deseas desarrollar es de

3. Matemática III, escribe a los correos y allí colocaremos el desarrollo que
necesitas, este es un trabajo arduo pero con la inteligencia de Dios a través de
nosotros nos permitirá lograr el objetivo, el objetivo de que APREHENDAS
MATEMÁTICA, de nuevo GRACIAS!!! Estoy muy agradecido…
Capitulo II
Matemática II
Objetivo 1. Interpretar la noción de límite de una función real de variable
real en un punto, en forma intuitiva, geométrica y formal para establecer
algunas propiedades para el cálculo de límites de funciones.
Ejercicio 1
Estudiar y graficar el comportamiento de la función:
= + -
2 5 6
( )
x x
1
f x
x
-
, en las
cercanías de x =1.
Solución
Justificación: Vamos a estudiar el comportamiento de la función en las
cercanías o alrededores de x =1, es decir, vamos a tomar valores menores y
mayores que 1, pero muy cercanos a uno, para observar como se comportan
las imágenes de la función dada.
Construyamos las siguientes tablas para visualizar mejor lo que sucede:
Para valores menores pero cercanos a 1
x <1 2 5 6
( )
= x + x
-
1
f x
x
-
0,9 6,9
0,99 6,99
0,999 6,999
0,9999 6,9999
0,99999 6,99999
0,999999 6,999999
NOTA: Los valores se toman arbitrariamente, es decir, los que desees tomar,
siempre y cuando sean menores y cercanos a 1. Los valores obtenidos en la
función los puedes obtener con una calculadora.
Para valores mayores pero cercanos a 1

4. x <1 2 5 6
( )
= x + x
-
1
f x
x
-
1,01 7,01
1,001 7,001
1,0001 7,0001
1,00001 7,00001
1,000001 7,000001
1,0000001 7,0000001
Si comparas ambas tablas, podrás caer en la cuenta que a medida que
nos acercamos a 1 por la izquierda (valores menores pero cercanos a 1) la
función se acerca cada vez más a 7 por la izquierda, y, cuando nos acercamos
a 1 por la derecha (valores mayores pero cercanos a 1) la función se acerca
cada vez más a 7 por la derecha.
Grafiquemos la función tomando en cuenta los puntos calculado en las
tablas anteriores.

5. Obsérvese que en 1, la función no está definida, porque la división entre
0 no existe, por esto la recta tiene un agujero.
Otra característica interesante de observar es que la gráfica es una línea
recta, esto se pudo saber previamente si se hubiera factorizado la función
dada.
Para factorizar hay que calcular las raíces de los polinomios presentes,
en este caso: x2 + 5x - 6 , así:
( )( )
( )
2 5 52 4 1 6 4 5 25 24 5 49 5 7
2 2 1 2 2 2
5 7 2
1
b b ac
2 2
5 7 12
6
2 2
x
a
x
- ± - - ± - - - ± + - ± - ± = = = = =
 - + = = 
= 
- - = - = - 
Ahora cambiamos los signos de las raíces para obtener la factorización
del polinomio:

6. + - - + - = = =
2 5 6 ( 1)( 6) ( 1)
( )
x x x x x
- -
1 1
f x
x x
( x
6)
1
x
+
-
= x + 6
Entonces la función dada se puede escribir: f (x) = x + 6, x ¹ 1.
Respuesta: Al estudiar la función
= + -
2 5 6
( )
x x
1
f x
x
-
en las cercanías de
x =1 se evidencia que
 2
= + -   =  -  
1 1
x x
5 6
lim f ( x
) lim 7
x ® x ® x
1
.
Ejercicio 2
Dadas las funciones: f (x) = x 3 +1 y g(x) = 3 4 - 3x 2 . Calcular usando el
álgebra de límites: lim [ f ( x ) g ( x
)
] x
0
®
-
Solución
Justificación: El álgebra de límites consiste en aplicar las propiedades
del límite, es decir, el límite de la suma y resta es la suma y resta de los límites,
la raíz del límite es el límite de la raíz, entre otras, en este caso:
( ) ( ) ( ) ( )
 3 + - 3 - 2  = 3 + - 3 - 2 = 3 + - - 2
=  
lim 1 4 3 lim 1 lim 4 3 lim 1 lim 4 3
x x x x x x
® ® ® ® ®
x x x x x
( ) ( ) ( )
3
0 0 0 0 0
+ - - = + - - = -
3 2 3 2 3 3 3
lim x lim1 lim4 lim 3 x
0 1 4 3 0 1 4
® ® ® ®
x x x x
0 0 0 0
Respuesta: [ ] 3
lim ( ) ( ) 1 4
x
0
f x g x
®
- = -
Ejercicio 3
Sea la función definida por:
a) Hacer una representación gráfica de f (x)
b) Calcular el límite de f (x) cuando x se acerca a 0 por la izquierda y
por la derecha.
c) Calcular el límite de f (x) cuando x se acerca a -1 por la izquierda y
por la derecha.
d) Calcular el límite de f (x) cuando x se acerca a 2 por la izquierda y
por la derecha.

7. Solución
Justificación:
a) Primero graficamos la función dada, dividiendo previamente el plano
cartesiano en los intervalos dados, es decir:
Ahora procedemos a graficar en cada zona del plano cartesiano:

8. La gráfica de la función f (x) está representada por las líneas rojas
b) Para calcular el límite de f (x) cuando x se acerca a 0 por la
izquierda y por la derecha, observamos la gráfica en el punto 0:

9. Se visualiza claramente que cuando nos acercamos a cero por la
izquierda y subimos a la gráfica (línea roja) la imagen tiende a 1, mientras que
cuando nos acercamos a cero por la derecha y subimos a la gráfica (línea roja)
la imagen también tiende a 1, por lo tanto:
lim f ( x
) 1
x
0
® -
= y
lim f ( x
) 1
x
0
® +
=
c) Para calcular el límite de f (x) cuando x se acerca a -1 por la
izquierda y por la derecha, observamos la gráfica en el punto -1:

10. Se visualiza claramente que cuando nos acercamos a -1 por la
izquierda, la gráfica está por debajo donde claramente la imagen tiende a -3 ,
mientras que cuando nos acercamos a -1 por la derecha y subimos a la gráfica
la imagen tiende a 1, por lo tanto:
lim f ( x
) 3
x
1
®- -
= - y
lim f ( x
) 1
x
1
®- +
=
d) Para calcular el límite de f (x) cuando x se acerca a 2 por la
izquierda y por la derecha, observamos la gráfica en el punto 2 :

11. Se visualiza claramente que cuando nos acercamos a 2 por la izquierda,
la gráfica está por encima del eje x donde claramente la imagen tiende a 1,
mientras que cuando nos acercamos a 2 por la derecha y subimos a la gráfica
la imagen tiende a 4 , por lo tanto:
lim f ( x
) 1
x
2
® -
= y
lim f ( x
) 4
x
2
® +
=
Respuesta:
a) La gráfica de f (x) es:

12. b)
lim f ( x
) 1
x
0
® -
= y
lim f ( x
) 1
x
0
® +
=
c)
lim f ( x
) 3
x
1
®- -
= - y
lim f ( x
) 1
x
1
®- +
=
d)
lim f ( x
) 1
x
2
® -
= y
lim f ( x
) 4
x
2
® +
=
Ejercicio 4
Sea la función definida por:
a) Hacer una representación gráfica de f (x)
b) Calcular el límite de f (x) cuando x se acerca a 0 por la izquierda y
por la derecha.
c) Calcular el límite de f (x) cuando x tiende a cero.
d) Calcular el límite de f (x) cuando x se acerca a 3 por la izquierda.
Solución

13. Justificación:
a) Primero graficamos la función dada, dividiendo previamente el plano
cartesiano en los intervalos dados, es decir:
Ahora procedemos a graficar en cada zona del plano cartesiano:
Gráfica de la zona: -x2 - 6x si - 6 £ x < 0
En este caso estamos en presencia de una parábola, porque el orden
del polinomio 2 -x - 6x es 2. Ahora bien, cuando la variable x es la que esta
elevada al cuadrado, sucede que la parábola abre hacia arriba o hacia abajo,
para saber hacia dónde abre observamos el coeficiente de la variable elevada
al cuadrado, en este caso es -1, como es NEGATIVO la parábola abre HACIA
ABAJO. Finalmente evaluamos la parábola en los extremos del intervalo donde
se graficará, en este caso:
Para ( ) ( ) 2 2 x = -6® y = -x - 6x = - -6 - 6 -6 = -36 + 36 = 0 Punto (-6,0)
Para ( ) ( ) 2 2 x = 0® y = -x - 6x = - 0 - 6 0 = 0 + 0 = 0 Punto (0,0)
Casualmente los extremos son las raíces de la parábola dada, porque en
ambos casos obtenemos como resultado 0.

14. Gráfica de la zona: x si 0 < x £ 3
En este caso estamos en presencia de una línea recta, porque la
variable esta elevada a la unidad, es decir, la recta y = x , y para graficar una
recta solo necesitamos 2 puntos del plano, entonces procedemos a evaluar la
recta en los extremos del intervalo donde se graficará:
Para x = 0® y = x® y = 0 Punto (0,0)
Para x = 3® y = x® y = 3 Punto (3,3)
Gráfica de -2 si x = 0
En este caso se trata de un punto, es decir, graficar y = -2 en x = 0 , o lo
que es igual graficar solo el punto relleno (0,-2)
La grafica es la que se presenta a continuación:
La gráfica de la función f (x) está representada por el color rojo.
b) Para calcular el límite de f (x) cuando x se acerca a 0 por la
izquierda y por la derecha, observamos la gráfica en el punto 0:

15. Se visualiza claramente que cuando nos acercamos a cero por la
izquierda y subimos a la gráfica (línea roja) la imagen tiende a 0, mientras que
cuando nos acercamos a cero por la derecha y subimos a la gráfica (línea roja)
la imagen también tiende a 0, por lo tanto:
lim f ( x
) 0
x
0
® -
= y
lim f ( x
) 0
x
0
® +
=
c) Apoyándonos en el resultado inmediato anterior (b), dado que los
límites laterales son iguales, se puede concluir, que el límite que nos
piden calcular es:
lim f ( x
) 0
x
0
®-
=
d) Para calcular el límite de f (x) cuando x se acerca a 3 por la
izquierda, observamos la gráfica en el punto 3 :

16. Se visualiza claramente que cuando nos acercamos a 3 por la izquierda,
la gráfica está por encima del eje x donde claramente la imagen tiende a 3 ,
por lo tanto:
lim f ( x
) 3
x
3
® -
=
Respuesta:
a) La gráfica de f (x) es:

17. b)
lim f ( x
) 0
x
0
® -
= y
lim f ( x
) 0
x
0
® +
=
c)
lim f ( x
) 0
x
0
®
=
d)
lim f ( x
) 3
x
3
® -
=
Ejercicio 5
Sea la función G definida como G(x) = [x]- x
a) Hacer una representación gráfica de la función G(x)
b) Calcular el límite de G(x) cuando x se acerca a 1 por la izquierda y
por la derecha.
c) Calcular el límite de G(x) cuando x se acerca a -2 por la derecha.
d) Determinar el límite de G(x) cuando x se acerca a 0 .
Solución
Justificación:
a) Para hacer una representación gráfica de la función dada, primero
debemos conocer la función parte entera, denotada en este caso
como [x] , y que se define así:

18. [x] = n®n £ x < n +1 ; nÎℤ
Fíjate que la grafica de G(x) = [x]- x va desde menos infinito a infinito
positivo, sin embargo, graficaremos en la zona donde nos piden los límites, en
este caso debemos estudiar limites alrededor de los puntos -2,0 y 1, por lo
tanto tomaremos valores enteros que por lo menos contengan en el eje real
estos valores, comencemos a gráfica bajo estas pautas:
Tomemos valores arbitrarios para n , así:
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
= ® £ < +
= - ®- £ < -
= - ®- £ < -
= - ®- £ < -
= - ®- £ < -
= - ®- £ <
= ® £ <
= ® £ <
= ® £ <
= ® £ <
= ® £ <
1
x n n x n
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
5 5 4
4 4 3
3 3 2
2 2 1
1 1 0
0 0 1
1 1 2
2 2 3
3 3 4
4 4 5
Ahora sustituyamos estos valores en la función G(x) para obtener las
funciones a graficar y sus respectivos intervalos donde se graficará:
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
x = n ® n £ x < n
+
1
x = - ®- £ x < - ® G x = - - x - £ x
< -
x = - ®- £ x < - ® G x = - - x - £ x
< -
x = - ®- £ x < - ® G x = - - x - £ x
< -
x = - ®- £ x
< - ®
[ ]
[ ]
[ ]
5 5 4 ( ) 5 5 4
4 4 3 ( ) 4 4 3
3 3 2 ( ) 3 3 2
2 2 1
= - - - £ < -
G x x x
( ) 2 2 1
x = - ®- £ x < ® G x = - - x - £ x
<
x = ® £ x < ® G x = - x £ x
<
x = ® £ x < ® G x = -
x
[ ]
[ ]
[ ]
1 1 0 ( ) 1 1 0
0 0 1 ( ) 0 0 1
1 1 2 ( ) 1
£ <
1 x
2
= ® £ < ® = - £ <
= ® £ < ® = - £ <
= ® £ < ® = - £ x < 5
x x G x x x
x x G x x x
x x G x x
2 2 3 ( ) 2 2 3
3 3 4 ( ) 3 3 4
4 4 5 ( ) 4 4
Finalmente graficaremos estos tramos de rectas en sus intervalos
correspondientes:

19. b) Para calcular el límite de f (x) cuando x se acerca a 1 por la
izquierda y por la derecha, observamos la gráfica en el punto 1:

20. Se visualiza claramente que cuando nos acercamos a 1 por la izquierda
y bajamos a la gráfica (línea roja) la imagen tiende a -1, mientras que cuando
nos acercamos a 1 por la derecha y vamos a la gráfica (línea roja) la imagen
tiende a 0, por lo tanto:
lim G ( x
) 1
x
1
® -
= - y
lim G ( x
) 0
x
1
® +
=
c) Para calcular el límite de f (x) cuando x se acerca a -2 por la
derecha, observamos la gráfica en el punto -2 :

21. Se visualiza claramente que cuando nos acercamos a -2 por la derecha
y vamos a la gráfica (línea roja) la imagen tiende a 0, por lo tanto:
lim G ( x
) 0
x
2
®- +
=
d) Para determinar el límite de G(x) cuando x se acerca a 0 , debemos
calcular el limite por la izquierda y por la derecha de cero, para
comparar si estos límites laterales son iguales y poder concluir
acerca de la existencia del límite que nos piden determinar
lim ( )
x
0
G x
®
,
para ello, observemos la siguiente gráfica:

22. Se visualiza claramente que cuando nos acercamos a 0 por la izquierda
y bajamos a la gráfica (línea roja) la imagen tiende a -1, mientras que cuando
nos acercamos a 0 por la derecha y vamos a la gráfica (línea roja) la imagen
tiende a 0, por lo tanto:
lim G ( x
) 1
x
0
® -
= - y
lim G ( x
) 0
x
0
® +
=
Al comparar dichos límites laterales, se tiene que son diferentes, por lo
tanto él
lim G ( x
)
x
0
®
no se puede determinar porque no existe.
Respuesta:
a) La gráfica de la función G(x) es:

23. b)
lim G ( x
) 1
x
1
® -
= - y
lim G ( x
) 0
x
1
® +
=
c)
lim G ( x
) 0
x
2
®- +
=
d) El
lim G ( x
)
x
0
®
no se puede determinar.
Ejercicio 6
 = x x
>

- <
Considere la función 2
si 0
( )
si 0
f x
x x
¿Existe el
lim ( )
x
0
f x
®
? Razone su
respuesta.
Solución
Justificación: En este caso estamos en presencia de una función a
trozos y nos preguntan si el límite existe, en este tipo de situaciones es
recomendable calcular los límites laterales para compararlos y, si son iguales el
límite existe, de lo contrario, es decir, si son diferentes, el límite no existe.
Entonces en este caso, se tiene:
Límite cuando equis tiende a cero por la izquierda
Se toma la expresión perteneciente al símbolo <, en este caso 2 -x , así:

24. ( 2 ) ( )2
= - = - =
lim f ( x ) lim x
0 0
x x
® - ® -
0 0
Límite cuando equis tiende a cero por la derecha
Se toma la expresión perteneciente al símbolo >, en este caso x , así:
( )
= =
lim f ( x ) lim x
0
x x
® + ® +
0 0
Como los límites laterales son iguales, el
lim f ( x
)
x
0
®
existe.
Respuesta: el
lim f ( x
)
x
0
®
existe.
Ejercicio 7
Sean f , g : D Í ℝ®ℝ tales que:
1
3 1
lim 2 f ( x ) g ( x
)
x ®
2 2
   -  =
 
y ( ) 1
lim ln g ( x
) 0
x
®
= .
Usando el álgebra de límite, calcular
lim f ( x
) 1
x
1
®
= .
Solución
Justificación: El álgebra de límites consiste en aplicar las propiedades
del límite, es decir, el límite de la suma y resta es la suma y resta de los límites,
la raíz del límite es el límite de la raíz, entre otras, en este caso:
   -  = ® - = ® - =
 
3 1 3 1 3 1
lim 2 f ( x ) g ( x ) lim2 f ( x ) lim g ( x ) 2lim f ( x ) lim g ( x
)
x ® 1 2 2 x ® 1 x ® 1 2 2 x ® 1 2 x ®
1
2
( ) Pero como ( ) ( ) ln lim ( )
1
= ® = ® = 0
® = ,
g x
g x g x e ® e g x
lim ln ( ) 0 ln lim ( ) 0 lim ( ) 1 x
® ® ®
x x x
1 1 1
entonces:
3 1 3 1 1 3 4
( ) 1 1 1 1 1
- = ® - = ® = + ® = =
2lim f ( x ) lim g ( x ) 2lim f ( x ) 1 2lim f ( x ) 2lim f ( x
) 2
® ® ® ® ®
x 2 x 2 x 2 2 x 2 2 x 2
2
= ® = ® =
2lim f ( x ) 2 lim f ( x ) lim f ( x
) 1
® ® ®
x x 2 x
1 1 1
Respuesta: El
lim f ( x
) 1
x
1
®
= .
Ejercicio 8
Usando el ÁLGEBRA DE LÍMITE, Calcular:
( )
2 7
3
3 3
2 15
lim 3
11 1
x
x
x
x
x
x x
-
-
®-
   + + 
 
 + - + 
 
.
Solución

25. Justificación: El álgebra de límites consiste en aplicar las propiedades
del límite, es decir, el límite de la suma y resta es la suma y resta de los límites,
la raíz del límite es el límite de la raíz, entre otras, en este caso:
 -  -  -        -  -   -     
 + + x   + + x    x    2 x 15   2 x 15   lim  2 x
+ 15
+     =    
=   =  + - +   + - +  + - +          
3 3 3 lim lim
( ) ( ) ( ( ))
( 2
)
( )
lim 7
2 2 3
3
3
7 7
lim
3 3 lim 3
3
3 3 3 3 3
x x x x x x
11 1 11 1 lim 11 1
3
x
x
x
x
x x
x x x
x
x x
x
®-
®-
®-
®-
®- ®-
®-
 -       - 
 -       -     
®- ®- ®-
®- ®-
x
x x
  + + x   x  + + x   lim  2 x 15  x
  3   lim 2 x
15 lim
   ( + - ( + ))
 =  3

=   + - +     
  ( )
( )
lim 7 lim lim 7
lim 3 lim 3
( )
( )
( )
2
2
3
3 3
3
3
3 3 3
3 3
x x x x
lim 11 1 lim 11 lim 1
3 3 3
x x
x
x
x x x
x x x
 
®- ®- ®-
®- ®- ®-
  ( + )
- 
  - + -   - + - 
  =   =   =
  ( + ) - ( - )
   - + - -   +     
 
(( ) )
( ( )) ( ( ) )
( ) ( )
( )
( ) (( ) )
( )
( )
( )
2
3 7
9 7 9 7
3 3
9 9
3
x
3 3 3
3
3
lim 2 15 2 3 15 1 6 15 1
3
lim 11 1 3 3 11 2 8 2
x
x
x
 - -           -   -   - -           
   
®-
®-
 
 ( )
-   
      =  -  =   =   =      +                =   =        
( 2
)
( )
2 2 2 2
3
9 1 3 1 3 2 3 1 3 1 3
1 1
2 2 4 4 2 2 4
2 3 2 3
3
2
2 15
x
x
3 1 lim
Respuesta: ( )
2 7
3
3 3 3
11 1 4
x
x
x
x x
-
-
®-
   + + 
  =
 + - + 
 
Ejercicio 9
Dada la función:
 
e - x si x
£
0

= + < £  <
f x x x
( ) 1 si 0 3
ln si 3
x x
Calcular:
a)
lim f ( x
)
x
0
®
b)
lim f ( x
)
x
3
®
Solución
Justificación: En este caso estamos en presencia de una función a
trozos y nos piden calcular los límites planteados, en este tipo de situaciones
es recomendable calcular los límites laterales para compararlos y, si son

26. iguales el límite existe, de lo contrario, es decir, si son diferentes, el límite no
existe.
Entonces, se tiene para
lim f ( x
)
x
0
®
:
Límite cuando equis tiende a cero por la izquierda
Se toma la expresión perteneciente al símbolo <, en este caso x e- , así:
( ) ( 0 )
= = =
lim f ( x ) lim e x
e
1 - -
x 0 x
0
-
® ®
Límite cuando equis tiende a cero por la derecha
Se toma la expresión perteneciente al símbolo >, en este caso x +1, así:
( )
= + =
lim f ( x ) lim x
1 1
x x
® + ® +
0 0
Como los límites laterales son iguales, el
lim f ( x
)
x
0
®
existe y tiene como
valor
lim f ( x
) 1
x
0
®
= .
Para
lim f ( x
)
x
3
®
:
Límite cuando equis tiende a tres por la izquierda
Se toma la expresión perteneciente al símbolo <, en este caso x +1, así:
( ) ( )
= + = + =
lim f ( x ) lim x
1 3 1 4
x x
® - ® -
3 3
Límite cuando equis tiende a tres por la derecha
Se toma la expresión perteneciente al símbolo >, en este caso ln x , así:
( )
= =
lim f ( x ) lim ln x
ln 3
x x
® + ® +
3 3
Como los límites laterales no son iguales, el
lim f ( x
)
x
3
®
no existe.
Respuesta:
a)
lim f ( x
) 1
x
0
®
=
b)
lim f ( x
)
x
3
®
no existe.
Ejercicio 10
En la figura se presenta la gráfica de una función f : [0,9]®ℝ.

27. A continuación hacemos varias afirmaciones en relación a la función f .
Indica con una V o una F en el espacio correspondiente según que la
afirmación realizada sea verdadera o falsa respectivamente.
a.
lim f ( x
) 2
x
0
®
= _____
b.
lim f ( x
) 3
x
3
®
= _____
c.
lim f ( x
) 1
x
9
®
= _____
Solución
Justificación:
a) Si observamos la gráfica, cuando x tiende a 0 por la derecha, las
imágenes de la función tienden a 2, sin embargo, no podemos
acercarnos a 0 por la izquierda porque la función no está definida, de
manera que desconocemos el valor de la función cuando x tiende a
2 por la izquierda, por lo tanto podemos concluir que
lim f ( x
) 2
x
0
®
= es
una afirmación falsa por el teorema de unicidad del límite.
b) Cuando nos acercamos a 3 tanto por la derecha como por la
izquierda, las imágenes siempre tienden a 3, por lo tanto que el
lim f ( x
) 3
x
3
®
= es verdadero.
c) Si observamos la gráfica, cuando x tiende a 9 por la izquierda, las
imágenes de la función tienden a 1, sin embargo, no podemos
acercarnos a 9 por la derecha porque la función no está definida, de
manera que desconocemos el valor de la función cuando x tiende a

28. 9 por la derecha, por lo tanto podemos concluir que
lim f ( x
) 1
x
9
®
= es
una afirmación falsa por el teorema de unicidad del límite.
Respuesta:
a.
lim f ( x
) 2
x
0
®
= __F__
b.
lim f ( x
) 3
x
3
®
= __V__
c.
lim f ( x
) 1
x
9
®
= __F__
A continuación se te presentaran una serie de ejercicios propuestos,
¿Por qué es importante resolverlos? Por que tú estarás solo en el examen y tu
eres quien a las finales debes aprehender para tener éxito en la asignatura.
Cualquier duda de los problemas que a continuación se te presentan, déjamelo
saber, a través, de mi correo: jorgegranadillomat@gmail.com. Recuerda que en
mi página en el apartado “novedades” en la sección “material durante el
estudio” se encuentra un programa de nombre Mathype que es un excelente
editor de ecuaciones con el cual podrás escribir tus dudas matemáticas, o
escanea las páginas de tu cuaderno y envíame las dudas para darte respuesta
a la brevedad posible.
Por último recuerda resolver cada ejercicio bajo la estructura,
justificación y respuesta, ya que en los exámenes de desarrollo deberás
justificar todas y cada una de tus respuestas, de manera, que es importante
que tomes el hábito de estructurar las soluciones de esta manera, siempre
dando justificación y luego la respuesta.
EJERCICIOS PROPUESTOS
Ejercicio 1
Calcular el siguiente límite sin aplicar la regla de L’Hopital:
4
-
-
senx cos
x
lim
x 1
®p tgx
Ejercicio 2
arctg x
Realice una tabla de valores de (2 )
( )
= para valores de x
(3 )
f x
sen x
cercanos a cero y señale el valor de
lim ( )
x
0
f x
®
.
Ejercicio 3
Calcule:

29. +
+
5 3
7 4
®-¥ x
10 6
lim
x
8 2 x
Ejercicio 4
0 1 2 ( ) ... n
n f x = a + a x + a x + + a x ,
Sean f y g las funciones polinómicas 2
g ( x ) = b + b x + b x 2
+ ... + b x m
. A continuación hacemos algunas afirmaciones
0 1 2 m sobre el límite del cociente de estos polinomios. Coloca una V o una F en el
espacio en blanco según que la afirmación sea verdadera o falsa,
respectivamente
f x
a. Si n > m entonces ( )
lim
x ( )
®¥ g x
= ¥ _____
f x
b. Si n < m entonces ( )
lim
x ( )
®¥ g x
= ¥ _____
f x a
c. Si n = m entonces ( )
lim
= ______
®¥ g ( x )
b
n
x
m
Ejercicio 5
Dadas las siguientes proposiciones, justifica su veracidad o falsedad
usando la idea intuitiva de límite y colocando en el espacio correspondiente una
V o una F según sea el caso.
a) Si f no está definida en x = c , no existe el límite de f (x) cuando x
tiende a c .
b) Si f (c) = L , entonces lim ( )
x c
f x L
®
= .
c) Si lim ( )
x c
f x L
®
= entonces f (c) = L .
Ejercicio 6
Calcular:
2 ( )
2 3
2
4 1
lim
4 5
2
x
x x
x
x x
®
 
   - - - 
 
 - + - 
 
Ejercicio 7
¿Cuál es el valor al que se aproxima la sucesión
1 a = 0,32 , 2 a = 0,3232 , 3 a = 0,323232 , ...,
n veces
a = 0,32 ... 32
?
n

30. a. 8
25
b. 1
3
c. 808
25
d. 32
99
Ejercicio 8
Cuando hacemos el cambio z = x +1 en el límite 1 2
4
cos(3 x x
)
lim
x 1
® x
+
-
, obtenemos:
z
a. 1 ( )
4
cos3
lim
z 2
® z z +
z
b. 1 ( )
4
cos3
lim
z 2
® z z -
z
c. 5 ( )
4
cos3
lim
z 2
® z z -
z
d. 5 ( )
4
cos3
lim
z 2
® z z +
Ejercicio 9
Calcular el límite:
2
-
+
3 x
2
®¥ x
3 3
lim
2 1 z
sin aplicar la regla de L’Hopital.
Ejercicio 10
Considera la función f :ℝ®ℝ representada en la siguiente gráfica.
Indica con una V o una F en el espacio correspondiente según que la
afirmaciones sean verdaderas o falsas, respectivamente:
a. lim ( )
x
f x
®-¥
= ¥ _____.
b.
lim f ( x
) 0
x
0
®
= _____.
c.
lim ( )
x
a
f x L
®
= _____.