ESTUDIANTE: AYRTON PROAÑO

1. ESTUDIANTE: AYRTON PROAÑO
PROFESOR: JOSE PANCHI
DISTRIBUCIONES
PROBABILISTICAS CONTINUAS
FORO II
01/07/2018

2. INTRODUCCIÓN.
En teoría de la probabilidad y estadística, la distribución de probabilidad de
una variable aleatoria es una función que asigna a cada suceso definido sobre
la variable la probabilidad de que dicho suceso ocurra. La distribución de
probabilidad está definida sobre el conjunto de todos los sucesos y cada uno de
los sucesos es el rango de valores de la variable aleatoria. También puede decirse
que tiene una relación estrecha con las distribuciones de frecuencia. De hecho,
una distribución de probabilidades puede comprenderse como una frecuencia
teórica, ya que describe cómo se espera que varíen los resultados.
La distribución de probabilidad está completamente especificada por la función de
distribución, cuyo valor en cada x real es la probabilidad de que la variable
aleatoria sea menor o igual que x.
En el presente trabajo, se estudia de manera ágil los diverso tipos de distribución
probabilista, caracterizaremos cada distribución, la fundamentación matemática de
los diversos resultados no se enfocaran en el presente trabajo; sólo me limitaré al
estudio descriptivo de la distribución de probabilidades discretas.
Qué es una distribución de probabilidad
Muestra todos los resultados posibles de un experimento y la probabilidad de cada
resultado.
¿Cómo generamos una distribución de probabilidad?
Supongamos que se quiere saber el numero de caras que se obtienen al lanzar
cuatro veces una moneda al aire?
Es obvio que, el hecho de que la modena caiga de costado se descarta.
Los posibles resultados son: cero caras, una cara, dos caras, tres caras y cuatro
caras.
La probabilidad de cada resultado especifico va desde cero hasta uno inclusive
Tipos de variables:
 Variable aleatoria: Es aquella cuyo valor es el resultado de un evento
aleatorio. Lo que quiere decir que son los resultados que se presentan
al azar en cualquier evento o experimento.
 Variable aleatoria discreta: Es aquella que solo toma ciertos valores
(frecuentemente enteros) y que resulta principalmente del conteo realizado.
 Variable aleatoria continua: Es aquella que resulta generalmente de la
medición y puede tomar cualquier valor dentro de un intervalo dado.

3. Media de una Distribución de Probabilidades.- El valor promedio a largo plazo
de la variable aleatoria, también es conocido como valor esperado. Esta media es
un promedio ponderado, en el que los valores posibles se ponderan mediante sus
probabilidades correspondientes de ocurrencia, se calcula con la fórmula:
DISTRIBUCIONES PROBABILÍSTICAS CONTINUAS
Las distribuciones probabilísticas continuas es la función que asigna a un intervalo de la
variable aleatoria continua X su valor de la probabilidad correspondiente. Es decir, la
probabilidad de que un evento ocurra en un intervalo de la variable.
Esto puede ocurrir de tres formas distintas
𝑃(𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑏)
𝑃( 𝑋 ≤ 𝑏)
𝑃(𝑎 ≤ 𝑋)
CARACTERISTICAS
Se genera por una variable continua (X):
Donde:(X) es una variable que puede tomar tanto valores enteros como valores
fraccionarios.
Las probabilidades asociadas a cada uno de los valores que toma X deben ser
mayores o iguales a cero (0). Dicho de otra forma, la función de densidad de
probabilidad deberá tomar solo valores mayores o iguales a cero.
La función de la densidad de la probabilidad solo puede estar definida en los
cuadrantes I y II.
La sumatoria de las probabilidades asociadas a cada uno de los valores que toma x
debe ser igual a 1.
El área definida bajo la función de densidad de probabilidad deberá ser de 1.
Ya que la probabilidad es siempre un número positivo, la Función de Distribución
Probabilística es una función no decreciente que cumple:

4. lim
𝑥→∞
𝐹𝑥 = 1 Es decir, la probabilidad de que todo el espacio muestral es 1.
lim
𝑥→∞
𝐹𝑥 = 0 Es decir, la probabilidad de suceso nulo es cero.
Variable continua de la distribución de probabilidad es la integral de la función de densidad
de tal forma expresamos de la siguiente manera:
Esta división se realiza dependiendo del tipo de variable a estudiar. Las cuatro
principales (de las que nacen todas las demás) son:
a) Si la variable es una variable discreta (valores enteros), corresponderá una
distribución discreta, de las cuales existen:
 Distribución binomial (eventos independientes).
 Distribución de Poisson (eventos independientes).
 Distribución hipergeométrica (eventos dependientes).
b) Si la variable es continua, esto significa que puede tomar cualquier valor dentro
de un intervalo, la distribución que se generará será una distribución continua,
también llamada distribución normal o gaussiana.
Además, se puede utilizar la "distribución de Poisson como una aproximación de la
distribución binomial" cuando la muestra por estudiar es grande y la probabilidad
de éxito es pequeña.
De la combinación de los dos tipos de distribuciones anteriores (a y b), surge una
conocida como "distribución normal como una aproximación de la distribución
binomial y de Poisson".
CALCULO DE MEDIA Y DESVIACION ESTANDAR PARA UNA DISTRIBUCCION CONTINUA
MEDIA O VALOREXPERADODE (X): La media (u), también llamada esperanza matemática, es
un valor representativo de todos los valores que toma la variable aleatoria X, lo podemos
imaginar como el punto sobre el eje de las abscisas al poner una cuña, la figura plana
definida por la función de densidad quedará en equilibrio.
𝑢 = ∫ 𝑥𝑓 ( 𝑥) 𝑑𝑥
∞
−∞

5. DESVIACIÓN ESTÁNDAR: Es una medida de la dispersión de los valores que toma la variable
aleatoria respecto de la media. Como ocurría con las variables estadísticas la desviación
estándar será más pequeña o más grande según la gráfica de la función de densidad sea
más estrecha o más ancha en torno a la media.
𝛿 = √ ∫ 𝑋2 𝑓( 𝑥) 𝑑𝑥 − 𝑢2
∞
−∞
Ejemplo 1 Sea que la variable aleatoria continua X denota la corriente medida en un
alambre delgado de cobre.Suponga que el rango de X es (0.20), y suponga que la funcion
de densidad de probabilidad de X es f(x)=0,05 para 0 ≤ 𝑥 ≤ 20 ¿Cuál es la probabilidad de
que una medicion de la corriente entre 5 y 10?
Solucion:
La probabilidad se calcula como:
𝑃(5 < 𝑥 < 10) = ∫ 0.05
10
5
𝑑𝑥 = 0,05𝑥 ∫
10
5
= (0,05)(5) = 0,25
La media y la varianza
𝑢 = 𝐸( 𝑥) =
(0 + 20)
2
= 10
𝛿2
=
(20− 0)2
12
= 33.33
Las distribuciones de variable continua más importantes son las siguientes:
DISTRIBUCION BETA

6. DISTRIBUCION EXPONENCIAL
DISTRIBUCION F

7. DISTRIBUCION GAMMA
Distribución normal
En estadística y probabilidad se llama distribución normal, distribución de
Gauss, distribución gaussiana o distribución de Laplace-Gauss, a una de
las distribuciones de probabilidad de variable continua que con más
frecuencia aparece en estadística y en la teoría de probabilidades.1
La gráfica de su función de densidad tiene una forma acampanada y es
simétrica respecto de un determinado parámetro estadístico. Esta curva se
conoce como campana de Gauss y es el gráfico de una función gaussiana.
La importancia de esta distribución radica en que
permite modelar numerosos fenómenos naturales, sociales y
psicológicos. Mientras que los mecanismos que subyacen a gran parte de
este tipo de fenómenos son desconocidos, por la enorme cantidad de
variables incontrolables que en ellos intervienen, el uso del modelo normal
puede justificarse asumiendo que cada observación se obtiene como la
suma de unas pocas causas independientes

8. Distribución t de Student: En probabilidad y estadística, la distribución t (de
Student) es una distribución de probabilidad que surge del problema
de estimar la media de una población normalmente distribuida cuando el tamaño
de la muestra es pequeño.
Aparece de manera natural al realizar la prueba t de Student para la determinación
de las diferencias entre dos varianzas muestrales y para la construcción
del intervalo de confianza para la diferencia entre las partes de dos poblaciones
cuando se desconoce la desviación típica de una población y ésta debe ser
estimada a partir de los datos de una muestra.
Una diferencia fundamental entre las variables aleatorias discretas y las variables
aleatorias continuas es cómo se calculan las probabilidades.
En las variables aleatorias discretas la función de probabilidad f(x) da la
probabilidad de que la variable aleatoria tome un valor determinado. En las
variables aleatorias continuas, la contraparte de la función de probabilidad es la
función de densidad de probabilidad, que también se denota f(x).
La diferencia está en que la función de densidad de probabilidad no da
probabilidades directamente. Si no que el área bajo la curva de f(x) que
corresponde a un intervalo determinado proporciona la probabilidad de que la
variable aleatoria tome uno de los valores de ese intervalo.
De manera que cuando se calculan probabilidades de variables aleatorias
continuas se calcula la probabilidad de que la variable aleatoria tome alguno de los
valores dentro de un intervalo. Como en cualquier punto determinado el área bajo
la gráfica de f(x) es cero, una de las consecuencias de la definición de la
probabilidad de una variable aleatoria continua es que la probabilidad de cualquier
valor determinado de la variable aleatoria es cero.
P (a ≤ X ≤ b)
P ( X ≤ b)
P ( a ≤ X )
Características:

9.  Debe ser una variable continua
 X puede tomar valores enteros o fraccionarios.
 La función de densidad de la probabilidad debe tomar valores mayores o
iguales a cero, dándose que solo puede estar en los cuadrantes I y II
 La probabilidad asociada de los valores de x debe tomar valores mayores o
iguales a cero y en consecuencia la suma de estos debe ser igual a 1
Tipos de distribuciones:
Uniforme.- son los experimentos entre dos puntos elegidos al azar y entre dos
fijos m y n
Se trata de una función constante.
Ejemplo
Considerando la variable aleatoria x que representa el tiempo de vuelo de un avión
que viaja de Chicago a Nueva York. Se supone que el tiempo de vuelo es
cualquier valor en el intervalo de 120 minutos a 140 minutos. Dado que la variable
aleatoria x toma cualquier valor en este intervalo, x es una variable aleatoria
continua y no una variable aleatoria discreta. Admita que cuenta con datos
suficientes como para concluir que la probabilidad de que el tiempo de vuelo esté
en cualquier intervalo de 1 minuto es el mismo que la probabilidad de que el
tiempo de vuelo esté en cualquier otro intervalo de 1 minuto dentro del intervalo
que va de 120 a 140 minutos. Como cualquier intervalo de 1 minuto es igual de
probable, se dice que la variable aleatoria x tiene una distribución de probabilidad
uniforme. La función de densidad de probabilidad que define la distribución
uniforme de la variable aleatoria tiempo de vuelo, es
f(x) ( 1/20 para 120 < x < 140)
0 en cualquier otro caso
En el caso de la variable aleatoria tiempo de vuelo, a = 120 y b = 140
Normal.- denominada así debido a que en décadas anteriores se pensaba que
toda distribución seguía este procedimiento, su gráfico es una campana de Gauss.
Se utiliza de forma directa con muchas variables de interés general
Características
 La media de una distribución normal puede tener cualquier valor: negativo,
positivo o cero Su varianza es σ2 y, por tanto, su desviación típica es σ.
 Es simétrica respecto a su media μ.
 Media, moda y mediana coinciden (μ).

10. Cualquier transformación lineal de una variable con distribución Normal seguirá
también el modelo Normal. Si X ~ N(μ, σ) y definimos Y = aX + b (con a ≠ 0),
entonces Y ~ N(aμ + b, |a|σ). Es decir, la esperanza de Y será aμ + b y su
desviación típica, |a|σ.
Distribución de las desviaciones
μ +- 1σ = 68.3%
μ +- 2σ = 95.4 %
μ +- 3σ = 99.7 %
Conversión a la variable aleatoria normal estándar
z = x - μ / σ
Con esta formula se convierte cualquier variable aleatoria con cualquier valor en la
variable aleatoria normal estándar (Z)
Ejemplo:
Para una aplicación de la distribución de probabilidad normal, se supone que en
este caso una compañía ha fabricado un nuevo producto que será vendido por
una cadena nacional de supermercados. La garantía de duración será un factor
importante en la aceptación del producto debido a que es nuevo. Antes de finalizar
la póliza de garantía, los directivos necesitan información probabilística acerca de
x = duración del producto en proporción al número de usos. De acuerdo con las
pruebas realizadas al producto, los ingenieros de la empresa estiman que la
duración media en usos es μ = 36 500 usos y que la desviación estándar es σ =
5000. Además, los datos recogidos indican que es razonable suponer una
distribución normal. ¿Qué porcentaje de los productos se espera que duren más
de 40 000 usos? En otras palabras, ¿cuál es la probabilidad de que la duración de
los productos sea superior a 40 000?
Para x = 40 000, se tiene
z = 40000 - 36500 / 5000
z = 3500 / 5000 = 0.70
Debido al uso de la tabla de probabilidad normal estándar se conoce que el 24.2%
de los productos durará más de 40 000 usos.

11. Exponencial.- se utiliza para representar los tiempos de espera, es decir describe
el tiempo hasta que se produzca un determinado suceso.
f (x) = (1 - e (- x/a) si x > 0 )
0 si x <= 0
Propiedades del modelo exponencial
 Su esperanza es α.
 Su varianza es α2.
Una propiedad importante es la denominada carencia de memoria, que podemos
definir así: si la variable X mide el tiempo de vida y sigue una distribución
Exponencial, significará que la probabilidad de que siga con vida dentro de 20
años es la misma para un individuo que a fecha de hoy tiene 25 años que para
otro que tenga 60 años.
Cuando el número de sucesos por unidad de tiempo sigue una distribución
de Poisson de parámetro λ (proceso de Poisson), el tiempo entre dos sucesos
consecutivos sigue una distribución Exponencial de parámetro α = 1/λ.
Función de la densidad de probabilidad exponencial
f (x) = 1/μ eλ -x/μ
Donde μ = valor esperado o media
Calculo de probabilidades en la distribución exponencial
Como ya sabemos el área bajo la curva corresponde a un intervalo que da la
probabilidad de que la variable aleatoria tome un valor en ese intervalo.
Probabilidades acumuladas
P ( x < xsub0 ) = 1 - eλ -x0/μ
Ejemplo.: Se supone que x representa el tiempo que se necesita para cargar un
camión en un área de carga, y que este tiempo de carga sigue una distribución
exponencial. Si el tiempo de carga medio o promedio es 15 minutos (μ = 15), la
función de densidad de probabilidad apropiada para x es
f (x) = 1/μ eλ -x/15
Probabilidad acumulada
P ( x < xsub0 ) = 1 - eλ -x0/15
Por lo tanto la probabilidad de que se requiera 6 minutos o menos es
P ( x < xsub0 ) = 1 - eλ -6/15 = 0.3297

12. Bibliografia:
https://www.mindmeister.com/es/1040177961/tipos-de-distribuciones-de-
probabilidad
https://www.sergas.es/Saude-
publica/Documents/1899/Ayuda_Epidat_4_Distribuciones_de_probabilidad_Octubr
e2014.pdf
http://matematicas.unex.es/~mota/ciencias_ambientales/tema5_nuevo.pdf
https://es.slideshare.net/yovana93/tipos-de-12071948