Distribuciones continuas

1. DISTRIBUCIONES
CONTINUAS
William Jaime León Velásquez
wjleonv@yahoo.com
ESTADISTICA Y
PROBABILIDADES
Universidad
Nacional Mayor de
San Marcos
10

2.  La distribución normal es, la más
importante de todas las distribuciones
de probabilidad .
 Es una distribución de variable continua ,
con campo de variación ]-∞ , ∞[ .
 Fue descubierta por Gauss al estudiar la
distribución de los errores en las
observaciones astronómicas.
ING. WILLIAM LEON V. 2
DISTRIBUCIÓN NORMAL
DISTRIBUCIÓN
NORMAL

3. Importancia:
 Un gran número de fenómenos reales se pueden
modelizar con esta distribución (características
cuantitativas de casi todas las grandes
poblaciones).
 Muchas de las distribuciones de uso frecuente
tienden a aproximarse a la distribución normal
bajo ciertas condiciones
 En virtud del Teorema Central del Límite,
todas aquellas variables que puedan
considerarse causadas por un gran número de
pequeños efectos (errores de observación)
tienden a distribuirse con una distribución
normal. ING. WILLIAM LEON V. 3
DISTRIBUCIÓN NORMAL

4.  Caracteres morfológicos de individuos
(personas, animales, plantas,...)
 Ejemplo: tallas, pesos, diámetros,
perímetros,...
 Caracteres fisiológicos,
 Ejemplo: efecto de una misma dosis de un
fármaco, o de una misma cantidad de
abono.
ING. WILLIAM LEON V. 4
DISTRIBUCIÓN
NORMAL
Ejemplos de variables asociadas a fenómenos naturales que siguen el
modelo de la normal
DISTRIBUCIÓN NORMAL
 Caracteres sociológicos,
 Ejemplo: consumo de cierto producto por un mismo grupo de individuos,
puntuaciones de examen.

5.  Formula del modelo de la función de densidad que corresponde a la
distribución normal
ING. WILLIAM LEON V. 5
FUNCIÓN DE DENSIDAD
DISTRIBUCIÓN
NORMAL
Representación gráfica de esta función de densidad

6. ING. WILLIAM LEON V. 6
DISTRIBUCIÓN
NORMAL
FUNCIÓN DE DENSIDAD

7.  La distribución normal queda definida por dos
parámetros, su media y su desviación típica y
se representa así
ING. WILLIAM LEON V. 7
DISTRIBUCIÓN
NORMAL
 Para cada valor de µ y σ tendremos una
función de densidad distinta, por tanto la
expresión N (µ,σ) representa una familia de
distribuciones normales
N (µ,σ)
FUNCIÓN DE DENSIDAD

8.  Puede tomar cualquier valor (- ∞, + ∞)
 Son más probables los valores cercanos a uno
central que llamamos media μ
 Conforme se aleja del valor μ, la probabilidad va
decreciendo en igual forma a derecha e
izquierda (es simétrica).
 Conforme se aleja del valor μ, la probabilidad va
decreciendo de forma más o menos rápida
dependiendo de un parámetro σ, que es la
desviación típica.
ING. WILLIAM LEON V. 8
FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN
DISTRIBUCIÓN
NORMAL

9. ING. WILLIAM LEON V. 9
DISTRIBUCIÓN
NORMAL
FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN

10. ING. WILLIAM LEON V. 10
F(x) es el área sombreada de esta gráfica
DISTRIBUCIÓN
NORMAL
FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN

11.  Z se la denomina variable tipificada de X, y
a la curva de su función de densidad se le
conoce como la curva normal estándar.
 Es una distribución normal con promedio 0
y una desviación estándar de 1.
 Todas las variables normalmente
distribuidas se pueden transformar a la
distribución normal estándar utilizando la
fórmula para calcular el valor Z
correspondiente.
La distribución normal estándar
ING. WILLIAM LEON V. 11

12. ING. WILLIAM LEON V. 12
TIPIFICACIÓN
DISTRIBUCIÓN
NORMAL

13. ING. WILLIAM LEON V. 13
Por tanto su función de densidad es
DISTRIBUCIÓN
NORMAL
TIPIFICACIÓN

14. ING. WILLIAM LEON V. 14
y su función de distribución es
DISTRIBUCIÓN
NORMAL
TIPIFICACIÓN

15. ING. WILLIAM LEON V. 15
la representación gráfica de esta función
a la variable Z se la denomina variable tipificada de X,
y a la curva de su función de densidad curva normal tipificada.
DISTRIBUCIÓN
NORMAL
TIPIFICACIÓN

16.  No depende de ningún parámetro
 Su media es 0, su varianza es 1 y su desviación típica es 1.
 La curva f(x) es simétrica respecto del eje OY
 Tiene un máximo en este eje
 Tiene dos puntos de inflexión en z =1 y z = -1
16
ING.
WILLIAM
LEON V.
CARACTERÍSTICA DE LA DISTRIBUCIÓN
NORMAL TIPIFICADA
DISTRIBUCIÓN
NORMAL

17.  El modelo de probabilidad normal de parámetros  y  ,
N(μ, σ2), siendo  y  constantes, con  > 0, cumple un
papel fundamental en estadística, ya que todas las
técnicas o procedimientos inferenciales dependen directa
o indirectamente de esta variable aleatoria
17
ING.
WILLIAM
LEON V.
DISTRIBUCIÓN
DE PROBABILIDAD NORMAL
DISTRIBUCIÓN
NORMAL

18. 18
ING.
WILLIAM
LEON V.
),(N 2

Notación:
X 
DISTRIBUCIÓN
NORMAL
DISTRIBUCIÓN
DE PROBABILIDAD NORMAL

19. 19
ING.
WILLIAM
LEON V.
Su función de densidad es:
2
σ
μX
2
1
e
2πσ
1
)σ,μ,X(f)X(f





 


Donde:
DISTRIBUCIÓN
NORMAL
DISTRIBUCIÓN
DE PROBABILIDAD NORMAL

20. 20
ING.
WILLIAM
LEON V.
Efectos de  y 2 en la función de densidad de una variable
aleatoria normal.
Funciones de densidad de
dos distribuciones normales
con medias 5 y 6; ambas
distribuciones tienen
varianza 1.
DISTRIBUCIÓN
NORMAL
DISTRIBUCIÓN
DE PROBABILIDAD NORMAL

21. 21
ING.
WILLIAM
LEON V.
Efectos de  y 2 en la función de densidad de una variable
aleatoria normal.
Funciones de densidad de dos
distribuciones normales con
varianzas 1/4 y 1; ambas
distribuciones tienen media 10.
DISTRIBUCIÓN
NORMAL
DISTRIBUCIÓN
DE PROBABILIDAD NORMAL

22. 22
ING.
WILLIAM
LEON V.
Como función de probabilidad se
asume que el área encerrada por
la curva y el eje X es igual a 1.
P( a  X  b ) = área entre a y b
DISTRIBUCIÓN
NORMAL
DISTRIBUCIÓN
DE PROBABILIDAD NORMAL

23.  Si X es una variable aleatoria normal con media  y varianza
2.
 Es decir, X  . Entonces su distribución de
probabilidad acumulada es:
23
ING.
WILLIAM
LEON V.
FUNCIÓN DE
DISTRIBUCIÓN ACUMULADA
),(N 2

)0xX(P)0x(F 
 











0x 0dx
2
σ
μ0x
2
1
e
π2σ
1
)0x(F
0x
Para una variable aleatoria continua X, la probabilidad
de que X tome un valor menor o igual que x0
está determinada por el área comprendida entre la curva y
el eje de abscisas desde - hasta x0.
DISTRIBUCIÓN
NORMAL

24.  La distribución Normal puede simplificarse, haciendo
un cambio de variable; es decir transformando la
variable original X en una nueva variable aleatoria Z
mediante la relación:
24
ING.
WILLIAM
LEON V.
DISTRIBUCIÓN
NORMAL ESTANDARIZADA
σ
μX
Z


DISTRIBUCIÓN
NORMAL

25. Es decir:
 X  N ( X ,  , 2 ) Z  N ( Z , 0 , 1 )
   0  = 0
 2 > 0 2 = 1
25
ING.
WILLIAM
LEON V.
DISTRIBUCIÓN
NORMAL
DISTRIBUCIÓN
NORMAL ESTANDARIZADA

26. Esta transformación constituye la estandarización de
la curva normal, cuya función de probabilidad es:
26
ING.
WILLIAM
LEON V.
2
2
z
e
2π
1
f(z)


DISTRIBUCIÓN
NORMAL
DISTRIBUCIÓN
NORMAL ESTANDARIZADA

27. La gráfica de la función densidad, conocida como campana de
Gauss, para la variable normal tipificada o estándar, definida
para y es:
27
ING.
WILLIAM
LEON V.
DISTRIBUCIÓN NORMAL
o CAMPANA
DE GAUSS-LAPLACE
DISTRIBUCIÓN
NORMAL ESTANDARIZADA

28. 28
ING.
WILLIAM
LEON V.
TABLAS DE DISTRIBUCION Z
DISTRIBUCIÓN
NORMAL

29. 29
ING.
WILLIAM
LEON V.
TABLAS DE DISTRIBUCION Z
DISTRIBUCIÓN
NORMAL

30. 30
ING.
WILLIAM
LEON V.
TABLAS DE DISTRIBUCION Z
DISTRIBUCIÓN
NORMAL

31. Uso de la tabla de la distribución normal para averiguar
p=FZ(z), dado z>0?
31
ING.
WILLIAM
LEON V.
USO LA TABLA N ( 0,1)
DISTRIBUCIÓN
NORMAL

32. Supongamos z=1.66.
1. ¿Cuál es la probabilidad de que Z<1.66?
Se descompone el número en
1.6+0.06,
y se busca en la intersección:
32
ING.
WILLIAM
LEON V.
USO LA TABLA N ( 0,1)
DISTRIBUCIÓN
NORMAL

33. 33
ING.
WILLIAM
LEON V.
DISTRIBUCIÓN
NORMAL
USO LA TABLA N ( 0,1)
1.66
1.6
0.06
el resultado es 0.9515.

34. 2. ¿Y si z<0?
 En ese caso,
P(Z<z) = P(Z>-z) = 1-P(Z<-z) = 1- FZ(-z);
 Por ejemplo, ¿cuál es la probabilidad de que Z sea menor que –1.38?
 Según la tabla, a 1.38 le corresponde 0.9162,
 luego el valor que buscamos es 1- 0.9162 = 0.0838.
34
ING.
WILLIAM
LEON V.
DISTRIBUCIÓN
NORMAL
USO LA TABLA N ( 0,1)
0.9162 0.08380.0838

35. 3. ¿Cómo se hace para, dado p>0.5, encontrar el
valor z tal que P(Z<z)=p?
 Supongamos p=0.71.
 Buscamos en la tabla la o las celdas que más se parezcan a
este valor.
35
ING.
WILLIAM
LEON V.
DISTRIBUCIÓN
NORMAL
USO LA TABLA N ( 0,1)

36. 36
ING.
WILLIAM
LEON V.
DISTRIBUCIÓN
NORMAL
USO LA TABLA N ( 0,1)

37.  Se sabe que el valor z está entre 0.55 y 0.56, mirando la fila y columnas
implicadas.
 Por regla de 3 simple se puede aproximar bastante:
z = 0.55+(0.56-0.55)(0.71-0.7088)/(0.7123-0.7088)
= 0.5534
37
ING.
WILLIAM
LEON V.
DISTRIBUCIÓN
NORMAL
USO LA TABLA N ( 0,1)
(0.56-0.55) (z-0.5)
0.7123-0.7088) (0.71-0.7088)

38. 4. ¿Y si p<0.5?
 Se trata de aplicar otra vez la inversión de antes: tomamos 1-p (que
ya será mayor que 0.5)
y buscamos en la tabla; luego cambiamos el signo al valor hallado.
38
ING.
WILLIAM
LEON V.
DISTRIBUCIÓN
NORMAL
USO LA TABLA N ( 0,1)
Ejemplo:
Se tiene p=0.09.
Tomamos 1-0.09=0.91
Buscar el correspondiente
a 0.91, el cual será un
valor muy próximo a 1.34.
Luego, el valor z será
aproximadamente –1.34.

39. Ejemplo 1
El peso promedio de las personas en una determinada ciudad es
de 140 libras con una desviación estándar de 20 libras
ING. WILLIAM LEON V. 39

40. Paso 1 Interpretar gráficamente el área de interés.
Gráficamente si decimos que a=150 libras, el área de la curva que nos
interesa es la siguiente:
Ejemplo 1
1.-Determine la probabilidad de que una persona tenga un peso
menor o igual a 150 libras
ING. WILLIAM LEON V. 40
140 150

41. Paso 2 - Determinar el valor Z:
Ejemplo 1
50.0
20
140150






X
Z
ING. WILLIAM LEON V. 41
0 0.5

42. Ejemplo 1
Paso 3 - Buscar en la tabla de probabilidades.
Buscamos en la Tabla 1 el valor Z=0.50 y obtenemos el área de 0.6915
ING. WILLIAM LEON V. 42

43. Ejemplo 1
Paso 4 - Hacer la suma o resta de áreas para encontrar la probabilidad
deseada.
En este ejemplo no es necesario realizar ningún cálculo adicional ya que el
área es la misma que se representa en la Tabla
ING. WILLIAM LEON V. 43

44. Paso 1 Interpretar gráficamente el área de interés.
Gráficamente si decimos que a=150 libras, el área de la curva que
nos interesa es la siguiente:
Ejemplo 2
2.- Si deseamos la probabilidad de que una persona, elegida al azar,
tenga un peso mayor o igual a 150 libras
44
140 150

45. Paso 2 - Determinar el valor Z:
Ejemplo 2
50.0
20
140150






X
Z
ING. WILLIAM LEON V. 45
0 0.5

46. Ejemplo 2
Paso 3 - Buscar en la tabla de probabilidades.
Buscamos en la Tabla el valor Z=0.50 y obtenemos el área de 0.6915.
ING. WILLIAM LEON V. 46

47. Ejemplo 2
Paso 4 - Hacer la suma o resta de áreas para encontrar la probabilidad
deseada.
En este ejemplo el área de 0.6915 no representa el área que nos interesa
sino la contraria. En este caso debemos restarle 1 a la probabilidad
encontrada.
1 - .6915 = 0.3085
ING. WILLIAM LEON V. 47
0.6915 0.3085

48. Paso 1 Interpretar gráficamente el área de interés.
Gráficamente si decimos que a=115 libras, el área de la curva que nos
interesa es la siguiente:
Ejemplo 3
3.- Determine la probabilidad de que una persona, elegida al azar, tenga
un peso menor o igual a 115 libras
ING. WILLIAM LEON V. 48
140115

49. Paso 2 - Determinar el valor Z:
25.1
20
140115






X
Z
Ejemplo 3
ING. WILLIAM LEON V. 49
0-1.25

50. Ejemplo 3
Paso 3 - Buscar en la tabla de probabilidades.
Buscamos en la Tabla el valor Z=1.25 y obtenemos el área de 0.8944.
ING. WILLIAM LEON V. 50

51. Ejemplo 3
Paso 4 - Hacer la suma o resta de áreas para encontrar la probabilidad
deseada.
En este ejemplo el área de 0.8944 no representa el área que nos interesa
sino la contraria. En este caso debemos restarle 1 a la probabilidad
encontrada.
1 - 0.8944 = 0.1056
ING. WILLIAM LEON V. 51
-1.25 1.25
0.8944 0.1056

52. Paso 1 Interpretar gráficamente el área de interés.
Gráficamente si decimos que a=115 libras y b=150 libras, el área de la
curva que nos interesa es la siguiente
Ejemplo 4
4.- Si deseamos la probabilidad de que una persona, elegida al azar, tenga un
peso entre 115 y 150 libras.
ING. WILLIAM LEON V. 52
140115 150

53. Paso 2 - Determinar el valor Z
Ejemplo 4
Cuando X=115
25.1
20
140115






X
Z
Cuando X=150 50.0
20
140150






X
Z
ING. WILLIAM LEON V. 53
0 0.5-1.25

54. Ejemplo 4
Paso 3 - Buscar en la tabla de probabilidades.
Buscamos en la Tabla el valor Z=1.25 y obtenemos el área de 0.8944.
Buscamos en la Tabla el valor Z=0.50 y obtenemos el área de 0.6915
ING. WILLIAM LEON V. 54

55. Paso 4 - Hacer la suma o resta de áreas para encontrar la probabilidad
deseada.
El área de 0.6915 se le resta la diferencia de 1-0.8944=0.1056.
0.6915 – (0.1056) = 0.5859
Ejemplo 4
ING. WILLIAM LEON V. 55ING. WILLIAM LEON V.
-1.25 1.25
0.8944 0.1056
a

56. Paso 1 Interpretar gráficamente el área de interés.
Gráficamente si decimos que a=150 libras y b= 160 libras, el área de la
curva que nos interesa es la siguiente:
Ejemplo 5
5.- Determine la probabilidad de que una persona tenga un peso mayor
que 150 y menor o igual a 160libras
ING. WILLIAM LEON V. 56
140 150 160

57. Paso 2 - Determinar el valor Z
Como vimos en el ejemplo 1 y 2 E valor Z cuando X=150 es 0.50.
Para X=160 el valor Z será:
Ejemplo 5
0.1
20
140160






X
Z
ING. WILLIAM LEON V. 57
0 0.5 1.0

58. Ejemplo 5
Paso 3 - Buscar en la tabla de probabilidades.
Buscamos en la Tabla 1 el valor Z=0.50 y obtenemos el área de 0.6915.
Cuando Z = 1.0 el área es de 0.8413.
ING. WILLIAM LEON V. 58

59. Paso 4 - Hacer la suma o resta de áreas para encontrar la probabilidad
deseada.
En este ejemplo se resta el área mayor menos el área menor como se
interpreto en el paso 1.
0.8413 - 0.6915 = 0.1498
Ejemplo 5
ING. WILLIAM LEON V. 59

60. Paso 1 Interpretar gráficamente el área de interés.
Gráficamente si decimos que a=115 libras y b= 130 libras, el área de la
curva que nos interesa es la siguiente:
Ejemplo 6
6.- Determine la probabilidad de elegir a una persona que pese entre 115 y
130 libras.
ING. WILLIAM LEON V. 60
140115 130

61. Paso 2 - Determinar el valor Z
Ejemplo 6
Cuando X=115
para X=130
25.1
20
140115






X
Z
50.0
20
140130






X
Z
ING. WILLIAM LEON V. 61
0-0.5-1.25

62. Ejemplo 6
Paso 3 - Buscar en la tabla de probabilidades.
Para el valor Z=1.25 y obtenemos el área de (1-0.8944.)=0.1056
Para el valor Z = 0.50 el área es de (1-.6915)=.3085
ING. WILLIAM LEON V. 62

63. Paso 4 - Hacer la suma o resta de áreas para encontrar la probabilidad
deseada.
En este ejemplo el área será la diferencia de 0.3085-0.1056=0.2029.
Ejemplo 6
ING. WILLIAM LEON V. 63

64. 1.-En un proceso industrial el diámetro de un
balero es una importante parte del componente.
El comprador establece en sus especificaciones
que el diámetro debe ser 3.0  0.01 cm.
La exigencia es que no se acepta ningún balero
que se salga de esta especificación.
Se sabe que en el proceso, el diámetro de un
balero tiene una distribución normal con una
media de 3,0 y una desviación estándar de
0,005.
En promedio, ¿qué porcentaje de baleros
fabricados se descartarán?
64
ING.
WILLIAM
LEON V.
EJERCICIOS
DISTRIBUCIÓN
NORMAL

65. diámetro : x 3,0  0,01
65
ING.
WILLIAM
LEON V.
   2z2P013,x992,P 
   2zP2zP 
022750,977250, 
95450,
%64,
04550,95450,1


DISTRIBUCIÓN
NORMAL
EJERCICIOS

66. 2.- Un análisis estadístico de 1500 llamadas telefónicas de
larga distancia realizadas desde una gran oficina, indica
que la duración de esas llamadas tiene una distribución
normal con media 129.5 segundos y desviación estándar
30 segundos.
Se desea saber lo siguiente:
66
ING.
WILLIAM
LEON V.
DISTRIBUCIÓN
NORMAL
EJERCICIOS

67. a) ¿Cuál es la probabilidad de que una llamada particular haya durado
entre 89,5 y 169,5 seg?
67
ING.
WILLIAM
LEON V.
1500''30'5.129  N
91648,009176,090824,0
)33,1X(P)33,1X(P
)33,1X33,1(P)5,169X5,89(P



DISTRIBUCIÓN
NORMAL
EJERCICIOS
1.33= 0.90824
-1.33 = 1-0.90824= 0.09176
-1.33 1.33

68. b) ¿Cuántas llamadas duraron menos de 60 seg. o más de
150 seg.?
68
ING.
WILLIAM
LEON V.
   
 
  388)75175,01(01017,01500
)68,0Z(P1()32,2Z(P1500
)68,0Z(P)32,2Z(PN)150X(P)60X(PN



DISTRIBUCIÓN
NORMAL
EJERCICIOS
-2.32 0.68

69. c) ¿Qué porcentaje de llamadas duró entre 100 y 120 seg?
69
ING.
WILLIAM
LEON V.
%09,2110021094,0
21094,016354,037448,0
)98,0Z(P)32,0Z(P
)32,0Z98,0(P)120X100(P




DISTRIBUCIÓN
NORMAL
EJERCICIOS

70. d)¿Cuál debe ser la duración de una llamada particular si
sólo 1% de todas las llamadas son más cortas?
70
ING.
WILLIAM
LEON V.
x
00990,0)z(F32,2
9,59x01,0
30
5,129x
ZP
32,2
30
5,129x
01,0)xX(P






 




DISTRIBUCIÓN
NORMAL
EJERCICIOS

71. Vamos a representar en un sistema de referencia distribuciones
binomiales para distintos valores de n y p=0,3.
71
ING.
WILLIAM
LEON V.
APROXIMACIÓN DE LA
DISTRIBUCIÓN BINOMIAL POR LA NORMAL
DISTRIBUCIÓN
NORMAL

72. Se quiere aproximar estas distribuciones a una distribución normal
estándar :
72
ING.
WILLIAM
LEON V.
DISTRIBUCIÓN
NORMAL
APROXIMACIÓN DE LA
DISTRIBUCIÓN BINOMIAL POR LA NORMAL

73. Se puede apreciar en los gráficos anteriores como a medida que
aumenta n mejora el parecido de las gráficas de barras de las
distribuciones binomiales (discretas) a la gráfica de la
distribución normal estándar (continua),
Pero con el inconveniente de que se produce un
desplazamiento hacia la derecha de la distribución binomial a
medida que aumenta n.
73
ING.
WILLIAM
LEON V.
DISTRIBUCIÓN
NORMAL
APROXIMACIÓN DE LA
DISTRIBUCIÓN BINOMIAL POR LA NORMAL

74. Este inconveniente se evita, corrigiendo la variable
aleatoria, Sj, restando la media (para corregir el
desplazamiento) y dividiendo por la desviación típica (para
ajustar la dispersión) :
74
ING.
WILLIAM
LEON V.
DISTRIBUCIÓN
NORMAL
APROXIMACIÓN DE LA
DISTRIBUCIÓN BINOMIAL POR LA NORMAL
𝑥𝑗 =
𝑆𝑗 − 𝑛𝑝
𝑛𝑝𝑞

75. A la nueva variable, xj le asignamos b(n,p,j).
La representación, para el caso, n = 270 y p=0,3 , del diagrama
de barras de la binomial corregida y de la función de densidad
de la distribución normal estándar es :
75
ING.
WILLIAM
LEON V.
DISTRIBUCIÓN
NORMAL
APROXIMACIÓN DE LA
DISTRIBUCIÓN BINOMIAL POR LA NORMAL

76. Cuando n aumenta, la longitud de las barras disminuye, cosa
lógica, porque la suma de las longitudes de todas las barras es
1 (función de probabilidad definida sobre una variable aleatoria
discreta) ;
Mientras que el área bajo la función de densidad (definida
sobre una variable aleatoria continua) de la distribución normal
estandar, también es 1.
76
ING.
WILLIAM
LEON V.
DISTRIBUCIÓN
NORMAL
APROXIMACIÓN DE LA
DISTRIBUCIÓN BINOMIAL POR LA NORMAL

77. Para ajustar ambas funciones, se tendría que
conseguir que la suma de las áreas de los rectángulos
que forman el diagrama de barras fuera 1.
Como la distancia entre las barras es constante y la
suma de las alturas de todas las barras es 1, el área
bajo los rectángulos del diagrama de barras es igual a
la distancia entre barras consecutivas.
77
ING.
WILLIAM
LEON V.
DISTRIBUCIÓN
NORMAL
APROXIMACIÓN DE LA
DISTRIBUCIÓN BINOMIAL POR LA NORMAL

78. La distancia entre barras consecutivas es :
78
ING.
WILLIAM
LEON V.
DISTRIBUCIÓN
NORMAL
APROXIMACIÓN DE LA
DISTRIBUCIÓN BINOMIAL POR LA NORMAL

79. Por tanto, para que la suma de las áreas de los rectángulos entre
barras consecutivas sea 1, es suficiente multiplicar por la
inversa de la distancia entre barras consecutivas ;
Es decir, a cada xj , le asignamos :
79
ING.
WILLIAM
LEON V.
DISTRIBUCIÓN
NORMAL
APROXIMACIÓN DE LA
DISTRIBUCIÓN BINOMIAL POR LA NORMAL
𝑥𝑗 → 𝑛𝑝𝑞 . 𝑏(𝑛, 𝑝, 𝑗 )

80. Si la representamos para el caso n=270 y p=0,3, junto con la
función de densidad de la distribución normal estándar,
tenemos :
80
ING.
WILLIAM
LEON V.
DISTRIBUCIÓN
NORMAL
APROXIMACIÓN DE LA
DISTRIBUCIÓN BINOMIAL POR LA NORMAL

81.  Una distribución binomial B(n,p) se puede aproximar por una
distribución normal, siempre que n sea grande y p no esté muy
próxima a 0 o a 1.
 La aproximación consiste en utilizar una distribución normal
con la misma media y desviación típica que la distribución
binomial.
 En la practica se utiliza la aproximación cuando :
81
ING.
WILLIAM
LEON V.
DISTRIBUCIÓN
NORMAL
APROXIMACIÓN DE LA
DISTRIBUCIÓN BINOMIAL POR LA NORMAL
𝑛 ≥ 30 ; 𝑛𝑝 ≥ 5 𝑦 𝑛𝑞 ≥ 5

82.  En cuyo caso :
82
ING.
WILLIAM
LEON V.
• Y tipificando se obtiene la normal estándar
correspondiente:
DISTRIBUCIÓN
NORMAL
APROXIMACIÓN DE LA
DISTRIBUCIÓN BINOMIAL POR LA NORMAL
𝑋 ≡ 𝐵 𝑛, 𝑝 ≈ 𝑁(𝜇 = 𝑛𝑝 , 𝜎 = 𝑛 𝑝 𝑞 )
𝑡 =
𝑋 −𝑛𝑝
𝑛𝑝𝑞
≈ 𝑁 ( 0, 1)

83. EJEMPLO 1
 En una distribución B(150, 0.45), calcula P (x ≥ 60).
 Calculamos la media y la desviación típica:
 N(n.p , √(n.p.q) )
 μ=n.p = 150*0.45 = 67.50
 σ=√(n.p.q) = √(150*0.45*0.55) = √ 37.125 = 6,0930
 Miramos los productos n.p y n.q
 n.p = 150*0.45 = 67.5 > 5
 n.q = 150*0.55 = 82.5 > 5
 B(150, 0.45)  N(67.5, 6.093)  N(0,1)
 P(x ≥ 60) = P(x’ ≥ 59.5) = P [ z ≥ (59.5 – 67.5) / 6.0930)] =
 = P ( z ≥ - 1.31) = P ( z ≤ 1.31) = 0.9049 ..
ING. WILLIAM LEON V. 83

84. Ejemplo 2
 El 1% de los autos fabricados por una empresa son defectuosos. En un lote de
5000 autos, ¿cuál es la probabilidad de que haya más de 60 autos
 Es una binomial B(5000, 0.01)
 Calculamos la media y la desviación típica:
 μ=n.p = 5000*0.01 = 50
 σ=√(n.p.q) = √(5000*0.01*0.99) = √ 49.5 = 7.03
 Miramos los productos n.p y n.q
 n.p = 5000*0.01 = 50 > 5
 n.q = 5000*0.99 = 4950 > 5
 B(5000, 0.01)  N(50, 7.03)  N(0,1)
 P(x ≥ 60) = P(x’ ≥ 59.5) = P [ z ≥ (59.5 – 50) / 7.03] =
 = P ( z ≥ 1.35) = 1 - P ( z ≤ 1.35) = 1 – 0.9115 = 0.0885
ING. WILLIAM LEON V. 84

85. Ejemplo 3
 En una urna hay 3 bolas rojas, 2 blancas y 5 verdes. Sacamos una bola, anotamos su color y
la devolvemos a la urna. Si repetimos la experiencias 50 veces, ¿cuál es la probabilidad de
sacar roja en más de 20 ocasiones?.
 Probabilidad de sacar roja: P ( R ) = 3 / (3+2+5) = 0,30
 Éxito: p = 0,30 , donde n = 50 veces que repetimos el experimento.
 Es una binomial B(50, 0’3)
 Podemos calcular P(X>20) por la fórmula, pero sería muy laborioso al tenerla que repetir 20
ó 30 veces, ya que no hay Tablas para n=50.
 Miramos si podemos ajustarla a una normal:
 Calculamos la media y la desviación típica:
 μ=n.p = 50*0.3 = 15
 σ=√(n.p.q) = √(50*0.30*0.70) = √ 10.50 = 3.24
 Miramos los productos n.p y n.q
 n.p = 50*0.30 = 15 > 5
 n.q = 50*0.70 = 35 > 5
 Al ser ambos mayores que 5 podemos realizar tal ajuste.
 B(50, 0.30)  N(15 , 3.24)  N(0,1)
 P(x > 20) = P(x’ ≥ 20.5) = P [ z ≥ (20.5 – 15) / 3.24] =
 = P ( z ≥ 1.6975) = 1 - P ( z ≤ 1.70) = 1 – 0.9554 = 0.0446
ING. WILLIAM LEON V.
85

86. FIN
wjleonv@yahoo.com