1. Unidad 3.- Álgebra de Boole
ALGEBRA DE BOOLE
En 1847 un matemático inglés autodidacta llamado George Boole (1815 – 1864), desarrolla unos
símbolos matemáticos con unas reglas que pueden ser aplicadas en problemas de lógica deductiva.
Hacia el año 1854, publicó un libro en el que explicaba cómo convertir las proposiciones lógicas en
símbolos matemáticos y cómo aplicar ciertas reglas muy simples para determinar la verdad o falsedad
de proposiciones relacionadas entre sí.
La matemática desarrollada por Boole se conoce en la actualidad como álgebra booleana,
álgebra de Boole ó lógica simbólica.
Después de su muerte, algunos matemáticos perfeccionaron su sistema para hacerlo más
utilizable, nos interesa particularmente la aplicación que en 1938 ideó el científico Claude E. Shannon.
En su tesis de graduación del Instituto Tecnológico de Massachuset, Shannon demostró cómo podía
aplicarse el álgebra de Boole al diseño y la simplificación de los relés y circuitos de conmutación que
se utilizan en los complejos circuitos que forman las computadoras electrónicas, pues permite
simplificar las conexiones físicas reduciendo el hardware y consiguientemente el espacio necesario
para alojarlo.
En este tema nos ocuparemos brevemente de esta lógica de la conmutación, como podríamos
llamarla, pero limitándonos a los circuitos de conmutación y las compuertas (llamadas también
“puertas lógicas”). Nos interesa la lógica del circuito, no la electrónica.
No obstante, los conceptos que expondremos a continuación son los mismos que se aplican a la
película delgada, los núcleos magnéticos, los transistores y demás componentes de los circuitos
empleados en las computadoras.
Para facilitar la discusión de los circuitos de conmutación, recurriremos a la siguiente notación:
Circuito eléctrico; la flecha indica el sentido de
circulación de la corriente.
Interruptor abierto, o en la posición “desconexión”
Interruptor cerrado, o en la posición “conexión”
Ejemplo 1:
El interruptor está abierto (desconexión). No hay
paso de corriente
El interruptor está cerrado (conexión). Hay paso de
corriente
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2. Unidad 3.- Álgebra de Boole
CIRCUITOS EN SERIE Y CIRCUITOS EN PARALELO1
Circuitos en serie
Todos los interruptores de un circuito en serie deben estar cerrados para que pueda circular la corriente:
A B
Tanto A como B deben estar cerrados para que
pueda circular la corriente por este circuito
Los tres interruptores X, Y, y Z deben estar
X Y Z
cerrados para que pueda circular la corriente por
este circuito.
Circuitos en paralelo
En los circuitos en paralelo basta con que uno de los interruptores esté cerrado para que pueda circular
la corriente:
A
En este circuito habrá flujo o paso de corriente si A,
B
o B, o ambos, están cerrados.
X
Y También en este circuito circulará la corriente si
por lo menos uno de los interruptores X, Y, y Z está
Z
cerrado.
1
No se indicarán las fuentes reales de corriente. Para facilitar la explicación, supongamos que la fuente de corriente se
encuentra a la izquierda y que la dirección del flujo o paso de corriente es de izquierda a derecha.
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3. Unidad 3.- Álgebra de Boole
Uso de tablas
Los resultados del ejemplo de circuito en serie, pueden presentarse de manera sencilla y clara
recurriendo a una tabla como la siguiente.
A B CORRIENTE
Abierto Abierto No pasa
Abierto Cerrado No pasa
Cerrado Abierto No pasa
Cerrado Cerrado Pasa
Introduzcamos ahora la siguiente notación:
0 significa interruptor abierto o “no circula corriente”.
1 significa interruptor cerrado o “circula la corriente”.
● representa la operación lógica “Y”. Por ejemplo, A ● B se lee “A Y B”.
Con esta notación, la tabla anterior se simplifica del modo siguiente:
A B A●B
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
Esta tabla equivale a la tabla aritmética
A●B
0●0=0
0●1=0
1●0=0
1●1=1
Así:
A ● B = 1 sólo cuando A = 1 y B = 1.
A ● B = 0 en cualquier otro caso.
Es preciso recordar que en un circuito en serie con dos interruptores, solo circula corriente
cuando los dos interruptores están cerrados. En cualquier otro caso, no hay paso de corriente.
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4. Unidad 3.- Álgebra de Boole
Pasemos ahora al caso de dos interruptores en paralelo y construyamos la tabla
A B CORRIENTE
Abierto Abierto No pasa
Abierto Cerrado Pasa
Cerrado Abierto Pasa
Cerrado Cerrado Pasa
O, con la notación ya introducida,
A B A+B
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
Usando el signo “+” para representar la operación lógica “O”, A + B se lee “A O B”, y tenemos
la siguiente tabla aritmética:
A+B
0+0=0
0+1=1
1+0=1
1+1=1
En otros términos:
A + B = 1 si o A es 1, o B es 1, o si ambos son 1.
A + B = 0 solo si tanto A como B = 0.
Aunque el resultado 1 + 1 = 1 pueda parecer extraño, es necesario tener presente que no se trata
de una adición aritmética, sino de la operación lógica O. Con esta observación, el resultado será más
fácil de aceptar.
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5. Unidad 3.- Álgebra de Boole
ROTULACIÓN Y REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE CIRCUITOS LÓGICOS2
Intentemos ahora rotular y representar gráficamente algunos circuitos simples de conmutación.
Rotule el circuito de la derecha indicando
en qué condiciones circulará la corriente. A B
Sólo habrá corriente si A y B están
cerrados. Luego el “rótulo” correspondiente
es A ● B.
C
Rotule el circuito de la derecha. En este
caso, el rótulo es C + F, puesto que habrá
corriente si cualquiera de los dos F
interruptores está cerrado.
Rotule el circuito de la derecha. El rótulo es
en este caso, , puesto que habrá corriente si A B
A y B están cerrados, o si C está cerrado.
Luego el rótulo es: (A ● B), C.
C
Lo que se escribe:
A●B+C
Rotule el circuito de la derecha. Obsérvese
Q
que el interruptor P debe estar
necesariamente cerrado para que circule la
corriente. De los otros interruptores (Q y R), P
R
basta con que uno esté cerrado. Luego el
rótulo es: P y (Q o R).
Que se escribe:
P ● (Q + R)
Adviértase también que en esta expresión es necesario utilizar paréntesis, porque la jerarquía de
las operaciones es la misma que en aritmética: multiplicación antes que la adición (Y antes que
O). Si no usáramos paréntesis y escribiéramos P ● Q + R, estaríamos rotulando el circuito
siguiente:
2
El rótulo ha de indicar en todos los casos las condiciones en que hay corriente.
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6. Unidad 3.- Álgebra de Boole
P Q
R
Que no es el que teníamos originalmente.
Veamos otros ejemplos de circuitos combinados (serie – paralelo)
Ejemplo: Rotule
A C
B D
Siguiendo el camino de la corriente, observamos que para que ésta pueda circular, deben
cumplirse dos condiciones necesarias:
1. Por lo menos uno de los interruptores A, B debe estar cerrado.
2. Por lo menos uno de los interruptores C, D debe estar cerrado.
Luego lo que necesitamos es (A o B) y (C o D); es decir, el rótulo es:
(A + B) ● (C + D)
Ejemplo: Dibuje un circuito que represente la expresión booleana (A ● B) ● (C + D).
(A ● B) ● (C + D)
⇓ ⇓ ⇓
y C
A B
D
El rótulo original pudo haberse escrito A ● B ● (C + D).
C
A B
D
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7. Unidad 3.- Álgebra de Boole
Ejemplo: Dibuje un circuito que represente la expresión booleana (A + B + C) + (X ● Y)
A
B
C
D
X Y
El rótulo original pudo haberse escrito A + B + C + X ● Y.
Ejercicios de práctica:
1. Forme la tabla binaria correspondiente a tres interruptores en serie.
2. Forme la tabla binaria correspondiente a tres interruptores en paralelo.
3. Ilústrase a continuación una computadora muy simple, pero capaz de responder a la pregunta:
“¿Están los dos interruptores cerrados?”. Si la respuesta es “sí”, se enciende la lámpara. Si la
respuesta es “no”, la lámpara permanece apagada. Dibuje el circuito de una computadora de
este tipo capaz de responder a la pregunta “¿Está por lo menos uno de tres interruptores
cerrado?”. Indique cómo se daría la respuesta.
BATERÍA
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8. Unidad 3.- Álgebra de Boole
4. Rotule
D
A B C
E F
5. Represente gráficamente (A + B) + (C ● D).
6. Rotule
A
B C
D E F
7. Rotule
B
C
A
D E
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9. Unidad 3.- Álgebra de Boole
8. Represente gráficamente (A + B + C) ● (D + E ● F) + G.
9. Represente gráficamente A ● (B ● D + E + C● F).
10. Represente gráficamente X + Y + W ● Q + R.
11. Rotule
E
A F
C
B D
12. Represente gráficamente (A + B + C) ● (D ● E + F) ● H + I.
13. Rotule
B C D
A G
E
F
14. Calcule el valor de cada una de las expresiones Booleanas siguientes:
a. 1 + 0 + 0 ● 1
b. 1 ● 1 ● 1
c. 1 + (1 ● 0 ● 1)
d. 0 ● (1 + 1)
e. 1 ● (0 + 1 ● 0 + 0)
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10. Unidad 3.- Álgebra de Boole
DEFINICIÓN DE ÁLGEBRA DE BOOLE
Un conjunto cualquiera A en el que se han definido dos operaciones binarias que llamaremos suma
lógica ( + ) y un producto lógico ( ● ), una operación unitaria que llamaremos complemento ( ∼ ), se
dice que es un Álgebra de Boole si se cumplen las siguientes propiedades axiomáticas:
A1. Conmutativa: para todo a y b que son elementos del conjunto A; la suma de a + b es igual
que b + a de la misma manera que el producto de a • b es igual a b • a.
∇ a, b ∈ A, a + b = b + a y a • b = b • a
A2. Identidad: Los elementos neutros de ( + ) y ( ● ) son, respectivamente, el elemento cero (0) y
el elemento (1).
∇ a ∈ A, a + 0 = a y a • 1 = a
A3. Distributiva:
∇ a, b, c ∈ A, a + (b • c) = (a + b) • (a + c) y a • (b + c) = (a • b) + (a • c)
A4. Complementario:
∇ a ∈ A, a + ∼a = 1 y a • ∼a = 0
Comentarios importantes
a) De los axiomas anteriores se deducen las siguientes tablas para las operaciones ( + ) y
( ● ).
Suma lógica Producto lógico
(+) (●)
+ 0 1 ● 0 1
0 0 1 0 0 0
1 1 1 1 0 1
Así
0+0=0 0•0=0
0+1=1 0•1=0
1+0=1 1•0=0
1+1=1 1•1=1
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11. Unidad 3.- Álgebra de Boole
b) Para que el Álgebra de Boole anterior sea aplicable a circuitos lógicos se define un conjunto
A de dos elementos como A = {0, 1}, con las operaciones ( + ) y ( ● ). En consecuencia, las
variables a, b, c,… que utilizamos son variables binarias, y sólo pueden tomar un valor de
entre dos posibles valores que son “0” y “1”.
Al Álgebra de Boole de varias variables binarias se le denomina Álgebra de
Boole binaria. A partir de ahora supondremos que seguimos trabajando con esta álgebra.
c) La operación producto lógico ( ● ) muchas veces se omitirá, dejándose sobreentendida si se
escriben varias variables seguidas; así por ejemplo, son equivalentes las expresiones
siguientes:
a • (b + c) = a • b + a c ⇔ a (b + c) = a b + a c
d) Se supondrá, al igual que en el álgebra ordinaria, que la operación ( ● ) es prioritaria sobre
la ( + ), salvo que esta prioridad se altere por medio de los paréntesis. Así:
es lo mismo que a + (b • c)
a • (b + c)
y es diferente a (a + b) • c
Teoremas
Por medio e los axiomas anteriores, se pueden demostrar los siguientes teoremas dados en la tabla.
Teorema 1: Dualidad
Se puede pasar de una propiedad a otra análoga (dual) intercambiando entre sí las operaciones ( + )
y ( ● ).
Así por ejemplo, la dual de a + 0 = a es a ⋅ 1 = a
Esto es lógico, pues si hemos demostrado una propiedad, la dual se puede demostrar haciendo los
pasos duales de la citada demostración.
Suma Producto
Teorema 2: Idempotencia a+a=a a•a=a
Teorema 3: Identidad de los elementos 0 y 1 a+1=1 a•0=0
Teorema 4: Absorción a + (a • b) = a a • (a + b) = a
Teorema 5: Asociatividad a + (b + c) = (a + b) + c) a • (b • c) = (a • b) • c)
Teorema 6: Complementarios de 0 y 1 ~0=1 ~1=0
Teorema 7: Involución (o doble complemento) ~ (~ a ) = a
Teorema 8: Leyes de Morgan ~ (a + b) = ~ a • ~ b ~ (a • b) = ~ a + ~ b
Teorema 9: No tiene un nombre especial a+~a•b=a+b a • (~ a + b ) = a • b
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12. Unidad 3.- Álgebra de Boole
Como ejemplo, vamos a demostrar a través de axiomas uno de estos teoremas:
Teorema 2: Idempotencia a + a = a
Demostración:
Partiremos del segundo miembro de la igualdad para llegar al primer miembro, aplicando los
axiomas del Álgebra de Boole.
Pondremos a la izquierda los pasos de la demostración y a la derecha el axioma o teorema
aplicado.
a= Por A2): a+0=a
=a+0= Por A4): a+~a=0
=a+a•~a Por A3): a + (b • c) = (a + b) • (a + c)
= (a + a) • (a + ~ a) = Por A4): a+~a=1
= (a + a) • 1 = Por A2): a•1=a
=a+a
Con lo que queda demostrada la idempotencia de la suma lógica.
RELACIÓN ENTRE ÁLGEBRA DE CONJUNTOS, ÁLGEBRA DE PROPOSICIONES Y ÁLGEBRA DE BOOLE BINARIA
Hemos obtenido en los temas anteriores los siguientes resultados:
• El conjunto de las partes de un conjunto tiene estructura de álgebra de Boole, con las
operaciones unión e intersección, y las propiedades de la complementación.
• El conjunto de las proposiciones lógicas tiene estructura de Álgebra de Boole con los
conectivos disyunción, conjunción y negación.
• Las equivalencias entre las operaciones de estos tres álgebras se ponen de manifiesto en la
siguiente tabla.
Álgebra de conjuntos Álgebra de proposiciones Álgebra de Boole
Unión (∪ ) Disyunción (∨ ) Suma (+)
Intersección (∩) Conjunción (∧) Producto (•)
Conjunto vacío (∅ ) Falso (F) Elemento 0 (0)
Conjunto universal (U) Verdadero (V) Elemento 1 (1)
Complemento ( ~ ) Negación (~) Complementario (~)
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13. Unidad 3.- Álgebra de Boole
Ejemplo: Demostrar que
a+b+1=1 y a•b•0=0
a) Por tablas de valores.
b) Por axiomas y teoremas.
a) Por tablas de valores.
Construiremos las tablas de valores por el procedimiento contrario al empleado en el álgebra de
proposiciones, colocando primeramente los “0” y luego los “1” en lugar de las “V” y las “F”.
a b a+b (a + b) + 1 = 1 a b a•b a•b•0=0
0 0 0 1 0 0 0 0
0 1 1 1 0 1 0 0
1 0 1 1 1 0 0 0
1 1 1 1 1 1 1 0
Donde se ve que siempre vale 1, luego: Donde se ve que siempre vale 0, luego:
a+b+1=1 a•b•0=0
b) Por axiomas y teoremas.
• a+b+1= Asociativa
= ( a + b )+ 1 = A + 1 = 1 (siendo A = a + b)
=1
• a•b• 0= Asociativa
=(a•b)•0= A ⋅ 0 = 0 (siendo A = a • b)
=0
Nótese que ambas demostraciones son análogas debido a la dualidad existente entre las operaciones.
FUNCIONES DE BOOLE
Veamos ahora otras técnicas como aplicación de las funciones de Boole, que principalmente se usan en
el diseño y simplificación de circuitos lógicos digitales en los que está basada la arquitectura básica de
la computadora.
Estas técnicas permiten simplificar las funciones booleanas y, de esta forma, conducen luego a
circuitos digitales más sencillos y, por tanto, a circuitos lógicos que ocupan menos espacio (es decir,
permiten la construcción de computadoras de menor tamaño).
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14. Unidad 3.- Álgebra de Boole
Relación entre estados eléctricos y estados lógicos
Supongamos que estamos experimentando con un
CIRCUITO
circuito que posee dos entradas y una salida.
Se obtienen diferentes salidas para unos
determinados valores en las entradas, que sólo responden con tensiones eléctricas de 0 y 10 voltios; por
tanto, son señales digitales que tienen dos estados. De esta forma hemos obtenido las tensiones
eléctricas de la tabla siguiente:
Voltaje A Voltaje B Voltaje C
0 voltios 0 voltios 0 voltios
0 voltios 10 voltios 10 voltios
10 voltios 0 voltios 10 voltios
10 voltios 10 voltios 10 voltios
Esta es la situación real, pero conviene olvidarse por ahora de los estados eléctricos y trabajar
con estados lógicos de “0” y “1”.
Tomando lo que se denomina lógica positiva se asocia:
• La tensión más alta con el estado lógico “1”.
• La tensión más baja con el estado lógico “0”.
Si se hiciera la asociación contraria, estaríamos usando lógica negativa. Suponiendo que
usamos lógica positiva, los valores de las tensiones eléctricas se representan en forma de estados
lógicos en la siguiente tabla:
A B C
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
Y, como se ve, la salida C obtiene la suma lógica de las entradas A y B, es decir, que la función
que realiza ese circuito es
C=A+B
Que en electrónica digital se corresponde con la puerta OR
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15. Unidad 3.- Álgebra de Boole
En electrónica digital se dispone de las puertas elementales que se detallan en la tabla siguiente,
con las que es posible trasladar cualquier función de Boole a un circuito electrónico.
Puerta Función Descripción
NOT ~A Complemento
AND A•B Producto
OR A+B Suma
XOR A • ~B + ~A • B Suma exclusiva
NAND ~( A • B ) Complemento del producto
NOR ~( A + B ) Complemento de la suma
Nótese que las variables binarias se representan con letras mayúsculas.
COMPUERTAS
Muchas de las funciones básicas de las unidades aritméticas y de control de las computadoras se
realizan utilizando circuitos formados por combinaciones de compuertas3. Estas funciones incluyen:
1. La suma de números binarios.
2. La codificación binaria de números decimales.
3. La decodificación de binario a decimal.
4. La comparación de dos números.
5. La sincronización.
6. La cuenta.
7. El almacenamiento de resultados aritméticos.
Cada compuerta es un circuito que acepta una entrada o más, en forma de impulso (1) o impulso
invertido (0), y proporciona una salida del mismo tipo, es decir, impulso o impulso invertido (1 o 0).
ENTRADAS CIRCUITO SALIDA
Compuerta Y (AND)
La compuerta Y equivale a un circuito en serie. Produce como salida un impulso (1), si hay
impulso en todas sus entradas. El símbolo que sigue es el que se usa corrientemente para representar
una compuerta Y con dos entradas.
A
A•B
B
3
La compuerta constituye el circuito lógico elemental.
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16. Unidad 3.- Álgebra de Boole
Compuerta O (OR)
La compuerta O equivale a un circuito en paralelo, pues da como salida un impulso cuando
cualquiera de sus entradas es un impulso. El impulso utilizado normalmente para representar una
compuerta O con dos entradas es el que figura a continuación.
A
A+B
B
Inversor (Complemento)
El inversor da como salida el estado opuesto al de entrada. Si la entrada es un impulso, la salida
es un impulso invertido y viceversa. Simbólicamente, decimos que a la entrada A corresponde la salida
~A. ~A representa A invertido, es decir, el complemento de A. El símbolo es el que aparece a
continuación.
A ~A
Compuerta NO-Y (NAND)
Llámase compuerta NO-Y al conjunto formado por una compuerta Y seguida de un inversor, tal
como se ilustra a continuación.
A A•B
~ (A • B)
B
El símbolo más comúnmente usado para esta compuerta es el siguiente.
A
~ (A • B)
B
Le corresponde la tabla binaria
Y NO-Y
⇓ ⇓
A B A⋅B ~(A ⋅ B)
0 0 0 1
0 1 0 1
1 0 0 1
1 1 1 0
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17. Unidad 3.- Álgebra de Boole
Compuerta NI (NOR)
La compuerta NI está formada por una compuerta O seguida de un inversor.
A A+B
~(A + B)
B
El símbolo usual es
A
~(A + B)
B
Le corresponde la tabla binaria
O NI
⇓ ⇓
A B A+B ~(A + B)
0 0 0 1
0 1 1 0
1 0 1 0
1 1 1 0
Compuerta O EXCLUSIVA (XOR)4
Tratándose de dos entradas, la compuerta O EXCLUSIVA queda representada por la expresión
booleana A ⋅ ~B + ~A ⋅ B, que corresponde a.
A A • ~B
B
A • ~B + ~A • B
A
B
~A • B
B
4
XOR es la abreviatura de exclusive OR, nombre en inglés de este tipo de compuerta.
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18. Unidad 3.- Álgebra de Boole
Simplificando
A • ~B
A
B
A • ~B + ~A • B
A
B
~A • B
Le corresponde la tabla binaria
XOR
⇓
A B ~A ~B A • ~B ~A • B A • ~B + ~A • B
0 0 1 1 0 0 0
0 1 1 0 0 1 1
1 0 0 1 1 0 1
1 1 0 0 0 0 0
Si describimos la tabla, podemos decir, si A o B (pero no ambos) es un impulso, el resultado es también
un impulso. En cualquier otro caso, la salida es un impulso invertido.
Ejercicios de práctica:
1. Represente una compuerta Y con tres entradas. Dibuje también un circuito en serie sencillo con
tres interruptores.
2. Represente una compuerta O con tres entradas. Forme la correspondiente tabla binaria.
3. forme un atabla binaria para mostrar el efecto del inversor sobre un impulso y sobre un impulso
invertido.
4. Represente una compuerta NO-Y de tres entradas y forme su tabla binaria.
5. Represente una compuerta NI de tres entradas y forme su tabla binaria.
6. Represente una compuerta O de dos entradas con sendos inversores intercalados. Forme la tabla
binaria correspondiente.
7. Represente una compuerta Y de dos entradas con sendos inversores intercalados. Forme la tabla
binaria correspondiente.
8. Represente gráficamente (A + B) • (C + D)
9. Represente gráficamente (A + B) • C
10. Represente gráficamente (A • B) + (C • D)
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