Se describen las principales herramientas matemáticas aplicadas en la TCA.

1. FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS DE
LA TCA
Jorge Luis Jaramillo
Teoría del Control Automático
PIET EET UTPL marzo 2012

2. Créditos
Esta presentación fue preparada estrictamente como material de apoyo a la jornada presencial
del curso de Teoría del Control Automático, del programa de Ingeniería en Electrónica y
Telecomunicaciones que se imparte en el Universidad Técnica Particular de Loja.
La secuencia de contenidos corresponde al plan docente de la asignatura, y, para la elaboración
se han utilizado aportes propios del docente, y, una serie de materiales y recursos disponibles
gratuitamente en la web.

3. Contenidos
•Linealización de sistemas
•Transformada y antitransformada de la Laplace
•Integración de una ecuación diferencial
•Convolución de dos funciones
•Diagramas de bloques
•Modelamiento de sistemas físicos
•Ejemplo del proceso de modelamiento
•Discusión y análisis

4. Contenidos
•Linealización de sistemas

5. Linealización de sistemas
La teoría desarrollada para el
diseño de sistemas de control, en
su mayor parte, se basa en el
empleo de modelos matemáticos
lineales del proceso que se desea
controlar
Sin embargo, son muchos los
sistemas reales que exhiben una
conducta no lineal, por lo que es
necesario la linealización de
sistemas.
Con esta modificación, el diseño
del sistema de control se
aproxima al flujograma:
Flujograma tomado de documentación de soporte del curso de Análisis Dinámico de Sistemas. Universidad de Oviedo. 2003

6. Linealización de sistemas
Supongamos que una cierta variable y depende de alguna otra variable x a través de
alguna función f(x). Se dice que la relación entre las variables y y x es lineal si la
función f(x) es la ecuación de la línea recta y = mx + b . Si la ecuación no cumple con
la condición anterior, entonces la ecuación es no lineal.
La linealización de una ecuación, alrededor de un punto, utiliza la serie de Taylor y el
concepto de estados estacionarios.
La serie de Taylor de una función que tiene grado de derivación f (n)y en las
proximidades del punto a se define como :
donde es n! es el factorial, f (n) es la enésima derivada, y, a el punto en el que se quiere
calcular la serie.

7. Linealización de sistemas
Linealizar una
ecuación no lineal
implica
“reemplazarla”
por una ecuación
lineal. Este
reemplazo es local,
es decir válido en
una región próxima
a un punto llamado
de equilibrio.
Gráfico tomado de Documentación de soporte del curso de Análisis Dinámico de Sistemas. Universidad de Oviedo. 2003

8. Linealización de sistemas
Se dice que un sistema físico está en estado estacionario cuando las características del
mismo no varían con el tiempo. Desde esta perspectiva, un sistema estará en estado
estacionario cuando sus variables descriptivas no cambien.
Desde la perspectiva matemática, un sistema físico se encuentra en estado
estacionario si las derivadas de las variables que lo describen son igual a cero.

9. Contenidos
•Transformada y antitransformada de la Laplace

10. Transformada y antitransformada de Laplace
La transformada de Laplace de una función f(t), definida para todos los números reales
, es la función F(s) definida por:
st
L f t F s f t e dt
0
siempre y cuando la integral esté definida. Así por ejemplo, la transformada de f(t)=e
-t será:
t s 1t 1 s 1t 1
Le e te st
dt e dt e
0 0 s 1 0 s 1

11. Transformada y antitransformada de Laplace
Esta transformada integral tiene una serie de propiedades que la hacen útil en el
análisis de sistemas lineales. Una de las ventajas más significativas radica en que la
integración y la derivación se convierten en operaciones de multiplicación y de división.
Esto transforma las ecuaciones diferenciales e integrales en pseudo ecuaciones
polinómicas, mucho más fáciles de resolver.

12. Transformada y antitransformada de Laplace
Tabla de transformadas básicas de Laplace

13. Transformada y antitransformada de Laplace
Tabla de transformadas básicas de Laplace

14. Transformada y antitransformada de Laplace
Sea F(s) la transformada de Laplace de una función f (t). La transformada inversa de
Laplace o antitransformada de F(s), se calcula como:
c j
1 1
L F s f t F s e st ds
2j c j
Generalmente no se resuelve esta ecuación, sino que se busca la respuesta utilizando
tablas y el método de las fracciones parciales.

15. Contenidos
•Integración de una ecuación diferencial

16. Integración de ecuaciones diferenciales
Las ecuaciones diferenciales se pueden integrar utilizando los métodos numéricos
habituales, o, aplicando la transformada de Laplace.
El procedimiento para integrar ecuaciones diferenciales mediante la transformada de
Laplace consiste en:
• Aplicar la transformada de Laplace a cada miembro de la ecuación diferencial, teniendo
en cuenta los valores de las condiciones iniciales.
•Despejar la transformada de la solución, y(s) .
•Calcular la transformada inversa de Laplace

17. Contenidos
•Convolución de dos funciones

18. Convolución de dos funciones
En matemáticas una convolución es un operador matemático que transforma dos
funciones f y g en una tercera función que en cierto sentido representa la magnitud en
la que se superponen f y una versión trasladada e invertida de g.
Se puede considerar que una convolución es un tipo muy general de promedio móvil.
La convolución de f y g se denota f * g. Se define como la integral del producto de
ambas funciones después desplazada una distancia τ.

19. Convolución de dos funciones
Gifs tomados de wikipedia

20. Contenidos
•Diagramas de bloques

21. Diagramas de bloque
Una vez obtenido el modelo matemático de un proceso, es posible determinar una
función matemática que ligue a las variables de entrada y a las de salida.
La relación entre la variable de salida y la de entrada, se denomina función de
transferencia W.
La función de transferencia servirá para caracterizar el comportamiento de un
sistema.
A pesar de la diversidad de sistemas existentes, estos se pueden representar a través
de unos pocos sistemas típicos, cuyas funciones de transferencia se denominan
eslabones dinámicos tipo.
Los eslabones dinámicos tipo son:
• Eslabón ainercial
• Eslabón aperiódico
• Eslabón integrador
• Eslabón diferenciador
• Eslabón oscilador

22. Diagramas de bloque
El modelo matemático de un
sistema, en el cual la
relación entre la salida y la
entrada es un coeficiente de
proporcionalidad, se
denomina eslabón ainercial.
eslabón ainercial

23. Diagramas de bloque
Se denomina eslabón aperiódico
al modelo matemático de un
sistema, en el cual la relación
entre la salida y la entrada
corresponde a una ecuación
diferencial de primer grado.
eslabón aperiódico

24. Diagramas de bloque
En un eslabón integrador, la señal de
salida es el resultado de integrar la señal
de entrada.
Esta condición hace que un eslabón
integrador no tenga régimen
establecido de trabajo.
Además un eslabón integrador tiene la
propiedad de recordar la señal de salida.
eslabón integral

25. Diagramas de bloque
En un eslabón diferenciador, la señal de
salida es el resultado de derivar la señal
de entrada. Existen dos tipos de
eslabones diferenciadores: el ideal y el
real. La diferencia entre ellos radica en la
“anulación teórica” de la inercia del
proceso en el primero.
eslabón diferencial

26. Diagramas de bloque
En un eslabón oscilante, la señal de salida
y la señal de entrada están relacionadas
a través de una ecuación diferencial de
segundo grado.
eslabón oscilante

27. Funciones de transferencia de sistemas complejos
Los sistemas complejos pueden ser modelados utilizando los eslabones típicos,
interconectados entre sí a través de una relación funcional.
Las formas clásicas de interconexión de eslabones típicos son:
• Secuencial
• Paralela
• Mixta
La función de transferencia de un sistema conformado por eslabones tipo
conectados en forma secuencial, es el producto de las funciones de transferencia de
cada eslabón.
W1 W2 Wn

28. Funciones de transferencia de sistemas complejos
La función de transferencia de un sistema conformado por eslabones tipo
conectados en forma paralela, es la suma algebraica de las funciones de
transferencia de cada eslabón.
W1
W2
Wn

29. Retroalimentación
La retroalimentación (realimentación, feedback) es un proceso por el que una cierta
proporción de la señal de salida de un sistema se redirige de nuevo a la entrada.
La retroalimentación puede ser positiva o negativa.
La retroalimentación positiva es un mecanismo de realimentación por el cual una
variación en la salida produce un efecto dentro del sistema, que refuerza esa tasa
de cambio. Por lo general esto hace que el sistema no llegue a un punto de
equilibrio si no mas bien a uno de saturación. Es un estimulo constante.
+ Wd
Wr

30. Retroalimentación
La retroalimentación negativa es la más utilizada. Se dice que un sistema está
retroalimentado negativamente cuando tiende a estabilizarse.
- Wd
Wr

31. Contenidos
•Modelamiento de sistemas físicos

32. Modelamiento de sistemas físicos
•Introducción
•Estudio detallado del sistema físico
•Identificación de variables (magnitudes) para el modelo
•Formulación de suposiciones
•Formulación de ecuaciones de equilibrio
•Obtención del modelo matemático
•Calibración del modelo
•Simulación
•Análisis y discusión

33. Modelamiento de sistemas físicos
•Introducción

34. Introducción
Modelar un sistema físico, implica obtener un modelo matemático tal que, en él se pueda
evaluar el comportamiento del sistema original en distintas circunstancias, con un margen
de error aceptable.
El modelamiento de un sistema físico, independientemente de su naturaleza, se puede
aproximar a una metodología de 7 pasos:
• estudio detallado del sistema y determinación de los procesos de transformación de energía.
• identificación de las variables (magnitudes) que serán consideradas en el modelo.
• formulación de las suposiciones (condiciones teóricas) necesarias para reducir la complejidad
del modelo, dentro del margen de error definido como aceptable.
• formulación de las ecuaciones de equilibrio (de transformación de energía).
• obtención del modelo matemático
• calibración del modelo
• simulación (resolución) del comportamiento del sistema, en base a las ecuaciones de equilibrio.
Como ejemplo de la aplicación de la metodología propuesta, se obtendrá el modelo
matemático de un generador de CD.

35. Modelamiento de sistemas físicos
•Estudio detallado del sistema físico

36. Estudio detallado del sistema físico
Un generador eléctrico es una máquina eléctrica
capaz de mantener una diferencia de potencial
eléctrico entre dos de sus puntos, llamados polos,
terminales o bornes.
Los generadores eléctricos son máquinas
eléctricas destinadas a transformar la energía
mecánica en eléctrica. Esta transformación se
consigue a través de una fuerza electromotriz
(fem), de acuerdo a los principios de Lenz y
Faraday.

37. Estudio detallado del sistema físico
El generador recibe energía mecánica a través
del rotor, y, entrega energía eléctrica a través de
los bornes.
Constructivamente, un generador posee dos
segmentos claramente definidos: la armadura y el
rotor.
Funcionalmente un generador consta de dos
componentes: un componente mecánico y otro
eléctrico.

38. Modelamiento de sistemas físicos
•Identificación de variables (magnitudes) para el modelo

39. Identificación de variables (magnitudes) para el modelo
En los generadores eléctricos de CD habituales, la velocidad de rotación en el rotor se
mantiene constante, y, se regula la intensidad del campo magnético de excitación (a
través de la variación del voltaje aplicado a la bobina del estator), logrando con esto
la variación del voltaje a la salida de los bornes.
Este criterio de control, permite identificar al menos tres magnitudes que intervienen
en el proceso de transformación de energía mecánica en energía eléctrica: la
velocidad de rotación del rotor (rad/s), el voltaje aplicado a la bobina de excitación
del estator (v), y, la fuerza electromotriz generada en la salida de los bornes (V). A
estas magnitudes sumaremos otras durante el proceso de matematización de las
ecuaciones de equilibrio.

40. Identificación de variables (magnitudes) para el modelo
z
La teoría del control automático propone que x y
para la modelización de un sistema físico, este
pueda ser concebido como una caja negra (de Plant
la que se desconoce los procesos internos),
sobre la que actúan tres tipos de variables:
• Variables de entrada, que inician el proceso
de transformación de energía
• Variables de salida, que son el resultado de x, señal de entrada o la variable
la transformación de energía reguladora
• Variables de interferencia, que representan a y, señal de salida o variable
señales no previstas o que no forman parte regulada
del proceso tecnológico z, posibles señales de interferencia

41. Identificación de variables (magnitudes) para el modelo
Considerando el criterio de control,
identificaremos con variable de entrada al
voltaje aplicado en la bobina de excitación
Vb(t), y, como variable de salida a la fuerza
electromotriz generada en los bornes Er(t)
Con esta identificación de variables, una
primera aproximación al modelo matemático
del generador CD se obtiene del esquema
equivalente conformado por dos circuitos: uno
para el sistema de excitación, y, otro para la
generación de fuerza electromotriz.

42. Modelamiento de sistemas físicos
•Formulación de suposiciones

43. Formulación de suposiciones
Una suposición es una condición teórica que se adopta con la intención de
simplificar los procesos de transformación de energía en el sistema o para minimizar
la influencia de los elementos no lineales del sistema.
Así, para un generador de CD ,es importante pensar en que:
• No existe histéresis magnética en los circuitos magnéticos
• La relación entre flujo magnético y fuerza de imantación es lineal
• La reacción del armado del rotor esta compensada
• La inducción en la bobina del rotor es nula
• Los parámetros eléctricos de los embobinados son constantes en el tiempo
• La carga del generador es pasiva pura
• La velocidad de rotación del rotor es constante
Estas suposiciones limitan teóricamente (no eliminan) la consideración de la
influencia de la no linealidad de la curva de histéresis magnética en la
transformación de energía eléctrica en magnética entre el estator y el rotor, y, la
consideración de los potenciales fenómenos de inductancia mutua entre el estator y
el rotor.

44. Modelamiento de sistemas físicos
•Formulación de ecuaciones de equilibrio

45. Ecuaciones de equilibrio
De acuerdo al principio básico de la conservación de la energía, la energía sólo se
transforma. Una ecuación de equilibrio, es una expresión matemática que describe
esa transformación.
Para el caso del generador de CD, buscaremos al menos tres ecuaciones de equilibrio,
una para el circuito del sistema de excitación, otra para la generación de fuerza
electromotriz, y, una última para “ligar” al circuito de excitación con la generación
de fuerza electromotriz.
Empezaremos afirmando que la fuerza electromotriz generada es una función del
voltaje aplicado al circuito de excitación: Er(t) = f(Vb(t)). Para efecto de simplificar la
notación de las variables, eliminaremos la referencia al tiempo, con lo que Er=f(Vb).
Luego estableceremos la ruta de transformación de energía: el voltaje aplicado al
circuito de excitación Vb dará lugar al flujo de una corriente eléctrica en el circuito Ib.
Esta corriente al pasar por el enrollado de la bobina de excitación generará una
fuerza de imantación Ib*wb que determinará un flujo magnético Φ entre el estator y
el rotor. Este flujo será transformado en el rotor en fuerza electromotriz Er.

46. Ecuaciones de equilibrio

47. Modelamiento de sistemas físicos
•Obtención del modelo matemático

48. Obtención del modelo matemático
Obtener el modelo matemático implica determinar un sistema de ecuaciones de
equilibrio que describa correctamente, dentro del margen de error establecido, los
procesos de transformación de energía en el sistema modelizado.
En el caso del generador DC, procederemos a reemplazar todas las ecuaciones de
equilibrio encontradas en la ecuación Er=f(Vb)

49. Obtención del modelo matemático

50. Modelamiento de sistemas físicos
•Calibración del modelo

51. Calibración del modelo
La calibración del modelo resuelve cuatro tareas:
• La preparación del modelo en el aparato matemático seleccionado
• El cálculo de los parámetros numéricos del modelo
• La selección del método numérico de resolución
• La sintonización fina del modelo en concordancia con un comportamiento definido y
conocido.

52. Modelamiento de sistemas físicos
•Simulación

53. Simulación
La fase de simulación resuelve dos tareas:
• La simulación
• El análisis de resultados

54. Contenidos
•Ejemplo del proceso de modelamiento

55. Modelo matemático de un motor CD con diagramas de bloque y FT
Un motor CD, constructivamente, es igual a un generador CD. La diferencia radica
en que el motor CD fue diseñado para que su régimen habitual de trabajo sea la
transformación de energía eléctrica aportada por los bornes, en energía mecánica
rotacional obtenida del rotor.
En este sentido, se identifica como variable de entrada al voltaje aplicado a los
bornes del estator Ve(t), y, como variable de salida a la velocidad de rotación en el
rotor Ω(t).
Para la simplificación del modelo matemático del motor CD, se plantea las
siguientes suposiciones:
• El flujo magnético es constante
• El momento de inercia del rotor es constante
• Los parámetros de los circuitos eléctricos son constantes
• El sistema es absolutamente rígido
• Se desprecia la reacción del rotor
• La relación entre la velocidad de rotación del rotor y la corriente es lineal

56. Modelo matemático de un motor CD con diagramas de bloque y FT
El modelo matemático se aproxima
por un esquema equivalente que
consta de dos circuitos:
• Un circuito eléctrico en el estator
• Un circuito mecánico en el rotor
En correspondencia, se plantean
dos ecuaciones de equilibrio: para
el circuito eléctrico del estator, y,
para el circuito mecánico del rotor.
Para utilizar el aparato matemático
de los diagramas de bloque y las
FT, las ecuaciones de equilibrio
originales son reemplazadas por su
imágenes en el dominio de la
transformada de Laplace, con lo
que se logra su tratamiento como
ecuaciones pseudoaritméticas.

57. Modelo matemático de un motor CD con diagramas de bloque y FT
Se realiza una reducción de ecuaciones mediante el reemplazo de equivalencias, hasta
obtener una única ecuación.

58. Modelo matemático de un motor CD con diagramas de bloque y FT
A partir de la ecuación única, se inicia la construcción del grafo de diagrama de
bloques.
El modelo matemático obtenido consta de:
1. Un eslabón aperiódico que representa los procesos electromagnéticos en el estator
2. Un eslabón integrador que representa los procesos mecánicos en el rotor
3. Un eslabón proporcional en el circuito de retroalimentación negativa (fuerza
electromotriz contraria)

59. Modelo matemático de un motor CD con diagramas de bloque y FT
Los siguientes pasos requieren que se haya seleccionado el motor CD de entre los
disponibles en el mercado.
La elección del motor CD se basa en buscar aquel que cumpla con los
requerimientos técnicos y de explotación planteados por el proceso tecnológico en
que se utilizará el motor.
Para efectos de ejemplo, se ha seleccionado un motor CD modelo 1524E006S de la
firma Faulhaber. El datasheet de este motor contiene la información necesaria para
calcular los parámetros numéricos del modelo.

60. Modelo matemático de un motor CD con diagramas de bloque y FT
datos de catálogo
item parámetro valor unidad
1 potencia 0.78 W
2 voltaje nominal 6 V
3 velocidad max 12000 rpm
4 corriente nominal 0.36 A
5 resistencia entre terminales 11 Ω
6 inductancia del rotor 150 μH
7 constante de retro-fem 0.438 mV/rpm
8 constante mecánica de tiempo 27 ms
10 constante del rotor (6/5) 1.36364E-05 s
parámetros numéricos del modelo
item parámetro valor unidad
1 1/Re 0.090909091 1/Ω
2 Te 1.36364E-05 s
3 Re/Kφ 25114.15525 Ω*rpm/V
4 Tm 0.027 s
5 Kφ 0.000438 V/rpm

61. Modelo matemático de un motor CD con diagramas de bloque y FT
En ocasiones, la información del fabricante no contiene algunos de los
parámetros requeridos, razón por la cual es necesario “calcularlos”. La tabla
adjunta muestra un ejemplo de aquello.

62. Modelo matemático de un motor CD con diagramas de bloque y FT
El sistema se modelizó utilizando Simulation Toolkit de LabView.

63. Modelo matemático de un motor CD con diagramas de bloque y FT
Para la calibración, se verificó la correspondencia con la curva teórica del arranque
de un motor CD en vacío.
El método de integración óptimo resultó ser el BDF variable con un paso inicial de
1E-7 y una tolerancia relativa de 1E-6.

64. Modelo matemático de un motor CD con diagramas de bloque y FT
Como ejercicio de simulación, se evaluó el trabajo del motor CD para el régimen de
arranque en vacío y carga (luego de 1 s con una carga de 0.02 A )

65. ANÁLISIS Y DISCUSIÓN