Álgebra de Boole también llamada álgebra booleana, en informática y matemática es una estructura algebraica que esquematiza las operaciones lógicas.

1. Capítulo 2
Algebra Boolena y lógica

2. El matemático inglés George Boole
nació el 2 de noviembre de 1815 en
Lincoln y falleció el 8 de diciembre
de 1864 en Ballintemple, Irlanda.
Boole recluyó la lógica a una álgebra
simple. También trabajó en
ecuaciones diferenciales, el cálculo
de diferencias finitas y métodos
generales en probabilidad.
Introducción
George Boole

3. Variable Lógica
 En general, el termino variable lógica o booleana, hace
referencia a cualquier símbolo lineal A,B,....,Z empleado
para representar dispositivos o magnitudes físicas que
llenan solamente dos valores o estados, verdadero o
falso, que son representados simbólicamente por 1 o 0
respectivamente.
Definición
► Las dos posiciones o estados “abierto” - “cerrado”
de un contacto eléctrico se designan mediante los
símbolos 0 (no corre electricidad) y 1 (hay
electricidad) respectivamente.

4. Variable Lógica
 Debido a que el contacto esta
“abierto”, no pasa corriente
eléctrica por el cable.
 Z= 0 quiere decir que tiene
un valor lógico de “cero”, no
pasa electricidad porque el
pulsador esta en reposo
(ninguna fuerza esta
venciendo el resorte de
retención).
Pulsador Normalmente Abierto

5. Variable Lógica
 Ahora accionamos el
pulsador (ya no esta
más en reposo).
 La corriente eléctrica
recorre el cable, esto
implica que Z = 1.
Pulsador Normalmente Abierto

6. Variable Lógica
 Un contacto NC es el
que se usa el las
puertas de los
refrigeradores o
automóviles, que
encienden una luz
cuando deja de estar
oprimido.
 El estado de reposo de
un pulsador NC implica
que Z=1.
Pulsador Normalmente Cerrado

7. Variable Lógica
 Al accionar el pulsador,
deja de pasar corriente
eléctrica por el cable.
 Entonces Z toma el
valor lógio “cero”.
Pulsador Normalmente Cerrado

8. Función Lógica
 Una función lógica o booleana es una variable
lógica cuyo valor es equivalente al de una expresión
algebraica, constituida por otras variables lógicas
relacionadas entre sí por medio de las operaciones
suma lógica (+), y/ o producto lógico (·) y/o
negador (-).
 Las tres operaciones mencionadas son las
operaciones básicas del álgebra de Boole, que darán
lugar a las funciones básicas “OR”, “AND” y
“NEGACIÓN”.
Definición

9. Función Lógica
 El valor de la expresión algebraica depende de los
valores lógicos asignados a las variables que la
constituyen, y de la realización de las operaciones
indicadas.
Definición
Por ejemplo, una suma lógica sería Z=A+B, donde Z
tomará el valor cero o uno según los valores de A y B.
Z tomará el valor cero sólamente cuando tanto A como
B tengan el valor cero. Recordemos que:
0 + 0 = 0
1 + 0 = 1
0 + 1 = 1
1 + 1 = 1

10. Función Lógica
AZ 
Definición
Un producto lógico sería Z = A · B, donde Z tomará el
valor uno sólamente cuando tanto A como B tengan el
valor uno. Recordemos que:
0 · 0 = 0
1 · 0 = 0
0 · 1 = 0
1 · 1 = 1
Una negación invierte el valor de las variables. Se
representa con la variable (en este caso “A”) negada.
Así:
0 = 1
1 = 0

11. Tabla de Verdad
 La tabla de verdad es una representación del
comportamiento de una función lógica,
dependiendo del valor particular que puedan
tomar cada una de sus variables.
 En ella deben figurar todas las combinaciones
posibles entre las variables, y para cada una
aparecera el valor de la función.
Definición

12. Tabla de Verdad
 Se tienen n variables y las tablas de verdad se
construyen respondiendo a la expresión: “El
número de filas es igual a 2 elevado a la n”.
 21(variable) = 2 filas 22(variables) = 4 filas
1
0
A
1 y 2 variables
10
11
01
00
BA

13. Tabla de Verdad23 variables = 8 filas
111
011
101
001
110
010
100
000
ABC

14. Compuertas Lógicas
 Cuando se desea cambiar el estado de una variable
determinada se podría accionar una llave
(compuerta) que realice este proceso.
 “Compuerta” proviene de que este dispositivo puede
usarse para permitir o no que el nivel que llega a un
cable de entrada se repita en el cable de salida.
 “Lógica” se debe a que una compuerta realiza
electrónicamente una operación lógica, de forma tal
de que a partir de una combinación de valores
lógicos en las entradas, se obtiene un valor lógico (1
ó 0) en su salida.
Definición

15. Compuertas Lógicas
Compuerta “AND”
Una Compuerta AND de dos entradas es un dispositivo
electrónico que posee dos entradas, a las que llegan los
niveles de tensión de dos cables (A y B) y una salida (Z).
Responde a la expresión:
Z = A · B

16. Compuertas Lógicas
Compuerta “AND”
A · B = Z
0 ·0 = 0
0
0
0
111
001
010
000
ZBA
0
1
0 ·1 = 0
1
1 · 0 = 0
0
1 · 1 = 1
1
1

17. Circuito Lógico
Compuerta “AND”
Z = A · B
También es
posible
representar la
función lógica,
su tabla de
verdad y su
compuerta con
los pulsadores
NC, formando
un “circuito
lógico”.

18. Circuito Lógico
Compuerta “AND”
Z = A · B
La luminaria se
enciende cuando
A y B son
pulsados al
mismo tiempo.
Esto coincide
con la TV
cuando A y B
toman el valor
1, haciendo que
Z valga 1.
111
001
010
000
ZBA

19. Compuertas Lógicas
Compuerta “OR”
Una Compuerta OR de dos entradas es un dispositivo
electrónico que posee dos entradas, a las que llegan los
niveles de tensión de dos cables (A y B) y una salida (Z).
Responde a la expresión:
Z = A + B

20. Compuertas Lógicas
Compuerta “OR”
A + B = Z
0 + 0 = 0
0
111
101
110
000
ZBA
0
1
0
110
0 + 1 = 1
1
1 + 0 = 11 + 1 = 1

21. Circuito Lógico
Compuerta “OR”
Z = A + B
La luminaria se
enciende cuando
A o B son
pulsados.
Esto coincide
con la TV
cuando A o B
toman el valor
1, haciendo que
Z valga 1.
111
101
110
000
ZBA

22. Compuertas Lógicas
Compuerta “SEGUIDOR”
Una Compuerta SEGUIDOR es un dispositivo
electrónico que actúa como buffer: mantiene en la salida,
el valor que se encuentra a la entrada.
Responde a la expresión:
Z = A

23. Compuertas Lógicas
11
00
ZA
Compuerta “SEGUIDOR”
A = Z
01 0
1 = 10 = 0
1

24. Circuito Lógico
Compuerta “SEGUIDOR”
Z = A
La luminaria se
enciende cuando
A es pulsado.
Esto coincide
con la TV
cuando A toma
el valor 1,
haciendo que Z
valga 1.
11
00
ZA

25. Compuertas Lógicas
AZ 
Compuerta “INVERSOR”
Una Compuerta INVERSOR es un dispositivo electrónico
que enciende el cable que está en su salida, si el cable
que está en su entrada se encuentra apagado, y
viceversa. Puede decirse que uno es la negación del otro.
Responde a la expresión:

26. Compuertas Lógicas
ZA 
Compuerta “INVERSOR”
01
10
ZA
0 = 1
10
1 = 0
1 0

27. Circuito Lógico
AZ 
Compuerta “INVERSOR”
Z se activará si
A toma el
valor 0.
Esto coincide
con la TV
cuando A toma
el valor 0,
haciendo que Z
valga 1.
01
10
ZA

28. Compuertas Lógicas
Compuerta “EXOR”
Una compuerta EXOR u OR excluyente de dos
entradas es un dispositivo electrónico que presenta dos
entradas, a las que llegan los estados de las dos variables
(A  B), y una salida, que genera en el cable (Z).
Responde a la expresión:
ABBAZ 

29. Compuertas Lógicas
Z
Compuerta “EXOR”
ABBAZ 
011
101
110
000
ZBA
0
0  0
1 · 0 + 1 · 0
0
0
0  1
1 · 1 + 0 · 0
0
1
1
1  11  0
0
1
1
0 · 0 + 1 · 10 · 1 + 0 · 1
1
1
0

30. Circuito Lógico
ABBAZ 
Compuerta “EXOR”
Z se activará si
A o B se
activan, pero
no al mismo
tiempo
Esto se refleja
en la TV cuando
A o B estan
activados.
011
101
110
000
ZBA
Pero cuando
ambos se
activan al
mismo tiempo,
Z vale 0.

31. Leyes de Algegra de Boole
a
Para el Producto
A
A · A = A
A
A · 0 = 0
1
A · 1 = A

Algebra de circuitos lógicos
El álgebra de Boole es una parte de la matemática que
utiliza expresiones basadas en la lógica dual.
Ley Conmutativa
A + B = B + A
Ley Asociativa
A + (B + C) = (A + B) + C
Ley Distributiva
(del producto con respecto a la suma)
A · (B + C) = A · B + A · C
Ley Distributiva
(de la suma respecto del producto)
C + B · A = (C + B) · (C + A)
Ley de AbsorciónLey de Doble NegaciónLey de Morgan
Sirve para transformar sumas lógicas en productos lógicos


Y productos lógicos en sumas lógicas
Relaciones de Morgan
0
1



32. Compuertas Derivadas
Z
Compuerta “NAND”
Una compuerta NAND resulta de invertir la salida
de una compuerta AND.
Compuerta AND
Invertimos la salida (NAND) Z
Negamos de ambos lados Z
Por ley de doble neg. Z
Por ley de Morgan Z
Expresión Booleana

33. Compuertas Lógicas
Compuerta “NAND”

0
011
101
110
100
ZBA
0
1
1110 1
011  101  110  100 
0

34. Circuito Lógico
Z
Compuerta “NAND”
Z será igual a 0 sólo
si A y B se presionan
al mismo tiempo.
Esto coincide con la
TV cuando A y B son
iguales a 1, haciendo
que Z sea igual a 0.

35. Compuertas Derivadas
Z
Compuerta “NOR”
Una compuerta NOR resulta de invertir la salida
de una compuerta OR.
Compuerta OR
Invertimos la salida (NOR) Z
Negamos de ambos lados Z
Por ley de doble neg. Z
Por ley de Morgan Z
Expresión Booleana

36. Compuertas Lógicas
Compuerta “NOR”

0
011
001
010
100
ZBA
0
1
1
110
0
011  001  010  100 
0

37. Circuito Lógico
Z
Compuerta “NOR”
Z será igual a 1 si A o
B no se presionan en
ningún momento
Esto coincide con la
TV cuando A y B son
iguales a 0, haciendo
que Z sea igual a 1.

38. Compuertas Derivadas
Z
Compuerta “EX-NOR”
Una compuerta EX-NOR resulta de invertir la
salida de una compuerta NOR.
Compuerta NOR
Invertimos la salida (EX-NOR)
Negamos de ambos lados
Por ley de Morgan
Nuevamente Morgan
Expresión Booleana
Z
Z
)()( 
))()( 
Al distribuir nos queda: 
}
}
0 0


39. Compuertas Lógicas
Compuerta “EX-NOR”

0
111
001
010
100
ZBA
0
1
1
110
0
11111  00101  01010  10000 
1

40. Circuito Lógico
Z
Compuerta “EX-NOR”
Como siempre, la TV
se corresponde con el
circuito, la compueta y
la expresión booleana.
A B Z
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 1

41. Principio de Dualidad
 Cualquier propiedad en el álgebra de Boole sigue
siendo valida si se intercambian las operaciones (+)
y (·) y además se intercambian los valores 0 y 1.
Definición
► Equivalencia entre funciones: dos expresiones
booleanas son equivalentes si tienen igual tabla de
verdad. Una expresión lógica le corresponde una sola
tabla de verdad, mientras que una tabla de verdad
puede formarse algebraicamente mediante diversas
funciones equivalentes.
► Asimismo, circuitos lógicos que corresponden a
expresiones algebraicas equivalentes tendrán la misma
tabla de funcionamiento por lo que podrán
reemplazarse unos por otros.
► La equivalencia se obtiene aplicando el principio de
dualidad.
Ejemplo:
A + 0 = A
A · 1 = A

42. Circuitos Equivalentes
 Convertimos una suma de productos, en un
producto negado de productos negados...
Equivalencias And-Or Y Nand-Nand
Z1 = A + B·C + D·E = EDCBA 
A partir de un circuito
determinado, su función
equivalente puede ser obtenida
de dos formas:
Primer método
Negamos ambos extremos del
cable, que por la propiedad de la
doble negación no afecta la
función original.
Aplicamos el concepto de
funciones equivalentes en la
última compuerta, obteniendo
así todas NAND.
Segundo método
Aplicamos la equivalencia de
funciones en la última
compuerta: reemplazamos la
compueta OR por su dual AND y
negamos sus entradas y salidas
que no están negadas en el
circuito original.
Como último paso, se desplazan
las negaciones hacia el otro
extremo del cable. De esta
forma obtenemos un circuito
compuesto por todas
compuertas NAND.

43. Circuitos Equivalentes
Equivalencias Or-And y Nor-Nor
Z = (P + Q) · (R + S) · T
=
T+)S+R(+)Q+P(
A partir de un circuito
determinado, su función
equivalente puede ser obtenida
de dos formas:
Primer método
Negamos ambos extremos del
cable, que por la propiedad de la
doble negación no afecta la
función original.
Aplicamos el concepto de
funciones equivalentes en la
última compuerta, obteniendo
así todas NOR.
Segundo método
Aplicamos la equivalencia de
funciones en la última
compuerta: reemplazamos la
compueta AND por su dual OR y
negamos sus entradas y salidas
que no están negadas en el
circuito original.
Como último paso, se desplazan
las negaciones hacia el otro
extremo del cable. De esta
forma obtenemos un circuito
compuesto por todas
compuertas NOR.
De un producto de sumas se pasa a una suma
negada, de sumas negadas.

44. Funciones Equivalentes
Utilidad
A una función lógica le corresponde una única tabla de
verdad, mientras que a una misma tabla de verdad se le
puede asociar diferentes expresiones equivalentes.
Esto permite reemplazar un circuito por otro, según las
necesidades técnicas y/o económicas que se posean.
Más especificamente, la utilidad del concepto de
funciones equivalente es la posibilidad de utilizar
menor cantidad de chips para la implementación
de un circuito.
Si queremos implementar la función Z=(P+Q)·(R+S),
deberíamos hacerlo:
Entonces, una vez aplicado el concepto de funciones
equivalentes y obtenida la expresión, la
implementación de chips sería:
)()( SRQPZ 
La nueva expresión sería:
De esta forma
podemos ver que, a
diferencia del primer
caso, estamos
utilizando sólo UN
chip.

45. Compuertas Lógicas
Comportamiento
a) Las entradas están puenteadas.

46. Compuertas Lógicas
Comportamiento
b) Una de las entradas trabaja como señal de control.

47. Compuertas Lógicas
Comportamiento
c) La señal de salida realimenta a la de entrada.