Análisis de los límites

ÍÒ Ú Ö× Ö Ð Í ÖÐ Ò
ÑÔÙ× ÅÓÒØ ÖÑ ÐÓ
ÈÇËÌÁÄ Å Ì ÅýÌÁ ½
Ë ×Ø Ñ ÁÒ ÓÖÑ Ó
Ò ÐÓ Ð × ÇÐ Ú Ö

ËÙÑ Ö Ó
½ ÙÐ ½
½º½ ÓÒ ÙÒØÓ× ÆÙÑ Ö
Ó× º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
½º¾ Ü Ö

Ó× º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
¾ ÙÐ ¾
¾º½ × Ù Ð × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
¾º¾ Å ÙÐÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
¾º¿ ÁÒØ ÖÚ ÐÓ× º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
¾º Ü Ö

Ó× º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼
¿ ÙÐ ¿ ½½
¿º½ ÈÓÐ ÒÑ Ó× º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½
¿º½º½ ØÓÖ Ó ÔÓÐ ÒÑ Ó× º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½
ÙÐ ½¿
º½ ÙÒ × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¿
º¾ ÇÔ Ö × ÙÒ × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½
º¿ Ü Ö

Ó× º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½
ÙÐ ½
º½ ÙÒ Ó
ÓÑÔÓ×Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½
º¾ ÙÒ × ×Ô
× º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½
º¿ Ü Ö

ÙÐ ¾¼
º½ ÙÒ Ó ÒÚ Ö× º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¼
º¾ ÙÒ × Ð Ñ ÒØ Ö × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¼
º¿ ÙÒ × ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ
× º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾½
º Ü Ö

Ó× º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¾
½

ËÍÅýÊÁÇ ¾
ÙÐ ¾¿
º½ Ñ × ÙÒ × ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ
× º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¿
º¾ Ü Ö

Ó× º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾
ÙÐ ¾
º½ Ä Ñ Ø × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾
º¾ Ü Ö

ÙÐ ¾
º½ ÈÖÓÔÖ × Ð Ñ Ø × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾
º¾ Ä Ñ Ø × Ð Ø Ö × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾
º¿ Ü Ö

½¼ ÙÐ ½¼ ¿½
½¼º½ Ä Ñ Ø × Ò Ø ÖÑ Ò Ó× º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¿½
½¼º¾ Ü Ö

Ó× º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¿½
½½ ÙÐ ½½ ¿¿
½½º½ Ä Ñ Ø × ÒÓ Ò Ò ØÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¿¿
½½º¾ Ä Ñ Ø × Ò Ò ØÓ× º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¿
½½º¿ Ü Ö

Ó× º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¿
½¾ ÙÐ ½¾ ¿
½¾º½ ×× ÒØÓØ × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¿
½¾º¾ Ü Ö

½¿ ÙÐ ½¿ ¿
½¿º½ Ä Ñ Ø × ÙÒ Ñ ÒØ × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¿
½¿º¾ ÓÒØ ÒÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¿
½¿º¿ Ü Ö

½ ÙÐ ½ ¼
½ º½ Ê Ø Ø Ò ÒØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼
½ º¾ Ö Ú ÙÑ ÙÒ Ó Ñ ÙÑ ÔÓÒØÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½
½ º¿ Ü Ö

½ ÙÐ ½ ¾
½ º½ Ö Ú ÙÑ ÙÒ Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾
½ º¾ Ö Ú × Ð Ø Ö × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾
½ º¿ Ü Ö

ÔÓ×Ø Ð Å Ø Ñ Ø
1 ¹ Ë ×Ø Ñ ÁÒ ÓÖÑ Ó

ËÍÅýÊÁÇ ¿
½ ÙÐ ½
½ º½ Ê Ö × Ö Ú Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
½ º¾ Ê Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
½ º¿ Ü Ö

½ ÙÐ ½
½ º½ Ö Ú × Ð Ñ ÒØ Ö × ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ
× º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
½ º¾ Ö Ú × ×Ù
×× Ú × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
½ º¿ Ü Ö

½ ÙÐ ½
½ º½ ÔÐ
× Ö Ú º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
½ º¾ Ü Ö

Ó× º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼
½ ÙÐ ½ ¾
½ º½ Å Ü ÑÓ× Ñ Ò ÑÓ× º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾
½ º¾ Ü Ö

¾¼ ÙÐ ¾¼
¾¼º½ Ì ÓÖ Ñ × ×Ó Ö Ö Ú × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
¾¼º¾ ÙÒ ×
Ö ×
ÒØ ×
Ö ×
ÒØ × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
¾¼º¿ Ü Ö

¾½ ÙÐ ¾½
¾½º½ Ö Ø Ö Ó× Ô Ö Ø ÖÑ Ò Ö ÜØÖ ÑÓ× º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
¾½º¾ Ü Ö

¾¾ ÙÐ ¾¾
¾¾º½ ÓÒ
Ú × ÔÓÒØÓ× Ò Ü Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
¾¾º¾ Ü Ö

¾¿ ÙÐ ¾¿ ¼
¾¿º½ Ê Ö × Ä³ÀÓ×Ô Ø Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼
¾¿º¾ × Ó Ó Ö
Ó× º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½
¾¿º¿ Ü Ö

¾ ÙÐ ¾ ¾
¾ º½ ÈÖÓ Ð Ñ × ÓØ Ñ Þ Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾
¾ º¾ Ü Ö


ËÍÅýÊÁÇ
¾ ÙÐ ¾
¾ º½ ÁÒØ Ö Ð Ò Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
¾ º¾ Ü Ö

¾ ÙÐ ¾
¾ º½ ÅÙ Ò Ú Ö Ú Ð Ô Ö ÒØ Ö Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
¾ º¾ Ü Ö

¾ ÙÐ ¾
¾ º½ ÁÒØ Ö Ó ÔÓÖ Ô ÖØ × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
¾ º¾ Ü Ö

Ó× º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼
¾ ÙÐ ¾ ½
¾ º½ ÁÒØ Ö Ð Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½
¾ º¾ Ü Ö

¾ ÙÐ ¾
¾ º½ Ð
ÙÐÓ Ö × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
¾ º¾ Ü Ö

¿¼ ÙÐ ¿¼
¿¼º½ ÔÐ
× ÒØ Ö Ð ÌÖ Ð Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
¿¼º½º½ ÌÖ Ð Ó Ö Ð Þ Ó ÔÓÖ ÙÑ ÓÖ Ú Ö Ú Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º
¿¼º¾ ÔÐ
× ÒØ Ö Ð ÈÖ ×× Ó Ð ÕÙ Ó× º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
¿¼º¾º½ ÓÖ ØÓØ Ð ×Ó Ö ÙÑ
Ô ÔÐ Ò ¸ ×Ù Ñ Ö× Ú ÖØ
ÐÑ ÒØ Ñ ÙÑ Ð ÕÙ Ó
¿¼º¿ Ü Ö


Ô ØÙÐÓ ½
ÙÐ ½
½º½ ÓÒ ÙÒØÓ× ÆÙÑ Ö
Ó×
ÌÓ Ø ÓÖ ÕÙ × Ö ×ØÙ ÒÓ
ÙÖ×Ó Å Ø Ñ Ø
1 × Ö Ö Ö
ÓÒ ÙÒØÓ× Ò Ñ ÖÓ×
Ö ×º ×ØÙ Ö ÑÓ× ÙÒ × ÕÙ × Ó Ò × ××ÙÑ Ñ Ú ÐÓÖ × ÒÓ
ÓÒ ÙÒØÓ Ó× Ò Ñ ÖÓ× Ö ×º
×× Ñ¸ Ó ×ØÙ ÖÑÓ× Ð Ñ Ø ¸
ÓÒØ ÒÙ ¸ Ö Ú × ÒØ Ö × ×× × ÙÒ ×¸ Ù× Ö ÑÓ× Ó×
ØÓ× Ð Ñ ÒØ Ö × Ö ×Ô ØÓ Ó× Ò Ñ ÖÓ× Ö ×º
Î ÑÓ× Ó× 5
ÓÒ ÙÒØÓ× ÒÙÑ Ö
Ó×
• Æ Ñ ÖÓ× Æ ØÙÖ × N = {1, 2, 3, 4, 5, . . .}º
• Æ Ñ ÖÓ× ÁÒØ ÖÓ× Z = {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .}º
• Æ Ñ ÖÓ× Ê
ÓÒ × Q =
m
n
: m, n, ∈ Z, n = 0 º
È Ö ÙÒØ ÈÓÖ ÕÙ Ò Ö ÔÖ × ÒØ Ó Q Ü ¹× n = 0
• Æ Ñ ÖÓ× ÁÖÖ
ÓÒ × Q′
ÓÒ ÙÒØÓ Ó× Ò Ñ ÖÓ×
Ñ × ÕÙ Ò Ó ÔÓ Ñ × Ö ×
Ö ØÓ× Ò
ÓÖÑ
m
n
º ÈÓÖ Ü ÑÔÐÓ
√
2, π, etc.
• Æ Ñ ÖÓ× Ê × R = Q ∪ Q′
Î ÑÓ× ÑÓ×ØÖ Ö ÕÙ Ó
ÓÒ ÙÒØÓ Ó× Ò Ñ ÖÓ× Ö ×¸ ÒÓØ Ó ÔÓÖ R¸ ÔÓ × Ö Ö ÔÖ × ÒØ Ó
ÔÓÖ ÙÑ Ö Ø ÕÙ ÐÕÙ Öº È Ö ××Ó¸ ÙÑ Ö Ø r¸ Ú ÑÓ× ÑÓ×ØÖ Ö ÕÙ ÕÙ ÐÕÙ Ö ÔÓÒØÓ P r
Ö ÔÖ × ÒØ ÙÑ Ò Ñ ÖÓ Ö Ðº
Ü ÑÔÐÓ ½º½º Î ÑÓ× ÑÓ×ØÖ Ö ÕÙ
√
2 ∈ Q′º
Î ÑÓ× ×ÙÔÓÖ ÕÙ Ü ×Ø Ñ m, n ∈ Q Ø × ÕÙ
√
2 =
m
n
º ÈÓ ÑÓ× ×ÙÔÓÖ ÕÙ m n Ò Ó × Ó
Ô Ö ×º ×× Ñ¸
2 =
m
n
2
⇒ m2
= 2n2
⇒ m2
Ô Ö ⇒ m Ô Ö¸.

½º¾º Ê ÁÇË
×× Ñ¸ Ü ×Ø k ∈ Z Ø Ð ÕÙ m = 2kº ÈÓÖØ ÒØÓ¸
(2k)2
= 2n2
⇒ 2k2
= n2
.
ÆÓÚ Ñ ÒØ ¸ n Ú × Ö ÙÑ Ò Ñ ÖÓ Ô Ö¸ Ó ÕÙ ÙÑ ×ÙÖ Ó ÔÓ × ×Ø ÑÓ× ×ÙÔÓÒ Ó ÕÙ m n
Ò Ó × Ó Ô Ö ×º ÓÒ
ÐÙ ÑÓ× ÒØ Ó¸ ÕÙ
√
2 ÙÑ Ò Ñ ÖÓ ÖÖ
ÓÒ Ðº
ÈÖÓÔÖ ½º½º Ë Ñ a, b, c ∈ Rº
½º
Ñ ÒØÓ ∃! Ò Ñ ÖÓ a + b ∃! Ò Ñ ÖÓ a.b
¾º ÓÑÙØ Ø Ú a + b = b + a a.b = b.a
¿º ××Ó
Ø Ú a + (b + c) = (a + b) + c a.(b.c) = (a.b).c
º ×ØÖ ÙØ Ú a.(b + c) = a.b + a.c
º Ð Ñ ÒØÓ Æ ÙØÖÓ a + 0 = a 1.a = a
º Ð Ñ ÒØÓ Ë Ñ ØÖ
Ó ∃ − a ∈ R : a + (−a) = 0
º Ð Ñ ÒØÓ ÁÒÚ Ö×Ó Ë a = 0 ⇒ ∃
1
a
∈ R : a.
1
a
= 1
º ËÙ ØÖ Ó a − b = a + (−b)
º Ú × Ó
a
b
= a ·
1
b
Ü Ö

Ó ½º½º Ë Ñ Ó Ù×Ó
Ð
ÙÐ ÓÖ ¸ ØÙ × × Ù ÒØ ×
ÓÒØ ×
µ 175 × 12 =
µ 37 × 25 =

µ 11% 80 =
µ 122 × 99 =
µ 52 × 15 =
µ 33% 150 =
½º¾ Ü Ö

Ó×
Ü Ö

Ó ½º¾º ÌÖ × Ñ Ó× ×Ø Ó Ñ ÙÑ Ö ×Ø ÙÖ ÒØ
Ö Ñ Ö
Ö
ÓÒØ R$108, 00º
Ë Ñ ÙØ Ð Þ Ö
Ð
ÙÐ ÓÖ ¸ ÕÙ Ð Ó Ú ÐÓÖ ÕÙ
Ñ Ó Ú Ö Ô Ö

½º¾º Ê ÁÇË
Ü Ö

Ó ½º¿º ÌÖ × Ñ Ó× ÓÖ Ñ
ÓÑ Ö ÒÙÑ Ö ×Ø ÙÖ ÒØ ÒÓ Ò Ð
ÓÒØ
ÓÙ Ñ Ê°¾ ¸¼¼º
Ñ Ó Ù Þ Ö ×º Ó ØÖÓ
Ó Ê° ¸¼¼¸
Ö Ñ Ö Ê°¾¸¼¼ Ó Ö ÓÑ Ú Ö Ó
Ö ×Ø ÒØ ÒØÖ Ð ×º Ó × Ö Ñ Ó Ö ×Ø ÙÖ ÒØ ¸ ÙÑ Ó× Ñ Ó× ×× ×Ô Ö ÙÑ ÔÓÙ
Ó
ÙÑ Ò × Ù Ê°½¼¸¼¼¸ ÙÑ ØÓØ Ð Ê°¿¼¸¼¼¸ Ö
Ù Ê°½¸¼¼ ØÖÓ
Óº ÄÓ Ó¸ ×Ø ÑÓ× Ê°¾ ¸¼¼º

ÓÑ Ó× Ê°¾¸¼¼ Ó Ö ÓÑ × Ó Ê°¾ ¸¼¼º ÓÒ Ó Ô Ö Ö Ó ÓÙØÖÓ Ê° ½¸¼¼ ´ÈÖÓ Ð Ñ ÔØ Ó
Ó Ð ÚÖÓ Ç ÓÑ Ñ ÕÙ
Ð
ÙÐ Ú ¸ Å Ð Ì Òºµ
Ü Ö

Ó ½º º Ä Ó ØÖ
Ó Ö Ø Ö Ó Ó Ð ÚÖÓ Ç ÓÑ Ñ ÕÙ
Ð
ÙÐ Ú ¸ Å Ð Ì Ò¸
×
Ö Ú Ó× Ò Ñ ÖÓ× 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 ÙØ Ð Þ Ò Ó ÕÙ ØÖÓ 4 × ÕÙ ØÖÓ ÓÔ Ö × ×
×º
Ó Ú Ö Ö Ñ Þ ÒØ Ö ×× Ó Ñ ÕÙ Ö Ö Ó ØÙÖ ÒØ ÞÙÐ¸ Ó Ø
− ÂÙÐ Ó ÐÓÙ
ÙÖ
ÓÑÔÖ Ö ×× ÐÙÜÓº ×Ø ÑÓ×
ÓÑ ÔÓÙ
Ó Ò ÖÓ Ò Ò Ó Ô ÑÓ×
Ó×Ô Ö º
− Æ Ó Ó ØÙÖ ÒØ ÕÙ Ñ ÒØ Ö ×× − Ö ØÓÖÕÙ Ù Ö Ñ Þ −º Ê Ô Ö ÕÙ Ø Ò ××
Ñ Ö
ÓÖ ÒØ ØÙÐ Ç× ÉÙ ØÖÓ ÉÙ ØÖÓ× º À Ò ××Ó ØÙ Ó ×Ô ÒØÓ×
Ó Ò
Ò
Ò
Ø Ò Óº
− Ó Ò
Ò
ÈÓÖ ÕÙ
− ÇÖ Ð − Ö ØÓÖÕÙ Ù Ö Ñ Þ −¸ Ð Ò ÕÙ ÙÖ Ò ×× ÕÙ ÖÓ Ö
ÓÖ ÙÑ ×
Ñ Ö Ú Ð × Ó Ð
ÙÐÓ ÔÓ ÑÓ× ÓÖÑ Ö ÙÑ Ò Ñ ÖÓ ÕÙ ÐÕÙ Ö ÑÔÖ Ò Ó ÕÙ ØÖÓ ÕÙ ØÖÓ×
ÒØ × ÕÙ Ù Ó ÒØ ÖÖÓ ×× ×Ó Ö ÕÙ Ð Ò Ñ ¸ Ö Ñ Þ ÜÔÐ
ÓÙ¸ Ö ×
Ò Ó Ò Ö
Ò ÕÙ
Ó Ö Ó
Ó

Ô ØÙÐÓ ¾
ÙÐ ¾
¾º½ × Ù Ð ×
Ò Ó ¾º½º Ü ÓÑ ÓÖ Ñ
½º Ë a ∈ R ⇒ a = 0 ÓÙ a ÔÓ× Ø ÚÓ¸ ÓÙ −a ÔÓ× Ø ÚÓ
¾º ×ÓÑ Ó × Ò Ñ ÖÓ× ÔÓ× Ø ÚÓ× ÔÓ× Ø Ú
¿º Ó ÔÖÓ ÙØÓ Ó × Ò Ñ ÖÓ× ÔÓ× Ø ÚÓ× ÔÓ× Ø ÚÓº
Ò Ó ¾º¾º × Ù Ð ×
µ a Ò Ø ÚÓ ⇔ −a ÔÓ× Ø ÚÓ
µ a b ⇔ b − a ÔÓ× Ø ÚÓ
µ a b ⇔ a − b ÔÓ× Ø ÚÓ
Úµ a ≤ b ⇔ a b ÓÙ a = b
Úµ a ≥ b ⇔ a b ÓÙ a = bº
Ç × ÖÚ Ó ¾º½º ÓÑÓ
ÓÒ× ÕÙ Ò
Ó× Ø Ò× (ii) (iii) Ò Ó
Ñ ¸ Ø ÑÓ× ÕÙ
• a 0 ⇔ a ÔÓ× Ø ÚÓ
• a 0 ⇔ a Ò Ø ÚÓº
ÈÖÓÔÖ ¾º½º Ë Ñ a, b, c ∈ R¸
½º Ë a b b c ⇒ a c.
¾º Ë a b c 0 ⇒ ac bc.
¿º Ë a b c 0 ⇒ ac bc.

¾º¾º Å ÍÄÇ
º Ë a b ⇒ a + c b + c, ∀c ∈ R.
º Ë a b c d ⇒ a + c b + d.
º Ë a b 0 c d 0 ⇒ ac bd.
¾º¾ Å ÙÐÓ
Ò Ó ¾º¿º Ç Ñ ÙÐÓ¸ ÓÙ Ú ÐÓÖ ×ÓÐÙØÓ¸ a ∈ R¸ ÒÓØ Ó ÔÓÖ |a|¸ Ò Ó ÔÓÖ
|a| =



a, × a ≥ 0
−a, × a 0
ÓÒ× Ö Ò Ó Ö Ø Ö Ð¸ ×Ø Ò
a Ø ÓÖ Ñ ÔÓÖ |a|º
Ü ÑÔÐÓ ¾º½º Ð
ÙÐ Ó Ñ ÙÐÓ Ó× Ò Ñ ÖÓ× 3, −3, 0, 15, −
1
3
ÈÖÓÔÖ ¾º¾º
½º |x| a ⇔ −a x a¸ ÓÒ a 0º
¾º |x| a ⇔ x a ÓÙ x −a¸ ÓÒ a 0º
¿º Ë a, b ∈ R ⇒ |a.b| = |a|.|b|º
º Ë a, b ∈ R¸
ÓÑ b = 0 ÒØ Ó
a
b
=
|a|
|b|
º
º × Ù Ð ØÖ Ò ÙÐ Ö |a + b| ≤ |a| + |b|º
º |a − b| ≤ |a| + |b|º
º |a| − |b| ≤ |a − b|º
¾º¿ ÁÒØ ÖÚ ÐÓ×
ÁÒØ ÖÚ ÐÓ× × Ó
ÓÒ ÙÒØÓ× Ò Ò ØÓ× Ò Ñ ÖÓ× Ö × × × Ù ÒØ × ÓÖÑ ×
½º ÁÒØ ÖÚ ÐÓ ÖØÓ {x ∈ R : a x b}º ÒÓØ ¹× (a, b) ÓÙ
¾º ÁÒØ ÖÚ ÐÓ
Ó {x ∈ R : a ≤ x ≤ b}º ÒÓØ ¹× [a, b] ÓÙ
¿º ÁÒØ ÖÚ ÐÓ × Ñ ¹ ÖØÓ
µ ÖØÓ ×ÕÙ Ö
Ó Ö Ø {x ∈ R : a x ≤ b}º ÒÓØ ¹× (a, b] ÓÙ
µ
Ó ×ÕÙ Ö ÖØÓ Ö Ø {x ∈ R : a ≤ x b}º ÒÓØ ¹× [a, b) ÓÙ
Ü ÑÔÐÓ ¾º¾º Ê ÔÖ × ÒØ Ð Ö
Ñ ÒØ Ó× ÒØ ÖÚ ÐÓ× ÜÓ

¾º º Ê ÁÇË ½¼
µ (1, 3)
µ [2, 4]

µ (1, 3]
µ [2, 4)
º ÁÒØ ÖÚ ÐÓ× Ò Ò ØÓ×
µ {x ∈ R : x a} ÒÓØ ¹× (a, +∞) ÓÙ
µ {x ∈ R : x ≥ a} ÒÓØ ¹× [a, +∞) ÓÙ
µ {x ∈ R : x b} ÒÓØ ¹× (−∞, b) ÓÙ
Úµ {x ∈ R : x ≤ b} ÒÓØ ¹× (−∞, b] ÓÙ
Ü ÑÔÐÓ ¾º¿º Ê ÔÖ × ÒØ Ð Ö
Ñ ÒØ Ó× ÒØ ÖÚ ÐÓ× ÜÓ
µ (2, +∞)
µ [5, +∞)

µ (−∞, 0)
µ (−∞, −2]
¾º Ü Ö

Ó×
Ü Ö

Ó ¾º½º Ø ÖÑ Ò Ö ØÓ Ó× Ó× ÒØ ÖÚ ÐÓ× Ò Ñ ÖÓ× ÕÙ × Ø × Þ Ñ × × Ù Ð ×
ÜÓº ¸ Ø Ñ Ñ¸ Ö ÔÖ × ÒØ Ó Ö
º
µ 3x 4 µ 3 − x 5 + 3x

µ 3 + 7x 8x + 9 µ 7 5x + 3 ≤ 9
µ (x + 5)(x − 3) 0 µ x3 + 1 x2 + x
Ü Ö

Ó ¾º¾º Ê ×ÓÐÚ × ÕÙ × Ò ÕÙ × ÜÓ
µ |5x − 3| = 12 µ |9x + 7| = −7

µ | − 4 + 12x| = 7 µ |7x − 2| 4
µ |x + 12| 7 µ |5 − 6x| ≥ 9

Ô ØÙÐÓ ¿
ÙÐ ¿
¿º½ ÈÓÐ ÒÑ Ó×
Ò Ó ¿º½º ÍÑ ÔÓÐ ÒÑ Ó Ñ x ÕÙ ÐÕÙ Ö ÜÔÖ ×× Ó ÕÙ ÔÓ × Ö ×
Ö Ø Ò ÓÖÑ
anxn
+ an−1xn−1
+ an−2xn−2
+ ... + a1x + a0,
ÓÒ n ∈ N an = 0º Ç× Ò Ñ ÖÓ× an¸ an−1¸ an−2¸ººº¸ a1 a0 × Ó
Ñ Ó×
Ó
ÒØ ×º
Þ ÑÓ× ÕÙ n Ó Ö Ù Ó ÔÓÐ ÒÑ Óº
Æ Ó ×Ù ØÖ Ó Ó × ÔÓÐ ÒÑ Ó×¸ ÖÙÔ ÑÓ× Ó× Ø ÖÑÓ× × Ñ Ð ÒØ × ¸ ÒØ Ó¸ Ó×

ÓÑ Ò ÑÓ×º
Ü ÑÔÐÓ ¿º½º (2x3 − 3x2 + 4x − 1) + (x3 + 2x2 − 5x + 3)
Ü ÑÔÐÓ ¿º¾º (4x2 + 3x − 4) − (2x3 + x2 − x + 2)
ÆÓ ÔÖÓ ÙØÓ Ó × ÔÓÐ ÒÑ Ó×¸ ÙØ Ð Þ ÑÓ× ÔÖÓÔÖ ×ØÖ ÙØ Ú ¸ ÒØ Ó¸ ÖÙÔ ÑÓ×

ÓÑ Ò ÑÓ× Ó× Ø ÖÑÓ× × Ñ Ð ÒØ ×º
Ü ÑÔÐÓ ¿º¿º (3x + 2) × (4x − 5)
Ü ÑÔÐÓ ¿º º (x2 − 4x + 3) × (x2 + 4x + 5)
¿º½º½ ØÓÖ Ó ÔÓÐ ÒÑ Ó×
ÉÙ Ò Ó ×
Ö Ú ÑÓ× ÙÑ ÔÓÐ ÒÑ Ó
ÓÑÓ ÙÑ ÔÖÓ ÙØÓ Ó × ÓÙ Ñ × ØÓÖ × ÔÓÐ ÒÑ ×¸ ×Ø ÑÓ×
ØÓÖ Ò Ó ÙÑ ÔÓÐ ÒÑ Óº ÍÑ ÔÓÐ ÒÑ Ó ÕÙ Ò Ó ÔÓ × Ö ØÓÖ Ó Ù× Ò Ó
Ó
ÒØ × ÒØ ÖÓ×
ÙÑ ÔÓÐ ÒÑ Ó ÖÖ ÙØ Ú Ðº
Þ ÑÓ× ÕÙ ÙÑ ÔÓÐ ÒÑ Ó ×Ø ØÓÖ Ó × ×Ø Ú Ö ×
Ö ØÓ
ÓÑÓ ÙÑ ÔÖÓ ÙØÓ × Ù×
ØÓÖ × ÖÖ ÙØ Ú ×º
½½

¿º½º ÈÇÄÁÆ ÅÁÇË ½¾
Ü ÑÔÐÓ ¿º º Ë p(x) = 9x2 − 64º ×
Ö Ú Ò Ó p(x)
ÓÑÓ
p(x) = (3x − 8)(3x + 8)
Ø ÑÓ× ÕÙ p(x) ×Ø ØÓÖ Óº
Ç ÔÖ Ñ ÖÓ Ô ××Ó Ò ØÓÖ Ó ÙÑ ÔÓÐ ÒÑ Ó Ö ÑÓÚ Ö
ÓÐÓ
Ö Ñ Ú Ò
ØÓÖ ×

ÓÑÙÒ× × Ù× Ø ÖÑÓ× Ù× Ò Ó ÔÖÓÔÖ ×ØÖ ÙØ Ú º
Ü ÑÔÐÓ ¿º º ÓÐÓÕÙ Ñ Ú Ò
Ó× ØÓÖ × Ñ
ÓÑÙÑ Ò × ÜÔÖ ×× × ÜÓ
µ x3
− 9x µ 2x3
+ 2x2
− 6x
µ u3
v + uv3
Ü Ö

Ó ¿º½º ØÓÖ
ÓÐÓ
Ò Ó Ó ØÓÖ
ÓÑÙÑ Ñ Ú Ò
º
µ 5x3 − 20x µ yz3 − 3yz2 + 2yz
µ 2x(x + 3) − 5(x + 3)
µ y3 − 4y2 + 5y − 20 µ 2x3 − 3x2 + 2x − 3 µ x6 + 2x4 + x2 + 2
µ 2ac + 6ad − bc − 3bd µ x6 − 3x4 + x2 − 3 µ 3uw + 12uz − 2vw − 8vz
Î ÑÓ× ÙÑ Ð ×Ø Ð ÙÒ× ÔÖÓ ÙØÓ× ÒÓØ Ú × ×Ù × ÔÐ
× Ò ØÓÖ Ó ÔÓÐ ÒÑ Ó×º
½¹µ ÈÖÓ ÙØÓ ÙÑ ×ÓÑ ÙÑ Ö Ò (u + v)(u − v) = u2 − v2
Ü Ö

Ó ¿º¾º ØÓÖ × Ö Ò × Ó × ÕÙ Ö Ó×º
µz2 − 49 µ 9y2 − 16
µ 64 − 25y2 µ 16 − (x + 2)2
¾¹µ ÉÙ Ö Ó ÙÑ ×ÓÑ Ó × Ø ÖÑÓ× (u + v)2 = u2 + 2uv + v2
¿¹µ ÉÙ Ö Ó ÙÑ Ö Ò Ó × Ø ÖÑÓ× (u − v)2 = u2 − 2uv + v2
Ü Ö

Ó ¿º¿º ØÓÖ Ó× ØÖ ÒÑ Ó× ÕÙ Ö Ó× Ô Ö ØÓ×º
µy2 + 8y + 16 µ 4z2 − 4z + 1
µ 36y2 + 12y + 1 µ 9z2 − 24z + 16
¹µ ËÓÑ Ó ×
Ù Ó× u3 + v3 = (u + v)(u2 − uv + v2)
¹µ Ö Ò Ó ×
Ù Ó× u3 − v3 = (u − v)(u2 + uv + v2)
Ü Ö

Ó ¿º º ØÓÖ ×ÓÑ ÓÙ Ö Ò Ó ×
Ù Ó×º
µ y3 + 8 µ y3 − 8
µ 27y3 − 8
µ z3 + 64 µ 1 + z3 µ 64z3 + 27

Ô ØÙÐÓ
ÙÐ
º½ ÙÒ ×
Ò Ó º½º Ë Ñ A, B ⊂ Rº ÍÑ ÙÒ Ó f : A → B ÙÑ Ö Ö ÕÙ
Ð Ñ ÒØÓ
x ∈ A Þ
ÓÖÖ ×ÔÓÒ Ö ÙÑ Ò
Ó y ∈ Bº Ç
ÓÒ ÙÒØÓ A
Ñ Ó ÓÑ Ò Ó f¸ ÒÓØ Ó
ÔÓÖ D(f)¸ B
Ñ Ó
ÓÒØÖ ¹ ÓÑ Ò Ó fº ×
Ö Ú ÑÓ×¸
f : A → B
x → y = f(x)
Ü ÑÔÐÓ º½º Ë Ñ A = {1, 2, 3, 4}¸ B = {2, 3, 4, 5} ÙÒ Ó f : A → B ÔÓÖ f(x) =
x + 1º
Ü ÑÔÐÓ º¾º Ë Ñ A = {1, 2, 3}¸ B = {ÂÓ Ó¸ ¸ È ÖÓ} ÙÒ Ó f : A → B ÕÙ ÓÖ Ò
Ó× ÒÓÑ × Ñ ÓÖ Ñ Ð Ø
º
ÓÒØÖ ¹ Ü ÑÔÐÓ Ë Ñ A = {1, 2, 3} B = {ÂÓ Ó¸ ¸ È ÖÓ} f : A → B ÕÙ ××Ó
1
Ô Ö × ÜÓ Ñ ×
ÙÐ ÒÓ 2 Ô Ö × ÜÓ Ñ Ò ÒÓº Æ ×Ø
×Ó¸ f Ò Ó ÙÑ ÙÒ Ó A Ñ B ÔÓÖ
Ó × ÑÓØ ÚÓ×
µ 3 ∈ A Ò Ó ÔÓ××Ù
ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÒØ Ñ B
µ 1 ∈ A ÔÓ××Ù Ó ×
ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÒØ × Ñ Bº
Ò Ó º¾º Ë f : A → B ÙÑ ÙÒ Óº
µ Ó x ∈ A¸ Þ ÑÓ× ÕÙ y = f(x) ∈ B Ñ Ñ xº
µ Ç
ÓÒ ÙÒØÓ ØÓ Ó× Ó× Ú ÐÓÖ × ÕÙ ÙÒ Ó f ÔÓ ××ÙÑ Ö
Ñ Ó
ÓÒ ÙÒØÓ Ñ Ñ
f¸ ÒÓØ Ó ÔÓÖ Im(f)º
½¿

º¾º ÇÈ Ê Ë ÍÆ Ë ½
Ü ÑÔÐÓ º¿º Ë Ñ A = {1; 2; 3; 4; 5; 5, 6}¸ B = Z f : A → B¸ ÓÒ f(x) = 2xº
Ü Ö

Ó º½º Ò
ÓÒØÖ Ö Ó ÓÑ Ò Ó Ñ Ñ × ÙÒ × ÜÓ
µ f(x) =
1
x
µ f(x) =
√
x

µ f(x) = −
√
x − 1
µ g(x) = |x|
Ò Ó º¿º Ë f ÙÑ ÙÒ Óº Ç Ö
Ó f Ó
ÓÒ ÙÒØÓ ØÓ Ó× Ó× ÔÓÒØÓ× (x, f(x))¸
ÓÒ x ∈ D(f)º
Ü ÑÔÐÓ º º Ó Ö
Ó ÙÒ Ó f(x) = xº
º¾ ÇÔ Ö × ÙÒ ×
Ò Ó º º Ë Ñ f g Ù × ÙÒ × k ∈ Rº Ò ÑÓ× ×ÓÑ ¸ ×Ù ØÖ Ó¸ ÑÙÐØ ÔÐ
Ó
Ú × Ó Ù × ÙÒ × ÑÙÐØ ÔÐ
Ó ÙÑ ÙÒ Ó ÔÓÖ ÙÑ
ÓÒ×Ø ÒØ k
ÓÑÓ × Ò Ó
µ (f + g)(x) = f(x) + g(x)¸ D(f + g) = D(f) ∩ D(g)
µ (f − g)(x) = f(x) − g(x)¸ D(f − g) = D(f) ∩ D(g)
µ (f · g)(x) = f(x) · g(x)¸ D(f · g) = D(f) ∩ D(g)
Úµ (f/g)(x) =
f(x)
g(x)
¸ D(f/g) = D(f) ∩ D(g)¸ Ü
ØÓ Ó× ÔÓÒØÓ× x ÓÒ g(x) = 0
Úµ (kf)(x) = kf(x)¸ D(kf) = D(f)º
Ü ÑÔÐÓ º º Ë Ñ f(x) =
√
5 − x¸ g(x) =
√
x − 3 k = 3º Ò
ÓÒØÖ × ÜÔÖ ×× × Ó
ÓÑ Ò Ó × ÙÒ × ÜÓ
µ (f + g)(x)
µ (f − g)(x)

µ (f · g)(x)
µ (f/g)(x)
µ (kf)(x)

º¿º Ê ÁÇË ½
º¿ Ü Ö

Ó×
Ü Ö

Ó º¾º Ë f(x) =
x2 − 4
x − 1
º Ð
ÙÐ
µ f(0)
µ f(−2)

µ f
1
2
µ f(t2
)
µ f(x − 2)
µ
5f(−1) − 2f(0) + 3f(5)
7
µ
f(h) − f(0)
h
µ f[f(5)]
Ü Ö

Ó º¿º ÜÔÖ Ñ Ö
ÓÑÓ ÙÒ Ó x
µ Ö ÙÑ × Ö Ö Ó xº
µ Ö ÙÑ
Ù Ó Ö ×Ø xº

µ Ö ØÓØ Ð ÙÑ
Ü ÚÓÐÙÑ Ó V ¸ × Ò Ó¹× ÕÙ × ÕÙ Ö Ð Ó xº
Ü Ö

Ó º º Ø ÖÑ Ò Ó ÓÑ Ò Ó × × Ù ÒØ × ÙÒ ×
µ y = x2
µ y =
1
x − 4

µ f(x) =
√
x − 2
µ y = 4 − x2
µ y =
4
√
x + 5
µ y =
1
1 +
√
x
Ü Ö

Ó º º È Ö
Ø Ñ¸
Ð
ÙÐ f + g¸ f − g¸ f · g¸ f/g f ◦ g g ◦ fº
µ f(x) = 2x¸ g(x) = x2 + 1
µ f(x) = 3x − 2¸ g(x) = |x|

µ f(x) =
√
x + 1¸ g(x) = x − 2

Ô ØÙÐÓ
ÙÐ
º½ ÙÒ Ó
ÓÑÔÓ×Ø
Ò Ó º½º × Ù × ÙÒ × f g¸ Ò ÑÓ× ÙÒ Ó
ÓÑÔÓ×Ø g
ÓÑ f¸ ÒÓØ
ÔÓÖ g ◦ f¸
ÓÑÓ × Ò Ó
(g ◦ f)(x) = g(f(x)).
Ç ÓÑ Ò Ó g ◦ f Ó
ÓÒ ÙÒØÓ Ó× x ∈ D(f) Ø Ð ÕÙ f(x) ×Ø ÒÓ ÓÑ Ò Ó gº
Ü ÑÔÐÓ º½º Ë Ñ A = {1, 2, 3}¸ B = {2, 3, 4, 5} C = {4, 9, 16, 25}º Ò ÑÓ× × ÙÒ ×
f : A → B¸ ÓÒ f(x) = x+1¸ g : B → C¸ ÓÒ g(x) = x2º Ò
ÓÒØÖ ÜÔÖ ×× Ó (g ◦f)(x)º
Ü Ö

Ó º½º Ë Ñ f(x) = x2 − 2x + 3 g(x) = 3xº Ð
ÙÐ
µ g ◦ f µ f ◦ g
µ g ◦ g µ f ◦ f
º¾ ÙÒ × ×Ô
×
½¹µ ÙÒ Ó ÓÒ×Ø ÒØ f(x) = k¸ ÓÒ k ∈ Rº
Ü ÑÔÐÓ º¾º Ó Ö
Ó f(x) = 2º
Ç Ö
Ó ÙÑ ÙÒ Ó
ÓÒ×Ø ÒØ ¸ f(x) = k¸ ÙÑ Ö Ø Ô Ö Ð Ð Ó ÜÓ x¸ Ô ×× Ò Ó ÔÓÖ
y = kº Ð Ñ ××Ó¸ D(f) = R Im(f) = {k}º
¾¹µ ÙÒ Ó Á ÒØ f(x) = xº
Ç Ö
Ó f(x) = x Ö Ø ×× ØÖ Þ Ó 1Ó Ó 3Ó ÕÙ Ö ÒØ ×º ¸ Ø Ñ Ñ¸ D(f) = R
Im(f) = Rº
½

º¾º ÍÆ Ë ËÈ Á ÁË ½
¿¹µ ÙÒ Ó Ó 1Ó Ö Ù f(x) = ax + b¸ ÓÒ a, b ∈ R a = 0º
Ü ÑÔÐÓ º¿º Ó Ö
Ó × ÙÒ × ÜÓ
µ f(x) = x + 1
µ f(x) = −x + 1
Ç Ö
Ó f(x) = ax + b ÙÑ Ö Ø º Ð Ñ ××Ó¸
• D(f) = R Im(f) = R
• a
Ñ Ó
Ó
ÒØ Ò ÙÐ Ö
• b
Ñ Ó
Ó
ÒØ Ð Ò Ö
• f(x) Ø
Ö ×
ÒØ × a 0
• f(x) Ø
Ö ×
ÒØ × a 0
• x = −
b
a
Ö Þ f(x)¸ ÓÙ × ¸ Ó ÔÓÒØÓ ÓÒ Ó Ö
Ó f(x)
ÓÖØ Ó ÜÓ xº
¹µ ÙÒ Ó Å ÙÐÓ f(x) = |x| ÓÙ f(x) =



x¸ × x ≥ 0
−x¸ × x 0.
È Ö ÙÒ Ó Ñ ÙÐÓ¸ Ø ÑÓ× ÕÙ D(f) = R Im(f) = [0, +∞)º
¹µ ÙÒ Ó Ó 2Ó Ö Ù f(x) = ax2 + bx + c¸ ÓÒ a, b, c ∈ R a = 0º
Ç Ö
Ó ÙÑ ÙÒ Ó Ó × ÙÒ Ó Ö Ù ÙÑ Ô Ö ÓÐ º È Ö Þ ÖÑÓ× Ó × Ó Ó Ó
Ö
Ó ÙÑ ÙÒ Ó Ó × ÙÒ Ó Ö Ù Ò
ÓÒØÖ Ö ÑÓ× × × Ù ÒØ × Ò ÓÖÑ × ÔÖ Ð Ñ Ò Ö ×
µ Ë a 0 ´ÓÙ a 0µ¸ Ô Ö ÓÐ Ø Ñ
ÓÒ
Ú ÚÓÐØ Ô Ö
Ñ ´ÓÙ Ô Ö ÜÓµ
µ Ê Þ × ÙÒ Ó × ∆ = b2 − 4ac¸
×Ó
• ∆ 0¸ ÒØ Ó f(x) ÔÓ××Ù Ù × Ö Þ × x1 =
−b +
√
∆
2a
x2 =
−b −
√
∆
2a
• ∆ = 0¸ ÒØ Ó f(x) ÔÓ××Ù ÙÑ Ö Þ x1 =
−b
2a
• ∆ 0¸ ÒØ Ó f(x) Ò Ó ÔÓ××Ù Ö Þ ×º
ÜÓ Ø ÑÓ× Ó× Ø ÔÓ× Ö
Ó× ÕÙ ÔÓ Ö ÑÓ× Ó Ø Ö

º¾º ÍÆ Ë ËÈ Á ÁË ½
×
ÓÓÖ Ò × Ó Ú ÖØ
Ô Ö ÓÐ × Ó
Xv = −
b
2a
Yv = −
∆
4a
.
• Ë a 0¸ ÒØ Ó Im(f) = [Yv, +∞) ¸ Ò ×Ø
×Ó¸ Þ ÑÓ× ÕÙ Yv ÙÑ ÔÓÒØÓ Ñ Ò ÑÓ
• Ë a 0¸ ÒØ Ó Im(f) = (−∞, Yv] ¸ Ò ×Ø
×Ó¸ Þ ÑÓ× ÕÙ Yv ÙÑ ÔÓÒØÓ Ñ Ü ÑÓ
• D(f) = Rº
ÌÓ ÙÒ Ó Ó Ø ÔÓ f(x) = ax2 + bx + c¸
ÓÑ ∆ ≥ 0¸ ÔÓ × Ö ×
Ö Ø Ò ÓÖÑ
f(x) = a(x − x1)(x − x2),
ÓÒ x1 x2 × Ó × Ö Þ × f(x)º
Ó f(x) = 2x2 − 6x + 4º
¹µ ÙÒ Ó ÈÓÐ ÒÓÑ Ð f(x) = anxn + an−1xn−1 + . . . + a1x1 + a0¸ ÓÒ an = 0 n ∈ Rº
Ç ÓÑ Ò Ó ÙÑ ÙÒ Ó ÔÓÐ ÒÓÑ Ð × ÑÔÖ D(f) = Rº
Ó f(x) = 4x5 − 7x3 + 3x2 + 2º
¹µ ÙÒ Ó Ê
ÓÒ Ð f(x) =
p(x)
q(x)
¸ ÓÒ p(x) q(x) × Ó ÔÓÐ ÒÑ Ó× q(x) = 0º
Ç ÓÑ Ò Ó ÙÑ ÙÒ Ó ÔÓÐ ÒÓÑ Ð × ÑÔÖ D(f) = R − {x : q(x) = 0}º
Ó f(x) =
x − 1
x + 1
º

º¿º Ê ÁÇË ½
º¿ Ü Ö

Ó×
Ü Ö

Ó º¾º Ë h(x) = 2x − 7º Ð
ÙÐ h ◦ h¸ h2 h + hº
Ü Ö

Ó º¿º Ë ÙÒ Ó g(x) = x2º Ò ÙÑ ÙÒ Ó f Ø Ð ÕÙ (f ◦ g)(x) = x¸ Ô Ö
x ≥ 0 ÙÑ ÙÒ Ó h Ø Ð ÕÙ (h ◦ g)(x) = x¸ Ô Ö x ≤ 0º
Ü Ö

Ó º º ÓÒ×ØÖÙ Ö Ó Ö
Ó × ÙÒ × ÜÓ
µ f(x) = 2x − 4 µ f(x) = −x + 3

µ f(x) = x2 − 3x + 2 µ f(x) = 4x2 − 4x + 1
µ f(x) = x2 µ f(x) = (x − 2)2
Ü Ö

Ó º º Ó Ö
Ó × ÙÒ × ÜÓ ÒÓ Ó Ö º
µ f(x) = x3
µ f(x) =
x − 1
x + 4

µ f(x) =
√
x
Ü Ö

Ó º º Ë Ò Ó ÕÙ f(x) ÙÑ ÙÒ Ó Ó ½
Ó Ö Ù ÕÙ f(−1) = 2 f(2) = 3¸ Ò
ÓÒØÖ
ÜÔÖ ×× Ó f(x)º

Ô ØÙÐÓ
ÙÐ
º½ ÙÒ Ó ÒÚ Ö×
Ò Ó º½º Ë f : A → Bº Ë Ô Ö
y ∈ B Ü ×Ø Ö ÙÑ Ò
Ó x ∈ A Ø Ð ÕÙ y = f(x)¸
ÒØ Ó ÔÓ ÑÓ× Ò Ö ÙÒ Ó f−1 : B → A Ø Ð ÕÙ x = f−1(y)º ÙÒ Ó f−1 Ö
Ó ÒÓÑ
ÙÒ Ó ÒÚ Ö× fº
Ü ÑÔÐÓ º½º Ë Ñ A = {1, 2, 3}¸ B = {2, 4, 6} f : A → B¸ ÓÒ f(x) = 2xº ÉÙ Ð
ÜÔÖ ×× Ó f−1
Ü ÑÔÐÓ º¾º Ë f(x) = x + 1º Ò
ÓÒØÖ ÜÔÖ ×× Ó f−1º
Ç × ÖÚ Ó º½º Ç Ö
Ó f−1 Ö Ü Ó Ó Ö
Ó f
ÓÑ Ö Ð Ó Ö Ø y = xº
º¾ ÙÒ × Ð Ñ ÒØ Ö ×
½¹µ ÙÒ Ó ÜÔÓÒ Ò
Ð f(x) = ax¸ ÓÒ 0 a a = 1º
• D(f) = R Im(f) = (0, +∞)
• x = 0 ⇒ f(0) = a0 = 1º
Ü ÑÔÐÓ º¿º × Ó Ö Ó Ö
Ó × ÙÒ × ÜÓ
µ f(x) = 2x
µ f(x) =
1
2
x
¾¼

º¿º ÍÆ Ë ÌÊÁ ÇÆÇÅ ÌÊÁ Ë ¾½
¾¹µ ÙÒ Ó ÄÓ Ö Ø Ñ
f(x) = loga x¸ ÓÒ 0 a a = 1º
• D(f) = (0, +∞) Im(f) = R
• f(1) = loga 1 = 0º
Ü ÑÔÐÓ º º × Ó Ö Ó Ö
Ó × ÙÒ × ÜÓ
µ f(x) = log10 x
µ g(x) = ln(x)

µ g(x) = log1
2
x
º¿ ÙÒ × ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ
×
Ò Ó º¾º ÙÑ ÙÒ Ó f(x)¸ Þ ÑÓ× ÕÙ
µ f(x) Ô Ö × f(−x) = f(x)¸ ∀x ∈ D(f)
µ f(x) ÑÔ Ö × f(−x) = −f(x)¸ ∀x ∈ D(f)º
Ç Ö
Ó ÙÑ ÙÒ Ó Ô Ö × Ñ ØÖ
Ó Ñ Ö Ð Ó Ó ÜÓ y Ó Ö
Ó ÙÑ ÙÒ Ó
ÑÔ Ö × Ñ ØÖ
Ó Ñ Ö Ð Ó ÓÖ Ñº
Ü ÑÔÐÓ º º
µ f(x) = x2 ÙÑ ÙÒ Ó Ô Öº
µ f(x) = x3 ÙÑ ÙÒ Ó ÑÔ Öº
Ò Ó º¿º ÙÒ Ó Ô Ö
Þ ÑÓ× ÕÙ ÙÑ ÙÒ Ó f(x) Ô Ö
× Ü ×Ø Ö T ∈ R¸ ÓÒ T = 0¸ Ø Ð ÕÙ f(x+T) =
f(x), ∀x ∈ D(f)º Æ ×Ø
×Ó¸ Þ ÑÓ× ÕÙ f Ø Ñ Ô Ö Ó Ó Ù Ð Tº
½¹µ ÙÒ Ó Ë ÒÓ f(x) = sen(x)
• D(f) = R Im(f) = [−1, 1]
• sen(x) ÙÑ ÙÒ Ó ÑÔ Ö
• Ô Ö Ó Ó T = 2πº
¾¹µ ÙÒ Ó Ó×× ÒÓ f(x) = cos(x)
• D(f) = R Im(f) = [−1, 1]

º º Ê ÁÇË ¾¾
• cos(x) ÙÑ ÙÒ Ó Ô Ö
• Ô Ö Ó Ó T = 2π
• cos(x) = sen x + π
2 º
º Ü Ö

Ó×
Ü Ö

Ó º½º Ò
ÓÒØÖ ÜÔÖ ×× Ó ÙÒ Ó ÒÚ Ö× º
µ y = 3x + 4
µ y =
1
x − 3

µ y =
√
x − 1
Ü Ö

Ó º¾º Ñ
ÙÑ Ó× Ü Ö

Ó× Ø ÖÑ Ò ÖÑÙÐ ÙÒ Ó ÒÚ Ö× º Þ Ö Ó×
Ö
Ó× × ÙÒ Ó ×Ù ÒÚ Ö× º
µ y = 3x + 4
µ y = x2 − 4¸ x ≤ 0

µ y = x2 − 4¸ x ≥ 0
Ü Ö

Ó º¿º ÅÓ×ØÖ ÕÙ ÙÒ Ó y = f(x) =
x + 2
2x − 1

Ó Ò

ÓÑ ×Ù ÒÚ Ö× ¸ ×ØÓ ¸
f(f(x)) = xº
Ü Ö

Ó º º Ë f(x) = 2x¸ ÑÓ×ØÖ Ö ÕÙ f(x + 3) − f(x − 1) =
15
2
f(x)º
Ü Ö

Ó º º ÓÒ×ØÖÙ Ö Ó Ö
Ó × × Ù ÒØ × ÙÒ ×
µ f(x) = 3x µ f(x) =
1
3
x

µ f(x) = 10
1
x
µ f(x) = e−x2
µ f(x) = ln(−x) µ f(x) = ln(x + 1)
Ü Ö

Ó º º ÓÒ×ØÖÙ Ó Ö
Ó
Ð
ÙÐ Ó Ô Ö Ó Ó × × Ù ÒØ × ÙÒ × ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ
×º
µ f(x) = sen(2x) µ f(x) = cos(2x)
µ f(x) = sen x +
π
2
µ f(x) = sen x −
π
2
µ f(x) = cos x +
π
2
µ f(x) = cos x −
π
2

Ô ØÙÐÓ
ÙÐ
º½ Ñ × ÙÒ × ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ
×
¿¹µ ÙÒ Ó Ì Ò ÒØ Ë
ÒØ
tg(x) =
sen(x)
cos(x)
sec(x) =
1
cos(x)
• D(tg) = D(sec) = {x : cos(x) = 0}
• Im(tg) = R Im(sec) = R − (−1, 1)
• tg(x) Ø Ñ Ô Ö Ó Ó T = π sec(x) Ø Ñ Ô Ö Ó Ó T = 2πº
¹µ ÙÒ Ó ÓØ Ò ÒØ Ó××
ÒØ
cotg(x) =
cos(x)
sen(x)
cossec(x) =
1
sen(x)
• D(cotg) = D(cossec) = {x : sen(x) = 0}
• Im(cotg) = R Im(cossec) = R − (−1, 1)
• cotg(x) Ø Ñ Ô Ö Ó Ó T = π cossec(x) Ø Ñ Ô Ö Ó Ó T = 2πº
¹µ ÙÒ Ó Ö
Ó¹Ë ÒÓ f(x) = arcsen(x)
y = arcsen(x) ⇔ sen(y) = x
• D(f) = [−1, 1]
• Im(f) = −
π
2
,
π
2
º
¾¿

º¾º Ê ÁÇË ¾
Ü ÑÔÐÓ º½º sen
π
2
= 1 ⇒ arcsen(1) =
π
2
¹µ ÙÒ Ó Ö
Ó¹ Ó×× ÒÓ f(x) = arccos(x)
y = arccos(x) ⇔ cos(y) = x
• D(f) = [−1, 1]
• Im(f) = [0, π]º
Ü ÑÔÐÓ º¾º cos
π
2
= 0 ⇒ arccos(0) =
π
2
¹µ ÙÒ Ó Ö
Ó¹Ì Ò ÒØ f(x) = arctg(x)
y = arctg(x) ⇔ tg(y) = x
• D(f) = R
• Im(f) = −
π
2
,
π
2
º
Ü ÑÔÐÓ º¿º tg
π
4
= 1 ⇒ arctg(1) =
π
4
¹µ Ñ × ÁÒÚ Ö× ×
y = arccotg(x) =
π
2
− arctg(x)
y = arcsec(x) = arccos
1
x
y = arccossec(x) = arcsen
1
x
º¾ Ü Ö

Ó×
Ü Ö

Ó º½º ÓÒ×ØÖÙ Ó Ö
Ó
Ð
ÙÐ Ó Ô Ö Ó Ó × × Ù ÒØ × ÙÒ × ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ
×º
µ f(x) = arccos(x)
µ f(x) = arcoseno(x)

µ f(x) = arctg(x)

Ô ØÙÐÓ
ÙÐ
º½ Ä Ñ Ø ×
Î ÑÓ× Ò Ð × Ö × × ÕÙ Ò
× ÜÓ
½º 1,
1
2
,
1
3
,
1
4
,
1
5
, ...
¾º {1, 2, 3, 4, 5, . . .}
¿º {0, −1, −2, −3, −4, −5, ...}
Æ × ÕÙ Ò
(1) Ó× Ø ÖÑÓ× ØÓÖÒ Ñ¹×
Ú Þ Ñ × ÔÖ Ü ÑÓ× Þ ÖÓº Þ ÑÓ× ÕÙ x

ÓÒÚ Ö Ô Ö 0 ÒÓØ ÑÓ× ÔÓÖ x → 0º
Æ × ÕÙ Ò
(2)¸ Ó ÙÑ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð¸ ÔÓ ÑÓ× Ò
ÓÒØÖ Ö ÙÑ Ò Ñ ÖÓ Ñ ÓÖ Ò × ÕÙ Ò
º
Þ ÑÓ× ÕÙ x Ø Ò Ó Ò Ò ØÓ ÒÓØ ÑÓ× ÔÓÖ x → ∞º ÓÖÑ Ò ÐÓ ¸ Ò × ÕÙ Ò
(3)
Þ ÑÓ× ÕÙ x Ø Ò Ñ ÒÓ× Ò Ò ØÓ ÒÓØ ÑÓ× ÔÓÖ x → −∞º
Ü ÑÔÐÓ º½º Ë y = 1 −
1
x
º Ë x → ∞¸ y
ÓÒÚ Ö Ô Ö ÕÙ Ð Ò Ñ ÖÓ
Ü ÑÔÐÓ º¾º ÆÓ Ò×Ø ÒØ t = 0 ÙÑ
ÓÖÔÓ Ò
ÙÑ ÑÓÚ Ñ ÒØÓ Ñ Ð Ò Ö Ø º ËÙ ÔÓ× Ó ÒÓ
Ò×Ø ÒØ t Ô Ð ÙÒ Ó s(t) = 16t − t2º
µ ÉÙ Ð Ú ÐÓ
Ñ ÒÓ ÒØ ÖÚ ÐÓ Ø ÑÔÓ [2, 4]
µ ÉÙ Ð Ú ÐÓ
ÒÓ Ò×Ø ÒØ t = 2
Ò Ó º½º Ë f(x) ÙÑ ÙÒ Óº Þ ÑÓ× ÕÙ Ó Ð Ñ Ø f(x) ÕÙ Ò Ó x
ÓÒÚ Ö Ô Ö
L¸ ×
Ö Ú ÑÓ×
lim
x→a
f(x) = L,
× Ô Ö ØÓ Ó ǫ 0¸ Ü ×Ø ÙÑ δ 0 Ø Ð ÕÙ
|f(x) − L| ǫ × ÑÔÖ ÕÙ 0 |x − a| δ.
¾

º¾º Ê ÁÇË ¾
Ü ÑÔÐÓ º¿º lim
x→1
(3x − 1) = 2º
Ü ÑÔÐÓ º º Í× Ò Ó Ò Ó ÔÖÓÚ ÕÙ
µ lim
x→1
(2x − 5) = −3
µ lim
x→2
(2x − 3) = 1

µ lim
x→4
x2
= 16
º¾ Ü Ö

Ó×
Ü Ö

Ó º½º ÅÓ×ØÖ ÕÙ Ó Ð Ñ Ø f(x) = 4x − 5 Ñ x = 3 Ù Ð 7º
Ü Ö

Ó º¾º ÆÓ× Ü Ö

Ó× ÜÓ Ó lim
x→a
f(x) = Lº Ø ÖÑ Ò Ö ÙÑ Ò Ñ ÖÓ δ Ô Ö Ó ǫ
Ó Ø Ð ÕÙ |f(x) − L| ǫ × ÑÔÖ ÕÙ 0 |x − a| δº
µ lim
x→2
(2x + 4) = 8¸ ǫ = 0, 01
µ lim
x→−1
(−3x + 7) = 10¸ ǫ = 0, 5

µ lim
x→−2
x2 − 4
x + 2
= −4¸ ǫ = 0, 1
µ lim
x→5
1
2 − x
= −
1
3
¸ ǫ = 0, 25
µ lim
x→1
x2 − 1
x − 1
= 2¸ ǫ = 0, 75

Ô ØÙÐÓ
ÙÐ
º½ ÈÖÓÔÖ × Ð Ñ Ø ×
ÈÖÓÔÓ× Ó º½º ÍÒ
Ó Ð Ñ Ø
Ë lim
x→a
f(x) = L1 lim
x→a
f(x) = L2 ÒØ Ó L1 = L2º
ÈÖÓÔÓ× Ó º¾º Ë a, m, n ∈ R ÒØ Ó
lim
x→a
(mx + n) = ma + n
ÑÓÒ×ØÖ Ó
ÈÖÓÔÖ º½º Ë lim
x→a
f(x) lim
x→a
g(x) Ü ×Ø Ñ¸ c ∈ R¸ ÒØ Ó
½º lim
x→a
[f(x) ± g(x)] = lim
x→a
f(x) ± lim
x→a
g(x)
¾º lim
x→a
cf(x) = c lim
x→a
f(x)
¿º lim
x→a
[f(x) · g(x)] = lim
x→a
f(x) · lim
x→a
g(x)
º lim
x→a
f(x)
g(x)
=
lim
x→a
f(x)
lim
x→a
g(x)
¸ × ÕÙ lim
x→a
g(x) = 0
º lim
x→a
[f(x)]n
= lim
x→a
f(x)
n
¸ Ô Ö ÕÙ ÐÕÙ Ö ÒØ ÖÓ ÔÓ× Ø ÚÓ n
º lim
x→a
n
f(x) = n lim
x→a
f(x)¸ × lim
x→a
f(x) 0 n ÒØ ÖÓ ÓÙ × lim
x→a
f(x) 0 n ÒØ ÖÓ
ÔÓ× Ø ÚÓ ÑÔ Ö
º lim
x→a
sen[f(x)] = sen lim
x→a
f(x)
º lim
x→a
cos[f(x)] = cos lim
x→a
f(x)
º lim
x→a
ln[f(x)] = ln lim
x→a
f(x) ¸ × lim
x→a
f(x) 0
¾

º¾º ÄÁÅÁÌ Ë Ä Ì Ê ÁË ¾
½¼º lim
x→a
ef(x)
= e
lim
x→a
f(x)
Ü ÑÔÐÓ º½º Ð
ÙÐ Ó× Ð Ñ Ø × ÜÓ
µ lim
x→2
(x2
+ 3x + 5)
µ lim
x→−2
x4 − 4x + 1
ÈÖÓÔÓ× Ó º¿º Ë f(x) ≤ h(x) ≤ g(x)¸ Ô Ö ØÓ Ó x Ñ ÙÑ ÒØ ÖÚ ÐÓ
ÓÒØ Ò Ó a¸ Ü
ØÓ
ÔÓ×× Ú ÐÑ ÒØ Ñ x = a¸ ×
lim
x→a
f(x) = lim
x→a
g(x) = L
ÒØ Ó¸
lim
x→a
h(x) = L
Ü ÑÔÐÓ º¾º Ð
ÙÐ lim
x→0
x2
sen
1
x
º¾ Ä Ñ Ø × Ð Ø Ö ×
Ì Ñ Ñ ÔÓ ÑÓ×
Ð
ÙÐ Ö Ð Ñ Ø × ÙÒ Ó Ò Ð × Ò Ó Ó Ö
Ó ÙÑ ÙÒ Óº Î ÑÓ× Ó
Ü ÑÔÐÓ ÜÓº
Ü ÑÔÐÓ º¿º Ë y =
1
x
º Ë x → 0¸ y
ÓÒÚ Ö Ô Ö ÕÙ Ð Ò Ñ ÖÓ
Ç × ÖÚ Ò Ó Ó Ö
Ó y =
1
x
¸ ÒÓØ ÑÓ× ÕÙ y → ∞ ÕÙ Ò Ó x → 0¸
ÓÑ Ú ÐÓÖ × Ñ ÓÖ ×
ÕÙ 0¸ ÕÙ y → −∞ ÕÙ Ò Ó x → 0¸
ÓÑ Ú ÐÓÖ × Ñ ÒÓÖ × ÕÙ 0º Æ ×Ø
×Ó¸ ×Ø ÑÓ× ÒÓ×
Ö Ö Ò Ó Ó× Ð Ñ Ø × Ð Ø Ö ×
lim
x→0+
1
x
= ∞ Ð Ñ Ø Ð Ø Ö Ð Ö Ø
lim
x→0−
1
x
= −∞ Ð Ñ Ø Ð Ø Ö Ð ×ÕÙ Ö
Ò Ó º½º Ë f Ò Ñ (a, c)º Þ ÑÓ× ÕÙ L Ó Ð Ñ Ø Ö Ø f ÕÙ Ò Ó x
Ø Ò Ô Ö a¸ ×
Ö Ú ÑÓ×
lim
x→a+
f(x) = L,
× Ô Ö ØÓ Ó ǫ 0 Ü ×Ø Ö δ 0 Ø Ð ÕÙ
|f(x) − L| ǫ × ÑÔÖ ÕÙ a x a + δ.

º¿º Ê ÁÇË ¾
Ò Ó º¾º Ë f Ò Ñ (d, a)º Þ ÑÓ× ÕÙ L Ó Ð Ñ Ø ×ÕÙ Ö f ÕÙ Ò Ó x
Ø Ò Ô Ö a¸ ×
Ö Ú ÑÓ×
lim
x→a−
f(x) = L,
× Ô Ö ØÓ Ó ǫ 0 Ü ×Ø Ö δ 0 Ø Ð ÕÙ
|f(x) − L| ǫ × ÑÔÖ ÕÙ a − δ x a.
Ü ÑÔÐÓ º º Ë f(x) =



2x, × x ≥ 0
1, × x 0
º Ð
ÙÐ
µ lim
x→0+
f(x)
µ lim
x→0−
f(x)º
Ì ÓÖ Ñ º½º Ë f Ò Ñ ÙÑ ÒØ ÖÚ ÐÓ ÖØÓ
ÓÒØ Ò Ó a¸ Ü
ØÓ ÔÓ×× Ú ÐÑ ÒØ ÒÓ ÔÓÒØÓ
a¸ ÒØ Ó
lim
x→a
f(x) = L ⇔ lim
x→a+
f(x) = lim
x→a−
f(x) = L.
Ü ÑÔÐÓ º º
µ Ó Ü ÑÔÐÓ ÒØ Ö ÓÖ¸ Ø ÑÓ×
lim
x→0
f(x) = ∄, ÔÓ × lim
x→0+
f(x) = lim
x→0−
f(x).
µ Ë f(x) = |x|º Ð
µ lim
x→0+
f(x)
µ lim
x→0−
f(x)
µ lim
x→0
f(x)
º¿ Ü Ö

Ó×
Ü Ö

Ó º½º ÑÓÒ×ØÖ ÕÙ lim
x→0
x · sen
1
x
= 0º
Ü Ö

Ó º¾º Ð
ÙÐ Ó× Ð Ñ Ø × ÜÓ Ù× Ò Ó × ÔÖÓÔÖ × Ð Ñ Ø ×º
µ lim
x→0
(3 − 7x − 5x2
) µ lim
x→3
(3x2
− 7x + 2)
µ lim
x→−1
(−x5
+ 6x4
+ 2)
µ lim
x→ 1
2
(2x + 7) µ lim
x→−1
(x + 4)3
· (x + 2)−1
µ lim
x→0
(x − 2)10
· (x + 4)
µ lim
x→2
x + 4
3x − 1
µ lim
t→2
t + 3
t + 2
µ lim
t→2
t2 + 5t + 6
t + 2
µ lim
t→2
t2 − 5t + 6
t − 2
µ lim
x→4
3
√
2x + 3 Ðµ lim
x→7
(3x + 2)2/3
Ñµ lim
x→
√
2
2x2 − x
3x
Òµ lim
x→2
x
√
x −
√
2
3x − 4
Óµ lim
x→4
(ex
+ 4x)
Ôµ lim
x→ π
2
[2sen(x) − cos(x)] Õµ lim
x→ π
2
[cos(x) + cotg(x)]

º¿º Ê ÁÇË ¿¼
Ü Ö

Ó º¿º Ë f(x) =



x − 1, x ≤ 3
3x − 7, x 3
º Ð
ÙÐ
µ lim
x→3−
f(x) µ lim
x→3+
f(x)
µ lim
x→3
f(x)
µ lim
x→5−
f(x) µ lim
x→5+
f(x) µ lim
x→5
f(x)
Ü Ö

Ó º º Î Ö ÕÙ × lim
x→1
1
x − 1
Ü ×Ø º
Ü Ö

Ó º º Ë f(x) =



1
x
, x 0
x2, 0 ≤ x 1
2, x = 1
2 − x, x 1
º × Ó
Ó Ö
Ó
Ð
× Ü ×Ø Ö Ñ
µ lim
x→−1
f(x) µ lim
x→1
f(x)
µ lim
x→0+
f(x)
µ lim
x→0−
f(x) µ lim
x→0
f(x) µ lim
x→2+
f(x)
µ lim
x→2−
f(x) µ lim
x→2
f(x)

Ô ØÙÐÓ ½¼
ÙÐ ½¼
½¼º½ Ä Ñ Ø × Ò Ø ÖÑ Ò Ó×
Ò Ó ½¼º½º ÉÙ Ò Ó
Ð
ÙÐ ÑÓ× Ó Ð Ñ Ø ÙÑ ÙÒ Ó Ó Ø ÑÓ× ÙÑ Ó× Ö ×ÙÐØ Ó× ÜÓ¸
0
0
;
∞
∞
; ∞ − ∞ ; 0 × ∞ ; 00
; ∞0
; 1∞
,
Þ ÑÓ× ÕÙ ×Ø ÙÑ Ð Ñ Ø Ò Ø ÖÑ Ò Óº
Æ ×Ø
×Ó¸ Ú ÑÓ× ÙØ Ð Þ Ö Ð ÙÑ ÖØ
Ó Ð Ö
Ó Ô Ö Ð Ñ Ò Ö ×Ø Ò Ø ÖÑ Ò Óº
Ü ÑÔÐÓ ½¼º½º ØÓÖ Ó
• lim
x→1
x2 − 3x + 2
x2 − 1
Ü ÑÔÐÓ ½¼º¾º Ê
ÓÒ Ð Þ Ó
• lim
x→0
√
x + 2 −
√
2
x
Ü ÑÔÐÓ ½¼º¿º ÅÙ Ò Ú Ö Ú Ð
• lim
x→1
3
√
x − 1
√
x − 1
½¼º¾ Ü Ö

Ó×
Ü Ö

Ó ½¼º½º È Ö
ÙÑ × × Ù ÒØ × ÙÒ × ÜÓ
Ð
ÙÐ lim
x→2
f(x) − f(2)
x − 2
º
µ f(x) = 3x2
µ f(x) = x3º
Ü Ö

Ó ½¼º¾º Ð
ÙÐ Ó× Ð Ñ Ø × Ò Ø ÖÑ Ò Ó× ÜÓº
µ lim
x→−1
x3 + 1
x2 − 1
¿½

½¼º¾º Ê ÁÇË ¿¾
µ lim
t→−2
t3 + 4t2 + 4t
(t + 2)(t − 3)

µ lim
x→2
x2 + 3x − 10
3x2 − 5x − 2
µ lim
t→ 5
2
2t2 − 3t − 5
2t − 5
µ lim
x→−1
x2 − 1
x2 + 3x + 2
µ lim
x→2
x2 − 4
x − 2
µ lim
t→0
√
25 + 3t − 5
t
µ lim
h→1
√
h − 1
h − 1
µ lim
x→0
√
1 + x − 1
−x
µ lim
x→1
3
√
x − 1
4
√
x − 1
µ lim
x→0
√
1 + x −
√
1 − x
x
º

Ô ØÙÐÓ ½½
ÙÐ ½½
½½º½ Ä Ñ Ø × ÒÓ Ò Ò ØÓ
Ì ÓÖ Ñ ½½º½º Ë f(x) = anxn + an−1xn−1 + ... + a1x + a0¸
ÓÑ an = 0 n ∈ N¸ ÒØ Ó
µ lim
x→+∞
xn
= +∞
µ lim
x→−∞
xn
=



+∞, n Ô Ö
−∞, n ÑÔ Ö
µ lim
x→+∞
f(x) = lim
x→+∞
anxn
Úµ lim
x→−∞
f(x) = lim
x→−∞
anxn
Ü ÑÔÐÓ ½½º½º Ð
ÙÐ
µ lim
x→+∞
(4x2
− 7x + 3)
µ lim
x→+∞
(−3x3
+ 2x2
− 5x + 3)

µ lim
x→−∞
(5x3
− 4x2
− 3x + 2)
Ì ÓÖ Ñ ½½º¾º Ë n ∈ N¸ ÒØ Ó
µ lim
x→+∞
1
xn
= 0
µ lim
x→−∞
1
xn
= 0
Ü ÑÔÐÓ ½½º¾º Ð
ÙÐ Ó× Ð Ñ Ø × ÒÓ Ò Ò ØÓ ÜÓ
µ lim
x→+∞
2x − 5
x + 8
µ lim
x→−∞
2x3 − 3x + 5
4x5 − 2

µ lim
x→∞
2x + 5
√
2x2 − 5
º
¿¿

½½º¾º ÄÁÅÁÌ Ë ÁÆ ÁÆÁÌÇË ¿
½½º¾ Ä Ñ Ø × Ò Ò ØÓ×
Ì ÓÖ Ñ ½½º¿º Ë n ∈ N¸ ÒØ Ó
µ lim
x→0+
1
xn
= +∞
µ lim
x→0−
1
xn
=



+∞, × Ò Ô Ö
−∞, × Ò ÑÔ Ö
Ü ÑÔÐÓ ½½º¿º Ð
µ lim
x→2+
3
x − 2
µ lim
x→2+
−3
x − 2

µ lim
x→3−
x
(x − 3)3
µ lim
x→2+
x2 + 3x + 1
x2 + x − 6
µ lim
x→2−
x2 + 3x + 1
x2 + x − 6
µ lim
x→2
x2 + 3x + 1
x2 + x − 6
½½º¿ Ü Ö

Ó×
Ü Ö

Ó ½½º½º Ð
ÙÐ Ó× Ð Ñ Ø × ÜÓº
µ lim
x→+∞
(3x3
+ 4x2
− 1) µ lim
x→+∞
2 −
1
x
+
4
x2

µ lim
t→+∞
t + 1
t2 + 1
µ lim
t→−∞
t + 1
t2 + 1
µ lim
t→+∞
t2 − 2t + 3
2t2 + 5t − 3
µ lim
x→+∞
2x5 − 3x3 + 2
−x2 + 7
µ lim
x→−∞
3x5 − x2 + 7
2 − x2
µ lim
x→+∞
−5x3 + 2
7x3 + 3
µ lim
x→3+
x
x − 3
µ lim
x→3−
x
x − 3
µ lim
x→2+
x
x2 − 4
Ðµ lim
x→2−
x
x2 − 4
Ñµ lim
y→6+
y + 6
y2 − 36
Òµ lim
y→6−
y + 6
y2 − 36
Óµ lim
x→4+
3 − x
x2 − 2x − 8
Ôµ lim
x→4−
3 − x
x2 − 2x − 8

Ô ØÙÐÓ ½¾
ÙÐ ½¾
½¾º½ ×× ÒØÓØ ×
Ò Ó ½¾º½º Ö Ø x = a ÙÑ ×× ÒØÓØ Ú ÖØ
Ð y = f(x) × Ó
ÓÖÖ Ö Ô ÐÓ Ñ ÒÓ× ÙÑ
Ó×
×Ó× ÜÓ
µ lim
x→a+
f(x) = +∞
µ lim
x→a−
f(x) = +∞
µ lim
x→a+
f(x) = −∞
Úµ lim
x→a−
f(x) = −∞
Ü ÑÔÐÓ ½¾º½º Ö Ø x = 2 ÙÑ ×× ÒØÓØ Ú ÖØ
Ð f(x) =
1
(x − 2)2
º
Ò Ó ½¾º¾º Ö Ø y = b ÙÑ ×× ÒØÓØ ÓÖ ÞÓÒØ Ð y = f(x) × Ó
ÓÖÖ Ö Ô ÐÓ Ñ ÒÓ× ÙÑ
Ó× Ó ×
×Ó× ÜÓ
µ lim
x→+∞
f(x) = b
µ lim
x→−∞
f(x) = b
Ü ÑÔÐÓ ½¾º¾º Ö Ø y = 0 ÙÑ ×× ÒØÓØ ÓÖ ÞÓÒØ Ð f(x) =
1
(x − 2)2
º
Ü ÑÔÐÓ ½¾º¿º Ð
ÙÐ × ×× ÒØÓØ × Ú ÖØ
× ÓÖ ÞÓÒØ × f(x) =
x
x2 − 9
º
½¾º¾ Ü Ö

Ó×
Ü Ö

Ó ½¾º½º Ø ÖÑ Ò Ö × ×× ÒØÓØ × ÓÖ ÞÓÒØ × Ú ÖØ
× × × Ù ÒØ × ÙÒ ×
µ f(x) =
4
4 − x
¿

½¾º¾º Ê ÁÇË ¿
µ f(x) =
−3
x + 2

µ f(x) =
4
x2 − 3x + 2
µ f(x) =
−1
(x − 3)(x + 4)
µ f(x) =
1
√
x + 4
º
Ü Ö

Ó ½¾º¾º ÓÑ Ó ×Ó ØÛ Ö Ó Ö ¸ ÓÙ Ï ÒÔÐÓØ¸ ÓÙ ÓÙØÖÓ ×Ó ØÛ Ö Ñ Ø Ñ Ø
Ó¸
ÓÒ×ØÖÙ
Ó× Ö
Ó× × ÙÒ × ÜÓ Ò Ð × Ü ×Ø Ò
×× ÒØÓØ ×º
µ f(x) =
x2
ex
µ f(x) =
cos2(x)
x

µ f(x) = sen
π
x
º

Ô ØÙÐÓ ½¿
ÙÐ ½¿
½¿º½ Ä Ñ Ø × ÙÒ Ñ ÒØ ×
ÈÖÓÔÓ× Ó ½¿º½º
lim
x→0
sen(x)
x
= 1
Ü ÑÔÐÓ ½¿º½º
µ lim
x→0
sen(2x)
x
µ lim
x→0
sen(3x)
sen(4x)
ÈÖÓÔÓ× Ó ½¿º¾º
lim
x→±∞
1 +
1
x
x
= e
ÓÒ e ≈ 2, 7182...
Ü ÑÔÐÓ ½¿º¾º ÅÓ×ØÖ ÕÙ lim
x→0
(1 + x)
1
x = eº
ÈÖÓÔÓ× Ó ½¿º¿º
lim
x→0
ax − 1
x
= ln(a),
ÓÒ a 0 a = 1º
Ü ÑÔÐÓ ½¿º¿º Ð
µ lim
x→0
2x − 1
x
µ lim
x→0
ax − bx
x
¿

½¿º¾º ÇÆÌÁÆÍÁ ¿
½¿º¾ ÓÒØ ÒÙ
Ò Ó ½¿º½º Þ ÑÓ× ÕÙ f(x) ÙÑ ÙÒ Ó
ÓÒØ ÒÙ ÒÓ ÔÓÒØÓ x = a × ÓÖ Ñ × Ø × Ø ×
× × Ù ÒØ ×
ÓÒ ×
µ f(x) Ò Ñ x = a
µ lim
x→a
f(x) = f(a)º
Ü ÑÔÐÓ ½¿º º Î Ö ÕÙ × × ÙÒ × ÜÓ × Ó
ÓÒØ ÒÙ × Ñ x = 1º
µ f(x) =
x2 − 1
x − 1
µ f(x) =



x2 − 1
x − 1
, × x = 1
1, × x = 1
ÈÖÓÔÖ ½¿º½º Ë Ñ f(x) g(x) ÙÒ ×
ÓÒØ ÒÙ × Ñ x = a¸ ÒØ Ó
½º (f − g)(x)
ÓÒØ ÒÙ Ñ x = a¸
¾º (f + g)(x)
¿º (f · g)(x)
º
f
g
(x)
ÓÒØ ÒÙ Ñ x = a¸ × ÕÙ g(a) = 0¸
º Ë f(x) ÙÑ ÙÒ Ó ÔÓÐ ÒÓÑ Ð¸ ÒØ Ó f(x)
ÓÒØ ÒÙ Ñ ∀x ∈ R¸
º × ÙÒ × f(x) = sen(x) g(x) = cos(x) × Ó
ÓÒØ ÒÙ × Ñ ∀x ∈ Rº
ÈÖÓÔÓ× Ó ½¿º º Ë f(x)
ÓÒØ ÒÙ Ñ x = a g
ÓÒØ ÒÙ Ñ f(a)¸ ÒØ Ó (g◦f)
ÓÒØ ÒÙ
Ñ x = aº
Ü ÑÔÐÓ ½¿º º (g ◦ f)(x) = sen(x2)
ÓÒØ ÒÙ Ñ x = 0º
ÈÖÓÔÓ× Ó ½¿º º Ë f(x)
ÓÒØ ÒÙ Ñ (a, b)º Ë f(x) Ñ Ø ÒÚ Ö× ¸ ÒØ Ó f−1 : Im(f) →
(a, b)
ÓÒØ ÒÙ º
Ü ÑÔÐÓ ½¿º º Ë f(x) = 2x − 2º
Ò Ó ½¿º¾º Ë f(x) Ò ÒÙÑ ÒØ ÖÚ ÐÓ
Ó [a, b]º
µ Ë lim
x→a+
f(x) = f(a)¸ Þ ÑÓ× ÕÙ f
ÓÒØ ÒÙ Ö Ø ÒÓ ÔÓÒØÓ x = aº

½¿º¿º Ê ÁÇË ¿
µ Ë lim
x→a−
f(x) = f(a)¸ Þ ÑÓ× ÕÙ f
ÓÒØ ÒÙ ×ÕÙ Ö ÒÓ ÔÓÒØÓ x = aº
µ Ë f
ÓÒØ ÒÙ Ñ ØÓ Ó ÔÓÒØÓ Ó ÒØ ÖÚ ÐÓ ÖØÓ (a, b) f
ÓÒØ ÒÙ Ö Ø Ñ x = a¸

ÓÒØ ÒÙ ×ÕÙ Ö Ñ x = b¸ ÒØ Ó Þ ÑÓ× ÕÙ f
ÓÒØ ÒÙ ÒÓ ÒØ ÖÚ ÐÓ
Ó [a, b]º
Ì ÓÖ Ñ ½¿º½ ´ Ó Î ÐÓÖ ÁÒØ ÖÑ Ö Óµº Ë f(x)
ÓÒØ ÒÙ Ñ [a, b] L ∈ R Ø Ð ÕÙ f(a) ≤
L ≤ f(b) ÓÙ f(b) ≤ L ≤ f(a) ÒØ Ó Ü ×Ø Ô ÐÓ Ñ ÒÓ× ÙÑ x ∈ [a, b] Ø Ð ÕÙ f(x) = Lº
½¿º¿ Ü Ö

Ó×
Ü Ö

Ó ½¿º½º Ð
ÙÐ Ó× Ð Ñ Ø × ÜÓ ÔÐ
Ò Ó Ó× Ð Ñ Ø × ÙÒ Ñ ÒØ ×º
µ lim
x→0
sen(9x)
x
µ lim
x→0
sen(4x)
3x

µ lim
x→0
sen(10x)
sen(7x)
µ lim
n→+∞
1 +
1
n
n+5
µ lim
x→+∞
1 +
2
x
x
µ lim
x→+∞
x
1 + x
x
µ lim
x→2
10x−2 − 1
x − 2
µ lim
t→−3
4
x+3
5 − 1
x + 3
µ lim
x→2
5x − 25
x − 2
µ lim
x→2
e−ax − e−bx
x
Ü Ö

Ó ½¿º¾º Î Ö ÕÙ × × ÙÒ × × Ó
ÓÒØ ÒÙ × ÒÓ× ÔÓÒØÓ× Ò
Ó×º
µ f(x) =



sen(x)
x
, x = 0
0, x = 0
Ñ x = 0º
µ f(x) =



x3 − 8
x2 − 4
, x = 2
3, x = 2
Ñ x = 2º

µ f(x) =



x2 − 4
x − 2
, x = 2
3, x = 2
Ñ x = 2º
Ü Ö

Ó ½¿º¿º Ð
ÙÐ p ÑÓ Ó ÕÙ × ÙÒ × ÜÓ × Ñ
ÓÒØ ÒÙ ×
µ f(x) =



x2 − 1
x − 1
, x = 1
2, x = 1
µ f(x) =



x + 2p, x ≤ −1
p2, x −1

µ f(x) =



x2 + p x + 2, x = 3
3, x = 3
º

Ô ØÙÐÓ ½
ÙÐ ½
½ º½ Ê Ø Ø Ò ÒØ
Ë Ñ y = f(x)¸ P(x1, y1) Q(x2, y2) Ó × ÔÓÒØÓ× ×Ø ÒØÓ× Ó Ö
Ó y = f(x)º Ë s Ö Ø
×
ÒØ ÕÙ Ô ×× ÔÓÖ P Qº Ò ÑÓ×
Ó
ÒØ Ò ÙÐ Ö s
ÓÑÓ × Ò Ó
tg(α) =
y2 − y1
x2 − x1
=
∆y
∆x
.
ÓÖ ¸ Ñ ÒØ Ò Ó P ÜÓ ÑÓÚ Ò Ó Q ×Ó Ö
ÙÖÚ Ñ Ö Ó P¸ Ó Ø ÑÓ× × Ù ÒØ
Ò Ó¸
Ò Ó ½ º½º Ë y = f(x) P(x1, y1) ÙÑ ÔÓÒØÓ Ó Ö
Ó f(x)º Ò
Ð Ò Ó Ö Ø t
Ø Ò ÒØ Ó Ö
Ó f(x) ÒÓ ÔÓÒØÓ P Ó ÔÓÖ
m(x1) = lim
Q→P
∆y
∆x
= lim
x2→x1
f(x2) − f(x1)
x2 − x1
ÓÙ
m(x1) = lim
∆x→0
f(x1 + ∆x) − f(x1)
∆x
ÕÙ Ò Ó Ó Ð Ñ Ø Ü ×Ø ¸ ÓÒ ∆x = x2 − x1º
ÕÙ Ó ×Ø Ö Ø t
t : y − f(x1) = m(x1) · (x − x1),
× Ó Ð Ñ Ø Ò Ò Ó 14.1 Ü ×Ø Ö¸ ÓÙ × ÑÔÐ ×Ñ ÒØ
t : x = x1,
× Ó Ð Ñ Ø Ò Ò Ó 14.1 ÓÖ Ù Ð ∞º
Ü ÑÔÐÓ ½ º½º Ò
ÓÒØÖ ÕÙ Ó Ö Ø Ø Ò ÒØ Ó Ö
Ó y = x2 − 2x + 1 ÒÓ ÔÓÒØÓ x = 3
Ç × ÖÚ Ó ½ º½º Ü ÑÔÐÓ 8.2 Ä Ñ Ø º
¼

Ç Å ÍÅ ÈÇÆÌÇ ½
½ º¾ Ö Ú ÙÑ ÙÒ Ó Ñ ÙÑ ÔÓÒØÓ
Ò Ó ½ º¾º Ö Ú f(x) ÒÓ ÔÓÒØÓ x = x1¸ ÒÓØ ÔÓÖ f′(x1) Ò ÔÓÖ
f′
(x1) = m(x1) = lim
∆x→0
f(x1 + ∆x) − f(x1)
∆x
ÕÙ Ò Ó ×Ø Ð Ñ Ø Ü ×Ø º
Ü ÑÔÐÓ ½ º¾º ÙÒ Ó f(x) = 5x2 + 6x − 1¸ Ò
ÓÒØÖ f′(2)º
½ º¿ Ü Ö

Ó×
Ü Ö

Ó ½ º½º ÙÒ Ó f(x) =
√
x¸ Ò
ÓÒØÖ f′(4)º
Ü Ö

Ó ½ º¾º Ø ÖÑ Ò Ö ÕÙ Ó Ö Ø Ø Ò ÒØ × × Ù ÒØ ×
ÙÖÚ ×¸ ÒÓ× ÔÓÒØÓ× Ò
¹
Ó×º × Ó Ö Ó Ö
Ó Ñ

×Óº
µ f(x) = x2 − 1 x = 1¸ x = 0¸ x = a¸ a ∈ Rº
µ f(x) = x2 − 3x + 6 x = −1¸ x = 2º
Ü Ö

Ó ½ º¿º × × ÙÒ × f(x) = 5 − 2x g(x) = 3x2 − 1¸ Ø ÖÑ Ò Ö
µ f′(1) + g′(1)
µ 2f′(0) − g′(−2)

µ f(2) − f′(2)
µ [g′(0)]2 +
1
2
g′
(0) + g(0)
µ f
5
2
−
f′ 5
2
g′ 5
2

Ô ØÙÐÓ ½
ÙÐ ½
½ º½ Ö Ú ÙÑ ÙÒ Ó
Ò Ó ½ º½º Ö Ú ÙÑ ÙÒ Ó y = f(x) ÙÒ Ó ÒÓØ ÔÓÖ f′(x)¸ Ò
ÔÓÖ
f′
(x) = lim
∆x→0
f(x + ∆x) − f(x)
∆x
ÕÙ Ò Ó ×Ø Ð Ñ Ø Ü ×Ø º
Ü ÑÔÐÓ ½ º½º ÙÒ Ó f(x) = 5x2 + 6x − 1¸ Ò
ÓÒØÖ f′(x)º
Ç × ÖÚ Ó ½ º½º
½º Þ ÑÓ× ÕÙ f(x) Ö Ú Ú Ð × Ü ×Ø Ö f′(x) Ô Ö ∀x ∈ D(f)º
¾º ÇÙØÖ × ÒÓØ × y′¸
dy
dx
¸ Dx¸
df
dx
º
Ì ÓÖ Ñ ½ º½º Ë f(x) Ö Ú Ú Ð Ñ x1¸ ÒØ Ó f(x)
ÓÒØ ÒÙ Ñ x1º
½ º¾ Ö Ú × Ð Ø Ö ×
Ò Ó ½ º¾º Ë f(x) Ò Ñ x1º Ò ÑÓ× Ö Ú ×ÕÙ Ö f Ñ x1¸
ÒÓØ ÑÓ× ÔÓÖ f′
−(x1)¸
ÓÑÓ × Ò Ó
f′
−(x1) = lim
∆x→0−
f(x1 + ∆x) − f(x1)
∆x
= lim
x→x−
1
f(x) − f(x1)
x − x1

×Ó ×Ø Ð Ñ Ø Ü ×Ø º
Ò Ó ½ º¿º Ë f(x) Ò Ñ x1º Ò ÑÓ× Ö Ú Ö Ø f Ñ x1¸ ÒÓØ ¹
ÑÓ× ÔÓÖ f′
+(x1)¸
ÓÑÓ × Ò Ó
f′
+(x1) = lim
∆x→0+
f(x1 + ∆x) − f(x1)
∆x
= lim
x→x+
1
f(x) − f(x1)
x − x1

×Ó ×Ø Ð Ñ Ø Ü ×Ø º
¾

½ º¿º Ê ÁÇË ¿
ÍÑ ÙÒ Ó Ö Ú Ú Ð Ñ x = x1¸ ÕÙ Ò Ó × Ö Ú × Ð Ø Ö × Ö Ø ×ÕÙ Ö
Ò ×× ÔÓÒØÓ¸ f′
+(x1) f′
−(x1)¸ Ü ×Ø Ñ × Ó Ù ×º
ÉÙ Ò Ó × Ö Ú × Ð Ø Ö × Ü ×Ø Ñ × Ó Ö ÒØ × Ñ ÙÑ ÔÓÒØÓ x1¸ Þ ÑÓ× ÕÙ ×Ø
ÙÑ ÔÓÒØÓ Ò ÙÐÓ×Ó Ó Ö
Ó ÙÒ Óº
Ü ÑÔÐÓ ½ º¾º Ë f(x) =



3x − 1, × x 2
7 − x × x ≥ 2
µ ÅÓ×ØÖ ÕÙ f
ÓÒØ ÒÙ Ñ x = 2º
µ Ò
ÓÒØÖ f′
+(2) f′
−(2)º
½ º¿ Ü Ö

Ó×
Ü Ö

Ó ½ º½º Í× Ò Ó Ò Ó¸ Ø ÖÑ Ò Ö Ö Ú × × Ù ÒØ × ÙÒ ×
µ f(x) = 1 − 4x2
µ f(x) = 2x2 − x − 1

µ f(x) =
1
x + 2
Ü Ö

Ó ½ º¾º Ð
ÙÐ × Ö Ú × Ð Ø Ö × ÒÓ× ÔÓÒØÓ× ÓÒ ÙÒ Ó Ò Ó Ö Ú Ú Ðº × Ó Ö
Ó Ö
Óº
µ f(x) =



x, × x 1
2x − 1, × x ≥ 1;
µ f(x) =



1 − x2, × |x| 1
0, × |x| ≤ 1;

µ f(x) =



2 − x2, × x −2
−2, × |x| ≤ 2
2x − 6, × x 2;
Ü Ö

Ó ½ º¿º Ë f(x) =



x2 − 1, × |x| ≤ 1
1 − x2, × |x| 1
µ × Ó Ö Ó Ö
Ó fº
µ Î Ö
Ö × f
ÓÒØ ÒÙ ÒÓ× ÔÓÒØÓ× −1 1º

µ Ð
ÙÐ Ö f′
−(−1)¸ f′
+(−1)¸ f′
−(1) f′
+(1)º

Ô ØÙÐÓ ½
ÙÐ ½
½ º½ Ê Ö × Ö Ú Ó
Ì Ð Ö Ú ×
i. y = c ⇒ y′ = 0
ii. y = x ⇒ y′ = 1
iii. y = c · x ⇒ y′ = c
iv. y = u ± v ⇒ y′ = u′ ± v′
v. y = u · v ⇒ y′ = u′ · v + u · v′
vi. y =
u
v
⇒ y′ =
u′ · v − u · v′
v2
vii. y = xα¸ α = 0 ⇒ y′ = αxα−1
Ü ÑÔÐÓ ½ º½º Ö Ú × ÙÒ × ÜÓ
µ y = 2 µ y = 3x

µ y = 3x + 2 µ y = 5x4 + x + 2
µ f(x) = (7x − 1)(x + 4) µ f(t) =
t − 1
t + 1
½ º¾ Ê Ö
ÈÖÓÔÓ× Ó ½ º½º Ë Ñ y = g(u) u = f(x)¸ ÓÙ × ¸ y = g(f(x))º Ë g′(u) =
dy
du
u′(x) =
du
dx
Ü ×Ø Ñ ÒØ Ó Ö Ú y ÔÓÖ
y′
(x) = g′
(u) · u′
= g′
(f(x)) · f′
(x) ÓÙ
dy
dx
=
dy
du
·
du
dx
.
Ü ÑÔÐÓ ½ º¾º Ö Ú × ÙÒ × ÜÓ
µ y = (x2 + 5x + 2)7
µ y = (5x4 + x + 2)2

½ º¿º Ê ÁÇË
Ì Ð Ö Ú ×
1. y = c ⇒ y′ = 0
2. y = x ⇒ y′ = 1
3. y = c · u ⇒ y′ = c · u′
4. y = u + v ⇒ y′ = u′ + v′
5. y = u · v ⇒ y′ = u′ · v + u · v′
6. y =
u
v
⇒ y′ =
u′ · v − u · v′
v2
7. y = uα¸ α = 0 ⇒ y′ = α · uα−1 · u′
Ü ÑÔÐÓ ½ º¿º Ð
ÙÐ Ö Ú × ÙÒ × ÜÓº
µ f(x) = 10(3x2 + 7x − 3)10 µ f(x) =
1
3
(2x5
+ 6x−3
)5

µ f(x) = (3x2 + 6x)10 −
1
x2
µ f(t) =
7t + 1
2t2 + 3
3
µ f(t) = (4t2 − 5t + 2)− 1
3
½ º¿ Ü Ö

Ó×
Ü Ö

Ó ½ º½º Ð
µ f(x) = 3x2 + 6x − 10 µ f(r) = πr

µ f(w) = aw2 + b µ f(x) = 14 −
1
2
x−3
µ f(x) = (2x + 1)(3x2 + 6) µ f(x) = (x − 1)(x + 1)
µ f(x) = (3x5 − 1)(2 − x4) µ f(x) =
2x + 4
3x − 1
µ f(x) =
3
x4
+
5
x5
µ f(x) = 14 −
1
2
x4
+
2
x6
Ü Ö

Ó ½ º¾º ÙÒ Ó f(t) = 3t3 − 4t + 1¸ Ò
ÓÒØÖ f(0) − tf′(0)º
Ü Ö

Ó ½ º¿º Ò
ÓÒØÖ Ö ÕÙ Ó Ö Ø Ø Ò ÒØ
ÙÖÚ y =
2x + 1
3x − 4
ÒÓ ÔÓÒØÓ ×
××
x = −1º

Ô ØÙÐÓ ½
ÙÐ ½
½ º½ Ö Ú × Ð Ñ ÒØ Ö × ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ
×
Ì ÓÖ Ñ ½ º½ ´ Ö Ú ÙÒ Ó ÒÚ Ö× µº Ë y = f(x) Ò Ñ (a, b)º Ë f(x) Ñ Ø
ÙÑ ÙÒ Ó ÒÚ Ö× x = f−1(y) f′(x) Ü ×Ø Ö ÒØ Þ ÖÓ Ô Ö ∀x ∈ (a, b) ÒØ Ó f−1
Ö Ú Ú Ð
f−1 ′
(y) =
1
f′(x)
=
1
f′(f−1(y))
Ü ÑÔÐÓ ½ º½º Ë f(x) = 8x3º Ð
ÙÐ (f−1)′(x)º
Ö Ú × Ð Ñ ÒØ Ö ×
8. y = au ⇒ y′ = au · ln(a) · u′¸ a 0, a = 1
9. y = eu ⇒ y′ = eu · u′
10. y = logu
a ⇒ y′ =
u′
u
· loge
a
11. y = ln(u) ⇒ y′ =
u′
u
12. y = uv ⇒ y′ = v · uv−1 · u′ + uv · ln(u) · v′¸ u 0
Ö Ú × ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ
×
13. y = sen(u) ⇒ y′ = cos(u) · u′
14. y = cos(u) ⇒ y′ = −sen(u) · u′
15. y = tg(u) ⇒ y′ = sec2(u) · u′
Ü ÑÔÐÓ ½ º¾º Ð
µ f(x) = 32x2+3x−1 µ f(x) = ex

µ f(x) = e3x5−x2
µ log2(3x2 + 7x − 1)
µ g(x) = ln(x) µ f(x) = ln(x2 + 2)
µ g(x) = (x2 + 1)3x3−2x+1 µ g(x) = sen(x)
µ y = cos(x2) µ y = cos
1
x

½ º¾º ÊÁÎ Ë ËÍ ËËÁÎ Ë
Ì Ð Ö Ð Ö Ú ×
1. y = c ⇒ y′ = 0
2. y = x ⇒ y′ = 1
3. y = c · u ⇒ y′ = c · u′
4. y = u + v ⇒ y′ = u′ + v′
5. y = u · v ⇒ y′ = u′ · v + u · v′
6. y =
u
v
⇒ y′ =
u′ · v − u · v′
v2
7. y = uα¸ α = 0 ⇒ y′ = αuα−1 · u′
8. y = au ⇒ y′ = au · ln(a) · u′¸ a 0, a = 1
9. y = eu ⇒ y′ = eu · u′
10. y = logu
a ⇒ y′ =
u′
u
· loge
a
11. y = ln(u) ⇒ y′ =
u′
u
12. y = uv ⇒ y′ = v · uv−1 · u′ + uv · ln(u) · v′¸ u 0
13. y = sen(u) ⇒ y′ = cos(u) · u′
14. y = cos(u) ⇒ y′ = −sen(u) · u′
15. y = tg(u) ⇒ y′ = sec2(u) · u′
½ º¾ Ö Ú × ×Ù
×× Ú ×
Ò Ó ½ º½º Ë f(x) Ö Ú Ú Ðº Ë f′(x) ÓÖ Ö Ú Ú Ð¸ ÒØ Ó ×Ù Ö Ú
Ñ
Ö Ú × ÙÒ f Ö ÔÖ × ÒØ ÔÓÖ f′′(x) ÓÙ
d2y
dx2
º
Ü ÑÔÐÓ ½ º¿º Ð
ÙÐ × Ö Ú × × ÙÒ ÓÖ Ñ × ÙÒ × ÜÓ
µ f(x) = 3x2 + 8x + 1
µ f(x) = sen(x2 + 1)
Ç × ÖÚ Ó ½ º½º Ë f′′(x) Ö Ú Ú Ð¸ ×Ù Ö Ú ¸ f′′′(x)¸
Ñ Ö Ú Ø Ö
Ö
fº Ö Ú ÓÖ Ñ n¸ fn(x)¸ Ó Ø Ö Ú Ò Ó Ö Ú fn−1(x)º

½ º¿º Ê ÁÇË
½ º¿ Ü Ö

Ó×
Ü Ö

Ó ½ º½º Ð
µ f(x) = e2x+1 µ f(x) = 2e3x2+6x+7

µ f(x) =
1
3
e3−x
µ f(s) = (7s2
+ 6s − 1)3
+ 2e−3s
µ f(t) =
e−t2
+ 1
t
µ f(x) = sen(2x + 4)
µ f(u) = cos
π
2
− u µ f(θ) = 2cos(2θ2 − 3θ + 1)
µ f(θ) = sen2(θ) + cos2(θ) µ f(x) = e2x cos(3x)
µ f(x) =
sen(x + 1)
ex
Ðµ f(t) = e2 cos(2t)
Ü Ö

Ó ½ º¾º Ð
ÙÐ Ö f′(0)¸ ÓÒ f(x) = e−xcos(3x)º
Ü Ö

Ó ½ º¿º f(x) = e−x¸
Ð
ÙÐ Ö f(0) + xf′(0)º
Ü Ö

Ó ½ º º ÅÓ×ØÖ Ö ÕÙ ÙÒ Ó y = xe−x × Ø × Þ ÕÙ Ó xy′ = (1 − x)yº
Ü Ö

Ó ½ º º ÅÓ×ØÖ Ö ÕÙ ÙÒ Ó y = xe−x2/2 × Ø × Þ ÕÙ Ó xy′ = (1 − x2)yº
Ü Ö

Ó ½ º º Ð
ÙÐ × Ö Ú × ×Ù
×× Ú × Ø ÓÖ Ñ n Ò
º
µ f(x) = 3x4 − 2x n = 5 µ f(x) = 3 − 2x2 + 4x5 n = 10

µ y = e2x+1 n = 3 µ y = ln(2x) n = 2
µ y =
1
ex
n = 4 µ y = −2 cos
x
2
n = 5
Ü Ö

Ó ½ º º
Ö Ö Ú ÓÖ Ñ 100 × ÙÒ ×
µ y = sen(x) µ y = cos(x)
Ü Ö

Ó ½ º º Ë Ñ f(x) g(x) ÙÒ × Ö Ú Ú × Ø 3 ÓÖ Ñº ÅÓ×ØÖ Ö ÕÙ
µ (fg)′′ = gf′′ + 2f′g′ + fg′′
µ (fg)′′′ = gf′′′ + 3f′′g′ + 3f′g′′ + fg′′′º

Ô ØÙÐÓ ½
ÙÐ ½
½ º½ ÔÐ
× Ö Ú
Ò Ó ½ º½º Ì Ü Ñ Ú Ö Ó
Ë Ñ f(x) (a, b) ÙÑ ÒØ ÖÚ ÐÓ Ñ xº Ò ÑÓ× Ø Ü Ñ Ú Ö Ó y Ñ Ö Ð Ó
x
ÓÑÓ × Ò Ó
∆y
∆x
=
f(b) − f(a)
b − a
Ò Ó ½ º¾º Ì Ü Ò×Ø ÒØ Ò Ú Ö Ó
Ö Ú f′(x) Ø Ü Ò×Ø ÒØ Ò Ú Ö Ó¸ ÓÙ × ÑÔÐ ×Ñ ÒØ ¸ Ø Ü Ú Ö Ó
y Ñ Ö Ð Ó xº
Ü ÑÔÐÓ ½ º½º ÆÓ Ò×Ø ÒØ t = 0 ÙÑ
ÓÖÔÓ Ò
ÙÑ ÑÓÚ Ñ ÒØÓ Ñ Ð Ò Ö Ø º ËÙ ÔÓ× Ó
ÒÓ Ò×Ø ÒØ t Ô Ð ÙÒ Ó s(t) = 16t − t2º
µ ÉÙ Ð Ú ÐÓ
Ñ ÒÓ ÒØ ÖÚ ÐÓ Ø ÑÔÓ [2, 4]
µ ÉÙ Ð Ú ÐÓ
ÒÓ Ò×Ø ÒØ t = 2

µ ÉÙ Ð
Ð Ö Ó Ñ ÒÓ ÒØ ÖÚ ÐÓ [0, 4]
µ ÉÙ Ð
Ð Ö Ó ÒÓ Ò×Ø ÒØ t = 4
Ü ÑÔÐÓ ½ º¾º Ë ÙÑ ÕÙ Ö Ó Ð Ó lº Ò
ÓÒØÖ
µ Ø Ü Ñ Ú Ö Ó Ö ÕÙ Ò Ó l Ú Ö 2, 5 Ô Ö 3 Ñ
µ Ø Ü Ú Ö Ó Ö ÕÙ Ò Ó l Ñ 4Ñ

½ º¾º Ê ÁÇË ¼
Ü ÑÔÐÓ ½ º¿º ÍÑ
Ø Ò ÔÓÖ ÙÑ ÑÓÐ ×Ø Ô Ñ
º Ç× × ØÓÖ × ×

Ð
ÙÐ Ñ ÕÙ Ó Ò Ñ ÖÓ Ô ××Ó × Ø Ò × Ô Ð ÑÓÐ ×Ø ÔÓ × ÙÑ Ø ÑÔÓ t ´Ñ Ó Ñ ×
Ô ÖØ Ö Ó ÔÖ Ñ ÖÓ Ô Ñ µ ¸ ÔÖÓÜ Ñ Ñ ÒØ ¸ Ó ÔÓÖ
f(t) = 64t −
t3
3
.
µ ÉÙ Ð Ö Þ Ó ÜÔ Ò× Ó Ô Ñ ÕÙ Ò Ó t = 4 ×
µ ÉÙ Ð Ö Þ Ó ÜÔ Ò× Ó Ô Ñ ÕÙ Ò Ó t = 8 ×

µ ÉÙ ÒØ × Ô ××Ó × × Ö Ó Ø Ò × Ô Ð Ô Ñ ÒÓ 5Ó
Ü ÑÔÐÓ ½ º º Ò Ð ×Ø × ÔÖÓ Ù Ó Ú Ö
Ö Ñ ÕÙ Ñ ÙÑ ÑÓÒØ ÓÖ Ü¸ Ó Ò Ñ ÖÓ Ô ×
ÔÖÓ ÙÞ × Ò × ÔÖ Ñ Ö × Ø ÓÖ × Ö × ØÖ Ð Ó Ó ÔÓÖ
f(t) =



50(t2 + t), Ô Ö 0 ≤ t ≤ 4
200(t + 1), Ô Ö 4 t ≤ 8.
µ ÉÙ Ð Ö Þ Ó ÔÖÓ Ù Ó ´ Ñ ÙÒ × ÔÓÖ ÓÖ µ Ô × 3 ÓÖ × ØÖ Ð Ó Ô × 7 ÓÖ ×
µ ÉÙ ÒØ × Ô × × Ó ÔÖÓ ÙÞ × Ò 8Ó ÓÖ ØÖ Ð Ó
½ º¾ Ü Ö

Ó×
Ü Ö

Ó ½ º½º ÍÑ Ö × ÖÚ Ø Ö Ó Ù ×Ø × Ò Ó ×Ú Þ Ó Ô Ö Ð ÑÔ Þ º ÕÙ ÒØ
Ù ÒÓ Ö × ÖÚ Ø Ö Ó¸ Ñ Ð ØÖÓ×¸ t ÓÖ × Ô × Ó ×
Ó Ñ ÒØÓ Ø Ö
ÓÑ Ó ÔÓÖ
V = 50(80 − t)2
.
Ø ÖÑ Ò Ö
µ Ø Ü Ú Ö Ó Ñ Ó ÚÓÐÙÑ Ù ÒÓ Ö × ÖÚ Ø Ö Ó ÙÖ ÒØ × 10 ÔÖ Ñ Ö × ÓÖ ×
×
Ó Ñ ÒØÓº
µ Ø Ü Ú Ö Ó Ó ÚÓÐÙÑ Ù ÒÓ Ö × ÖÚ Ø Ö Ó Ô × 8 ÓÖ × ×
Ó Ñ ÒØÓº

µ ÕÙ ÒØ Ù ÕÙ × Ó Ö × ÖÚ Ø Ö Ó Ò × 5 ÔÖ Ñ Ö × ÓÖ × ×
Ó Ñ ÒØÓº
Ü Ö

Ó ½ º¾º ÆÙÑ Ö Ò ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ð¸
ÓÒ×Ø ØÓÙ¹× ÕÙ ÙÑ Ú Ñ × ÒÚÓÐÚ Ñ ÒØÓ Ô ×
Ñ Ö Ñ ×
W(t) =



20 +
1
2
(t + 4)2
, × 0 ≤ t ≤ 60
24, 4t + 604, × 60 ≤ t ≤ 90
ÓÒ Ø Ñ Ó Ñ ×º

½ º¾º Ê ÁÇË ½
µ ÉÙ Ð Ö Þ Ó ÙÑ ÒØÓ Ó Ô ×Ó Ú ÕÙ Ò Ó t = 50
µ ÉÙ ÒØÓ Ú ÙÑ ÒØ Ö ÒÓ 51Ó

µ ÉÙ Ð Ö Þ Ó ÙÑ ÒØÓ Ó Ô ×Ó ÕÙ Ò Ó t = 80
µ ÉÙ Ð Ö Þ Ó Ñ Ó ÙÑ ÒØÓ Ó Ô ×Ó Ú ÒÓ ÒØ ÖÚ ÐÓ Ø ÑÔÓ 10, 20℄
µ ÓÑ × Ò × Ö ×ÔÓ×Ø × Ó× Ø Ò× µ
µ¸
ÓÑ ÕÙ ÒØÓ× × Ú Ú × Ö Ø
Ü Ö

Ó ½ º¿º ÍÑ Ô ×
Ò ×Ø × Ò Ó Ö Ò Ô Ö Ð ÑÔ Þ º Ë Ó × Ù ÚÓÐÙÑ Ù Ò
Ð
Ö 90.000l ÔÓ × ÙÑ Ø ÑÔÓ t ÓÖ × ×Ø ÚÓÐÙÑ Ñ ÒÙ Ù 2500t2 Ð ØÖÓ×¸ Ø ÖÑ Ò Ö
µ Ó Ø ÑÔÓ Ò
×× Ö Ó Ô Ö Ó ×Ú Þ Ñ ÒØÓ Ô ×
Ò
µ Ø Ü Ñ ×
Ó Ñ ÒØÓ ÒÓ ÒØ ÖÚ ÐÓ [2, 5]

µ Ø Ü ×
Ó Ñ ÒØÓ ÔÓ × 2 ÓÖ × Ó Ò
Ó Ó ÔÖÓ
××Óº
Ü Ö

Ó ½ º º ÆÙÑ Ô ÕÙ Ò
ÓÑÙÒ Ó Ø Ú ¹× ÙÑ ×Ø Ñ Ø Ú ÕÙ ÕÙ t ÒÓ×
ÔÓÔÙÐ Ó × Ö
p(t) = 20 −
5
t + 1
Ñ Ð Ö ×º
µ ÕÙ 18 Ñ × ×¸ ÕÙ Ð × Ö Ø Ü Ú Ö Ó ÔÓÔÙÐ Ó ×Ø
ÓÑÙÒ
µ ÉÙ Ð × Ö Ú Ö Ó Ö Ð ×Ó Ö ÙÖ ÒØ Ó 18◦ Ñ ×

Ô ØÙÐÓ ½
ÙÐ ½
½ º½ Å Ü ÑÓ× Ñ Ò ÑÓ×
Ò Ó ½ º½º ÍÑ ÙÒ Ó f Ø Ñ Ñ Ü ÑÓ Ö Ð Ø ÚÓ Ñ x = c¸ × Ü ×Ø Ö ÙÑ ÒØ ÖÚ ÐÓ (a, b)¸
ÓÒ c ∈ (a, b) Ø Ð ÕÙ
f(c) ≥ f(x)¸ ∀x ∈ (a, b) ∩ D(f).
Ò Ó ½ º¾º ÍÑ ÙÒ Ó f Ø Ñ Ñ Ò ÑÓ Ö Ð Ø ÚÓ Ñ x = c¸ × Ü ×Ø Ö ÙÑ ÒØ ÖÚ ÐÓ (a, b)¸
ÓÒ c ∈ (a, b) Ø Ð ÕÙ
f(c) ≤ f(x)¸ ∀x ∈ (a, b) ∩ D(f).
Ü ÑÔÐÓ ½ º½º Ò
ÓÒØÖ Ó× ÔÓÒØÓ× Ñ Ü ÑÓ× Ñ Ò ÑÓ× Ö Ð Ø ÚÓ× ÙÒ Ó f(x) = x4 −4x2º
ÈÖÓÔÓ× Ó ½ º½º Ë f(x) Ò Ñ (a, b) f(c) ÙÑ ÜØÖ ÑÓ ´Ñ Ü ÑÓ ÓÙ Ñ Ò ÑÓµ Ö Ð Ø ÚÓ¸
ÓÒ c ∈ (a, b)º Ë f′(c) Ü ×Ø ¸ ÒØ Ó f′(c) = 0º
Ü ÑÔÐÓ ½ º¾º Î Ö
Ö ÔÖÓÔÓ× Ó
Ñ Ô Ö ÙÒ Ó f(x) = x4 − 4x2º
Ò Ó ½ º¿º Ç ÔÓÒØÓ c ∈ D(f) Ø Ð ÕÙ f′(c) = O ÓÙ f′(c) Ò Ó Ü ×Ø ¸
Ñ Ó ÔÓÒØÓ

Ö Ø
Ó º
ÓÒØÖ ¹ Ü ÑÔÐÓ× Ò Ð × × ÙÒ × ÜÓ Ñ x = 0º
µ f(x) = x3º
µ f(x) = |x|º
Ò Ó ½ º º Þ ÑÓ× ÕÙ f(c) Ó Ñ Ü ÑÓ ×ÓÐÙØÓ f(x) ×
c ∈ D(f) f(c) ≥ f(x)¸ ∀x ∈ D(f).
¾

½ º¾º Ê ÁÇË ¿
Ò Ó ½ º º Þ ÑÓ× ÕÙ f(c) Ó Ñ Ò ÑÓ ×ÓÐÙØÓ f(x) × c ∈ D(f)
c ∈ D(f) f(c) ≤ f(x)¸ ∀x ∈ D(f).
Ü ÑÔÐÓ ½ º¿º Ð ×× ÕÙ Ó× ÔÓÒØÓ× ÜØÖ ÑÓ× ÙÒ Ó f(x) = x4 − 4x2º
½ º¾ Ü Ö

Ó×
Ü Ö

Ó ½ º½º Ø ÖÑ Ò Ö Ó× ÔÓÒØÓ×
Ö Ø
Ó× × × Ù ÒØ × ÙÒ ×¸ × Ü ×Ø Ö Ñº
µ y = 3x + 4 µ y = x2 − 3x + 8

µ y = 2 + 2x − x2 µ y = x4 + 4x3
µ y = (x − 2)(x + 4) µ y = 3 − x3
µ y = x3 + 2x2 + 5x + 3 µ y = sen(x)
µ y = cos(x) µ y =
x
x2 − 4
µ f(x) =



x, x 0
x2, x ≥ 0

Ô ØÙÐÓ ¾¼
ÙÐ ¾¼
¾¼º½ Ì ÓÖ Ñ × ×Ó Ö Ö Ú ×
Ì ÓÖ Ñ ¾¼º½ ´ ÊÓÐÐ µº
Ë f(x) ÙÑ ÙÒ Ó
ÓÒØ ÒÙ Ò Ñ ÙÑ ÒØ ÖÚ ÐÓ
Ó [a, b] Ö Ú Ú Ð Ñ (a, b)º Ë
f(a) = f(b)¸ ÒØ Ó Ü ×Ø Ô ÐÓ Ñ ÒÓ× ÙÑ ÔÓÒØÓ c¸ ÓÒ c ∈ (a, b)¸ Ø Ð ÕÙ f′(c) = 0º
Ü ÑÔÐÓ ¾¼º½º Ë f(x) = −x4 + 8x2 + 9º ÅÓ×ØÖ ÕÙ f(x) × Ø × Þ ×
ÓÒ × Ó Ì ÓÖ Ñ
ÊÓÐÐ ÒÓ ÒØ ÖÚ ÐÓ [−3, 3] Ø ÖÑ Ò Ó× Ú ÐÓÖ × c ∈ (−3, 3) ÕÙ × Ø × Þ Ñ f′(c) = 0º
Ì ÓÖ Ñ ¾¼º¾ ´ Ó Î ÐÓÖ Ñ Óµº
ÓÒØ ÒÙ Ò Ñ (a, b)º ÒØ Ó Ü ×Ø ÙÑ Ò Ñ ÖÓ c ∈ (a, b) Ø Ð ÕÙ
f′
(c) =
f(b) − f(a)
b − a
Ü ÑÔÐÓ ¾¼º¾º ÔÐ ÕÙ Ó Ø ÓÖ Ñ
Ñ Ô Ö ÙÒ Ó f(x) = x3 Ñ [−2, 0]º
¾¼º¾ ÙÒ ×
Ö ×
ÒØ ×
Ö ×
ÒØ ×
Ò Ó ¾¼º½º Þ ÑÓ× ÕÙ f(x)¸ Ò Ñ (a, b)
Ö ×
ÒØ Ò ×Ø ÒØ ÖÚ ÐÓ × ∀x1, x2 ∈
(a, b)
× x1 x2 ⇒ f(x1) ≤ f(x2).

¾¼º¿º Ê ÁÇË
Ò Ó ¾¼º¾º Þ ÑÓ× ÕÙ f(x)¸ Ò Ñ (a, b)
Ö ×
ÒØ Ò ×Ø ÒØ ÖÚ ÐÓ × ∀x1, x2 ∈
(a, b)
× x1 x2 ⇒ f(x1) ≥ f(x2).
Ü ÑÔÐÓ ¾¼º¿º Ò
ÓÒØÖ Ó× ÒØ ÖÚ ÐÓ× ÓÒ × ÙÒ × ÜÓ × Ó
Ö ×
ÒØ
Ö ×
ÒØ
µ f(x) = 3x + 5¸
µ f(x) = x2º
ÈÖÓÔÓ× Ó ¾¼º½º Ë f
ÓÒØ ÒÙ Ñ [a, b] Ö Ú Ú Ð Ñ (a, b)¸
µ Ë f′(x) 0¸ ∀x ∈ (a, b) ÒØ Ó f
Ö ×
ÒØ Ñ [a, b]
µ Ë f′(x) 0¸ ∀x ∈ (a, b) ÒØ Ó f
Ö ×
ÒØ Ñ [a, b]º
ÑÓÒ×ØÖ Ó
Ü ÑÔÐÓ ¾¼º º ÔÐ ÕÙ ÔÖÓÔÓ× Ó
Ñ Ò × ÙÒ × ÜÓ
µ f(x) = 3x + 5¸
µ f(x) = x2º
¾¼º¿ Ü Ö

Ó×
Ü Ö

Ó ¾¼º½º Ø ÖÑ Ò Ö Ó× ÒØ ÖÚ ÐÓ× ÒÓ× ÕÙ × × ÙÒ × ÜÓ × Ó
Ö ×
ÒØ × ÓÙ
Ö ×¹

ÒØ ×º
µ f(x) = 2x − 1 µ f(x) = x2 − x + 5

µ f(x) = x3 + 2x2 − 4x + 2 µ f(x) = 3x2 + 6x + 7
µ f(x) = f(x) = x3 + 1 µ f(x) =



2x2 − 4, x ≤ 1
−x − 1, x 1

Ô ØÙÐÓ ¾½
ÙÐ ¾½
¾½º½ Ö Ø Ö Ó× Ô Ö Ø ÖÑ Ò Ö ÜØÖ ÑÓ×
Ì ÓÖ Ñ ¾½º½ ´ Ö Ø Ö Ó ½ Ö Ú µº
Ë f(x)
ÓÒØ ÒÙ Ñ [a, b] Ö Ú Ú Ð Ñ (a, b)¸ Ü
ØÓ ÔÓ×× Ú ÐÑ ÒØ Ñ x = cº
µ Ë f′(x) 0¸ ∀ x c f′(x) 0¸ ∀ x c¸ ÒØ Ó x = c ÙÑ ÔÓÒØÓ Ñ Ü ÑÓ f(x)º
µ Ë f′(x) 0¸ ∀ x c f′(x) 0¸ ∀ x c¸ ÒØ Ó x = c ÙÑ ÔÓÒØÓ Ñ Ò ÑÓ f(x)º
Ü ÑÔÐÓ ¾½º½º Ð ×× ÕÙ Ó ÔÓÒØÓ ÜØÖ ÑÓ f(x) = x2º
Ü ÑÔÐÓ ¾½º¾º Ò
ÓÒØÖ Ó× ÒØ ÖÚ ÐÓ×
Ö ×
Ñ ÒØÓ
Ö ×
Ñ ÒØÓ¸ Ó× Ñ Ü ÑÓ× Ñ Ò ÑÓ×
f(x) = x3 − 6x + 6º
Ì ÓÖ Ñ ¾½º¾ ´ Ö Ø Ö Ó 2 Ö Ú µº
Ë f(x) Ö Ú Ú Ð Ñ (a, b) f′(c) = 0¸ ÓÒ c ∈ (a, b)º
µ Ë f′′(c) 0¸ ÒØ Ó x = c ÙÑ ÔÓÒØÓ Ñ Ü ÑÓ f(x)º
µ Ë f′′(x) 0¸ ÒØ Ó x = c ÙÑ ÔÓÒØÓ Ñ Ò ÑÓ f(x)º
Ü ÑÔÐÓ ¾½º¿º ÍØ Ð Þ Ò Ó Ó Ø ÓÖ Ñ
Ñ ¸
Ð ×× ÕÙ Ó ÔÓÒØÓ ÜØÖ ÑÓ f(x) = x2º
Ì ÓÖ Ñ ¾½º¿ ´ Ï Ö×ØÖ ××µº
ÓÒØ ÒÙ Ò Ñ ÙÑ ÒØ ÖÚ ÐÓ
Ó [a, b]º ÒØ Ó f ××ÙÑ Ñ Ü ÑÓ
Ñ Ò ÑÓ ×ÓÐÙØÓ× Ñ [a, b]º
Ü ÑÔÐÓ ¾½º º Ò
ÓÒØÖ Ó Ñ Ü ÑÓ Ñ Ò ÑÓ ×ÓÐÙØÓ× f(x) = x2 + 6x − 3 Ñ [−4, 2]º

¾½º¾º Ê ÁÇË
¾½º¾ Ü Ö

Ó×
Ü Ö

Ó ¾½º½º Ò
ÓÒØÖ Ö Ó× ÒØ ÖÚ ÐÓ×
Ö ×
Ñ ÒØÓ¸
Ö ×
Ñ ÒØÓ¸ Ó× Ñ Ü ÑÓ× Ó× Ñ Ò ¹
ÑÓ× Ö Ð Ø ÚÓ× × × Ù ÒØ × ÙÒ ×º
µ f(x) = 2x + 5 µ f(x) = 3x2 + 6x + 1

µ g(x) = 4x3 − 8x2 µ h(x) =
1
3
x3
+
1
2
x2
− 6x + 5
µ f(x) = 18x + 3x2 − 4x3
Ü Ö

Ó ¾½º¾º Ò
ÓÒØÖ Ö Ó× ÔÓÒØÓ× Ñ Ü ÑÓ Ñ Ò ÑÓ Ö Ð Ø ÚÓ× × × Ù ÒØ × ÙÒ ×¸ ×
Ü ×Ø Ö Ñº
µ f(x) = 7x2 − 6x + 3 µ g(x) = 4x − x2

µ h(x) =
1
3
x3
+ 3x2
− 7x + 9 µ h(x) =
1
4
x4
−
5
3
x3
+ 4x2
− 4x + 8
Ü Ö

Ó ¾½º¿º Ø ÖÑ Ò Ö Ó× Ñ Ü ÑÓ× Ñ Ò ÑÓ× × × Ù ÒØ × ÙÒ ×¸ ÒÓ× ÒØ ÖÚ ÐÓ× Ò ¹

Ó×º
µ f(x) = 1 − 3x [−2, 2] µ f(x) = x2 − 4 [−1, 3]

µ f(x) = x3 − x2 [0, 5] µ f(x) = cos2(x) [0, 2π]

Ô ØÙÐÓ ¾¾
ÙÐ ¾¾
¾¾º½ ÓÒ
Ú × ÔÓÒØÓ× Ò Ü Ó
Ò Ó ¾¾º½º Ë f(x) ÙÑ ÙÒ Ó
µ × f′(x)
Ö ×
ÒØ ÒØ Ó f Ø
Ò
Ú Ô Ö
Ñ
µ × f′(x)
Ö ×
ÒØ ÒØ Ó f Ø
Ò
Ú Ô Ö ÜÓ
ÈÖÓÔÓ× Ó ¾¾º½º Ë f(x)
ÓÒØ ÒÙ Ñ [a, b] Ö Ú Ú Ð Ø × ÙÒ ÓÖ Ñ Ñ (a, b)
µ Ë f′′(x) 0¸ ∀x ∈ (a, b)¸ ÒØ Ó f
Ò
Ú Ô Ö
Ñ Ñ (a, b)
µ Ë f′′(x) 0¸ ∀x ∈ (a, b)¸ ÒØ Ó f
Ò
Ú Ô Ö ÜÓ Ñ (a, b)
Ü ÑÔÐÓ ¾¾º½º ÙÒ Ó f(x) = x2 − 3x + 2
Ò
Ú Ô Ö
Ñ º
Ò Ó ¾¾º¾º Ë f(x)
ÓÒØ ÒÙ º Ç ÔÓÒØÓ x = c ØÓ ÔÓÒØÓ Ò Ü Ó f ×
µ f
Ò
Ú Ô Ö
Ñ Ñ (a, c)
Ò
Ú Ô Ö ÜÓ Ñ (c, b)¸ ÓÙ
µ f
Ò
Ú Ô Ö ÜÓ Ñ (a, c)
Ò
Ú Ô Ö
Ñ Ñ (c, b)
ÓÒ c ∈ (a, b)º
Ü ÑÔÐÓ ¾¾º¾º Ø ÖÑ Ò Ö Ó× ÔÓÒØÓ× Ò Ü Ó Ó× ÒØ ÖÚ ÐÓ× ÓÒ ÙÒ Ó Ø Ñ
ÓÒ
Ú
Ô Ö
Ñ ÓÙ Ô Ö ÜÓº
µ f(x) = (x − 1)3
µ f(x) = x4 − x2

¾¾º¾º Ê ÁÇË
¾¾º¾ Ü Ö

Ó×
Ü Ö

Ó ¾¾º½º Ø ÖÑ Ò Ö Ó× ÔÓÒØÓ× Ò Ü Ó Ö
ÓÒ
Ö Ó× ÒØ ÖÚ ÐÓ× ÓÒ × ÙÒ ×
× Ù ÒØ × Ø Ñ
ÓÒ
Ú ÚÓÐØ Ô Ö
Ñ ÓÙ Ô Ö ÜÓº
µ f(x) = −x3 + 5x2 − 6x
µ g(x) = 3x4 − 10x3 − 12x2 + 10x + 9

µ f(x) =



2x − x2, x 1
x x ≥ 1

Ô ØÙÐÓ ¾¿
ÙÐ ¾¿
¾¿º½ Ê Ö × Ä³ÀÓ×Ô Ø Ð
ÈÖÓÔÓ× Ó ¾¿º½º Ë Ñ f g ÙÒ × Ö Ú Ú × ÒÙÑ ÒØ ÖÚ ÐÓ ÖØÓ (a, b)¸ Ü
ØÓ ÔÓ×× Ú Ð¹
Ñ ÒØ ¸ Ñ ÙÑ ÔÓÒØÓ c ∈ (a, b)º ËÙÔÓÒ ÑÓ× ÕÙ g′(x) = O Ô Ö ØÓ Ó x = c Ñ (a, b)º
µ Ë lim
x→c
f(x) = lim
x→c
g(x) = 0 lim
x→c
f′(x)
g′(x)
= L¸ ÒØ Ó
lim
x→c
f(x)
g(x)
= lim
x→c
f′(x)
g′(x)
= L
µ Ë lim
x→c
f(x) = lim
x→c
g(x) = ∞ lim
x→c
f′(x)
g′(x)
= L¸ ÒØ Ó
lim
x→c
f(x)
g(x)
= lim
x→c
f′(x)
g′(x)
= L
Ü ÑÔÐÓ ¾¿º½º Ð
µ lim
x→0
2x
ex − 1
µ lim
x→0
sen(x) − x
ex + e−x − 2

µ lim
x→+∞
ex − 1
x3 + 4x
µ lim
x→2
x2 − 4x + 4
x2 − x − 2
µ lim
x→+∞
x2 − 6x + 7
x3 + 7x − 1
¼

¾¿º¾º Ë Ç Ç Êý Á ÇË ½
¾¿º¾ × Ó Ó Ö
Ó×
Ì È Ë Æ ÇÆÌÊ Ê Ë Ë
1 D(f) 4.1
2 ÔÓÒØÓ× ÒØ Ö×
Ó
ÓÑ Ó× ÜÓ×º
3 ÔÓÒØÓ×
Ö Ø
Ó× 19.1
4 ÒØ ÖÚ ÐÓ×
Ö ×
Ñ ÒØÓ
Ö ×
Ñ ÒØÓ 20.2
5 Ñ Ü ÑÓ× Ñ Ò ÑÓ× Ö Ð Ø ÚÓ× 19.1
6
ÓÒ
Ú Ó× ÔÓÒØÓ× Ò Ü Ó 22.1
7 ×× ÒØÓØ × 12.1
8 × Ó Ö Ó Ö
Ó
Ü ÑÔÐÓ ¾¿º¾º × Ó Ö Ó Ö
Ó f(x) = 3x4 − 8x3 + 6x2 + 2º
¾¿º¿ Ü Ö

Ó×
Ü Ö

Ó ¾¿º½º Ð
ÙÐ Ö Ó× × Ù ÒØ × Ð Ñ Ø ×
ÓÑ Ó ÙÜ Ð Ó × Ö Ö × Ä³ÀÓ×Ô Ø Ðº
µ lim
x→0
x2 + 6x
x3 + 7x2 + 5x
µ lim
x→ 1
2
2x2 + x − 1
4x2 − 4x + 1

µ lim
x→3
6 − 2x + 3x2 − x3
x4 − 3x3 − x + 3
µ lim
x→−1
x + 1
2x4 + 2x3 + 3x2 + 2x − 1
µ lim
x→−1
x2 − 1
x2 + 4x + 3
µ lim
x→+∞
x99
ex
µ lim
x→0
x
ex − cos(x)
µ lim
x→2
x2 + x − 6
x2 − 3x + 2
µ lim
x→ π
2
cos(x)
(x − π
2 )2
µ lim
x→∞
x2
(e
1
x − 1)
Ü Ö

Ó ¾¿º¾º × Ó Ö Ó Ö
Ó × × Ù ÒØ × ÙÒ ×
µ y = x3 µ y = x4

µ y = x2 + 4x + 2 µ y = (x − 3)(x + 2)
µ y = −
1
3
x3
+
3
2
x2
− 2x +
5
6
µ y = x3
−
9
2
x2
− 12x + 3
µ h(x) = −
1
4
x4
+
5
3
x3
− 2x2
µ y = x4
− 32x + 48

Ô ØÙÐÓ ¾
ÙÐ ¾
¾ º½ ÈÖÓ Ð Ñ × ÓØ Ñ Þ Ó
Ü ÑÔÐÓ ¾ º½º ÓÑ 80 Ñ ØÖÓ×
Ö
ÙÑ Þ Ò ÖÓ ×
Ö
ÙÒ Ö ÙÑ Ö Ó Ö Ø Ò ÙÐ Ö
ÙÒØÓ ÙÑ Ö Ó Ô Ö
ÓÒ Ò Ö Ð ÙÒ× Ò Ñ ×º Ç Ð Ó Ö Ó Ö Ø Ò ÙÐ Ö ÙÒØÓ Ñ Ö Ñ Ó Ö Ó
Ò Ó
Ö
Óº ÉÙ ÒØÓ Ú × Ö x¸ Ñ Ñ Ñ ØÖÓ× × Ö Ó Ö Ø Ò ÙÐ Ö¸ Ô Ö ÕÙ
Ö
Ö
A × Ñ ÓÖ ÔÓ×× Ú Ð
Ü ÑÔÐÓ ¾ º¾º ÍÑ ÐÔ Ó Ú × Ö
ÓÒ×ØÖÙ Ó Ø Ò Ó ÙÑ Ö Ö Ø Ò ÙÐ Ö 12.100 m2º
ÔÖ ØÙÖ Ü ÕÙ Ü ×Ø ÙÑ ×Ô Ó Ð ÚÖ 25 Ñ Ò Ö ÒØ ¸ 20 Ñ ØÖ × 12 Ñ Ñ
Ð Óº
Ò
ÓÒØÖ × Ñ Ò× × Ó ÐÓØ ÕÙ Ø Ò Ö Ñ Ò Ñ Ò ÕÙ Ð ÔÓ×× × Ö
ÓÒ×ØÖÙ Ó ×Ø ÐÔ Óº
Ü ÑÔÐÓ ¾ º¿º ÍÑ Ö Ù ÔÓØ Ú Ð Ð Ö ÙÑ
ÒØÖ Ð ×Ø
Ñ ÒØÓ × ØÙ Ñ Ö Ñ
ÙÑ Ö Ó 500 Ñ ØÖÓ× Ð Ö ÙÖ ÙÑ
ÓÒ ÙÒØÓ Ø
ÓÒ Ð × ØÙ Ó Ò ÓÙØÖ Ñ Ö Ñ Ó Ö Ó¸
2000 Ñ ØÖÓ× ÜÓ
ÒØÖ Ðº Ç
Ù×ØÓ Ó Ö ØÖ Ú × Ó Ö Ó Ê$640, 00 ÔÓÖ Ñ ØÖÓ¸ ÒÕÙ ÒØÓ¸
Ñ Ø ÖÖ ¸
Ù×Ø Ê$312, 00º ÉÙ Ð ÓÖÑ Ñ ×
ÓÒÑ
× Ò×Ø Ð Ö Ö Ù ÔÓØ Ú Ð
¾ º¾ Ü Ö

Ó×
Ü Ö

Ó ¾ º½º ÍÑ
Ü × Ñ Ø ÑÔ ¸ × ÕÙ Ö ¸ Ú × Ö
ÓÒ×ØÖÙ ÓÖÑ ÕÙ Ó
× Ù ÚÓÐÙÑ × 2500 m3º Ç Ñ Ø Ö Ð × Ú
Ù×Ø Ö Ê$1200, 00 ÔÓÖ m2 Ó Ñ Ø Ö Ð Ó×
Ð Ó× Ê$980, 00 ÔÓÖ m2º Ò
ÓÒØÖ × Ñ Ò× ×
Ü ÑÓ Ó ÕÙ Ó
Ù×ØÓ Ó Ñ Ø Ö Ð ×
Ñ Ò ÑÓ
Ü Ö

Ó ¾ º¾º ÍÑ Ó
ÓÑÔÖ Ñ ÒØÓ l
ÓÖØ Ó Ñ Ó × Ô Ó×º ÓÑ ÙÑ Ð × × Ö ÙÑ

Ö
ÙÐÓ
ÓÑ Ó ÓÙØÖÓ ÙÑ ÕÙ Ö Óº
µ ÓÑÓ Ú ÑÓ×
ÓÖØ Ö Ó Ó Ñ ÕÙ ×ÓÑ × Ù × Ö ×
ÓÑÔÖ Ò × Ô Ð × ÙÖ ×
× Ñ Ò Ñ
µ ÓÑÓ Ú ÑÓ×
ÓÖØ Ö Ó Ó Ñ ÕÙ ×ÓÑ × Ö ×
ÓÑÔÖ Ò × × Ñ Ü Ñ
¾

¾ º¾º Ê ÁÇË ¿
Ü Ö

Ó ¾ º¿º
Ö Ó × Ò Ñ ÖÓ× ÔÓ× Ø ÚÓ×
Ù ×ÓÑ × 70 Ó ÔÖÓ ÙØÓ × Ó Ñ ÓÖ
ÔÓ×× Ú Ðº
Ü Ö

Ó ¾ º º Ø ÖÑ Ò Ö × Ñ Ò× × ÙÑ Ð Ø
Ð Ò Ö
¸
ÓÑ Ø ÑÔ ¸
ÓÑ ÚÓÐÙÑ V ¸
ÓÖÑ ÕÙ ×Ù Ö ØÓØ Ð ´ Ö Ð Ø Ö Ð Ñ × Ö Ø ÑÔ × µ × Ñ Ò Ñ º
Ü Ö

Ó ¾ º º Ù × Ò ×ØÖ × A B Ò
×× Ø Ñ Ù ÔÓØ Ú Ðº ÙÖ ÜÓ ×ÕÙ Ñ Ø Þ
ÔÓ× Ó × Ò ×ØÖ ×¸ Ñ
ÓÑÓ ÔÓ× Ó ÙÑ Ò
Ò Ñ ÒØÓ Ö Ø Ð Ò Ó l¸ Ü ×Ø ÒØ º Ñ
ÕÙ ÔÓÒØÓ Ó Ò
Ò Ñ ÒØÓ Ú × Ö Ò×Ø Ð Ó ÙÑ Ö × ÖÚ Ø Ö Ó ÑÓ Ó ÕÙ Ñ ØÖ Ñ
ÒÓ
× Ö ÙØ Ð Þ × Ñ Ò Ñ
Ü Ö

Ó ¾ º º ÍÑ Ò Ð Ø Ñ ÓÖÑ ÙÑ Ö Ø Ò ÙÐÓ Ò
Ñ Ó ÔÓÖ ÙÑ × Ñ ¹
Ö
ÙÐÓº
Ö
× Ñ Ò× × ÑÓ Ó ÕÙ Ó Ô Ö Ñ ØÖÓ × 3, 2 Ñ Ö Ñ ÓÖ ÔÓ×× Ú Ðº
Ü Ö

Ó ¾ º º ÍÑ Ò
ØÙÖ ×ÑÓ ×Ø ÓÖ Ò Þ Ò Ó ÙÑ × ÖÚ Ó Ö
×¸ ÙÑ Ð
× ØÙ 40 Ñ ÙÑ
Ó×Ø ÕÙ × Ö Ø ¸ Ô Ö ÙÑ
ÕÙ ×Ø 100 Ñ¸
ÓÑÓ ÑÓ×ØÖ
ÙÖ × Ù Öº Ë Ö
Ø Ñ ÙÑ Ú ÐÓ
18 Ñ ÔÓÖ ÓÖ ¸ Ó×
ÖÖÓ× Ø Ñ ÙÑ Ú ÐÓ
Ñ 50 Ñ» ¸ ÓÒ Ú Ö ×Ø Ö × ØÙ ×Ø Ó × Ö
× Ñ ØÓÖÒ Ö Ú Ñ
Ñ × Ö Ô ÔÓ×× Ú Ð
Ü Ö

Ó ¾ º º ÍÑ Ô ×Ø ØÐ Ø ×ÑÓ
ÓÑ
ÓÑÔÖ Ñ ÒØÓ ØÓØ Ð 400 Ñ¸
ÓÒ× ×Ø 2 × Ñ ¹

Ö
ÙÐÓ× Ó × × Ñ ÒØÓ× Ö ØÓ×¸
ÓÒ ÓÖÑ ÙÖ ÜÓº Ø ÖÑ Ò Ö × Ñ Ò× × Ô ×Ø ¸
Ø Ð ÓÖÑ ÕÙ Ö Ö Ø Ò ÙÐ Ö¸ Ñ Ö
Ò ÙÖ ¸ × Ñ Ü Ñ º

Ô ØÙÐÓ ¾
ÙÐ ¾
¾ º½ ÁÒØ Ö Ð Ò Ò
Ò Ó ¾ º½º ÍÑ ÙÒ Ó F(x)
Ñ ÙÑ ÔÖ Ñ Ø Ú ÙÒ Ó f(x) Ñ ÙÑ ÒØ ÖÚ ÐÓ
(a, b)¸ ÓÙ × ÑÔÐ ×Ñ ÒØ ÙÑ ÔÖ Ñ Ø Ú f(x)¸ ×
F′
(x) = f(x)¸ ∀x ∈ (a, b).
Ü ÑÔÐÓ ¾ º½º Î Ö ÕÙ × × ÙÒ × ÜÓ × Ó ÔÖ Ñ Ø Ú × ÙÒ Ó f(x) = x2º
µ F(x) =
x3
3
º
µ F(x) =
x3
3
+ xº

µ F(x) =
x3
3
+ 5º
µ F(x) =
x3
3
+ ç ÓÒ c ∈ Rº
ÈÖÓÔÓ× Ó ¾ º½º Ë Ñ F(x) ÙÑ ÔÖ Ñ Ø Ú ÙÒ Ó f(x) c ∈ R¸ ÒØ Ó ÙÒ Ó g(x) =
F(x) + ç Ø Ñ Ñ¸ ÙÑ ÔÖ Ñ Ø Ú f(x)º
ÈÖÓÔÓ× Ó ¾ º¾º Ë F(x) G(x) × Ó ÔÖ Ñ Ø Ú × ÙÒ Ó f(x) Ñ (a, b)¸ ÒØ Ó Ü ×Ø c ∈ R
Ø Ð ÕÙ
F(x) − G(x) = ç ∀x ∈ (a, b).
Ü ÑÔÐÓ ¾ º¾º È ÐÓ Ü ÑÔÐÓ ¾ º½ Ô Ð ÔÖÓÔÓ× Ó
Ñ ¸ ØÓ ÔÖ Ñ Ø Ú f(x) = x2 Ó
Ø ÔÓ
F(x) =
x3
3
+ c, ÓÒ c ∈ R.

¾ º½º ÁÆÌ Ê Ä ÁÆ ÁÆÁ
Ò Ó ¾ º¾º Ë F(x) ÙÑ ÔÖ Ñ Ø Ú f(x)¸ ÜÔÖ ×× Ó F(x) + c
Ñ ÒØ Ö Ð
Ò Ò ÙÒ Ó f(x) ÒÓØ ÔÓÖ
f(x)dx = F(x) + c.
Ç × ÖÚ Ó ¾ º½º
µ f(x)dx = F(x) + c ⇔ F′(x) = f(x)
µ f(x)dx Ö ÔÖ × ÒØ ÙÑ Ñ Ð ÙÒ ×¸
ÓÑÓ ÑÓ×ØÖ Ó Ü ÑÔÐÓ ÜÓº
Ü ÑÔÐÓ ¾ º¿º
x2
dx =



x3
3
+ 0
x3
3
+ 1
x3
3
− 2
º
º
º
ÈÖÓÔÖ ¾ º½º Ë Ñ f, g : (a, b) → R k ∈ Rº
µ k · f(x)dx = k · f(x)dx
µ (f(x) + g(x)) dx = f(x)dx + g(x)dxº
Ü ÑÔÐÓ ¾ º º Ð
ÙÐ × ÒØ Ö × Ò Ò × ÜÓ
µ 3x2dxº
µ x2 + x dxº
Ì Ð ÒØ Ö ×º
i) dx = x + c
ii)
dx
x
= ln|x| + c
iii) xαdx =
xα+1
α + 1
+ c¸ ÓÒ α ∈ R α = −1
iv) exdx = ex + c
v) sen(x)dx = −cos(x) + c
vi) cos(x)dx = sen(x) + c
vii) axdx =
ax
ln(a)
+ c

¾ º¾º Ê ÁÇË
¾ º¾ Ü Ö

Ó×
Ü Ö

Ó ¾ º½º Ð
ÙÐ Ö ÒØ Ö Ð ¸ Ñ × Ù ¸ Ö Ú Ö × Ö ×ÔÓ×Ø × Ô Ö
ÓÒ Ö Ö Ó× Ö ×ÙÐ¹
Ø Ó×º
µ 3x2
+ 5 +
1
x
dxº
µ 2cos(x) +
1
√
x
dxº

µ 2ex
+
2
x7
dxº
µ
dx
x3
º
µ 9t2
+
1
√
t3
dtº
µ 2x2
− 3
2
dxº
Ü Ö

Ó ¾ º¾º Ð
ÙÐ Ö × ÒØ Ö × Ò Ò ×º
µ
8x4 − 9x3 + 6x2 − 2x + 1
x2
dxº
µ
et
2
+
√
t +
1
t
dtº

µ 3
8(t − 2)6 t +
1
2
3
dtº
Ü Ö

Ó ¾ º¿º Ò
ÓÒØÖ Ö ÙÑ ÔÖ Ñ Ø Ú F ÙÒ Ó f(x) = x2
+ x ÕÙ × Ø × F(1) = 0º
Ü Ö

Ó ¾ º º Ò
ÓÒØÖ Ö ÙÑ ÔÖ Ñ Ø Ú F ÙÒ Ó f(x) =
3
√
x2 + x ÕÙ × Ø × F(1) = 0º
Ü Ö

Ó ¾ º º Ø ÖÑ Ò Ö ÙÒ Ó f(x) Ø Ð ÕÙ
f(x)dx = x2
+
1
2
cos(2x) + c.

Ô ØÙÐÓ ¾
ÙÐ ¾
¾ º½ ÅÙ Ò Ú Ö Ú Ð Ô Ö ÒØ Ö Ó
Ë Ñ f(x) F(x) Ù × ÙÒ × Ø × ÕÙ F′(x) = f(x)º ËÙÔÓÒ ÕÙ g × ÙÑ ÓÙØÖ ÙÒ Ó
Ö Ú Ú Ð Ø Ð ÕÙ y = F(g(x)) × ÙÑ ÙÒ Ó
ÓÑÔÓ×Ø º
ÓÖ ¸ ÙØ Ð Þ Ò Ó Ö Ö
¸ Ø ÑÓ×
y′
(x) = [F(g(x))]′
= F′
(g(x)) · g′
(x) = f(g(x)) · g′
(x).
ÇÙ × ¸ F(g(x)) ÙÑ ÔÖ Ñ Ø Ú f(g(x)) · g′(x)º ÈÓÖØ ÒØÓ¸
f(g(x)) · g′
(x)dx = F(g(x)) + c ´¾ º½µ
ÓÖ ¸ Þ Ò Ó × Ù ÒØ ÑÙ Ò Ú Ö Ú Ð
u = g(x) ⇒ du = g′
(x)dx
×Ù ×Ø ØÙ Ò Ó Ñ (26.1) Ø ÑÓ×
f(g(x)) · g′
(x)dx = f(u)du = F(u) + c = F(g(x)) + c.
Ç × ÖÚ Ó ¾ º½º Æ ÔÖ Ø
¸ Ú ÑÓ× Ò Ö ÙÑ ÙÒ Ó u = g(x) ÓÖÑ ÕÙ ÒØ Ö Ð
Ó Ø × Ñ × × ÑÔÐ ×º
Ü ÑÔÐÓ ¾ º½º Ð
ÙÐ × ÒØ Ö × ÜÓ
µ
2x
1 + x2
dx
µ sen2(x) · cos(x)dx

¾ º¾º Ê ÁÇË
Ì Ð ÒØ Ö ×º
1. du = u + c
2.
du
u
= ln|u| + c
3. uαdu =
uα+1
α + 1
+ c¸ ÓÒ α ∈ R α = −1
4. eudu = eu + c
5. sen(u)du = −cos(u) + c
6. cos(u)du = sen(u) + c
7. audu =
au
ln(a)
+ c
¾ º¾ Ü Ö

Ó×
Ü Ö

Ó ¾ º½º Ð
ÙÐ Ö × ÒØ Ö × ÜÓ Ù× Ò Ó Ó Ñ ØÓ Ó ×Ù ×Ø ØÙ Óº
µ tan(x)dxº
µ
dx
(3x − 5)8
º

µ (2x2 + 2x − 3)10(2x + 1)dx
µ (x3 − 2)1/7x2dxº
µ (e2t + 2)1/3e2tdtº
µ
et
et + 4
dtº
µ sen4(x) · cos(x)dxº
µ ex · cos(2ex)dxº
µ
x
2
· cos(x2
)dxº

Ô ØÙÐÓ ¾
ÙÐ ¾
¾ º½ ÁÒØ Ö Ó ÔÓÖ Ô ÖØ ×
Ë Ñ f(x) g(x) Ù × ÙÒ × Ö Ú Ú × ÒÓ ÒØ ÖÚ ÐÓ (a, b) y ÙÑ ÙÒ Ó Ø Ð ÕÙ
y = f(x) · g(x).
×× Ñ¸ Ö Ú Ò Ó y Ø ÑÓ×
y′
= [f(x) · g(x)]′
= f′
(x) · g(x) + f(x) · g′
(x)
⇒ f(x) · g′
(x) = [f(x) · g(x)]′
− g(x) · f′
(x).
ÓÖ ¸ ÒØ Ö Ò Ó Ó× Ó × Ð Ó× Ù Ð
Ñ Ó Ø ÑÓ×
f(x) · g′
(x)dx = [f(x) · g(x)]′
dx − g(x) · f′
(x)dx
= f(x) · g(x) − g(x) · f′
(x)dx. ´¾ º½µ
Æ ÔÖ Ø
¸
Ó×ØÙÑ ¹× Þ Ö × Ù ÒØ ÑÙ Ò Ú Ö Ú Ð
u = f(x) ⇒ du = f′
(x)dx
v = g(x) ⇒ dv = g′
(x)dx,
ËÙ ×Ø ØÙ Ò Ó Ñ (27.1)¸ Ó Ø ÑÓ×
u · dv = u · v − v · du
ÕÙ ÖÑÙÐ ÒØ Ö Ó ÔÓÖ Ô ÖØ ×º
Ü ÑÔÐÓ ¾ º½º ÍØ Ð Þ Ò Ó ÒØ Ö Ó ÔÓÖ Ô ÖØ ×¸
Ð
µ x · cos(x)dx
µ x · e−2xdx

¾ º¾º Ê ÁÇË ¼
¾ º¾ Ü Ö

Ó×
Ü Ö

Ó ¾ º½º Ð
µ x · sen(x)dx
µ t · etdt

µ ln(x)dx
µ x · sen(5x)dx
µ t · e4tdt
µ x2 · sen(x)dx

Ô ØÙÐÓ ¾
ÙÐ ¾
¾ º½ ÁÒØ Ö Ð Ò
× Ó× Ø ÑÔÓ× Ñ × ÒØ Ó× Ó× Ñ Ø Ñ Ø
Ó× × ÔÖ Ó
ÙÔ Ñ
ÓÑ Ó ÔÖÓ Ð Ñ Ø ÖÑ Ò Ö
Ö ÙÑ ÙÖ ÔÐ Ò º Ç ÔÖÓ
Ñ ÒØÓ Ñ × Ù× Ó Ó Ó Ñ ØÓ Ó Ü Ù×Ø Ó¸ ÕÙ
ÓÒ× ×Ø
Ñ ÔÖÓÜ Ñ Ö ÙÖ ÔÓÖ ÓÙØÖ × ÙÖ ×
Ù × Ö × Ó
ÓÒ
×º ÈÓÖ Ü ÑÔÐÓ¸ ÔÓ ÑÓ×
ÔÖÓÜ Ñ Ö Ö ÙÑ
Ö
ÙÐÓ Ô Ð ×ÓÑ × Ö × Ú Ö Ó× ØÖ Ò ÙÐÓ×¸
ÓÒ ÓÖÑ ÙÖ ÜÓº
ÈÖÓ Ð Ñ Ð
ÙÐ Ö Ö S ÙÖ ÒØÖ Ó Ö
Ó ÙÒ Ó f(x) = sen(x) + 2 Ó
ÜÓ−x¸ ÒÓ ÒØ ÖÚ ÐÓ [1, 4]º
Î ÑÓ× ÙØ Ð Þ Ö Ó Ñ ØÓ Ó Ü Ù×Ø Ó Ô Ö Ö ×ÔÓÒ Ö ×Ø Ô Ö ÙÒØ º È Ö ××Ó¸ Ú ÑÓ×
Ú Ö Ó ÒØ ÖÚ ÐÓ [1, 4] Ñ Ô ÕÙ ÒÓ× ×Ù ÒØ ÖÚ ÐÓ×º
½º Î ÑÓ× Ú Ö Ó ÒØ ÖÚ ÐÓ [1, 4] Ñ ¿ ×Ù ÒØ ÖÚ ÐÓ×¸ ÓÒ x1 = 1¸ x2 = 2¸ x3 = 3 x4 = 4¸

Ð
ÙÐ Ö Ó × Ù ÒØ ×ÓÑ Ø Ö Ó
S3 =
3
i=1
f(xi)(xi+1 − xi) = 7, 89.
¾º Î ÑÓ× Ú Ö Ó ÒØ ÖÚ ÐÓ [1, 4] Ñ ×Ù ÒØ ÖÚ ÐÓ×¸ ÓÒ x1 = 1¸ x2 = 1, 5¸ x3 = 2¸ x4 = 2, 5¸
x5 = 3¸ x6 = 3, 5 x7 = 4¸
Ð
S6 =
6
i=1
f(xi)(xi+1 − xi) = 7, 57.
½

¾ º½º ÁÆÌ Ê Ä ÁÆÁ ¾
¿º Î ÑÓ× Ú Ö Ó ÒØ ÖÚ ÐÓ [1, 4] Ñ ½¾ ×Ù ÒØ ÖÚ ÐÓ×¸ ÓÒ
x1 = 1; x2 = 1, 25; x3 = 1, 5; x4 = 1, 75; x5 = 2; x6 = 2, 25; x7 = 2, 5;
x8 = 2, 75; x9 = 3; x10 = 3, 25; x11 = 3, 5; x12 = 3, 75 x13 = 4

Ð
S12 =
12
i=1
f(xi)(xi+1 − xi) = 7, 39.
ÈÓ ÑÓ× Þ Ö ÕÙ S ∼= 7º
ÓÖ ¸ Ú ÑÓ× Ú Ö Ó ÒØ ÖÚ ÐÓ [1, 4] Ñ n ×Ù ÒØ ÖÚ ÐÓ×¸ ÓÒ x1 = 1 xn+1 = 4¸ Ú ÑÓ×

Ð
Sn =
n
i=1
f(xi)(xi+1 − xi).
×Ø ×ÓÑ
Ñ ×ÓÑ Ê Ñ ÒÒ ×ÕÙ Ö ÙÒ Ó f(x)º ÓÒ× Ö Ò Ó n = 36¸ 50
500 Ó Ø ÑÓ×
S36 = 7, 26 S50 = 7, 24 S500 = 7, 2
Ê ×ÔÓ×Ø ÈÓ ÑÓ×
ÓÒ
ÐÙ Ö ÕÙ S = 7, 2º
Ò Ó ¾ º½º Ë y = f(x) ÙÑ ÙÒ Ó
ÓÒØ ÒÙ Ò Ó Ò Ø Ú Ñ [a, b]º Ö ×Ó

ÙÖÚ y = f(x)¸ a Ø b Ò ÔÓÖ
A = lim
n→∞
n
i=1
f(xi)(xi+1 − xi).
Ò Ó ¾ º¾º Ë f Ò Ñ [a, b]º ÒØ Ö Ð Ò f a Ø b¸ ÒÓØ ÔÓÖ
b
a
f(x)dx,
Ò ÔÓÖ
b
a
f(x)dx = lim
n→∞
n
i=1
f(xi)(xi+1 − xi).
× ÕÙ Ó Ð Ñ Ø
Ñ Ü ×Ø º Æ ×Ø
×Ó¸ Þ ÑÓ× ÕÙ f ÒØ Ö Ú Ð Ñ [a, b]º Ð Ñ ××Ó¸
• Ë a b¸ ÒØ Ó
b
a
f(x)dx = −
a
b
f(x)dx.
• Ë a = b f(a) Ü ×Ø ¸ ÒØ Ó
a
a
f(x)dx = 0.

¾ º½º ÁÆÌ Ê Ä ÁÆÁ ¿
Ì ÓÖ Ñ ¾ º½ ´ ÙÒ Ñ ÒØ Ð Ó Ð
ÙÐÓµº Ë f
ÓÒØ ÒÙ Ñ [a, b] × F ÙÑ ÔÖ Ñ Ø Ú
f Ò ×Ø ÒØ ÖÚ ÐÓ¸ ÒØ Ó
b
a
f(x)dx = F(x)|b
a = F(b) − F(a).
Ü ÑÔÐÓ ¾ º½º Ð
ÙÐ Ö × ÒØ Ö × Ò ×º
µ
3
1
x dxº
µ
π
2
0
cos(x)dxº
Ì Ñ Ñ ÔÓ ÑÓ× ÙØ Ð Þ Ö ÑÙ Ò Ú Ö Ú Ð ÒØ Ö Ó ÔÓÖ Ô ÖØ × ÒÓ×
Ð
ÙÐÓ×
ÒØ Ö × Ò ×º
Ü ÑÔÐÓ ¾ º¾º Ð
ÙÐ Ö × ÒØ Ö × ÜÓº
µ
1
0
2x
1 + x2
dxº
µ
π
0
x · cos(x)dxº
ÈÖÓÔÖ ¾ º½º Ë Ñ f g ÙÒ × ÒØ Ö Ú × Ñ [a, b]¸ c ∈ [a, b] k ∈ Rº
½º
b
a
k · f(x)dx = k ·
b
a
f(x)dx.
¾º
b
a
[f(x) ± g(x)]dx =
b
a
f(x)dx ±
b
a
g(x)dx
¿º
b
a
f(x)dx =
c
a
f(x)dx +
b
c
f(x)dx
º Ë f(x) ≥ 0¸ ∀x ∈ [a, b]¸ ÒØ Ó
b
a
f(x)dx ≥ 0
º Ë f(x) ≥ g(x)¸ ∀x ∈ [a, b]¸ ÒØ Ó
b
a
f(x)dx ≥
b
a
g(x)dx
º Ë f
ÓÒØ ÒÙ Ñ [a, b]¸ ÒØ Ó
b
a
f(x)dx ≤
b
a
|f(x)|dx
º Ë f
ÓÒØ ÒÙ Ñ [a, b]¸ ÒØ Ó ∃c ∈ R Ø Ð ÕÙ
b
a
f(x)dx = (b − a)f(c)

¾ º¾º Ê ÁÇË
¾ º¾ Ü Ö

Ó×
Ü Ö

Ó ¾ º½º Ë Ò Ó ÕÙ
2
1
x2
dx =
7
3
,
2
1
xdx =
3
2
2
1
dx = 1,
Ò
ÓÒØÖ Ó Ú ÐÓÖ × ÒØ Ö × ÜÓ
µ
2
1
(6x − 1)dx
µ
2
1
2x(x + 1)dx

µ
2
1
(x − 1)(x − 2)dx
µ
2
1
(3x + 2)2
dx
Ü Ö

Ó ¾ º¾º Ð
ÙÐ Ö × ÒØ Ö × Ò ×
µ
2
−1
x(1 + x)dx
µ
1
0
(x3
− 4x2
+ 1)dx

µ
0
−3
(x2
− 4x + 7)dx
µ
2
1
dx
x
µ
9
4
2t
√
tdt
µ
3
0
x
√
1 + x dx
µ
π/2
0
cos(x)
1 + sen(x)
dx
µ
2
1
5x3 + 7x2 − 5x + 2
x2
dx

Ô ØÙÐÓ ¾
ÙÐ ¾
¾ º½ Ð
ÙÐÓ Ö ×
Ç
Ð
ÙÐÓ Ö × ÙÖ × ÔÐ Ò × ÔÓ × Ö ØÓ ÔÓÖ ÒØ Ö Óº Î ÑÓ× × × ØÙ × ÕÙ
Ö ÐÑ ÒØ Ó
ÓÖÖ Ñº
½Ó ×Ó Ð
ÙÐÓ Ö ÙÖ Ð Ñ Ø Ô ÐÓ Ö
Ó f(x)¸ Ô Ð × Ö Ø × x = a¸ x = b Ó
ÜÓ x¸ ÓÒ f(x)
ÓÒØ ÒÙ f(x) ≥ 0¸ ∀x ∈ [a, b]º
Æ ×Ø
×Ó¸ Ö ÔÓÖ
A =
b
a
f(x)dx.
Ü ÑÔÐÓ ¾ º½º Ò
ÓÒØÖ Ö Ð Ñ Ø Ô Ð
ÙÖÚ y = 4 − x2 Ó ÜÓ x ÒÓ ÒØ ÖÚ ÐÓ [−2, 2]º
¾Ó ×Ó Ð
ÙÐÓ Ö ÙÖ Ð Ñ Ø Ô ÐÓ Ö
Ó f(x)¸ Ô Ð × Ö Ø × x = a¸ x = b Ó
ÜÓ x¸ ÓÒ f(x)
ÓÒØ ÒÙ f(x) ≤ 0¸ ∀x ∈ [a, b]º

¾ º½º ýÄ ÍÄÇ ýÊ Ë
Æ ×Ø
×Ó¸ Ö ÔÓÖ
A =
b
a
f(x)dx .
Ü ÑÔÐÓ ¾ º¾º Ò
ÓÒØÖ Ö Ð Ñ Ø Ô Ð
ÙÖÚ y = −4+x2 Ó ÜÓ x ÒÓ ÒØ ÖÚ ÐÓ [−2, 2]º
Ü ÑÔÐÓ ¾ º¿º Ò
ÓÒØÖ Ö Ö Ó Ð Ñ Ø Ô Ð
ÙÖÚ y = sen(x) Ô ÐÓ ÜÓ x ÒÓ
ÒØ ÖÚ ÐÓ [0, 2π]º
¿Ó ×Ó Ð
ÙÐÓ Ö ÙÖ Ð Ñ Ø Ô ÐÓ× Ö
Ó× f(x) g(x)¸ Ô Ð × Ö Ø × x = a
x = b¸ ÓÒ f(x) g(x) × Ó
ÓÒØ ÒÙ ×¸ f(x) ≥ g(x)¸ ∀x ∈ [a, b]º
Æ ×Ø
×Ó¸ Ö ÔÓÖ
A =
b
a
(f(x) − g(x))dx.
Ü ÑÔÐÓ ¾ º º Ò
ÓÒØÖ Ö Ð Ñ Ø ÔÓÖ y = x2 y = x + 2 ÒÓ ÒØ ÖÚ ÐÓ [−1, 2]º
Ü ÑÔÐÓ ¾ º º Ò
ÓÒØÖ Ö Ð Ñ Ø ÔÓÖ y = x3 y = x ÒÓ ÒØ ÖÚ ÐÓ [−1, 1]º

¾ º¾º Ê ÁÇË
¾ º¾ Ü Ö

Ó×
Ü Ö

Ó ¾ º½º Ð
ÙÐ Ö Ö Ó Ð Ñ Ø Ô Ð ×
ÙÖÚ × ×
µ y = 5 − x2 y = x + 3º
µ y = 1 − x2 y = −3º

µ x =
1
2
¸ x =
√
y y = −x + 2º
µ y =
1
6
x2
y = 6º
µ x + y = 3 y + x2 = 3º
µ y = x3 − x y = 0º
µ y = ex¸ x = 0¸ x = 1 y = 0º

Ô ØÙÐÓ ¿¼
ÙÐ ¿¼
¿¼º½ ÔÐ
× ÒØ Ö Ð ÌÖ Ð Ó
Æ ×
¸ Ó
ÓÒ
ØÓ ÓÖ ÔÓ × Ö Ù× Ó Ô Ö ×
Ö Ú Ö Ó ØÓ ÑÔÙÖÖ Ö ÓÙ ÔÙÜ Ö ÙÑ
Ó ØÓº
ÁÒØÙ Ø Ú Ñ ÒØ ¸ × ÑÓ× ÕÙ ÓÖ Ò
×× Ö Ô Ö Ð Ú ÒØ Ö ÙÑ Ó ØÓ Ó ×ÓÐÓ¸ ÙÑ
ÓÖ
ÓÒ×Ø ÒØ ¸ ×ØÓ ¸ ×Ù ÒØ Ò× Ò Ó Ú Ö ÒÕÙ ÒØÓ ×Ø ÔÐ
Ó Ó ØÓº ÆÓ ÒØ ÒØÓ¸
Ô Ö ÑÔÙÖÖ Ö ÙÑ ÙØÓÑ Ú Ð Ò
×× Ö Ó ÙÑ ÓÖ Ú Ö Ú Ð¸ ÔÓ × ÒÓ Ò
Ó Ó ÑÓÚ Ñ ÒØÓ¸
ÔÐ
ÑÓ× ÙÑ ÓÖ Ñ ÓÖ Ó ÕÙ ÕÙ Ð ÔÐ
ÕÙ Ò Ó Ó
ÖÖÓ ×Ø Ñ ÑÓÚ Ñ ÒØÓº
Ë ÔÐ
ÖÑÓ× ÙÑ ÓÖ F ÙÑ Ó ØÓ¸ Þ Ò Ó¹Ó ×ÐÓ
Ö¹× ÙÑ ×Ø Ò
d¸ Ò Ö Ó
ÓÖ ¸ ÔÓ ÑÓ× Ø ÖÑ Ò Ö Ó ØÖ Ð Ó W Ö Ð Þ Ó ÔÓÖ F ×Ó Ö Ó Ó ØÓº
Ë ÓÖ
ÓÒ×Ø ÒØ ¸ Ò ÑÓ× W ÔÓÖ
W = F · d.
Ë ÓÖ Ú Ö Ú Ð¸ Ò ÑÓ× W¸ Ù× Ò Ó ÒØ Ö Ð Ò º
¿¼º½º½ ÌÖ Ð Ó Ö Ð Þ Ó ÔÓÖ ÙÑ ÓÖ Ú Ö Ú Ð
ËÙÔÓÒ ÑÓ× ÕÙ ÙÑ Ó ØÓ × ×ÐÓ
×Ó Ö Ó ÜÓ x ×Ù ØÓ ÙÑ ÓÖ Ú Ö Ú Ð F = F(x)¸
ÓÒ F(x) ÙÑ ÙÒ Ó
ÓÒØ ÒÙ Ñ [a, b]º
ÉÙ Ö ÑÓ× Ò Ö Ó ØÖ Ð Ó Ö Ð Þ Ó Ô Ð ÓÖ F ×Ó Ö Ó Ó ØÓ¸ ÕÙ Ò Ó ×Ø × ×ÐÓ
x = a Ø x = b¸
ÓÑ a bº
Ú Ò Ó Ó ÒØ ÖÚ ÐÓ [a, b] Ñ n ×Ù ÒØ ÖÚ ÐÓ×¸ ÓÒ
a = x1 x2 ... xi ... xn+1 = b.
ÒØ Ó¸ ÙÑ ÔÖÓÜ Ñ Ó Ó ØÖ Ð Ó Ö Ð Þ Ó Ô Ð ÓÖ F = F(x) ×Ó Ö Ó Ó ØÓ¸ ÕÙ Ò Ó ×Ø
× ×ÐÓ
Ó ÐÓÒ Ó
×Ù ÒØ ÖÚ ÐÓ¸ ÔÓÖ
n
i=1
F(xi) · (xi+1 − xi). ´¿¼º½µ

¿¼º¾º ÈÄÁ Ë ÁÆÌ Ê Ä ÈÊ ËË

Ç Ä ÉÍÁ ÇË
ÈÓ ÑÓ× Ó × ÖÚ Ö ÕÙ ÕÙ Ò Ó n → ∞ ÒØ Ó (xi+1 − xi) → 0º ÄÓ Ó¸ ×ÓÑ Ñ (30.1) ×
ÔÖÓÜ Ñ Ó ØÖ Ð Ó ØÓØ Ð W¸ Ö Ð Þ Ó Ô Ð ÓÖ F(x) ×Ó Ö Ó Ó ØÓ¸ ÕÙ Ò Ó × ×ÐÓ
a
Ø bº

ÓÖ Ó
ÓÑ Ò Ó 28.2¸ ÔÓ ÑÓ× Ò Ö W ÔÓÖ
W =
b
a
F(x)dx.
Ü ÑÔÐÓ ¿¼º½º ÍÑ
Ö Ò ÖÓÐ Ò Ó ÙÑ Ô Ö ¸ ÙØ Ð Þ ÙÑ ÓÖ 5 + 5 · sen(x) Æ ÛØÓÒ×
×Ó Ö Ð ¸ ÕÙ Ò Ó ×Ø ÖÓÐ x Ñ ØÖÓ×º ÉÙ ÒØÓ ØÖ Ð Ó Ú
Ö Ò Ö Ð Þ Ö¸ Ô Ö Þ Ö Ô Ö
ÖÓÐ Ö 2 Ñ ØÖÓ×
¿¼º¾ ÔÐ
× ÒØ Ö Ð ÈÖ ×× Ó Ð ÕÙ Ó×
ÈÓ ÑÓ× Ø Ñ Ñ ÔÐ
Ö ÒØ Ö Ð Ò Ô Ö Ò
ÓÒØÖ Ö ÓÖ
Ù× Ô Ð ÔÖ ×× Ó ÙÑ
Ð ÕÙ Ó ×Ó Ö ÙÑ
Ô ×Ù Ñ Ö× ÒÓ Ð ÕÙ Ó¸ ÓÙ ×Ó Ö ÙÑ Ð Ó Ó Ö
Ô ÒØ ÕÙ Ó
ÓÒØ Ñº
×
¸ × ÑÓ× ÕÙ ¸ × ÙÑ Ö
Ô ÒØ
Ó¸
ÓÑÓ ÙÑ Ð Ó¸ ×Ø
Ó Ð ÕÙ Ó
× ÓÖ × ÜØ ÖÒ ×¸
ÓÑÓ Ö Ú ¸ Ò Ó × Ó
ÓÒ× Ö ×¸ ÒØ Ó ÓÖ Ü Ö
Ô ÐÓ Ð ÕÙ Ó
×Ó Ö ÙÑ
Ô ÔÐ Ò
ÓÐÓ
ÒØÖÓ Ó Ö
Ô ÒØ ¸ Ò Ô Ò ÒØ ÔÓ× Ó
Ô º
ÓÖ Ø Ñ Ö Ó Ô ÖÔ Ò
ÙÐ Ö
Ô ÔÖÓÔÓÖ
ÓÒ Ð ×Ù Ö º

ÓÒ×Ø ÒØ ÔÖÓÔÓÖ
ÓÒ Ð ÒØÖ ÓÖ Ü Ö
×Ó Ö
Ô ×Ù Ö
Ñ
ÔÖ ×× Ó Ó Ð ÕÙ Ó¸ Ø Ñ
ÓÑÓ ÙÒ Ñ ÙÒ ÓÖ ÔÓÖ ÙÒ Ö º ÈÓÖ
Ü ÑÔÐÓ¸
P =
F
A
Newtons/m2
.
ÆÓ
×Ó ÙÑ Ô ×
Ò
Ù ÔÖ ×× Ó
Ù× Ô Ð Ö Ú ÙÑ ÒØ
ÓÑ
ÔÖÓ ÙÒ Ù º
È Ö ÙÑ Ð ÕÙ Ó ÕÙ ÐÕÙ Ö¸ ÔÖ ×× Ó P Ü Ö
Ô ÐÓ Ð ÕÙ Ó ÒÙÑ ÔÓÒØÓ ×Ó ×ÙÔ Ö
Ó Ñ ×ÑÓ¸ ÙÑ ÔÖÓ ÙÒ h¸ ÔÓÖ
P = w · h,
ÓÒ w Ó Ô ×Ó Ó Ð ÕÙ Ó ÔÓÖ ÙÒ ÚÓÐÙÑ º
ÓÑÓ ÔÖ ×× Ó Ú Ö
ÓÑ ÔÖÓ ÙÒ ¸ ÓÖ ØÓØ Ð ÒÙÑ Ö Ó ÔÐ Ò Ò Ó ÓÖ ÞÓÒØ Ð¸
ÕÙ ×Ø ×Ù Ñ Ö× ÒÙÑ ÔÓÖ Ó Ð ÕÙ Ó¸ ÔÓÖ ÙÑ ÒØ Ö Ðº
¿¼º¾º½ ÓÖ ØÓØ Ð ×Ó Ö ÙÑ
Ô ÔÐ Ò ¸ ×Ù Ñ Ö× Ú ÖØ
ÐÑ ÒØ Ñ ÙÑ
Ð ÕÙ Ó
×
ÓÐ Ò Ó Ó × ×Ø Ñ ÜÓ×
ÓÓÖ Ò Ó× ÕÙ Ñ ÒØ ¸ ÔÓ ÑÓ× ×ÙÔÓÖ ÕÙ
Ô Ø Ñ
ÓÖÑ Ö Ó Ó ÔÐ ÒÓ xy Ð Ñ Ø ÔÓÖ y = c¸ y = d¸ x = f(y) x = g(y)¸ ÓÒ f g × Ó

Análisis de los límites

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

La actualidad más candente (20)

Destacado

Destacado (13)

Similar a Análisis de los límites

Similar a Análisis de los límites (20)

Último

Último (20)

Análisis de los límites