1. El documento presenta diferentes métodos para resolver ecuaciones y sistemas de ecuaciones lineales y cuadráticas, como la determinación de pendientes y ordenadas al origen de rectas, ecuaciones paramétricas de rectas, coordenadas polares, ángulos entre rectas y sistemas de ecuaciones.
2. También explica métodos para encontrar ecuaciones de circunferencias, como determinar el centro y radio a partir de dos puntos o la ecuación general, y fórmulas para calcular distancias entre puntos y un punto fijo.
Introducción:Los objetivos de Desarrollo Sostenible
Oxy Reducir Ecuaciones
1. Ä
Ò × Ò
½º
¾
ÙÙÐ
ÛØ
Ò
Ò Ð Ø
ÓÑ ØÖº
• âÙ ÑÝÒ Ô Ö Ñ ØÖØ Ø
Ø Ðº
• âÙÐÙÙÒÝ Ò
Ò Ó
ÒØØ
Ø
• âÙÐÙÙÒÝ Ö ÒÜ Ø
Ø Ðº
• âÙÐÙÙÒÝ Ü ÖÕÑ Ö Ð ÖÜ Ð × Ò Ø
• âÙÐÙÙÒÝ
Ð Ø
Ø Ðº
•
×
ÙÐÙÙÒ Ü ÖØ ÐÜ Þ
º
• Ó Ö ÙÐÙÙÒÝ Ü Ö Ð
Ò
Ö
Ðغ
• âÙ Ñ
Ö ÙÙ
Ò Ø
Ø Ðº
• ÇÞ Ø ÒÜÐ Ø Ô Ö ÐÐ Ðð
ÙÙÐ ÕØ
Ð Ò Ö
•
•¿
•
ÛØ
ÛØ
Ò
Ö ÙÙ
Ö ÒÜ
Ò Ø
Ø
Ö× Ò Ü ÛØ
Ò ÒÓÖÑ Ðð Ø
Ø
Ø
к
Ò Ø
Ø
к
Ø
к
½
к
Ø
к
Ø
к
2. •
× Ü ÛØ
Ü ÖØÐ Ü Þ
º
• Ç ØÓÖ Ù
Üð
ÙÐÙÙÒÝ Ø
Ø Ð
º
• Ó Ö
Ö× Ò
ÙÐÙÙÒÝ Ø
Ø Ðº
• âÙÐÙÙÒÝ Ö ÒÜ Ø
Ø Ðº
• Ó Ö ÙÐÙÙÒÝ Ü Ö Ð
Ò
Ö
Ðغ
• ÛØ ÒÙÙ ÝÒ Ü Ö Ð
Ò
Ö
Ðغ
• âÙÐÙÙÒ Ü ÛØ
ÜÓ ÖÝÒ ÜÓÓÖÓÒ ÓÜ Ò
º
¾
3. ÛØ Ò Ò Ð Ø
½ Oxy
Ð ÓÖ
Ü ÛØ
Ü
l
Ð
ÅÙÖÙ Ò
ÜÙÛð×
Ù
Õ
Ö
t
l
× Ò
¸
Òð Ü Ò
ÑÙÖÙ Ò Ø
Ò
ÓÓÖ
× Ü Ñ
Ø
Ò Ø
Ö× Ò
ÑÝÒ Ô Ö Ñ ØÖØ Ø
Ð
Ò
x, y
Ð
º
ÑÙÖÙ Ò
ÜÓ Ö
Ð Ñ
ÕØ
Ù
ÑÙÖÙ
f (x, y) = 0
âÙ ÑÝÒ Ô Ö Ñ ØÖØ Ø
Òð Ô Ö Ñ ØÖ
Ò
¸
Ö Òð Ü Ò
º
ÙÒ
Ü Ð
Ø
ÓÑ ØÖ
ÖØ
Ò ÖÐ
× Ò
ÓÐ Ù
Ø
Ö
ع
Ø Ð
º
Ü ØÙ×Ð Ü Õ Ò ÖÝÒ
ÙÒ
º
x = x0 + tm
y = y0 + tn
ÛØ
ÖÜ
Ù
ÑÙÙ
ÓØÖÓÓ× Ü Ñ
Ò ÜòÐ
âÙÐÙÙÒÝ Ò
Ò Ó
¾
Ó
âÙÐÙÙÒݸ
ÒØ
Ox
Ø ÒÜÐ
Ò ÖÐ
Ø Ò Ð× Ò
k = tgα
Ò
Ø Ñ
¿
Ö Òð
ÙÐÙÙÒ
Ù
Ñ ñѺ
ÒØØ Ø
Ò Ø Ò
Ð Ò
Ò×
º
ÙÐÙÙÒÝ
Ø Ð
º
Ò
Ò
4. O
y
B
·
tt
tt
tt
tt
tt
tt
Ytt
tt
tt
t
tt
tt
A
·α
Ö Û
× Ò
x/
ÙÐÙÙÒ
ÓÐ Ù
ÙÐÙÙÒÝ
k=
Ò
A(x0, y0) B(x, y)
Ö
×
Ò
Ò
Ó
× Ò ÜÓ Ö
ÒØ Òð
y − y0
x − x0
´½µ
´
´
µ
b = y − kx0
Ø
Ø
Ð
Ø Ñ
ÙÐÙÙÒÝ
M (x1, y1)¸ N (x2, y2)
µ
Ð
´¾µ
y = kx + b
ÙñÙ
y = k · (x − x0) + y0
´¿µ
Ü Ö
Ò
Ð Û Ð
Ò
× Ò
Ó
ÒØØØ
Ö× Ò
ÙÐÙÙÒÝ Ø
Ø
Ð
Ò
º
Û Ð
y − y1
x − x1
=
y2 − y1 x2 − x1
ÜÓ Ö
Ø
Ø
Ð
´ µ
Ò
º
5. âÙÐÙÙÒÝ Ö ÒÜ Ø
ÇÜÝ
O
y
M1(a1, b1), M2(a2, b2)
Ü ÛØ
Ì
·
Û Ð
Û Ð
ÓÐÓÒÐÓ
Ù
M2
Û òº
Ò
ÜÓ Ö
Òð
ÑÝÒ
×
ÙÐÙÙÒ
ÙÖÝÒ
Ð Þ
Ù
Òð
Ñ
Õ Ò Ö
Ü
Ù
º
×ÓÓÖ
=⇒
(x − a1)2 + (y − b1)2
|M2M | =
Ø
Ü
x/
|M1M | = |M M2|
Ö Ø Þ Ö
ÓÖ
M (x, y)
|M1M | =
ÃÛ
ºº
M
GG
GGG 1
GG
GG
GG
oo
GG ooooo
o
Go
ooo GG
GG
ooo
q
ooo qqq
GG
oooo
qq
„
oooo „„„„„„„ qqq GG
qq GG
„„
‘‘
oo
q
ooo ‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘„„„„„„„ qGG
‘‘‘‘‘‘q ‘
„q
‘„
Ì
Ø Ð
(x − a2)2 + (y − b2)2
(x − a1)2 + (y − b1)2 =
Û
Ð Ò
A = 2a2 − 2a1,
Ö
Ü Ø Ñ
Ð
B = 2b2 − 2b1,
(x − a2)2 + (y − b2)2
Ü
C = a 2 + b2 − a 2 − b2
1
1
2
2
Ò
ÙÐÙÙÒ
6. Ì
´
Û Ð
µ
ÙÐÙÙÒÝ
Ö ÒÜ
´ µ
Ax + By + C = 0
Ø Ð
Ò º (A = B = 0 !)
Ø
âÙÐÙÙÒÝ Ü ÖÕÑ Ö Ð ÖÜ Ð × Ò Ø
´
A = 0, B = 0, C = 0
µ
Ø
Ø
Ø Ð
º
Ð
´ µ
Ax + By = −C
Õ
´
µ
ÜÓ Ö Ø ÐÝ
Òð
Ö Ü
O
Çܸ ÇÝ
ÙÐÙÙÒÝ
−C ¹
Òð
ÜÙÛ
Ø ÒÜÐ
Ö×Ð Ò
Ü
C
C
Û Ò¸ a = −
b=−
Ø
A
B
x y
+ =1
a b
Ö ÐÞ Ò a, b
ÓÓÖ
Ò ØØ
Ñ
Ð Ð Ü
Û Ð
´ µ
Ö Ó ØÐÓÒ
º
y
vv
vvv
vvv
vv
vvv
vvv
vvv
vv
vvv
Á Ñ
b
a
x/
´Ü
´
ÖÕ Ñص
µ
Ø
ÙÐÙÙÒÝ
Ø
Ð
Ò
Ü ÖÕÑ
º
Ö
Ð ÖÜ
Ð
× Ò
7. Ó Ö ÙÐÙÙÒÝ ÜÓÓÖÓÒ ÓÜ Ò
ÛØ
º
ÖÜ
y = k1x + b1 (I)
y = k2x + b2 (II)
ÜÓ Ö
O
ÙÐÙÙÒ
ÛÕ
y
º
Þð
l2ØØØ l
ØØ oo1
ØØ ooo
Ø
ooo
ooØ
ooØØØ
o
Q
ooo ^ Ø
ooo . ØØØ
o
]
ooo
ØØ
ooo 1
ØØ 2
oo
o
ØØ
ooo
Ø
ooo
o
O
α
ϕ
α
ϕ = α2 − α1
x/
tgα2 − tgα1
k2 − k1
tgϕ = tg(α2 − α1) =
=
1 + tgα1tgα2 1 + k1k2
´
µ¹
Ó Ö
ÜÓ Ö
ÙÐÙÙÒÝ ÜÓÓÖÓÒ ÓÜ
ÙÐÙÙÒ Òð
Ö ÒÜ
Ø
y=−
Ò
Ø Ð
A1
C1
x− ,
B1
B1
Ò Ø Ò
Ö
Ò×
ÓÐÓÜ ØÓÑ
× Ò
y=−
ÓÐ
A2
C2
x−
B2
B2
´ µ
Ó
Ò
º
8. k1 = −
A1
,
B1
k2 = −
A2
¹
B2
´
µ¹
ÓÖÐÙÙÐ Ü
tgϕ =
ÜÓ Ö
ÙÐÙÙÒÝ ÜÓÓÖÓÒ ÓÜ
Ó Ö
´
Ò
µ
A1B2 − B1A2
A1A2 − B1B2
Ü Ð
ÖØ
ÙÐÙÙÒÝ Ô Ö ÐÐ Ðð
´ µ
ÓÐ ÓÒÓº
Ü Ò Ü
Ð Òð
ϕ = 0 ⇐⇒ k1 = k2,
È ÖÔ Ò
Â
ÙÐòÖ
Ü Ò Ü
Ð Òð
ϕ = −π/2 ⇐⇒ k1 · k2 = −1
½ 2x + y − 6 = 0, 4x + 5y + 7 = 0
ÙÐÙÙÒÙÙ ÝÒ
Ö
ÐÝ
2
4
7
4
y = −2x − 6 =⇒ k1 = − ,
y = − x − =⇒ k2 = − =⇒
1
5
5
5
−4 − 2
14
tgϕ = 5 14 = −
=⇒
× Ò ÜÓ Ö
ÙÐÙÙÒ Ó ØÐÓÐ
×ÓÒ
ÙÐÙÙÒÙÙ
13
1+2·5
ØÓ ØÓÓº
ÓÐÒÓº
9. Â
¾ 3x + 2y − 6 = 0, 6x + 4y + 5 = 0
ÙÐÙÙÒÙÙ ÝÒ
Ö
ØÓ ØÓÓº
ÐÝ
3
3
3
3
5
y = − x + 3 =⇒ k1 = − ,
y = − x − =⇒ k2 = − =⇒
2
2
2
4
2
−3 − −3
2
2
tgϕ =
= 0 =⇒ k1 = k2 =⇒ l1 l2
Ò º
3
1 + −2 · −3
2
Â
¿ x + y + 2 = 0, 3x − 3y + 4 = 0
y = −x − 2 =⇒ k1 = −1,
tgϕ =
ÙÐÙÙÒÙÙ ÝÒ
y =x+
Ö
Ò
âÙÐÙÙÒÝ
Ö
×
ÙÙÐ
× Ò
Ø
Ð
× Ò Ô ÖÔ Ò
α
Ò
Ö
Ò
Ó
ÙÐòÖÝÒ ÙÖØ
Ð ÖÜ
Ðð
º
ÒØ
¸
(|OM | = p)
ØÓ ØÓÓº
4
=⇒ k2 = 1 =⇒
3
1 − (−1)
= ∞ =⇒ (k1 · k2 = −1 =⇒ l1 ⊥ l2)
1 + 1 · (−1)
âÙÐÙÙÒÝ Ø
ÐÝ
ÓÓÖ
ÐØ
Ò ØÝÒ
ÓÐÓÒ Ø
º
Ò
Ü
Ø Ð
º
× Ù
Ox
ÙÐÙÙÒ
Ø ÒÜÐ
Ø
10. O
B·
∆OM A, ∆OM B ¹
y
tt
tt
tt
tt
tt
tt
t
x t
x tt
tttt
tt
tt
tt
^
tt
tt
tt
tt
tt
t
O
M
p ·
α
·
A
´
ÓÐ ÓÜ
× Ü Ö
ÐÞ Ò
|OM |
p
=
cos α
cos α
|OM |
p
b = |OB| =
=
cos(90◦ − α) sin α
a = |OA| =
x/
µ¹
ÓÖÐÙÙÐ
Ð
x
p
cos α
+
y
p
sin α
=1
ÙñÙ
´
µ¹Ý
ÙÐÙÙÒÝ
Ð
´ÒÓÖÑ
´½¼µ
x cos α + y sin α − p = 0
Ððµ Ø
Ø
Ð
Ò
º
× ÙÐÙÙÒ Ü ÖØÐ Ü Þ
¿ M0(x0, y0), O(0, 0)
ÓÖ
ÛÓÐ
ÙÐÙÙÒ
−d,
ÜÓ Ö Ø Ð
× Ü Þ
Ü Ü Þ
ÓÖ
ÐØ
x cos α + y sin α − p = 0
ÛÓÐ d¹Ø
Ø Ò
Ü ØÓÓ
M0
Ò ÖÐ
δ¹ Ö Ø Ñ Ð Ò º
Òð
½¼
ÙÐÙÙÒÝ Ò
Ò
º
Ø Ð
× Ò
11. y
M0
M0
O
qq
qq
′
qq
qq
′
qq
qq
qq
qq
qq
×q
q qq
qq
×× × qqq
qq
qq
qq ×××
qq
qq ×
qq
q
qq 0
××q
q × qq
q
×
qq
×
qq
qq
qq
××
qq
qq
qq
××
qq
×
qq
×
qq
qq /
×
qq
q
·
p
δ =p −p
· p ·
.
·
O
Á Ñ
Â
M
·
M0
ÓÐ ÓÒÓº
Òð Ù
ÙÐÙÙÒ
Ö ÓÖ
Ö× Ò¸
ÙÐÙÙÒÝ Ø
Ø
× Ò
ÛÓÐ
δ=0
ÙÐÙÙÒØ
Ò
Ô Ö ÐÐ Ðð
Ð
ÙñÙ
x cos α + y sin α = p′
ÓÐÒÓº
× Ò
ÙÐÙÙÒ
× Ü Þ
Ü Ü Þ
ÐØ
Ax1 + By1 + C
√
δ = | ± d| = x0 cos α + y0 sin α − p =
± A2 + B 2
A(−4; 5)
º
x cos α + y sin α − p′ = 0
· x
Ò
×
3x − 2y − 4 = 0
ÙÐÙÙÒ Ü ÖØ ÐÜ Þ
√
3 · (−4) − 2 · 5 − 4
26
√
d=
= √ = 2 13
2 + 22
13
3
½½
´½½µ
Óк
12. Ó Ö ÙÐÙÙÒÝ Ü Ö Ð
Ò
ÛØ
òÒÞÝÒ
Ö ÜÓ Ö
ÙÐÙÙÒ Òð Ó ØÐÓÐ
×ÓÒ¸ Ô Ö ÐÐ Ðð¸
º
× Ò
ÙÖÛ Ò
ÓÐÒÓº
ÖÐ ÐØ
A1x + B1y + C1 = 0
A2x + B2y + C2 = 0
Ç ØÐÓÐ
×ÓÒ
ÛÜ
× Ò
Ö ÐØ
(I)
(II)
A1B2 − A2B1 = 0
B1C2 − C1B2
C1A2 − A1C2
; y=
A1B2 − A2B1
A1B2 − A2B1
A1 B1
A1B2 − A2B1 = 0 ÙñÙ
=
=t
A2 B2
x=
È Ö Ð Ðð
ÙñÙ ÜÓ Ö
ÙÐÙÙÒ Ô Ö ÐÐ Ðð
ÛÜ
× Ò
A1 B1 C1
=
=
A2 B2 C2
½¾
C1
t=
C2
ÓÐ × ×Ø Ñ
13. âÙ Ñ
ÛØ
Ö ÙÙ
Ò
ÓÓÖ
• M (x, y, z)
ÓÓÖ
•Ç
•Ç
Ø
F (x, y, z) = 0
Ò
Ü
Òð
Ò ØÙÙ
Ò
ØÓÖ Ù
Ð Û
Òð
Ð Òð òÑ Ö Ò
Ø
ÓÓÖ
Ò Ø Òð Ü Ò
ØÓÖ Ù
Ø
Ø
Ö ÓÖ
Ç ØÓÖ Ù
f (x, y) = 0
Ö
Ò
Ø
Ð
ÙÖÝÒ
ÑÝ
ÙÖÛ Ò
ÜÓ Ö
Ö ÙÙ
Ö ÙÙ
Ö ÙÙ
x, y, z ¹
Ò Ó ØÐÓÐ
ÓÐ
Ò
Ò
ÓÖ
Ü
Ò
º
ØÓ ÓÖÜÓ Ð Ó
º
Ò Ø
Ø
Ð
ÜÙÛð× Ü
Ò Ó ØÐÓÐ
ÓÐÓÓÖ ØÓ ÓÖÜÓ ÐÓ
½¿
º
ØÓ ÓÖÜÓ ÐÒÓº
Ö ÙÙ
Ö ÙÙ
ÓÐ
Ø Ð
Ñ ØÓ ÓÖÜÓ Ð Ó
¸
Ò Ø Òð Ü Ò
º
Ù
Ù
Ð Òð òÑ Ö Ò
Ø
Ö ÙÙ
Ö ÙÙ Ò Ø
ÓÒÓº
14. ÇÞ
Ø ÒÜÐ Ø Ô Ö ÐÐ Ðð
Ð Ò Ö Ö ÙÙ Ò Ø
ÙÙÐ ÕØ
Ø Ð
º
´½¾µ
F (x, y) = 0
´
µ
Ø
z
ÓÖÓÓ
Ü ÛØ
O
ØÙÐ
z ¹ÝÒ
Ö òÑ Ö Ò
Ù
ÙÖÝÒ ÙØ
Ø
Ç ØÓÖ Ù Ò
Ü Ò
º
Á Ñ
´
µ
Ø
Ø
′
M0(x0, y0, z0) ´M0(x0, y0)µ
Òð z ¹ × Ü Ñ
Ö Ü
ØÙÐ Ò
Ø
Ø
Ð
Ø
Ø
Ð
Á Ñ
1
Ò
ÓÒÓº
Ñ ØÓ ÓÖÜÓ ÐÓ
z
F (x, y) = 0
′
M0
1
·1
Ò
×
M0(x0, y0)
Ü Ò
Ò
Û
Ð
Ð Ù
´
º
µ
1
1
1
1
1
1
yyy
yyy
1
yyy
1
yyy
yyy
1
yyy
yyy
yyy
yyy
y'
O
y
Ø ÒÜÐ
/
M
· 0
x
Ç ØÓÖ Ù Ò
ØÓ ÓÖÜÓ ÐÓ
Ò Ð Ø
ÓÜ
Ø
Ô Ö ÐÐ Ðð
Ò ØÙÙ
ÙÙ
ÓÑ ØÖ
Ö ÙÙÒÙÙ
ÖÜ Ø
Ð Ò Ö
Ò ×Ù Ð Ü
ñѺ
½
Ø
Ö× Ò
ÙÐÙÙÒÝ
Ð
Ö ÙÙ
ÓÐ Þ
Ð Òð
Ü
Ü Ò
Ò
Ü
ÇÞ ´Çݸ ÇÜ µ
Ò
ÓÓÖ
Ñ
¹
Ö¹
º
Ð
ÖÝÒ Ø
Ø
Ð
Ö
15. Ì
Ö Ø
Ø
Ð
Òð
Ax + By + Cz + D = 0
(a)
Ax2 +By 2 +Cz 2 +Dxy+Exz+F yz+Gx+Hy+Kz+L = 0
Á
(a)
Ø
Þ Ö
× òÐ
ÁÁ
(b)
Òð Ò
ÁÁ
Ü
Þ Ö
Ò
Ò Ø
×ØÓ
Ø
Ø
Ø
Þ ÛÜ Ò
Ø
Ö ÒÜ
Ø
ÖÝÒ Ø
Ö ÒÜ
Ø
Ò Þ Ö
Þ Ö
Ð
Ò
º
×Ö
Ø
Ð
Ü
Ø
Ð
Ð
Ü
Ö ØÓ ÓÖÜÓ ÐÓ
Þ Ö
Ò Ø
Ø
Ü
º
º
ÓÜ
Ø
Ø
Ð
Ð
Ò ò
Õ
Ü
A, B, C, D, E, F
Ò
ÓÐÓÜ
Õ
A, B, C ¹
Ò
ØÓÜ ÓÐ ÓÐ
Ø Ò
Ð
Á¸ ÁÁ
Ø
(b)
Æ
Ò Þ Ö
Ö ÙÙ
Ð
Ö ØÓ ÓÖÜÓ ÐÓ
Ø
Ø
Ç ØÓÖ Ù
ÓÐÓÒ Ù
¸
Ð Û
Ü ÛØ
ØÓ ÓÖÜÓ ÐÓ
Ü ÛØ
Ô ÖÔ Ò
ÓÒÓº
Òð Ø
ÙÐòÖ¸ Ø
Ò
Ö ÓÖ
Ö ÙÙ
ÓÜ
Ö ÙÙ
× òÐ
½
Ü òÑ Ö Ò
Ø
¸
òÑ Ö Ò
Òð
º
ØÓÓÒÙÙ
Ø Ò
ÖÝÒ
ÛØ Ò Ö ÒÜ Ø
Ò
ÓÐ
Ü
×Ù Ð Ò
º
Ø Ð
M0(x0, y0, z0)
n Û ØÓÖÓÓÖ
º
Ö Ò
16. ÛØ
Ñ Ðð Û
Ô ÖÔ Ò
ØÓÖ
n = {A, B, C}
Ø
Ø
Ð
ÙÐòÖ Õ
¸
Ø
n = {A, B, C}
Ò ÖÐ
ÒÓÖÑ Ðð Û
ÞÓÜ Ó
Ð ÐØ
Û
Ø Ñ
¸ M0(x0, y0, z0)
ØÓÖØÓ
º
∀M (x, y, z) ∈ α
Ò ÜÙÛð
−−
−→
−−
−→
M0M ⊥ n ⇐⇒ (M0M , n) = 0
⇐⇒
ØÓÖÝ
Ð Ò
Ù
Ü ÛØ
Ò ÒÓÖ¹
º
Ö× Ò
α
Ü ÛØ
Ò
−−
−→
M0M = {x − x0, y − y0, z − z0}
=⇒
´½¿µ
A(x−x0)+B(y−y0)+C(z−z0) = 0
´
µ
Ø
Ø
Ò Ø
Ò
Ø
Ð
Ð
× Ò
Ò
M0
Ö× Ò¸
n
µ
−Ax0 − By0 − Cz0 = D
Ü ÛØ
Ò
ØÓÖ
Ü
Ü Ûع
º
Û Ð
Ax + By + Cz + D = 0
´
ÒÓÖÑ Ðð Û
Ö ÒÜ
Ø
Ø
Ð
Ò
½
º
´½ µ
17. O
jjjccc
cc
jjjj
jjj
cc
jjjj
GG
cc ||=
cc |
GG
||
GG
|| ccc
Eqq
0 qq | cc
GG
qq
cc
GG
qq
cc
qq
GG
cc
qq
cc
G
qq
GG
q4#
cc
0G
h
G
cc
h
h h
c
GG
GG h h h
l
GG h hG
lll
GG
lll
GG h
h
lll
GG
GG
lll
l
GG
GG
lll
Gllllll
GG
α
M
·
r
r
O
A, B, C, D
ÖÛ
z
òÐ
Ø
x
´
µ
¿
y
zz yyyyy
zz
yyy
zz
yyy
zz
yyy
zz
yyy
z
7
yyy
zz
ppp
z
pp
yyy
z
ppp
yy
zz
p
zz
ppp
qq
p
}}
zz
}}
zz
tt
1 qqqq ,
tt
}}
qq
tt
qq
2}}}}
tt
qq
tt
}
qq
tt
}}
q#
tt
}}
tt
3}}}
tt
tt
}}
tt
tt }}}
tt }
}
M
M
M
M
α
Ð
Ø
×
´½ µ
x y z
+ + =1
a b c
´½ µ
Ü ÛØ
Ò Ü ÖÕ ÑØ Ø
× Ò
ÒØ
x
y
z
+
+
=1
−D/A −D/B −D/C
ÙñÙ
y/
ÓÐ
n
M
Ó
Ø
Ð
Ò
Ö× Ò Ü ÛØ Ò Ø
º
Ø Ð
M1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2), M3(x3, y3, z3)
Ö× Ò
α Ü ÛØ Ò Ø
ع
Õð
º
½
ºº
18. ∀M (x, y, z) ∈ α¹
Û
ØÓÖÙÙ
Ò ÜÙÛð
−−
−→
M1M = {x − x1, y − y1, z − z1},
−−
−→
M2M = {x − x2, y − y2, z − z2},
−−
−→
M3M = {x − x3, y − y3, z − z3}.
ÓÑÔÐ Ò Ö ÙÕ Ö
−− −− −−
−→ −→ −→
(M1M , M2M , M3M ) = 0.
ÙñÙ
´
µ¹ÓÓ× ¿
Ò
x − x1 y − y1 z − z1
x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1 = 0
x3 − x1 y3 − y1 z3 − z1
Ö× Ò Ü ÛØ
Ò Ø
Ø
½
Ð ÓÐ ÓÒÓº
´½ µ
19. ÛØ Ò ÒÓÖÑ Ðð Ø
O
Ø Ð
º
z
iC
iiii CC
iiii
CC
i
iiii
CC
BB
iiii
CC
BB
CC
BB
A=
CC
BB
{{
{
CC
BB
{{ A
CC
BB {{{
A6
C i
B{{
mm
mm
{BB
iiCii
{{ mmmmmm
iiii CCC
iii
cc
= {{ m B
CC
cc {{{m6 mm BBB
mmm
mmm
cc
m
{
CC
0BB
1
cc
C
BB
cc
j
cc
BB
jjjj
jjj
cc
jjjj
cc BBB
jjjj
cc jjj
cc
c
p
M
r
O
M0
·
P
·
M
n
d
α
ÓÓÖ
Ò ØÝÒ
Ü
×
Ü ÛØ
ÙÙÐ
Ô Ö¹
ÙÐòÖÝÒ ÙÖغ
Ô Ò
n,¹ Ü ÛØ Ò ÒÓÖÑ Ðð Û ØÓÖ
n0 = {cos α, cos β, cos γ} ÒÓÖÑ Ðð Ò
r Ù Ü ÛØ Ò ÙÖÝÒ M (x, y, z)
y
/
× Ò
Û
ØÓÖº
Ò Ö
Ù× Û
ØÓÖ
º
x
Ì
Û Ð
ÔÖn
0
r = p
(r, n0) − p = 0
´
µ
Ø
ÛØ
Ø
Ò
Ò Ü
Ð òÑ
ÓÐÓÜ
Ø
Ò
Ò
º
Ö
× ÔÖn
0
r = (r, n0)
ÙñÙ
ÕÛ Ðº
´½ µ
x cos α + y cos β + z cos γ − p = 0
Ð
Ö ÒÜ
Ö
Á Ñ
Ò Ø
ÓÓÖ
Ü ÛØ
Ü Ð
Ò ÒÓÖÑ Ðð Ø
ÖØ
Ø
Ø
µ = ±√
ØÓÓ ÓÓÖ
º
Ð Ò
Ð Ò ÒÓÖÑ Ðð Ü Ð
ÖØ
Ø
Ð
¸
Ð
Ò
ÐÕÐ
1
A2 + B 2 + C 2
Ð
ÐÒ º µ
½
º
Õ
Òð
Ö
D¹
Ü
Ò
Ò
×Ö
Ü
Ø Ñ
Ø
20. × Ü ÛØ
´
µ M0(x0, y0, z0)
ÑÒ Ü ÞÙÖ
−−
−→
−−
−→
M1M0 ⊥ α =⇒ M1M0, n
Òð
×
α
ÓÐÐ Ò
Ü ÛØ
Ö Û
Ü ÖØÐ Ü Þ
Ü ÖØÐ Ü Þ
−−
−→
|M0M1| = d
ØÓÖÙÙ
Ò
Á Ñ
−−
−→
n · M1M0
−−
−→
−−
−→
n · M1M0 = ±|n| · |M1M0| = ±|n| · d =⇒ d =
ÓÐÒÓº
Ò
ÓÓÖ
Ò Ø
Ö¸
Ö ÒÜ
º
ÓÐÓÒ ÒÓÖÑ Ðð Ü Ð
|n|
ÖØ
ÕÛ Ð
|Ax0 + By0 + Cz0 + D|
√
d = |x0 cos α + y0 cos β + z0 cos γ − p| =
A2 + B 2 + C 2
ÓÐÒÓº δ = ±d = x cos α + y cos β + z cos γ − p Ü Ñ
Ü
Ò
¸ M0
α Ü ÛØ
× Ü Þ
Ü Ü Þ
ÐØ
Ò º
ÛØ
ºÜº
Ò
Ü Ò
ÙÖÛ Ò
Ò Ü ÛØ
x, y, z ¹ÝÒ
ÐÑ
ÜÙÛð
ÕØ
Ö×Ð Ò
º
Á
Á
Þ Ö
Þ Ö
Ò Ø
Ò Ø
¾¼
Ø
Ø
Ð
º
Ð
Ö
Ð ÖÜ
Ü Ò Ó ØÓÖ Ù
Ð
´½ µ
Ò
Ò
º
òÑ Ö
21. Ç ØÓÖ Ù
× Ò
òÐ
É
Ð
Ø
Ð
Û
ØÓÖÝ
Õ Û
ØÓÖ Òð
z
GG
GG
GG
D
0
ØØ GGG
Ø G
ØØ
GG
ØØ
GG
G
Ø
0
Ø
GG GGG
ØØ
G
GG
ØØ
GG GG
ØØ
GG
ØØ
GG
cc ØØ
cc ØØ
GG
cc ˆˆˆ
ˆ
؈
GG
cc ˆˆˆˆˆˆ
ˆˆˆˆˆ
cc
ˆˆˆˆˆ GGG
cc
ˆˆˆˆG
,G
cc
cc
GG
cc
cc
c
M
r
L
O
ÓÐÓÒ Ø
Ù
y
/
M
r
Ô Ö ÐÐ Ðð
Ð
Ð
ÙÐÙÙÒÝ Ó ØÓÖ Ù
Ä
a
ÒØ
ÙÐÙÙÒÝ Õ
a = {m, n, p}
ÜÓ ÐÓÜ
O
ÙÐÙÙÒ
Üð ÙÐÙÙÒÝ Ø
Õ Û
Üð Õ
Ø Ñ
Ð
ÙÐÙÙÒÝ Ø
ÙÐÙÙÒ
ØÓÖ
Ð Ð
Ò
Ø Ð
ܸ Ø
Ö ÓÖ
º
Òð Ò
Ò ÙØ
Ø
ØÓÖÙÙ
Ø
Ò
×
ØÓ ÓÖ¹
º
Ð
a = {m, n, p}
Û
ØÓÖ
M0(x0, y0, z0)
Ð Ò
Õð º
Ö Û
M (x, y, z)
Òð Ä ÙÐÙÙÒÝ ÙÖÝÒ
−−
−→
a, M0M = {x−x0, y−y0, z−z0 } Û ØÓÖÙÙ Òð ÓÐÐ
Û
º
ÓÐÓÒ
ÓÐ
Ò
Ö
º
x
Á Ñ
ÓÐ Ò
Ö
Ü Ò Ü
Ð
×ÓÓÖ
x − x0 y − y0 z − z0
=
=
m
n
p
´
µ
ÙÐÙÙÒÝ
ÒÓÒ
´
е Ø
Ø
Ð
¾½
Ò
º
´¾¼µ
22. −−
−→
Å Ò M0 M , a Û ØÓÖÙÙ
−−
−→
r = r0 + M0M =⇒
´
Ó ØÓÖ Ù Ò
Ò
´
µ
Ø
µ
Ø
ÓÐÐ Ò
ÙÐÙÙÒÝ Û
Ð
ÓÓÖ
Ó ØÓÖ Ù Ò
Ö
×
r = r0 + t · a,
ØÓÖØ Ø
Ò Ø
Ö
Ø
−−
−→
M0M = t·a
t∈R
Ð
x = x0 + m · t
y = y0 + n · t
z = z0 + p · t
Ø
Ó Ö
âÙÐÙÙÒÝ Õ
Ð
´
×ÓÓÖ
µ
ØÓÑ
ÓÐÒÓº
´
Ó
µ
Ø
Ð
Ø
Õ Û
Ð
ØÓÖÝ
Òð
t∈R
ØÓÓ ÓÐ ÓÒÓº
´¾½µ
º
ÕÛ Ð
ÙÐÙÙÒÝ Ô Ö Ñ ØÖØ Ø
M1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2)
Ò
Ü
´¾¾µ
Ð
Ò
º
Ö× Ò ÙÐÙÙÒÝ Ø
Ö× Ò
ÙÐÙÙÒÝ Ø
Ø
Ø Ð
º
Ð
−−
−→
a = M1M2 = {x2 − x1, y2 − y1, z2 − z1}
x − x1
y − y1
z − z1
=
=
x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1
ÜÓ Ö
Ö× Ò
¾¾
ÙÐÙÙÒÝ Ø
Õð
º
Û Ð
´¾¿µ
Ø
Ð
Ò
º
23. âÙÐÙÙÒÝ Ö ÒÜ Ø
n1 = {A1, B1, C1}, n2 = {A2 , B2, C2}
ÒÓÖÑ Ðð
α1 : A1x + B1y + C1z + D1 = 0
α
α2 : A2x + B2y + C2z + D2 = 0
ÛÕ
Þð
º n1 , n2
ÜÓ Ö Ü ÛØ
Ó ØÐÓÐ
ÓÜ
L
×Ò
ÓÐÐ Ò
ÙÐÙÙÒ
Ö
Ó ØÐÓÐ
Ü
Òð òÑ Ö Ò
Ù
Ò
L
º
A1x + B1y + C1z + D1 = 0
A2x + B2y + C2z + D2 = 0
´
µ
Ø
Ø
Ð
Ð Û
× Ò
Ò
Ó ØÓÖ Ù Ò
ÙÐÙÙÒÝ
ÙÐÙÙÒÝ
ÙÐÙÙÒÝ
Ö ÒÜ
Ö× Ò Ø
×
Ö× Ò Ü ÛØ
º
II
II
II
y II
yyI
I
yy
IIyy
II yyyy
yy
II
II 2
II
HH
II
HH
Ð
HH
ÐÐÐ
yy HH
y
ÐÐ
yyyHH
ÐÐÐ
yHyy
Ð
ÐÐÐ
HH yyyy
H
HH yyy ÐÐÐ
HH
ÐÐ
HH 1ÐÐÐ
HH ÐÐ
ÐÐ
Ü
ÜÓ Ö Ü ÛØ
Ø Ð
Ð
Ø
α
´¾ µ
Ø
Ð
ÓÐÓÒ Ü ÛØ
ÒÙÙ ÝÒ ÓÐÓÒÐÓ
Ò
º
Ò
º
Ü ÛØ
Ò
º
´¾ µ
α(A1x + B1y + C1z + D1) + β(A2x + B2y + C2z + D2) = 0
´
µ
Ø
Ø
Ð
Ä
ÙÐÙÙÒÝ
Ö× Ò Ü ÛØ
¾¿
Ò
ÝÒ Ø
Ø
Ð
Ò
º
24. Â
½º
Û òº
x=2
2x − y + 3z + 1 = 0
x + 2y − 20z + 2 = 0
−y + 3z + 5 = 0
2y − 20z + 4 = 0
n1 = {2, −1, 3},
âÙÐÙÙÒÝ
Ð
ÒÓÒ
Ü Ð
к
=⇒ z = 1, y = 8 =⇒ M0(x0, y0, z0) = M0(2, 8, 1).
n2 = {1, 2, −20}
i j
k
a = n1 × n2 = 2 −1
3 = 14i + 43j + 5k =⇒
1 2 −20
x−2 y−8 z−1
=
=
14
43
5
Ó Ö ÙÐÙÙÒÝ Ü Ö Ð
Ò
Ç ØÓÖ Ù Ò ÜÓ Ö
ÙÐÙÙÒ Òð Ó ØÐÓÐ
×ÓÒ¸ Ô Ö ÐÐ Ðð¸ Ô ÖÔ Ò
ÓÐÒÓº
Ò
ØÙÐ
Ù
ÖØ
ÜÓ Ö
ÙÐÙÙÒÝ ÜÓÓÖÓÒ ÓÜ
¾
Ò
ϕ
ÛÕ
Þð
Ö ÐØ
ÙÐòÖ¸ ×ÓÐ
º
º
×ÓÒ
25. x − x1 y − y1 z − z1
L1 :
=
=
, a1 = {m1, n1, p1}
m1
n1
p1
x − x2 y − y2 z − z2
L2 :
=
=
, a2 = {m2, n2, p2}
m2
n2
p2
Ó Ö
ÙÐÙÙÒÝ ÜÓÓÖÓÒ ÓÜ
Ø Ò
ϕ
ÙÕ Ö
Ò
Ð
ÙÐòÖ
ÕÛ
ØÓÖÙÙ ÝÒÜ Òð ÜÓÓÖÓÒ ÓÜ
Ò
m1m2 + n1n2 + p1p2
m2
1
+
n2
1
+
p2
1
ÓÐ
L1
È ÖÔ Ò
Ð
L2 ⇐⇒ a1
·
m2
2
+
n2
2
+
´¾ µ
p2
2
m1 n1 p1
=
=
m2 n2 p2
a2 ⇐⇒
´¾ µ
ÓÐ
´¾ µ
L1 ⊥ L2 ⇐⇒ a1 ⊥ a2 ⇐⇒ m1 m2 + n1n2 + p1p2 = 0
Ò Ü
Ð
Ü Ò
ÖÛ
d¹
ÓÐ
d
Ù
ÜÓ Ö
Ò
º
ÙÐÙÙÒ Òð ×ÓÐ
×ÓÒ
ÓÐ Ø
Ö
º
Òð
Ó ØÐÓÐ
×ÓÒ
Ö
Ø
Òð
cos ϕ =
È Ö ÐÐ Ðð
Òð Õ
ÙÐÙÙÒÙÙ
Ô ÖÔ Ò
ÜÓÐ Ó×ÓÒ Ü ÖÕÑ
ÙÐòÖ
Ò ÙÖØ
¾
Ò ÜÓÓÖÓÒ ÓÜ Ü Ñ
ÙÐÙÙÒݸ
ÓÐÒÓº
ÙÐÙÙÒ ØÙ×
Ò
Þ
ÖØ
Òð
26. Ò
• • • • • • • • • • • •
‚‚‚‚
‚‚‚
‚‚‚ 1
‚‚‚
)‚‚‚‚
‚‚‚ 1
1
• • • • • • • • • • • •
M
·
a
Ü ÖÕÑ
d
Û
ØÓÖÝ
l
Û Ð
a1 × a2
l=
|a1 × a2|
ÓÐÓÜ
−−
−→
a1 = {m1, n1, p1} ⊥ M1M2,
−−
−→
a2 = {m2, n2, p2} ⊥ M1M2
b· L
Ma
Ò
ÙÙÜ Ò
L
O
llll
l
l5ll
lll
2
lll
lll
2
lll
2
ØÙÐ
Ò
−−
−→
M1M2 = r2 − r1 = {x2 − x1, y2 − y1, z2 − z1}
|[a1, a2] · (r2 − r1)|
d=
ÓÐ ÓÒÓº
|a1 × a2|
ÓÓÖ
Ò Ø
Ö Òð
d=
ÕÛ Ð
x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1
m1
n1
p1
m2
n2
p2
n1 p1
n2 p2
2
+
p1 m1
p2 m2
¾
2
+
m1 n1
m2 n2
2
´¾ µ
27. ÛØ ÒÙÙ ÝÒ Ü Ö Ð
Ò
Òð Ó ØÐÓÐ
×ÓÒ¸ Ô Ö ÐÐ Ðð¸
Ó Ö Ü ÛØ
Ö ÐØ
º
ÓÐÒÓº
ÛÜ
× Ò
α : A1x + B1y + C1z + D1 = 0,
β : A2x + B2y + C2z + D2 = 0,
Ó Ö Ü ÛØ
ÜÓÓÖÓÒ ÓÜ
Ó Ö Ü ÛØ
n1 = {A1, B1, C1}
n2 = {A2, B2, C2}
Ò ÜÓÓÖÓÒ ÓÜ
Ò
Ø
Ò ÜÓÓÖÓÒ
O
Ò
Ø Ò
Ü Ñ Ö
Ò
Òð¸ Ø
ϕ
´
ÙÕ Ö
ØÓÑ
× Ü ÙÕ Ö Ò
Ò ÒÓÖÑ Ðð Û
Ó ÓÓÖ
Ü
α·
α
β n
β
¾
ØÓÖÙÙ ÝÒ
Ö Ò
Ò
××
××
×
××
××
××
××
××
• • • • • • • •1
××1
×× 1
××
1
××
1
××
×
××
××
××
××
××
×
××
××
××
××
n1
• • • • • • • • • • • •
2
·
µ
Ö
Òð
Ò
π−ϕ
n2
/
O
n1
××
××
××
××
××
××
×
××
º
ÓÐÒÓº
28. Ó Ö Ü ÛØ
Ô ÖÔ Ò
ÙÐòÖ
ÓÐ
cos ϕ = 0
ÙñÙ
α ⊥ β =⇒ n1 ⊥ n2 =⇒
´¿¼µ
A1A2 + B1B2 + C1C2 = 0
È Ö ÐÐ Ðð
α
ÓÐ
β =⇒ n1, n2
ÓÐÐ Ò
Ö ÙÕ Ö
n1 × n2 = 0 =⇒
ÛÜ
× Ò
ÓÐ
A1 B1 B1
=
=
A2 B2 B2
´¿½µ
A1 B1 C1 D1
=
=
=
A2 B2 C2 D2
´¿¾µ
ÓÐÒÓº
α, β
ÜÓ Ö Ü ÛØ
Ø Ø òº Í
Ó ØÐÓÐ
Ó
ÜÓÓÖÓÒ ÓÜ
Ü ÛØ
Òð
ÓÐ
Ò
Ò Ó ØÐÓÐ
ÓÐÝÒ
α, β
Ö Ü ÛØ
Ø
Ø Ò
Ü ÛØ
ÙÐÙÙÒ
ÒÙÙ Ø
Òð Ô ÖÔ Ò
Ü Ö
ÒÙÙ ÝÒ ÜÓÓÖÓÒ ÓÜ
Ò
º
¾
ÙÐòÖ
L1 , L2
Òð L1 , L2
ÐÞ Ò
Ò
Ü Ò
Ü ÛØ
ÙÐÙÙÒÙÙ
Ö
ÙÐÙÙÒÙÙ ÝÒ
29. ϕ = (L 1 , L 2 )
Û Ð
n1 ⊥ L1 , n2 ⊥ L2
cos ϕ = cos (n1, n2) =
ÙÕ Ö
A2
1
A1A2 + B1B2 + C1C2
+
2
B1
+
2
C1
yyy
yyy
yyy
11
yyy
1
yyy
yyy 1
yy
1
yy
yyyy1
yyy
yy
1 yyyy
y y
yyy
1
y y
yyy
yy
yyy
1
y
y y1
yyy
y
y
yy
1 y7 y
yyy
yy
yyy
1 oo y y
yyy
ooo
yy
yy
yyy oo 1
yy
yy
yyyy1 1
y
y y
O yyy
y
yy
1 yy
yyy
y y 2
yyy
yyy
yy 1
yyy
yyy
yy
yy
1
yyy
yy
yyy
1
yy
y y
1
yyyyy
y
y
yyy
1
yyy
1
yyy
yyy
yy
2
α
β
ÓÐÒÓº
ϕ = (n1, n2)
A2
2
·
+
2
B2
L
n
· n
·
L
¾
DD
D
oDD 2
ooo DD
1 oo
DD,
oo7Oo
ooo
D
oo
2 eDDeee
31. ´
µ
⋆
× ×Ø Ñ
Ò ÜÙÛð
ÖÛ
Ò
Û Ð × ×Ø Ñ
ÓÖ
⋆
ÙÖÛ
△ = 0º
⋆ Æ
A1x + B1y + C1z + D1 = 0
2x + B2y + C2 z + D2 = 0
A3x + B3y + C3z + D3 = 0
Ò
Ò Ü ÛØ
Ü Ö ò Ð
Ò
Ø
Õ
Ü
ØÙÐ
ÙÖÛ Ò Ü ÛØ
△ = 0º
Ö Ó ØÐÓÐ
ÓÓ
Ü Ö ò Ð
ÜÓ ÖÝÒ ÜÓÓÖÓÒ ÓÜ
ÖÜ ÔÖÓ
Ò
Ò
ØÓ
ÓÓ
Ò
ÓÐÓÒ
Ü ÙÕ Ö
Ø
Ò
º
ÜÓ ÖÝÒ ÜÓÓÖÓÒ ÓÜ Ò
×
Ü
Ò
º
x − x0 y − y0 z − z0
L:
=
=
a = {m, n, p}
m
n
p
α : Ax + By + Cz + D = 0, n = {A, B, C}
¿¼
Ø Ó ØÐÓÐ
Ó
ÓÐ × ×Ø Ñ
Û Ð ØÓÓ ØÓÑ
âÙÐÙÙÒ Ü ÛØ
âÙÐÙÙÒÝ Ü ÛØ
´¿ µ
ÙÐÙÙÒ Ü ÛØ
º
32. ÖÜ
ÙÐÙÙÒ¸ Ü ÛØ
ÜÓ ÖÝÒ ÜÙÛð
ØÓ ÓÖÜÓ ÐÓÐØ
×ÓÓÖ
ϕ = (L, ÔÖαL),
a = {m, n, p}
ÜÙÛð
n = {A, B, C}
(n, a)
cos(n, a) =
|n| · |a|
ÙÕ Ö
cos
π
|Am + Bn + Cp|
− ϕ = sin ϕ = √
2
A2 + B 2 + C 2 · m2 + n2 + p2
n L
ϕW jj
·BB
jjjj
j
·jjj
jjjj
j
jjjj
α
·
O
¿½
´¿ µ
33. ÖÛ
ÙÐÙÙÒ Ü ÛØ
ÜÓ Ö Ô Ö ÐÐ Ðð
ÓÐ
n ⊥ a ⇐⇒ (n, a) = 0 ⇐⇒
Am + Bn + Cp = 0
L
· /
n a
Ö Û
n, a
ÙÐÙÙÒ Ü ÛØ
ÓÐÐ Ò
Ö
O
·
ÜÓ Ö Ô ÖÔ Ò
´¿ µ
α
ÙÐòÖ
ÓÐ
⇐⇒ [n, a] = 0 ⇐⇒
A B C
= =
m n
p
·
O
a
n
·11
α
1
·
¿¾
´¿ µ