Aprender a contar con variaciones y permutaciones.

1. ¿Cómo CONTAR
ordenadamente? 3
"Variaciones y permutaciones"

2. En este capítulo vamos a ver otra situación diferente.
Nos preguntamos ahora:
¿Qué ocurrirá cuando, al formar una agrupación, los elementos
que hemos empleado no podemos volver a utilizarlos?
Veamos algunos ejemplos que nos permitirán sacar
conclusiones.

3. BANDERAS
3.1- Tenemos cuatro colores distintos, ¿cuántas banderas de
dos franjas horizontales, cada una de un color, podemos
hacer?
Construimos un diagrama de árbol para nuestro caso:
Contamos: 4 3 12 situaciones diferentes.

4. Otra de Banderas:
3.2- Si queremos ahora fabricar una bandera tricolor con
colores distintos, ¿cuántas opciones tenemos?
Nos salen 4 3 2 24

5. 3.3- Tengo preparados 5 libros que quiero leer en las próximas
vacaciones, pero calculo que no tendré tiempo más que
para 3, ¿cuántas alternativas de lectura distintas tengo?
Primera lectura: para ella tenemos 5 alternativas, una por cada libro que
hemos preparado.
Segunda lectura: nos encontramos con 4 opciones, de los 5 libros hay que
descontar el que se ha escogido para la primera lectura.
Tercera lectura: cada uno de los 3 libros que quedan después de las dos
primeras elecciones.
Tenemos por tanto 5 4 3 60 opciones diferentes.

6. 3.4- ¿De cuántas maneras diferentes se puede formar el pódium
de la final de 100 metros lisos en la que corren 8 atletas?
Tenemos 8 alternativas para el ganador, 7 para el segundo clasificado y 6
opciones para el tercero.
Nos salen por tanto:
8 7 6 336

7. En los ejemplos anteriores hemos formado agrupaciones de un
cierto número de elementos que no pueden repetirse y en los
que el orden en que están situados cambia el resultado.
En estos casos decimos que formamos Variaciones Ordinarias o
simplemente Variaciones
Variaciones.

8. Llamamos Variaciones de m elementos tomados de n en n a los
diferentes grupos de n elementos que se pueden formar con los
m que tenemos, teniendo en cuenta que:
- influye el orden en que se colocan
- los elementos NO se pueden repetir
-
lo escribimos:
lo leemos: Variaciones de n elementos tomados de p en p
lo calculamos: 1 2 …

9. Ejemplos:
1.- Variaciones de cinco elementos tomados de tres en tres
"
! 5 4 3 60
2.- Variaciones de ocho elementos tomados de dos en dos
$
# 8 2 16
3.- Variaciones de quince elementos tomados de cinco en cinco
!
%! 15 14 13 12 11 360 360

10. En los ejemplos anteriores, para cada grupo que hemos
construido, sólo hemos utilizado algunos de los element que
elementos
teníamos disponibles.
Vemos ahora qué ocurre cuando formamos agrupaciones con
todos los elementos.

11. Libros:
3.5- Si sólo tenemos un libro, está claro que no hay más que una
forma de ponerlo en una estantería.
Pero, ¿qué ocurrirá si disponemos de dos libros?
Hay dos formas de situar los
libros dos opciones para el
primero y sólo una para el
segundo
&% &$ y &$ &%

12. 3.6- ¿Y si contamos con tres libros?
Vemos que son variaciones de tres elementos tomadas de tres
en tres
"
" 3 2 1 6

13. 3.7- ¿Qué pasará si tenemos cuatro?
Solución:
3.8- ¿De cuántas formas se pueden colocar si son 10 libros?

14. Este producto que hemos obtenido en las actividades anteriores se
llama:
Factorial de un número
Las situaciones anteriores son casos de Variaciones ordinarias en las
utilizamos todos los elementos que de que disponemos.
A estos casos particulares de Variaciones se le llaman Permutaciones.
En las Permutaciones, al igual que en las Variaciones, los elementos
no pueden repetirse y si cambiamos el orden en que se sitúan cambia
el resultado.

15. Por tanto:
Llamamos Permutaciones m elementos a los diferentes grupos
que se pueden formar con los m elementos que tenemos,
teniendo en cuenta que:
- influye el orden en que se colocan
- los elementos NO se pueden repetir
lo escribimos: '(
lo leemos: Permutaciones de m elementos
lo calculamos:
'( )! ) ) 1 ) 2 …… 2 1

16. Ejemplos:
1.- Permutaciones de tres elementos
'" 3 2 1 6
2.- Permutaciones de 5 elementos
'! 5 4 3 2 1 120
3.- Permutaciones de 7 elementos
'+ 7 6 5 4 3 2 1 5 040

17. ACTIVIDADES para practicar:
3.9- Calcula el número de formas distintas en que se pueden
sentar 3 personas en un sofá.
3.10- ¿De cuántas formas distintas se pueden sentar 5 personas
en el sofá de tres plazas del ejercicio anterior?

18. 3.11- Con las letras de la palabra ROSCA ¿cuántas palabras
diferentes de tres letras, tengan o no sentido, se pueden
formar?
Y , ¿cuántas serán si se utilizan las cinco letras?