Este documento explica el concepto de combinaciones, que son formas de agrupar elementos de un conjunto en la que el orden no importa. Presenta ejemplos como saludos entre amigos, ensaladas con ingredientes y números de lotería. Explica cómo calcular el número de combinaciones usando el factorial y el coeficiente binomial. Finalmente, proporciona ejercicios prácticos para aplicar estos conceptos.

1. ¿Cómo CONTAR
ordenadamente? 4
“Combinaciones”

2. Existen otros tipos de agrupamientos en los que al variar el orden en
que se sitúan los elementos no cambia el resultado.
A este tipo de agrupaciones se le llama Combinaciones.
Las Combinaciones se diferencian de las Variaciones en que una
agrupación que tiene los mismos elementos que otra, pero en distinto
orden, no genera un nuevo grupo.
Veamos algunas situaciones que dan lugar a combinaciones:

3. SALUDOS:
4.1- Cinco amigos, Juan, María, Pedro, Sandra y Andrés quedan en una
cafetería.
Al encontrarse, ¿cuántos saludos intercambian?
Llamamos a cada amigo por su inicial
J, M, P, S, A
Podemos formar los siguientes
agrupamientos:

4. Obtenemos situaciones
Pero estamos contando cada saludo dos veces, ya que el saludo de J – M es el
mismo que M – J y lo mismo ocurre para el resto de los casos.
Luego tendremos que dividir entre 2 los resultados obtenidos.
Contamos:

5. 4.2- Queremos hacer una ensalada y para ello disponemos de cinco
ingredientes, lechuga, tomate, maíz y patata. Calculamos el número de
ensaladas distintas que podemos hacer mezclando tres ingredientes.
Hacemos un diagrama de árbol al igual que en el caso anterior:
Que son situaciones, pero ¿son diferentes?

6. La respuesta es NO ya que es lo mismo una ensalada de lechuga, tomate y maíz que
una de lechuga, maíz y tomate, también que una de tomate, lechuga y maíz, y que
una de ….
Contamos las situaciones repetidas:
L–T–M , L–M–T , T–L–M , T–M–L , M–L–T , M–T–L
Que como vemos son permutaciones de tres elementos es decir
Para el resto de grupos de ingredientes ocurre también lo mismo, cada agrupación
de tres ingredientes la hemos contado 6 veces.
Luego en este caso nos encontramos con:

7. Otro ejemplo de combinaciones es el sorteo de la Lotería Primitiva:
4.3- El primer premio de la Lotería Primitiva consiste en acertar 6 números
distintos, escogidos al azar entre los números desde el 1 al 49.
¿Cuántas opciones de primer premio existen?
Razonamos de la siguiente manera:
Primer número: puede ser cualquiera del 1 al 49, luego tenemos opciones.
Segundo número: como no puede salir dos veces el mismo número tenemos
opciones, las que nos quedan después de quitar a los 49 números iniciales el
obtenido en la primera extracción.
Tercer número: quitamos a 49 los dos números obtenidos en las dos primeras
extracciones, nos quedarán números.

8. Procedemos así hasta llegar al sexto número.
Tendremos por tanto
alternativas
Pero esta vez también hemos contado varias veces cada una de las agrupaciones, ya
que el orden en que se extraen los números no afecta al resultado.
Así por ejemplo, el premio formado por los números 3 – 7 – 11 – 18 – 20 – 43
es el mismo que el formado por 7 – 3 – 11 – 18 – 20 – 43 y que el que se
obtiene con 11 – 7 – 3 – 18 – 20 – 43 y que …
Que son permutaciones de 6 elementos

9. Por tanto el número de resultados posibles para el primer premio será:
Bastante más pequeño que el primero, pero que deja claro las escasas posibilidades
que hay para conseguir el primer premio en el juego de la Primitiva.

10. Si nos fijamos en los cálculos que nos llevan al resultado final vemos que en el
numerador nos aparecen variaciones y en el denominador permutaciones, lo
podemos escribir como
A este cociente se le llama número combinatorio
- se escribe
- se lee: cuarenta y nueve sobre seis
- se calcula:

11. Ejemplos:
1.- Combinaciones de cinco elementos tomados de tres en tres
2.- Combinaciones de ocho elementos tomados de dos en dos
3.- Combinaciones de quince elementos tomados de cinco en cinco

12. Las Combinaciones son
aquellas formas de agrupar
los elementos de un conjunto
de manera que NO influye el
orden en que estos se
colocan.

13. Se definen las Combinaciones de m elementos tomadas de n en n como las
distintas agrupaciones formadas con n elementos distintos, eligiéndolos de
entre los m de que disponemos, teniendo en cuenta que
- los elementos no pueden repetirse
- el orden en que los situemos NO altera el resultado
lo escribimos:
lo leemos: Combinaciones de m elementos tomadas de n en n
lo calculamos:

14. ACTIVIDADES para practicar:
4.3- Tomamos 10 puntos en una circunferencia, ¿cuántos triángulos con
vértices en esos puntos podemos construir?
4.4- Para formar una comisión, se deben elegir 4 personas de un grupo de
13. ¿De cuántas maneras puede hacerse la elección?

15. 4.5- ¿De cuántas maneras se pueden dividir 10 chicos en dos equipos de
baloncesto de 5 chicos cada uno?
4.6- En un determinado programa de televisión intervienen cuatro
presentadores. Si en la emisora trabajan 10 presentadores, ¿de cuántas
formas distintas se puede presentar el programa?

16. 4.7- ¿Cuántas jugadas diferentes se pueden obtener si se sacan cinco cartas
de una baraja española (con 40 cartas)?