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Las técnicas de conteo son aquellas que son usadas
para enumerar eventos difíciles de cuantificar.
Las más usadas son:
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- Análisis combinatorio.
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DIAGRAMA DE ÁRBOL:
Los diagramas de árbol son ordenaciones empleadas
para enumerar todas las posibilidades lógicas de una
secuencia de eventos, donde cada evento puede
ocurrir en un número finito. Proporcionan un
método sistemático de enumeración objetiva de los
resultados.
Raíz Ramas
A continuación se presenta un Diagrama de Árbol,
referente a las respuestas que se pueden dar a tres
preguntas de Verdadero o Falso.
Tenemos dos opciones para cada pregunta: V o F. El
árbol presenta dos ramas en cada pregunta.
1. La teoría de conjuntos fue desarrollada por G.
Cantor. a) V b) F
2. G. Cantor es de origen francés. a) V b) F
3. La teoría de conjuntos sirve para simplificar la
Estadística. a) V b) F
1)
V
2)
V
F
3)
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
F
Las diferentes
formas en que se
puede contestar
son ocho y forman
el espacio
muestral.
E = {VVV, VVF, VFV,
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C
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C
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C
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número de resultados posibles en que se puede
disponer de la ordenación de un conjunto de
elementos, pero esta enumeración es limitada, pues
a medida que aumenta el número de objetos dicha
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n! = n(n-1)(n-2)… 3 x 2 x 1
5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120
Por definición 0! = 1
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Z x P x B = 2 x 3 x 4 = 24
Existen 24 posibilidades de combinar las prendas.
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segunda posición por 6 (P2 = 6) y así, sucesivamente.
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Existen 5.040 maneras de colocar a 7 personas en
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ellas pueden utilizarse cualquiera de m + n formas.
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Cinco personas desean nombrar un Comité Directivo
compuesto de un presidente, un vicepresidente, un
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PERMUTACIONES DE n ELEMENTOS EN DIFERENTES
GRUPOS DE r ELEMENTOS:
Podemos calcular el número de permutaciones nPr,
de n elementos, tomados de grupo o subconjuntos
de r elementos.
𝒏 𝑷 𝒓 =
𝒏!
𝒏 − 𝒓 !
Si de un estante tomamos 2 de 3 litros ¿Cuántas
permutaciones pueden realizarse?
𝟑 𝑷 𝟐 =
𝟑!
𝟑−𝟐 !
= 3! = 6
Pueden realizarse 6 permutaciones.
Cinco personas entran a una sala en la que hay 8
sillas. ¿De cuántas maneras diferentes pueden
ocupar las sillas?
𝟖 𝑷 𝟓 =
𝟖!
𝟖 − 𝟓 !
=
𝟖!
𝟑!
=
𝟖 𝒙 𝟕 𝒙 𝟔 𝒙 𝟓 𝒙 𝟒 𝒙 𝟑!
𝟑!
= 𝟔. 𝟕𝟐𝟎
Pueden ocupar las sillas de 6.720 maneras
diferentes.
PERMUTACIONES DONDE NO TODOS LOS
ELEMENTOS SON DIFERENTES:
Si los elementos de un conjunto no son todos
diferentes entre sí, es decir, algunos de los
elementos son idénticos, la fórmula de las
permutaciones presenta un nuevo aspecto.
El número de permutaciones que se pueden formar
en el caso de n elementos, cuando hay n1 elementos
idénticos, n2 elementos de otro tipo idénticos, etc,
es:
𝒏 𝑷 𝒏 𝟏
,𝒏 𝟐
,…𝒏𝒌 =
𝒏!
𝒏 𝟏! 𝒏 𝟐! … 𝒏𝒌!

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Ejemplos:
¿Cuántas palabras diferentes de cuatro letras
pueden formarse con las letras LULU?
𝟒 𝑷 𝟐,𝟐 =
𝟒!
𝟐! 𝟐!
=
𝟐𝟒
𝟒
= 𝟔
Pueden formarse 6 palabras.
¿Cuántas palabras de once letras pueden formarse
con la palabra Mississippi?
𝟏𝟏 𝑷 𝟒,𝟒,𝟐,𝟏 =
𝟏𝟏!
𝟒! 𝟒! 𝟐! 𝟏!
=
𝟑𝟗. 𝟗𝟏𝟔. 𝟖𝟎𝟎
𝟏. 𝟏𝟓𝟐
= 𝟑𝟒. 𝟔𝟓𝟎
Pueden formarse 34.650 palabras.
PERMUTACIONES CIRCULARES:
Cuando los elementos se encuentran dispuestos en
forma circular, tenemos:
𝒏 𝑷 𝒄 =(n-1)!
¿De cuántas maneras podemos ordenar 5 llaves en
un llavero?
𝟓 𝑷 𝒄 =(5-1)! = 4! = 24
Se pueden ordenar de 24 maneras.
¿De cuántas maneras se pueden ubicar 4 personas
alrededor de una mesa?
𝟒 𝑷 𝒄 =(4-1)! = 3! = 6
Se pueden ubicar de 6 maneras.
COMBINACIONES
Una combinación es un subconjunto o una
disposición de todos los elementos de un conjunto,
sin tener en cuenta el orden de ellos.
El número de combinaciones o subconjuntos no
ordenados, cada uno formado por r elementos, que
pueden obtenerse de un conjunto de n elementos
es:
𝒏 𝑪 𝒓 =
𝒏!
𝒏 − 𝒓 ! 𝒓!
ó
𝒏
𝒓
=
𝒏!
𝒏 − 𝒓 ! 𝒓!

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Ejemplos:
El número de subconjuntos de 2 elementos del
conjunto A que tiene 5 elementos es:
A = {a, e, i, o, u}
𝟓 𝑪 𝟐 =
𝟓!
𝟓 − 𝟐 ! 𝟐!
=
𝟓!
𝟑! 𝟐!
=
𝟏𝟐𝟎
𝟏𝟐
= 𝟏𝟎
Resultan 10 subconjuntos:
E = {ae, ai, ao, au, ei, eo, eu. io, iu, ou}
Si de un estante tomamos 2 de 3 libros, ¿Cuántas
combinaciones pueden realizarse?
𝟑 𝑪 𝟐 =
𝟑!
𝟑 − 𝟐 ! 𝟐!
=
𝟑!
𝟏! 𝟐!
=
𝟔
𝟐
= 𝟑
Por lo tanto el resultado se reduce a 3 posibles
formas porque en una combinación el orden de los
elementos no es importante.
Se tienen cinco obreros para un trabajo
especial que requiere de tres de ellos.
¿De cuántas maneras diferentes se
puede seleccionar un equipo de tres?
Solución:
𝟓 𝑪 𝟑 =
𝟓!
𝟓−𝟑 !𝟑!
=
𝟑!
𝟐!𝟑!
=
𝟏𝟐𝟎
𝟏𝟐
=10
De 10 maneras diferentes.

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seleccionar 3 para formar la mesa
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𝟐𝟎 𝑪 𝟑 =
𝟐𝟎!
𝟐𝟎 − 𝟑 ! 𝟑!
=
𝟐𝟎!
𝟏𝟕! 𝟑!
=
𝟐𝟎𝒙𝟏𝟗𝒙𝟏𝟖𝒙𝟏𝟕!
𝟏𝟕! 𝟑!
𝟐𝟎 𝑪 𝟑 =
𝟐𝟎𝒙𝟏𝟗𝒙𝟏𝟖
𝟑𝒙𝟐
=
𝟔. 𝟖𝟒𝟎
𝟔
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Técnicas de conteo - Análisis combinatorio

  • 1. ¿Qué son las técnicas de conteo? Las técnicas de conteo son aquellas que son usadas para enumerar eventos difíciles de cuantificar. Las más usadas son: - El diagrama de árbol - Análisis combinatorio. Por: Eduardo Gómez A.
  • 2. DIAGRAMA DE ÁRBOL: Los diagramas de árbol son ordenaciones empleadas para enumerar todas las posibilidades lógicas de una secuencia de eventos, donde cada evento puede ocurrir en un número finito. Proporcionan un método sistemático de enumeración objetiva de los resultados. Raíz Ramas
  • 3. A continuación se presenta un Diagrama de Árbol, referente a las respuestas que se pueden dar a tres preguntas de Verdadero o Falso. Tenemos dos opciones para cada pregunta: V o F. El árbol presenta dos ramas en cada pregunta. 1. La teoría de conjuntos fue desarrollada por G. Cantor. a) V b) F 2. G. Cantor es de origen francés. a) V b) F 3. La teoría de conjuntos sirve para simplificar la Estadística. a) V b) F
  • 4. 1) V 2) V F 3) V F V F V F V F V F F Las diferentes formas en que se puede contestar son ocho y forman el espacio muestral. E = {VVV, VVF, VFV, VFF, FVV, FVF, FFV, FFF}
  • 5. Se tiene en un estante 3 libros. Uno de Álgebra, otro de Contabilidad y otro de Biología. ¿De cuántas formas distintas se pueden ordenar los libros?
  • 7. E =
  • 8. ANÁLISIS COMBINATORIO Los diagramas de árbol muestran objetivamente el número de resultados posibles en que se puede disponer de la ordenación de un conjunto de elementos, pero esta enumeración es limitada, pues a medida que aumenta el número de objetos dicha ordenación se complica, por lo que hay que utilizar otro procedimiento más sencillo para determinar el número total de resultados. Con este fin, nos apoyaremos en los conceptos permutaciones y combinaciones, los cuales tienen como base el principio fundamental del conteo.
  • 9. PRINCIPIO FUNDAMENTAL DE CONTEO REGLA DEL PRODUCTO: Si un evento A puede ocurrir de n1 maneras, y una vez que este ha ocurrido, otro evento B puede ocurrir de n2 maneras diferentes, entonces el número total de formas diferentes en que ambos eventos pueden ocurrir en el orden indicado, es igual a n1 x n2.
  • 10. ¿De cuantas maneras pueden repartirse 3 premios a un conjunto de 10 personas, suponiendo que cada persona no puede obtener más de un premio?
  • 11. Aplicando el principio fundamental del conteo, tenemos 10 personas que pueden recibir el primer premio. Una vez que éste ha sido entregado, restan 9 personas para recibir el segundo, y posteriormente quedarán 8 personas para el tercer premio. De ahí que el número de maneras distintas de repartir los tres premios, sería: n1 x n2 x n3 10 x 9 x 8 = 720
  • 12. ¿Cuántas placas de automóvil se pueden hacer utilizando dos letras seguidas de tres cifras? No se admiten repeticiones.
  • 13. Solución: 27 x 26 x 10 x 9 x 8 = 505.440 El símbolo ! se lee factorial y es el producto resultante de todos los enteros positivos de 1 a n; es decir, sea n un número entero positivo, el producto n(n-1)(n-2)… 3 x 2 x 1 se llama factorial de n. n! = n(n-1)(n-2)… 3 x 2 x 1 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 Por definición 0! = 1
  • 14. Ejemplos: 1. Una persona para vestirse tiene la posibilidad de escoger entre 2 pares de zapatos, 3 pantalones y 4 blusas. ¿De cuántas maneras puede combinar las prendas? Solución: Conocemos que hay 2 posibilidades de combinar los pares de zapatos (Z = 2), los pantalones de 3 maneras (P = 3) y las blusas de 4 (B = 4). Entonces: Z x P x B = 2 x 3 x 4 = 24 Existen 24 posibilidades de combinar las prendas.
  • 15. 2. ¿De cuántas maneras se pueden colocar 7 personas en una fila? Solución: La primera posición en la fila (P1), puede ser ocupada por cualquiera de las 7 personas (P1 = 7); la segunda posición por 6 (P2 = 6) y así, sucesivamente. P1 x P2 x P3 x P4 x P5 x P6 x P7 = 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = Es decir: 7! = 5.040 Existen 5.040 maneras de colocar a 7 personas en una fila.
  • 16. 3. Para una obra de teatro hay 6 hombres y 8 mujeres que aspiran a los papeles principales. ¿De cuántas formas el director puede elegir la pareja principal? Solución: El director puede elegir a la pareja principal de: 6 x 8 = 48 formas.
  • 17. 4. ¿Cuántos juegos de placas de circulación para automóviles pueden fabricarse, si se utilizan 3 dígitos y 3 letras? (en ese orden), si no se puede repetir ningún dígito ni letra en cada placa, ni se puede utilizar el cero, las letras O, Ñ y W.
  • 18. Solución: 9 x 8 x 7 x 24 x 23 x 22 = 6.120.576 placas. Pueden fabricarse 6.120.576 juegos de placas con estas características.
  • 19. REGLA DE LA SUMA: Si una primera tarea puede realizarse de m formas y una segunda tarea puede realizarse de n formas, y no es posible realizar ambas tareas de manera simultánea, entonces para realizar cualquiera de ellas pueden utilizarse cualquiera de m + n formas. Ejemplo: Una biblioteca tiene 40 libros de historia y 50 de filosofía. Si un estudiante quiere aprender acerca de alguno de estos dos temas, por la regla de la suma puede elegir entre 40 + 50 = 90 libros. Nota: el estudiante no quiere estudiar historia y filosofía, sino historia o filosofía.
  • 20. PERMUTACIONES Una permutación de un conjunto de elementos, es un ordenamiento específico de todos o algunos elementos del conjunto, facilita el recuento de las ordenaciones diferentes que pueden hacerse con los elementos del conjunto. Nota: En una permutación el orden en que se disponen los elementos del conjunto es importante. PERMUTACIONES DE n ELEMENTOS: Por el principio fundamental del conteo podemos enunciar que el número de permutaciones de n objetos distintos tomados de n en n, es: nPn = n!
  • 21. Ejemplos: Se quiere conocer el conjunto de todas las disposiciones posibles de tres personas colocadas en hilera para tomar una fotografía. 3P3 = 3! = 3 x 2 x 1 = 6 Cinco personas desean nombrar un Comité Directivo compuesto de un presidente, un vicepresidente, un secretario, un tesorero y un vocal. ¿Cuántas maneras hay de constituir el comité? 5P5 = 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120
  • 22. PERMUTACIONES DE n ELEMENTOS EN DIFERENTES GRUPOS DE r ELEMENTOS: Podemos calcular el número de permutaciones nPr, de n elementos, tomados de grupo o subconjuntos de r elementos. 𝒏 𝑷 𝒓 = 𝒏! 𝒏 − 𝒓 ! Si de un estante tomamos 2 de 3 litros ¿Cuántas permutaciones pueden realizarse? 𝟑 𝑷 𝟐 = 𝟑! 𝟑−𝟐 ! = 3! = 6 Pueden realizarse 6 permutaciones.
  • 23. Cinco personas entran a una sala en la que hay 8 sillas. ¿De cuántas maneras diferentes pueden ocupar las sillas? 𝟖 𝑷 𝟓 = 𝟖! 𝟖 − 𝟓 ! = 𝟖! 𝟑! = 𝟖 𝒙 𝟕 𝒙 𝟔 𝒙 𝟓 𝒙 𝟒 𝒙 𝟑! 𝟑! = 𝟔. 𝟕𝟐𝟎 Pueden ocupar las sillas de 6.720 maneras diferentes.
  • 24. PERMUTACIONES DONDE NO TODOS LOS ELEMENTOS SON DIFERENTES: Si los elementos de un conjunto no son todos diferentes entre sí, es decir, algunos de los elementos son idénticos, la fórmula de las permutaciones presenta un nuevo aspecto. El número de permutaciones que se pueden formar en el caso de n elementos, cuando hay n1 elementos idénticos, n2 elementos de otro tipo idénticos, etc, es: 𝒏 𝑷 𝒏 𝟏 ,𝒏 𝟐 ,…𝒏𝒌 = 𝒏! 𝒏 𝟏! 𝒏 𝟐! … 𝒏𝒌!
  • 25. Ejemplos: ¿Cuántas palabras diferentes de cuatro letras pueden formarse con las letras LULU? 𝟒 𝑷 𝟐,𝟐 = 𝟒! 𝟐! 𝟐! = 𝟐𝟒 𝟒 = 𝟔 Pueden formarse 6 palabras. ¿Cuántas palabras de once letras pueden formarse con la palabra Mississippi? 𝟏𝟏 𝑷 𝟒,𝟒,𝟐,𝟏 = 𝟏𝟏! 𝟒! 𝟒! 𝟐! 𝟏! = 𝟑𝟗. 𝟗𝟏𝟔. 𝟖𝟎𝟎 𝟏. 𝟏𝟓𝟐 = 𝟑𝟒. 𝟔𝟓𝟎 Pueden formarse 34.650 palabras.
  • 26. PERMUTACIONES CIRCULARES: Cuando los elementos se encuentran dispuestos en forma circular, tenemos: 𝒏 𝑷 𝒄 =(n-1)! ¿De cuántas maneras podemos ordenar 5 llaves en un llavero? 𝟓 𝑷 𝒄 =(5-1)! = 4! = 24 Se pueden ordenar de 24 maneras.
  • 27. ¿De cuántas maneras se pueden ubicar 4 personas alrededor de una mesa? 𝟒 𝑷 𝒄 =(4-1)! = 3! = 6 Se pueden ubicar de 6 maneras.
  • 28. COMBINACIONES Una combinación es un subconjunto o una disposición de todos los elementos de un conjunto, sin tener en cuenta el orden de ellos. El número de combinaciones o subconjuntos no ordenados, cada uno formado por r elementos, que pueden obtenerse de un conjunto de n elementos es: 𝒏 𝑪 𝒓 = 𝒏! 𝒏 − 𝒓 ! 𝒓! ó 𝒏 𝒓 = 𝒏! 𝒏 − 𝒓 ! 𝒓!
  • 29. Ejemplos: El número de subconjuntos de 2 elementos del conjunto A que tiene 5 elementos es: A = {a, e, i, o, u} 𝟓 𝑪 𝟐 = 𝟓! 𝟓 − 𝟐 ! 𝟐! = 𝟓! 𝟑! 𝟐! = 𝟏𝟐𝟎 𝟏𝟐 = 𝟏𝟎 Resultan 10 subconjuntos: E = {ae, ai, ao, au, ei, eo, eu. io, iu, ou}
  • 30. Si de un estante tomamos 2 de 3 libros, ¿Cuántas combinaciones pueden realizarse? 𝟑 𝑪 𝟐 = 𝟑! 𝟑 − 𝟐 ! 𝟐! = 𝟑! 𝟏! 𝟐! = 𝟔 𝟐 = 𝟑 Por lo tanto el resultado se reduce a 3 posibles formas porque en una combinación el orden de los elementos no es importante.
  • 31. Se tienen cinco obreros para un trabajo especial que requiere de tres de ellos. ¿De cuántas maneras diferentes se puede seleccionar un equipo de tres?
  • 32. Solución: 𝟓 𝑪 𝟑 = 𝟓! 𝟓−𝟑 !𝟑! = 𝟑! 𝟐!𝟑! = 𝟏𝟐𝟎 𝟏𝟐 =10 De 10 maneras diferentes.
  • 33. De un club de 20 socios, se van a seleccionar 3 para formar la mesa directiva. ¿De cuántas formas puede constituirse?
  • 34. Solución: 𝟐𝟎 𝑪 𝟑 = 𝟐𝟎! 𝟐𝟎 − 𝟑 ! 𝟑! = 𝟐𝟎! 𝟏𝟕! 𝟑! = 𝟐𝟎𝒙𝟏𝟗𝒙𝟏𝟖𝒙𝟏𝟕! 𝟏𝟕! 𝟑! 𝟐𝟎 𝑪 𝟑 = 𝟐𝟎𝒙𝟏𝟗𝒙𝟏𝟖 𝟑𝒙𝟐 = 𝟔. 𝟖𝟒𝟎 𝟔 = 𝟏. 𝟏𝟒𝟎 Puede constituirse de 1.140 formas.