UNIVERSIDAD MARÍTIMA DEL CARIBE. VICERRECTORADO ACADÉMICO COORDINACIÓN DE GESTIÓN DOCENTE COORDINACIÓN DE GEOMETRÍA Curso Geometría I Profesor Carlos Marcano

1. Republica Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación
Universitaria
Universidad Nacional Experimental Marítima del
Caribe Coordinación de Gestión Docente
Coordinación de Geometría
INTRODUCCIÒN A LA TRIGONOMETRIA ESFÉRICA
Profesor: Carlos Marcano

2. La Geometría esférica es la Geometría de la superficie
bidimensional de la esfera,
es la que describe la superficie de la tierra.
En esta Geometría las líneas están
definidas en el sentido de las trayectorias
más cortas entre los puntos, los ángulos
están definidos entre los grandes círculos,
resultando en una Trigonometría Esférica,
con importantes aplicaciones así como en
la Navegación y Astronomía .
La Trigonometría Esférica es la parte de la Geometría que estudia
los diferentes polígonos que se forman en la superficie de la esfera,
en particular los triángulos esféricos de especial interés en
Astronomía ,Náutica y Navegación, para determinar
la posición de un buque mediante la observación de los astros.

3. Planos diametrales : Son todos aquellos
planos que pasan por el centro de la esfera.
Toda Circunferencia que se origina al cortar-
Se la superficie esférica por un plano diametral
Se dice Circunferencia Máxima.
Las circunferencias máximas que pueden
generarse son el Ecuador de la esfera, los
Meridianos y circunferencias oblicuas. Las
Circunferencias Mínimas se generan cuando
un Plano al cortar la esfera no pasa por el
centro de la misma.
La zona esférica es la parte de la superficie
esférica comprendida entre dos secciones
planas paralelas.

4. Casquete Esférico: Es cada una de las partes de la esfera
determinada por un plano secante. Si dicho plano pasa por el
centro de la esfera la altura del casquete es igual al radio de la
esfera y el casquete se denomina Hemisferio.
Circunferencias Notables en la Esfera:
Ecuador: Círculo máximo que se obtiene al
cortar la superficie esférica con el plano
perpendicular al eje de revolución y contiene
el centro de la esfera.
Paralelos: Circunferencias obtenidas al cortar la superficie
esférica con planos perpendiculares al eje de rotación.
Meridianos: Es la semicircunferencia de la tierra que se obtiene
al cortar la superficie esférica con planos que contienen al eje
de rotación.

5. El meridiano de
Greenwich o
meridiano cero (0)
determina todas las
posiciones de la
superficie terrestre
mediante las coordenadas
latitud(∝) y longitud (β).
La latitud es la distancia que hay desde la línea ecuatorial hasta el
ángulo paralelo que contiene al lugar de observación.
Varia de 0°a 90° y en dirección Norte(N) o Sur(S). Por su parte la Longitud
es la distancia esférica que hay desde el meridiano de Greenwich hasta
el meridiano que pasa por el ángulo de observación, varia de 0° a
180° 𝑦 en dirección Este E − Oeste (W).

6. Cuando un navío o aeroplano recorren un arco de circunferencia
máxima entre dos puntos (A y B) su rumbo es el ángulo recorrido
formado con el meridiano del navío o aeroplano. Se mide a partir
del Norte y sentido horario.
El ángulo esférico es el que se forma por dos arcos de
circunferencias máximas. La medida de un ángulo esférico viene
dada por el ángulo diedro formado por los planos de las
circunferencias máximas cuyos arcos forman los lados del ángulo
esférico.
La distancia esférica entre dos puntos
A y B es igual al menor de los arcos de
extremos A y B de la circunferencia
máxima obtenida mediante la inter-
sección de la esfera con el plano que
contiene al centro y dichos puntos.
Huso Esférico: Parte de la superficie de la esfera comprendida
entre dos planos que se cortan en el diámetro de la misma .

7. TRIÁNGULOS ESFÉRICOS (∆𝑒): Es la región de la superficie esférica
limitada por los arcos de tres circunferencias máximas que se cortan
dos a dos.
Las caras del ángulo triedro (OABC) son las medidas de los lados
del triángulo esférico , ΔeABC, y los ángulos diedros del triedro
son los ángulos esféricos delΔeABC.

8. Propiedades de los triángulos esféricos:
1.-Cualquier lado de un ΔeABC es menor que la suma
de los otros dos lados y mayor que la diferencia
de estos: b - c< 𝑎 < 𝑏 + 𝑐.
2.-La suma de los lados de un ΔeABC cumple:
0° < 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 < 360°
3.-La suma de los ángulos de un ΔeABC cumple:
180° < 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 <360°
4.-Los lados de un ΔeABC son menores que una circunferencia.
5.-Un ΔeABC Isósceles tiene iguales los ángulos opuestos a los lados
iguales y consecuentemente si el ΔeABC tiene dos ángulos iguales
también es isósceles.
6.-En todo ΔeABC a mayor lado se opone mayor ángulo y de manera
reciproca a mayor ángulo se opone mayor lado.

9. Los triángulos esféricos cuyos elementos (lados-ángulos) son siempre
menores a 180° se dicen EULERIANOS.
EL exceso esférico (E) de un ΔeABC es el valor angular en el cual la
suma de los ángulos del triángulo es mayor a 180°.
E= < 𝐴 +< 𝐵 +< 𝐶 − 180°
También puede calcularse el exceso en función de los lados a través
de .
tan
𝐸
4
= 𝑡𝑎𝑛
𝑝
2
.tan(
𝑝−𝑎
2
).tan(
𝑝−𝑏
2
).tan(
𝑝−𝑐
2
). Donde
p=
𝑎+𝑏+𝑐
2
es semiperimetro del ΔeABC.
Área (S) o superficie de un triángulo esférico
S Δe =
𝜋𝑟2.𝐸
180°
; donde r: radio de la esfera que contiene al Δe
E: exceso esférico
S: área o superficie

10. Para un polígono regular esférico en general se tiene que el
área o superficie (𝑆𝑝°) será determinada a través de la
expresión
𝑆𝑝° = 𝜋. 𝑟2(𝐴1+𝐴2+...+𝐴𝑛 - (n-2)).180°
donde 𝑆𝑝°: área de polígono esférico
𝑟 : 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎 𝑞𝑢𝑒
𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑎𝑙 𝑝𝑜𝑙í𝑔𝑜𝑛𝑜.
𝐴1, 𝐴2,…𝐴𝑛 : á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑜𝑙í𝑔𝑜𝑛𝑜.
n: 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑙
𝑝𝑜𝑙í𝑔𝑜𝑛𝑜.
Triángulos esféricos rectángulo (T.E.R): Es un triángulo esférico
donde uno o más de sus ángulos internos sean rectos.

11. Propiedades de los triángulos esféricos rectángulos:
En un TER se verifican las propiedades siguientes
1.- 𝑠𝑒𝑛 𝑎 = 𝑠𝑒𝑛𝐴. 𝑠𝑒𝑛 𝑐 6.-tan 𝑏 = tan 𝑎. cos 𝐶
2.- tan 𝑎 = tan 𝐴 . 𝑠𝑒𝑛 𝑏 7.-𝑡𝑎𝑛 𝑐 = tan 𝑎. cos 𝐵
3.- cos 𝑎 = cos 𝑏. cos 𝑐 8.-cos 𝐴 = 𝑐𝑡𝑔 𝑎. tan 𝑏
4.- 𝑠𝑒𝑛 𝑏 = 𝑠𝑒𝑎 𝑎. 𝑠𝑒𝑛 𝐵 9.-cos 𝐵 = 𝑐𝑡𝑔 𝑎. tan 𝑐
5.- 𝑠𝑒𝑛 𝑐 = 𝑠𝑒𝑛 𝑎 . 𝑠𝑒𝑛 𝐶 10.-cos 𝐶 = 𝑠𝑒𝑛 𝐵. cos 𝑐
Un ΔeABC puede ser :
• Birrectángulo : 2 ángulos rectos
• Trirrectángulo : 3 ángulos rectos
• Isósceles : 2 lados iguales
• Equilátero: 3 lados iguales
• Rectilátero : 1 lado recto
• Birectilátero : 2 lados rectos
• Trirrectilátero : 3 lados rectos

12. Un triángulo ( ΔêABC) esférico se dice Polar o suplementario de
otro triángulo esférico ( ΔeABC) cuando los lados del primero son
los suplementos de los ángulos correspondientes del segundo.
También es válido de manera reciproca.
Sean ΔeABC con p = a+b+c (su perímetro) y su polar ΔêABC
y su polar ΔêABC con E`= A`+ B`+C`-180°su exceso entonces
p + E`= (a + A`) +(b + B`) + ( c+ C`)- 180°
= 180° + 180° + 180° − 180° = 360°
→ p + E`= 360° → 𝐸` = 360° − 𝑝
Teorema de senos para lados y ángulos.
Sea ΔeABC se cumple que:
𝑠𝑒𝑛 𝑎
𝑠𝑒𝑛 𝐴
=
𝑠𝑒𝑛 𝑏
𝑠𝑒𝑛 𝐵
=
𝑠𝑒𝑛 𝑐
𝑠𝑒𝑛 𝐶

13. Formulas de seno y coseno para lados y ángulos (Grupo de Bessel)
Para senos:
1.) 𝑠𝑒𝑛𝑐. 𝑐𝑜𝑠𝐵 = 𝑐𝑜𝑠𝑏. 𝑠𝑒𝑛𝑎 − 𝑐𝑜𝑠𝑎. 𝑠𝑒𝑛𝑏. 𝑐𝑜𝑠𝐶
2.) 𝑠𝑒𝑛𝑐. 𝑐𝑜𝑠𝐴 = 𝑐𝑜𝑠𝑏. 𝑠𝑒𝑛𝑏 − 𝑐𝑜𝑠𝑏. 𝑠𝑒𝑛𝑎. 𝑐𝑜𝑠𝐶
3.) 𝑠𝑒𝑛𝑏. 𝑐𝑜𝑠𝐴 = 𝑐𝑜𝑠𝑎. 𝑠𝑒𝑛𝑐 − 𝑐𝑜𝑠𝑐. 𝑠𝑒𝑛𝑎. 𝑐𝑜𝑠𝐵
4.) 𝑠𝑒𝑛𝑏. 𝑐𝑜𝑠𝐶 = 𝑐𝑜𝑠𝑐. 𝑠𝑒𝑛𝑎 − 𝑐𝑜𝑠𝑎. 𝑠𝑒𝑛𝑐. 𝑐𝑜𝑠𝐵
5.) 𝑠𝑒𝑛𝑎. 𝑐𝑜𝑠𝐵 = 𝑐𝑜𝑠𝑏. 𝑠𝑒𝑛𝑐 − 𝑐𝑜𝑠𝑐. 𝑠𝑒𝑛𝑏. 𝑐𝑜𝑠𝐴
6.) 𝑠𝑒𝑛𝑎. 𝑐𝑜𝑠𝐶 = 𝑐𝑜𝑠𝑐. 𝑠𝑒𝑛𝑏 − 𝑐𝑜𝑠𝑏. 𝑠𝑒𝑛𝑐. 𝑐𝑜𝑠𝐴
Para cosenos:
1.) 𝑐𝑜𝑠𝐴 = −𝑐𝑜𝑠𝐵. 𝑐𝑜𝑠𝐶 + 𝑠𝑒𝑛𝐵. 𝑠𝑒𝑛𝐶. 𝑐𝑜𝑠𝑎
2.) 𝑐𝑜𝑠𝐵 = −𝑐𝑜𝑠𝐶. 𝑐𝑜𝑠𝐴 + 𝑠𝑒𝑛𝑐. 𝑠𝑒𝑛𝐴. 𝑐𝑜𝑠𝑏
3.) 𝑐𝑜𝑠𝐶 = −𝑐𝑜𝑠𝐴. 𝑐𝑜𝑠𝐵 + 𝑠𝑒𝑛𝐴. 𝑠𝑒𝑛𝐵. 𝑐𝑜𝑠𝑐
4.) 𝑐𝑜𝑠𝑎 = 𝑐𝑜𝑠𝑏. 𝑐𝑜𝑠𝑐 + 𝑠𝑒𝑛𝑏. 𝑠𝑒𝑛𝑐. 𝑐𝑜𝑠𝐴
5.) 𝑐𝑜𝑠𝑏 = 𝑐𝑜𝑠𝑎. 𝑐𝑜𝑠𝑐 + 𝑠𝑒𝑛𝑎. 𝑠𝑒𝑛𝑐. 𝑐𝑜𝑠𝐵
6.) 𝑐𝑜𝑠𝑐 = 𝑐𝑜𝑠𝑎. 𝑐𝑜𝑠𝑏 + 𝑠𝑒𝑛𝑎. 𝑠𝑒𝑛𝑏. 𝑐𝑜𝑠𝐶.
Un triángulo esférico es oblicuángulo cuando no tiene ángulos rectos

14. Un ΔeABC oblicuángulo queda determinado en los casos siguientes
a.- Se conocen tres de sus lados
b.- Se conocen sus tres ángulos.
c.-Se conocen dos ángulos y el lado comprendido entre ellos.
d.-Se conocen dos lados y el ángulo comprendido entre ellos.
Funciones del ángulo medio:
Sea p semiperímetro del ΔeABC entonces 2p es el perímetro
Luego sucede que
𝑐𝑜𝑠
𝐴
2
=
𝑠𝑒𝑛 𝑝. 𝑠𝑒𝑛(𝑝−𝑎)
𝑠𝑒𝑛𝑏.𝑠𝑒𝑛𝑐
𝑡𝑎𝑛
𝐴
2
=
𝑠𝑒𝑛 𝑝−𝑏 .𝑠𝑒𝑛(𝑝−𝑐)
𝑠𝑒𝑛𝑝.𝑠𝑒𝑛(𝑝−𝑎)
Estas formulas permiten calcular los ángulos del Δe𝐴𝐵𝐶,conocidos
Los tres lados o bien el perímetro(p) y dos lados.

15. Analogías de Neper:
En todo triángulo esférico ΔeABC se verifican las siguientes analogías
𝑇𝑎𝑛
𝐴+𝐵
2
=
𝑐𝑜𝑠
𝑎−𝑏
2
cos
𝑎+𝑏
2
. cot
𝐶
2
𝑇𝑎𝑛
𝐴−𝐵
2
=
𝑠𝑒𝑛
𝑎−𝑏
2
𝑠𝑒𝑛
𝑎+𝑏
2
. 𝑐𝑜𝑡
𝐶
2
𝑇𝑎𝑛
𝑎+𝑏
2
=
𝑐𝑜𝑠
𝐴−𝐵
2
𝑐𝑜𝑠
𝐴+𝐵
2
.𝑐𝑜𝑡
𝑐
2
𝑇𝑎𝑛
𝑎+𝑏
2
=
𝑠𝑒𝑛
𝐴−𝐵
2
𝑠𝑒𝑛
𝐴+𝐵
2
. cot
𝑐
2

16. Analogías de Gauss - DeLambre
Sea Δe𝐴𝐵𝐶 triángulo esférico entonces se tiene que: .
𝐶𝑂𝑆
𝐴+𝐵
2
𝑆𝐸𝑁
𝐶
2
=
𝐶𝑂𝑆
𝑎+𝑏
2
𝐶𝑂𝑆
𝑐
2
𝑆𝐸𝑁
𝐴+𝐵
2
𝑆𝐸𝑁
𝐶
2
=
𝐶𝑂𝑆
𝑎 −𝑏
2
𝐶𝑂𝑆
𝑐
2
𝐶𝑂𝑆
𝐴 −𝐵
2
𝑆𝐸𝑁
𝐶
2
=
𝑆𝐸𝑁
𝑎+𝑏
2
𝑆𝐸𝑁
𝑐
2
𝑆𝐸𝑁
𝐴 −𝐵
2
𝐶𝑂𝑆
𝐶
2
=
𝑆𝐸𝑁
𝑎 −𝑏
2
𝑆𝐸𝑁
𝑐
2

17. Ejemplos
1-Dado el triangulo esférico ΔeABC isósceles de lados a=53 °; 𝑏 = 𝑐 = 47°
calcular el valor de sus ángulos A,B,C
Solución: Sea ΔeABC isósceles con b=c
Por teorema de coseno se tiene
𝑐𝑜𝑠 a = 𝑐𝑜𝑠 b.𝑐𝑜𝑠 c + 𝑠𝑒𝑛 𝑏. 𝑠𝑒𝑛 𝑐. 𝑐𝑜𝑠A → 𝑐𝑜𝑠𝐴=
𝐶𝑂𝑆𝑎 −𝐶𝑂𝑆𝑏. 𝐶𝑂𝑆𝑐
𝑆𝐸𝑁𝑏. 𝑆𝐸𝑁𝑐
como b=c
,
entonces 𝑐𝑜𝑠𝐴 =
𝐶𝑂𝑆𝑎−𝐶𝑂𝑆2𝑏
𝑆𝐸𝑁2𝑏
=
0,6018−(0,6819)2
(0,7313)2 =
0,6018−0,4649
0,5347
=
0,13919
0,5347
→ 𝑐𝑜𝑠𝐴= 0,2560 → 𝐴 arccos(0,2560)→ 𝐴= 75°16.
Aplicando teorema de senos
𝑆𝐸𝑁 𝑎
𝑆𝐸𝑁 𝐴
=
𝑆𝐸𝑁 𝑏
𝑆𝐸𝑁 𝐵
→ 𝑠𝑒𝑛 𝐵 =
𝑆𝐸𝑁 𝑏. 𝑆𝐸𝑁𝐴
𝑆𝐸𝑁 𝑎
𝑠𝑒𝑛 B =
0,7313 . 0,9664
0,7986
=
0,7067
0,7986
→ 𝑠𝑒𝑛 𝐵 = 0,8849 → 𝐵 = 𝐶 = 62°23

18. 2.-Dado un triángulo ΔeABC, esférico trazado sobre una superficie
esférica de radio 10dm. Calcular el volumen de la pirámide cuyo
vértice es el centro de la esfera y su base es el ΔeABC donde
A=71° ,B = 119°,C = 60°.
Se tiene r =10dm=100cm, V=
1
3
A. h (volumen de la pirámide) siendo A
la superficie o área de la base de la pirámide, el ΔeABC, h su altura.
A=SΔeABC =
𝜋.𝑟2.𝐸
180°
=
𝜋.10000𝑐𝑚2
180°
.(71° + 119° + 60° − 180°)
=
𝜋.10000𝑐𝑚2
180°
.70° = 3,88𝜋𝑐𝑚2
= 12,189𝑐𝑚2
Como el vértice de la pirámide esférica es el centro de la esfera
entonces la altura será igual al radio de la esfera, entonces
V=
1
3
12,189𝑐𝑚2. 100cm = 406,3𝑐𝑚3

19. 3.-Calcular la distancia esférica entre los puntos A y B (AB=p)
Situados sobre la superficie terrestre, siendo las longitudes y
latitudes geográficas de A y B las siguientes:
Longitud de A= 4°55`10``oeste (W)
Longitud de B = 12°10` Este (E)
Latitud de A = 44°36` 𝑁𝑜𝑟𝑡𝑒 𝑁
Latitud de B = 40°10`20`` Norte (N).
Solución:
Sean P y P` los polos Norte y Sur
Respectivamente en la esfera(Sp), el ciclo EDF del ecuador.
Los ciclos DAP meridiano de A; FBP meridiano de B.
La medida del arco DF o el ángulo esférico en p será la suma de
las longitudes ; en el Δe𝐴𝑃𝐵 𝑒𝑙 𝑎𝑟𝑐𝑜 𝐴𝑃 , 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑏 𝑑𝑒 Δe𝐴𝑃𝐵 es el arco
Complementario del arco DA. De la misma manera el arcoBP, lado
a del Δe APB es complementario del arco FB, entonces se calcula
El arco AB=p siendo a=49°49`40``; 𝑏 = 45°24; 𝑃 = 16°15`10``
→ cos p= cos a.cos b. +senb.cosP = 0,975272
→ 𝑝 = arccos 0,9752724 = 12°46`05`` ,siendo radio terrestre= 6373Km
entonces la distancia p = AB = 1418,5Km.

20. EJERCICIOS PROPUESTOS
1.-Determine el perímetro del ΔêABC polar, con respecto a ΔeABC
Cuyos ángulos sean A=40°, 𝐵 = 100° 𝑦 𝐶 = 110°
2.-Calcular el área de ΔeABC cuyos lados miden 60°,90°,90°.
sabiendo que el volumen de la esfera que lo contiene es de 36𝜋𝑢2 .
3.-Calcular el exceso esférico en un ΔeABC equilátero si se cumple
que: 7,89° = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑔 ( 2 − 3)
3
2
y su perímetro es180 °.
4.-Demostrar que en unΔeABC equilátero se verifica la identidad
Cos A =
𝐶𝑂𝑆 𝑎
1+𝐶𝑂𝑆 𝐴
5.-Los lados de un ΔêABC, polar, están en progresión aritmética. Sí el
lado intermedio mide100°. 𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑒𝑙 á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 Δe𝐴𝐵𝐶 , 𝑠𝑎𝑏𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑙 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜
de la esfera es 42 m, tómese 𝜋 =
22
7
.
SOLUCIONES
1) 290° 2) 9,4248𝑢2 3) 31,56° 4) Se verifica 5) 44𝑚2

21. BIBLIOGRAFÍA CONSULTADA.
1) https://es.wikipedia.org. Trigonometría Esférica-Wikipedia, la
enciclopedia libre.
2) https://pirhua.udep.pe . Esfera y triángulos esféricos-Pirhua
3) https://www.investigaciónyciencia .Trigonometría esférica
4) https://www.ugr.es . Astronomía esférica o Astronomía de
posición.
5) https://asignaturas.topografía.upm.es . Trigonometría
esférica- Universidad Politécnica de Madrid.