ANALISIS NUMERICO UNIDAD III

1. UNIVERSIDAD FERMIN TORO
VICERRECTORADO ACADEMICO
FACULTAD DE INGENIERIA
CABUDARE, LARA
ANALISIS NUMERICO
ALUMNO:
CESAR HERRERA, 26261720
CABUDARE 03 DE ABRIL DEL 2016

2. MétodosDe EliminaciónGaussiana
En forma general este métodopropone laeliminaciónprogresivade variablesenel sistemade
ecuaciones,hastatenersólounaecuaciónconuna incógnita.Unavezresueltaesta,se
procede porsustituciónregresivahastaobtenerlosvaloresde todaslasvariables.Seapor
ejemploel siguiente sistemade ecuaciones:
Lo que buscamosson 3 números, que satisfaganalas tresecuaciones.El métodode solución
será simplificarlasecuaciones,de tal modoque lassolucionesse puedanidentificarcon
facilidad.Se comienzadividiendolaprimeraecuaciónentre2,obteniendo:
Se simplificaráel sistemasi multiplicamospor -4ambosladosde laprimeraecuacióny
sumandoestaa la segunda.Entonces:
sumándolasresulta:
La nuevaecuaciónse puede sustituirporcualquierade lasdos.Ahoratenemos:
Luego,la primerase multiplicapor -3 y se le suma a la tercera,obteniendo:
Acto seguido,lasegundaecuaciónse divide entre -3.

3. Ahorase multiplicapor5 y se le sumaa latercera:
En este momentoyatenemosel valorde x3,ahora simplementese procede ahacerla
sustituciónhaciaatrás,y automáticamente se vanobteniendolosvaloresde lasotras
incógnitas.Se obtendrá:
Métodode Gauss-Jordan
El Métodode Gauss – Jordano tambiénllamadoeliminaciónde Gauss – Jordan,esun método
por el cual puedenresolverse sistemasde ecuacioneslinealesconnnúmerosde variables,
encontrarmatricesy matricesinversas,eneste casodesarrollaremoslaprimeraaplicación
mencionada.
Para resolversistemasde ecuacioneslinealesaplicandoeste método,se debe enprimerlugar
anotar loscoeficientesde lasvariablesdel sistemade ecuacioneslinealesensunotación
matricial:
Entonces,anotandocomomatriz(tambiénllamadamatrizaumentada):

4. Una vez hechoesto,a continuaciónse procede aconvertirdichamatrizenunamatriz
identidad,esdecirunamatrizequivalente alaoriginal,
la cual es de la forma:
Esto se logra aplicandoalas distintasfilasycolumnasde lasmatricessimplesoperacionesde
suma,resta,multiplicaciónydivisión;teniendoencuentaque unaoperaciónse aplicaraa
todosloselementosde lafilaode lacolumna,seael caso.
Obsérvese que endichamatrizidentidadnoaparecenlostérminosindependientes,estose
debe a que cuandonuestramatrizoriginal alcance laformade lamatriz identidad,dichos
términosresultaranserlasolucióndel sistemayverificaranlaigualdadparacada una de las
variables,correspondiéndose de lasiguienteforma:
d1 = x
d2 = y
d3 = z
DescomposiciónLU
El métodode descomposiciónLUpara la soluciónde sistemasde ecuacioneslinealesdebe su
nombre a que se basa en ladescomposiciónde lamatrizoriginal de coeficientes(A) enel
productode dos matrices(L y U).
Esto es:
Donde:
L - Matriz triangularinferior
U - Matriz triangularsuperiorcontodosloselementosde ladiagonal principal igualesa1.
De loanterior,para matricesde 3x3 se escribe:

5. Si efectuamoslamultiplicaciónde LyU, igualandoloselementosde ese productoconlosde la
matrizA correspondientes,se obtiene:
De aquí que loselementosde Ly U son,eneste caso:
Si el sistemade ecuacionesoriginalse escribe como:
A x = b
locual resultalomismoescribir:
L U X = b
Definiendoa:
U X = Y
podemosescribir:
L Y = b
ResolviendoparaY,encontramos:
El algoritmode solución,unavezconocidasL,U y b, consiste enencontrarprimeramentelos
valoresde "Y" por sustituciónprogresivasobre "LY = b". En segundolugarse resuelve "Ux = y
" por sustituciónregresivaparaencontrarlosvaloresde "x",obteniendo:

6. La determinaciónde loselementosde lasmatricesLy U se realizaneficientementeaplicando
una formamodificadadel métodode eliminaciónde Gauss.
Factorización De Cholesky
Una matriz simétricaesaquelladondeAij = Aji para todai y j, En otras palabras,[A] =[A] T
. Tales
sistemasocurrencomúnmenteenproblemasde amboscontextos:el matemáticoyel de
ingeniería.Ellosofrecenventajascomputacionalesyaque sólose necesitalamitadde
almacenamientoy,enlamayoría de los casos,sólo se requiere lamitaddel tiempode cálculo
para su solución.Al contrariode laDescomposiciónLU,norequiere de pivoteo.El métodode
Factorizaciónde Choleskyse basaendemostrarque si unamatriz A es simétricaydefinida
positivaenlugarde factorizarse comoLU, puede serfactorizadacomoel productode una
matriztriangularinferiorylatraspuestade la matriztriangularinferior,esdecirlosfactores
triangularesresultantessonlatraspuestade cadauno.
Ejemplo:
Obtenerlafactorizaciónde Choleskyde lasiguientematriz(entrarsóloloselementosde U,la
triangularsuperior)
5 7 −8
7 14 −14
−8 −14 24
Entrar el valor del determinante
√5 7/5 √5 −8/5 √5
0 1/5 1051/2 −2/15 1051/2
0 0 2/3 211/2
Resolverel sistemalineal Ax=bcuandobes el vectorsiguiente
51
84
−90
Factorización:
En cada etapa de la resoluciónse muestranlosvaloresactualesde lamatriz.

7. Los nuevoselementoscalculadosaparecenconsuvalordefinitivoencolor
diferente.
Calculandoel elemento(1,1)
5^(1/2) 7 -8
7 14 -14
-8 -14 24
Tratando lafila/columna1
5^(1/2) 7/5*5^ (1/2) -8/5*5^(1/2)
7/5*5^ (1/2) 14 -14
-8/5*5^ (1/2) -14 24
Calculandoel elemento(2,2)
5^(1/2) 7/5*5^(1/2) -8/5*5^(1/2)
7/5*5^(1/2) 1/5*105^(1/2) -14
-8/5*5^(1/2) -14 24
Tratando lafila/columna
5^(1/2) 7/5*5^(1/2) -8/5*5^(1/2)
7/5*5^(1/2) 1/5*105^(1/2) -2/15*105^(1/2)
-8/5*5^(1/2) -2/15*105^(1/2) 24
Calculandoel elemento(3,3
5^(1/2) 7/5*5^(1/2) -8/5*5^(1/2)
7/5*5^(1/2) 1/5*105^(1/2) -2/15*105^(1/2)

8. -8/5*5^(1/2) -2/15*105^(1/2) 2/3*21^(1/2)
La factorizaciónfinal eslasiguiente,enlaque aparecenlasmatricesUT y U, y el vector de
permutaciones:
√5 0 0
7/5 √5 1/5 1051/2 0
−8/5 √5 −2/15 1051/2 2/3 211/2
5 7/5 √5 −8/5 √5
0 1/5 1051/2 −2/15 1051/2
0 0 2/3 211/
El valordel determinanteviene dadoporel productode loselementosde ladiagonal principal
de U y coincide conla diagonal principal de UT.Portanto, es:
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Factorización de QR, Householder
El objetivode estamatrizesusarlapara producircerosen lamatriz que queremos
factorizar.Para hacerlo,debemosconsiderarel problema:
Dados losvectores xy y, ¿cómocalculmos P tal que Px= y?
• Puestoque Prealizauna reflexión,se debe cumplirque ‖ 𝑦‖2= ‖ 𝑥‖2 para poder
calcularP.
• Hay que notar que P es invariante alaescalade v.
x - y tiene ladireccióndel vectorque queremos.
Así, podemosdefinirv= x - y