Este documento resume varios métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo la eliminación de Gauss-Jordan, la factorización LU, la descomposición de Cholesky, la descomposición QR, el método de Gauss-Seidel y el método de Jacobi. Explica los algoritmos y usos de cada método para encontrar soluciones a sistemas de ecuaciones lineales.

1. REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
UNIVERSIDAD FERMIN TORO
CABUDARE EDO LARA
Sistemas de Ecuaciones Lineales
(ANALISIS NUMERICO)
CABUDARE, DICIEMBRE DE 2016
INTEGRANTES:
• CHRISTIAN BRITO CI.: 16514311
SAIAB

2. La eliminación de Gauss-Jordan, es
un algoritmo del álgebra lineal para determinar las
soluciones de un sistema de ecuaciones lineales,
encontrar matrices e inversas. Un sistema de
ecuaciones se resuelve por el método de Gauss
cuando se obtienen sus soluciones mediante la
reducción del sistema dado a otro equivalente en el
que cada ecuación tiene una incógnita menos que la
anterior. El método de Gauss transforma la matriz de
coeficientes en una matriz triangular superior. El
método de Gauss-Jordan continúa el proceso de
transformación hasta obtener una matriz diagonal.

3. Algoritmo de eliminación de Gauss-Jordan
Ir a la columna no cero extrema izquierda
Si la primera fila tiene un cero en esta columna,
intercambiarlo con otra que no lo tenga.
Luego, obtener ceros debajo de este elemento
delantero, sumando múltiplos adecuados del renglón
superior a los renglones debajo de él.
Cubrir el renglón superior y repetir el proceso
anterior con la submatriz restante.
Repetir con el resto de los renglones (en este
punto la matriz se encuentra en forma escalonada).

4. Algoritmo de eliminación de Gauss-Jordan
Comenzando con el último renglón no cero,
avanzar hacia arriba: para cada renglón obtener un 1
delantero e introducir ceros arriba de éste sumando
múltiplos correspondientes a los renglones
correspondientes.

5. La factorización o descomposición LU, es una
forma de factorización de una matriz como el producto
de una matriz triangular inferior y una superior. Debido
a la inestabilidad de este método, deben tenerse en
cuenta algunos casos especiales, por ejemplo, si uno o
varios elementos de la diagonal principal de la matriz a
factorizar es cero, es necesario premultiplicar la matriz
por una o varias matrices elementales depermutación.
Método llamado factorización {displaystyle PA=LU}
o {displaystyle LU} con pivote. Esta descomposición se
usa en el análisis numérico para resolver sistemas de
ecuaciones o encontrar las matrices inversas.

6. La factorización o descomposición de Cholesky ,
comprueba que una matriz simétrica definida
positiva puede ser descompuesta como el producto de
una matriz triangular inferior y la traspuesta de la
matriz triangular inferior. La matriz triangular inferior
es el triángulo de Cholesky de la matriz original
positiva definida. El resultado de Cholesky ha sido
extendido a matrices con entradas complejas.
Es una manera de resolver sistemas
de ecuaciones matriciales y se deriva de
la factorización LU con una pequeña variación.

7. Cualquier matriz cuadrada A con pivotes no
nulos puede ser escrita como el producto de una
matriz triangular inferior L y una matriz triangular
superior U; esto recibe el nombre de factorización LU.
Sin embargo, si A es simétrica y definida positiva, se
pueden escoger los factores tales que U es la
transpuesta de L, y esto se llama la descomposición o
factorización de Cholesky. Tanto la descomposición LU
como la descomposición de Cholesky son usadas para
resolver sistemas de ecuaciones lineales. Cuando es
aplicable, la descomposición de Cholesky es dos veces
más eficiente que la descomposición LU.

8. La descomposición o factorización QR, es
una descomposición de la misma como producto de
una matriz ortogonal por una triangular superior.
La descomposición QR es la base del algoritmo
QR utilizado para el cálculo de los vectores y valores
propios de una matriz.

9. Método de Gauss-Seidel, es un método
iterativo utilizado para resolver sistemas de ecuaciones
lineales. El método se llama así en honor a los
matemáticos alemanes Carl Friedrich Gauss y Philipp
Ludwig von Seidel y es similar al método de Jacobi.
Aunque este método puede aplicarse a
cualquier sistema de ecuaciones lineales que produzca
una matriz (cuadrada, naturalmente pues para que
exista solución única, el sistema debe tener tantas
ecuaciones como incógnitas) de coeficientes con los
elementos de su diagonal no-nulos, la convergencia del
método solo se garantiza si la matriz es diagonalmente
dominante o si es simétrica y, a la vez, definida
positiva.

10. El método de Jacobi, es un método iterativo,
usado para resolver sistemas de ecuaciones lineales
del tipo {displaystyle Amathbf {x} =mathbf {b} }.
El algoritmo toma su nombre del matemático
alemán Carl Gustav Jakob Jacobi. El método de Jacobi
consiste en usar fórmulas como iteración de punto fijo.
La base del método consiste en construir
una sucesión convergente definida iterativamente. El
límite de esta sucesión es precisamente la solución del
sistema. A efectos prácticos si el algoritmo se detiene
después de un número finito de pasos se llega a una
aproximación al valor de x de la solución del sistema.