1. Problemas de Rotacional y Divergencia
1) Divergencia y rotacional. Sea F un campo vectorial diferenciable y r el vector
posición. Demostrar que la divergencia del campo vectorial F×r es igual al producto
interno de r y el rotacional de F.
SOLUCIÓN
Sea:
F(x; y; z) = (F1(x; y; z); F2(x; y; z); F3(x; y; z))
r(x; y; z) = (x; y; z)
Tenemos:
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) QED·;;)·;;(
·
;;
123123
123123
211332
211332
211332321
Fr
rF
kji
rF
×∇=





∂
∂
−
∂
∂
∂
∂
−
∂
∂
∂
∂
−
∂
∂
=
=





∂
∂
−
∂
∂
+





∂
∂
−
∂
∂
+





∂
∂
−
∂
∂
=
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
−
∂
∂
=
=−
∂
∂
+−
∂
∂
+−
∂
∂
=×∇
−−−==×
y
F
x
F
x
F
z
F
z
F
y
F
zyx
y
F
x
F
z
x
F
z
F
y
z
F
y
F
x
z
F
x
z
F
y
y
F
z
y
F
x
x
F
y
x
F
z
xFyF
z
zFxF
y
yFzF
x
xFyFzFxFyFzF
zyx
FFF

2. 2) Principio de Cavalieri. Determinar por el principio de Cavalieri el volumen de un
toro de revolución caracterizado por los radios r y R.
SOLUCIÓN
Expresado en términos más pedestres,
un toro es una argolla que se obtiene
haciendo rotar un disco de radio r
alrededor de un punto situado a una
distancia R del centro del disco. En la
figura apreciamos las vistas
transversal y superior del toro. Si
cortamos transversalmente el toro a
una cierta altura z, la sección será una
corona circular de los siguientes
radios mayor y menor:
radio mayor: 22
zrR −+
radio menor: 22
zrR −−
(Dejamos al alumno demostrar esto
usando el teorema de Pitágoras y el
hecho de que el radio del disco que
rotando genera el toro es r.)
El área de la corona circular vendrá
dada entonces por:
( ) ( ) ( ) 22
2
22
2
222
menor
2
mayor 4 zrRzrRzrRRRA −=


 −−−−+=−= πππ
Y ésta es el área transversal que se obtiene seccionando el toro con un plano a una altura
z. Por el principio de Cavalieri, para obtener el volumen del toro tenemos que integrar
estas áreas transversales entre el mínimo z y el máximo z, los cuales valores se puede
ver en la figura que son -r y r:
221
2
22
tabla
22
2sen
22
44 Rr
r
zr
zr
z
RdzzrRV
r
r
r
r
πππ =





+−=−=
−
−
↓
−
∫
R
R + rR - r
R R + rR - r
22
zrR −−
22
zrR −+
22
zrR −−
22
zrR −+
x
x
z
z
y
r
r
-r

3. 3) Calcular ∫∫D
yx
dxdyee 2
, donde D es la región limitada por el cuadrado 1=+ yx
.
SOLUCIÓN
Desarrollando la expresión 1=+ yx
para los cuatro cuadrantes (esto es,
reemplazando los valores absolutos de
x y y por x, -x, y o -y según
corresponda) llegamos a que la región
de integración es el cuadrado de la
figura. Por lo tanto podemos expresar
la integral de la siguiente manera:
[ ] [ ]
[ ] [ ]
3
2
12
3
21
6
1
3
22
3
2
2
2
2
13
1
2
2
2
1
1
0
23
2
0
1
2
23
2
1
1
0
232
2
1
0
1
223
2
1
1
0
2222
2
12222
0
12
1
1
0
1
1
2
0
1
1
1
2
1
0
1
1
2
0
1
1
1
22
3333
33
22
−−−
−
−
−
−
−
+−
−
−−
+
−+−
−
−−+
−+−−−+
−
+−
−
−
+
−−
+−
−
−
+
−−
−+−−=





−−++





−−+=
=





−−+





+=−+−
=−+−=
=





+





=+
+=
∫∫
∫∫
∫∫∫ ∫
∫∫ ∫ ∫
eeeee
e
e
e
ee
e
e
e
e
ee
e
dxeedxee
dxeeedxeee
dx
e
edx
e
edydxee
dydxeedxdyee
x
xx
x
xxxx
xxxxxx
x
x
y
x
x
x
y
x
x
x
yx
D
x
x
yxyx
4) Cambio en el orden de integración. Calcular ∫ ∫
4
0
2
2/
2
y
x
dxdye
x - y = 1
x + y = 1x - y = -1
x + y = -1
x
y
1
1-1
-1

4. SOLUCIÓN
El integrando no reconoce una primitiva de
sencilla formulación, sino que la misma debe
expresarse mediante series.
Para evitar esto, podemos intentar cambiar el
orden de integración. Proponemos así:
12 4
2
0
22
0
22
0
2
0
2
2
0
2
0
24
0
2
2/
2
−===



=
==
∫∫ ∫
∫ ∫∫ ∫
eexdxedxdye
dydxedxdye
xx
x
x
x
x
y
x
x
y
x
2
1
x
4
x
y = 2x
x = y/2