Álgebra Vectorial

1. 15.4
Integrales dobles en forma polar
Algunas veces, las integrales son más fáciles de evaluar si cambiamos a coordenadas polares.
Esta sección describe cómo realizar el cambio y cómo evaluar integrales sobre regiones cuyas
fronteras están dadas por ecuaciones en coordenadas polares.
Integrales en coordenadas polares
Para definir la integral doble de una función sobre una región R en el plano xy, iniciamos di-
vidiendo a R en rectángulos cuyos lados fueran paralelos a los ejes coordenados. Ésta era la
forma natural para usarlos porque sus lados tenían valores constantes, ya sea de y o de x. En
coordenadas polares, la forma natural es un “rectángulo polar”, cuyos lados tienen valores
constantes de r y u.
Suponga que una función f(r, u) está definida sobre una región R acotada por los rayos
u 5 a y u 5 b y por las curvas continuas r 5 g1(u) y r 5 g2(u). Suponga también que
0 # g1(u) # g2(u) # a para cualquier valor de u entre a y b. Entonces R está dentro de
una región con forma de abanico Q, definida por las desigualdades 0 # r # a y a # u # b.
Observe la figura 15.21.
15.4 Integrales dobles en forma polar 853
Dividimos a Q con una rejilla de arcos y rayos. Los arcos se obtienen de circunferencias
con centro en el origen, con radios Dr, 2Dr, …, mDr, donde Dr 5 aym, mientras que los rayos
están dados por
donde Du 5 (b 2 a)ym9. Los arcos y rayos dividen a Q en pequeños parches llamados “rec-
tángulos polares”.
Numeramos los rectángulos polares que están dentro de R (sin importar el orden), lla-
mando a sus áreas DA1, DA2, …, DAn. Sea (rk, uk) cualquier punto en el rectángulo polar cuya
área es DAk. Luego formamos la suma
Si f es continua en R, esta suma tiende a un límite cuando refinamos la rejilla para hacer que
Dr y Du tiendan a cero. El límite se conoce como la integral doble de f sobre R. En símbolos
tenemos
lím
n:q
Sn =
6
R
ƒsr, ud dA.
Sn = a
n
k=1
ƒsrk, ukd ¢Ak.
u = a, u = a + ¢u, u = a + 2¢u, Á , u = a + m¿¢u = b,
0
R
Q
u b
u p
r
r
Ak
2r
3r
u
(rk, uk)
r g1(u)
a 2u
a u
u a
u 0
r g2(u) r a
FIGURA 15.21 La región R: g1(u) # r # g2(u), a # u # b, está contenida en la región con
forma de abanico Q: 0 # r # a, a # u # b. La partición de Q mediante arcos de circunferencia
y rayos induce una partición de R.

2. Para evaluar este límite, primero tenemos que escribir la suma Sn de forma que exprese
a DAk en términos de Dr y Du. Por conveniencia, elegimos a rk como el promedio de los ra-
dios de los arcos interno y externo que acotan al k-ésimo rectángulo polar DAk. Así, el radio
del arco interno que acota a DAk es rk 2 (Dry2) (figura 15.22) y el radio del arco externo es
rk 1 (Dry2).
El área de un sector en forma de cuña en un círculo que tiene radio r y ángulo u es
como se aprecia, si se multiplica el área del círculo pr2, por uy2p, es decir, la fracción del
área del círculo contenido en la cuña. De esta forma, las áreas de los sectores circulares subten-
didos por estos arcos en el origen son
Por lo tanto,
DAk 5 área del sector grande 2 área del sector pequeño
Al combinar este resultado con la suma que define a Sn nos da
Cuando n : ` y los valores de Dr y Du tienden a cero, estas sumas convergen a la integral
doble
Una versión del teorema de Fubini dice que el límite aproximado por estas sumas puede eva-
luarse por integraciones sencillas repetidas con respecto a r y u como
Determinación de los límites de integración
El procedimiento para calcular los límites de integración en coordenadas rectangulares fun-
ciona para las coordenadas polares. Para evaluar sobre una región R en coor-
denadas polares integrando primero con respecto a r y luego con respecto a u, se realizan los
siguientes pasos.
1. Elabore un bosquejo. Elabore un bosquejo de la región y marque las curvas de la frontera
(figura 15.23a).
2. Determine los límites de integración en r. Imagine un rayo L que parte del origen y que
corta a R en la dirección creciente de r. Marque los valores de r donde L entra y sale de R.
Éstos son los límites de integración en r. Estos límites por lo general dependen del ángulo
u que forma L con el semieje positivo x (figura 15.23b).
3. Determine los límites de integración en u. Obtenga los valores mínimo y máximo de u que
acotan a R. Éstos son los límites de integración en u (figura 15.23c). La integral iterada
polar es
6
R
ƒsr, ud dA =
L
u=p2
u=p4 L
r=2
r= 22 csc u
ƒsr, ud r dr du.
4R ƒsr, ud dA
6
R
ƒsr, ud dA =
L
u=b
u=a L
r=g2sud
r=g1sud
ƒsr, ud r dr du.
lím
n:q
Sn =
6
R
ƒsr, ud r dr du.
Sn = a
n
k=1
ƒsrk, ukdrk ¢r ¢u.
=
¢u
2
c ark +
¢r
2
b
2
- ark -
¢r
2
b
2
d =
¢u
2
s2rk ¢rd = rk ¢r ¢u.
Radio interior:
1
2
ark -
¢r
2
b
2
¢u
Radio exterior:
1
2
ark +
¢r
2
b
2
¢u.
A =
1
2
u # r2
,
854 Capítulo 15: Integrales múltiples
Sector pequeño
Sector grande
0
u
r
rkr
2
rk
r
2
rk
Ak
FIGURA 15.22 La observación de que
nos conduce a la fórmula DAk 5 rk DrDu.
¢Ak = a
área del sec
tor más grande
b - a
área del sec
tor más pequeña
b
y
x
0
2
R
x2
y2
4
y �2
�2 �2, �2
⎛
⎝
⎛
⎝
y
x
0
2
R
L
Entra en r �2 csc
Sale en r 2
r sen y �2
o
r �2 csc
y
x
0
2
R
L
El máximo es .
2
El mínimo es .
4
y x
�2
(a)
(b)
(c)
FIGURA 15.23 Determinación de los
límites de integración en coordenadas
polares.
- -

3. EJEMPLO 1 Determine los límites de integración para integrar f(r, u) sobre la región R que
está dentro de la cardioide r 5 1 1 cos u y fuera de la circunferencia r 5 1.
Solución
1. Primero trazamos la región y marcamos las curvas frontera (figura 15.24).
2. En seguida obtenemos los límites de integración en r. Un rayo típico que sale del origen
entra a R cuando r 5 1 y sale cuando r 5 1 1 cos u.
3. Al final, encontramos los límites de integración en u. Los rayos desde el origen que cortan
a R varían desde u 5 2py2 hasta u 5 py2. La integral es
Si f(r, u) es una función constante cuyo valor es 1, entonces la integral de f sobre R es el
área de R.
L
p2
-p2 L
1+cos u
1
ƒsr, ud r dr du.
15.4 Integrales dobles en forma polar 855
Área en coordenadas polares
El área de una región cerrada y acotada R en el plano de coordenadas polares es
A =
6
R
r dr du.
Esta fórmula del área es congruente con todas las fórmulas anteriores, no obstante, no lo
demostraremos.
EJEMPLO 2 Obtenga el área encerrada en la lemniscata r2 5 4 cos 2u.
Solución Graficamos la lemniscata para determinar los límites de integración (figura 15.25)
y vemos, a partir de la simetría de la región, que el área total es cuatro veces la porción del pri-
mer cuadrante.
Cambio de integrales cartesianas a integrales polares
El procedimiento para cambiar una integral cartesiana a una integral polar
implica dos pasos. Primero, en la integral cartesiana se sustituye x 5 r cos u y y 5 r sen u, y
remplazamos dx dy por r dr du. Luego, obtenemos los límites de integración de ambas coorde-
nadas polares para la frontera de R. La integral cartesiana se convierte entonces en
donde G representa la misma región de integración descrita ahora en coordenadas polares.
Esto es como el método de sustitución del capítulo 5, excepto que ahora se sustituyen dos va-
riables en vez de una. Observe que el área diferencial dx dy no se sustituye por dr du, sino por
r dr du. En la sección 15.8 estudiaremos de manera más general los cambios de variables (sus-
tituciones) en integrales múltiples.
6
R
ƒsx, yd dx dy =
6
G
ƒsr cos u, r sen ud r dr du,
4R ƒsx, yd dx dy
= 4
L
p4
0
2 cos 2u du = 4 sen 2ud
0
p4
= 4.
A = 4
L
p4
0 L
24 cos 2u
0
r dr du = 4
L
p4
0
c
r2
2
d
r=0
r= 24 cos 2u
du
Área diferencial en coordenadas polares
dA = r dr du
y
x
Entra en
r 0
r2
4 cos 2
–
4
4
Sale en
r �4 cos 2
FIGURA 15.25 Para integrar sobre
la región sombreada, variamos r de 0 a
y u de 0 a py4 (ejemplo 2).24 cos 2u
1 2
L
Entra
en
r 1
Sale en
r 1 cos
r 1 cos
y
x
2
–
2
FIGURA 15.24 Determinación de los
límites de integración en coordenadas polares
para la región del ejemplo 1.

4. EJEMPLO 3 Evalúe
donde R es la región semicircular acotada por el eje x y la curva (figura 15.26).
Solución En coordenadas cartesianas, la integral en cuestión es una integral fácil no elemen-
tal y no existe un modo directo para integrar con respecto a x o a y. Sin embargo, esta
integral y otras similares son importantes en matemáticas (en estadística, por ejemplo), así
que necesitamos encontrar una manera de evaluarlas. Las coordenadas polares nos ayudan en
este caso. Al sustituir x 5 r cos u, y 5 r sen u, y remplazar dy dx por r dr du, estamos en condi-
ciones de evaluar la integral de la siguiente manera
La r en r dr du era justo lo que necesitábamos para integrar Sin esto, no hubiéramos podido
obtener con facilidad la antiderivada para la primera integral iterada (la más interna).
EJEMPLO 4 Evalúe la integral
Solución La integración con respecto a y nos da
una integral difícil de evaluar sin tablas.
Las cosas mejoran si cambiamos la integral original a coordenadas polares. La región de
integración en coordenadas cartesianas está dada por las desigualdades y
0 # x # 1, lo que corresponde al interior de un cuarto del círculo unitario x2 1 y2 5 1 en el
primer cuadrante. (Observe el primer cuadrante de la figura 15.26). Al sustituir las coordena-
das polares x 5 r cos u, y 5 r sen u, 0 # u # py2 y 0 # r # 1, y remplazar dx dy por r dr du
en la integral doble, obtenemos
¿Por qué la transformación a coordenadas polares es tan efectiva aquí? Una razón es que
x2 1 y2 se simplifica a r2. Otra es que los límites de integración se vuelven constantes.
EJEMPLO 5 Determine el volumen de la región sólida limitada arriba por el paraboloide
z 5 9 2 x2 2 y2 y abajo por el círculo unitario en el plano xy.
Solución La región de integración R es el círculo unitario x2 1 y2 5 1, el cual se describe en
coordenadas polares por r 5 1, 0 # u # 2p. La región sólida se representa en la figura 15.27.
El volumen está dado por la integral doble
=
L
p2
0
c
r4
4
d
r=1
r=0
du =
L
p2
0
1
4
du =
p
8
.
L
1
0 L
21-x2
0
(x2
+ y2
) dy dx =
L
p2
0 L
1
0
(r2
) r dr du
0 … y … 21 - x2
L
1
0
ax2
21 - x2
+
(1 - x2
)32
3
b dx,
L
1
0 L
21-x2
0
(x2
+ y2
) dy dx.
er2
.
=
L
p
0
1
2
se - 1d du =
p
2
se - 1d.
6
R
ex2
+y2
dy dx =
L
p
0 L
1
0
er2
r dr du =
L
p
0
c
1
2
er2
d
0
1
du
ex2
+y2
y = 21 - x2
6
R
ex2
+y2
dy dx,
856 Capítulo 15: Integrales múltiples
0 1
1
y
x
–1
r 1
0
y �1 x2
FIGURA 15.26 La región semicircular del
ejemplo 3 es la región
0 … r … 1, 0 … u … p.
FIGURA 15.27 La región sólida del
ejemplo 5.
2
2
–2
z
x
y
z 9 x2
y2
x2
y2
1
9

5. EJEMPLO 6 Usando integración polar, calcule el área de la región R en el plano xy encerrada
en la circunferencia x2 1 y2 5 4, arriba de la recta y 5 1, y abajo de la recta y 5 x.
Solución En la figura 15.28 se presenta una gráfica de la región R. Observe primero que la
recta y 5 x tiene una pendiente 5 tan u, de manera que u 5 py3. En seguida observe
que la recta y 5 1 interseca a la circunferencia x2 1 y2 5 4 cuando x2 1 1 5 4, o x 5 .
Aún más, la recta radial desde el origen que pasa por el punto ( , 1) tiene una pendien-
te 1y 5 tan u con un ángulo de inclinación u 5 py6. Esta información se muestra en la
figura 15.28.
Ahora, para la región R, cuando u varía de py6 a py3, la coordenada polar r varía desde
la recta horizontal y 5 1 hasta el círculo x2 1 y2 5 4. Al sustituir r sen u por y en la ecua-
ción para la recta horizontal, tenemos que r sen u 5 1, o r 5 csc u, la cual es la ecuación polar
de la recta. La ecuación polar de la circunferencia es r 5 2. De esta forma, en coordenadas
polares, para py6 # u # py3, r varía de r 5 csc u a r 5 2. Se deduce que la integral iterada del
área nos da
=
1
2
a
4p
3
+
1
13
b -
1
2
a
4p
6
+ 13b =
p - 13
3
.
=
1
2
C4u + cot uD
p3
p6
=
L
p3
p6
1
2
C4 - csc2
uD du
=
L
p3
p6
c
1
2
r2
d
r=2
r=csc u
du
6
R
dA =
L
p3
p6 L
2
csc u
r dr du
13
13
13
1313
13
=
17
4 L
2p
0
du =
17p
2
.
=
L
2p
0
c
9
2
r2
-
1
4
r4
d
r=1
r=0
du
=
L
2p
0 L
1
0
s9r - r3
d dr du
6
R
s9 - x2
- y2
d dA =
L
2p
0 L
1
0
s9 - r2
d r dr du
15.4 Integrales dobles en forma polar 857
Ejercicios 15.4
Regiones en coordenadas polares
En los ejercicios 1 a 8, describa, en coordenadas polares, la región dada.
1. 2.
x
y
40
1
4
x
y
90
9
3. 4.
x
y
10
�3
x
y
1–1 0
1
FIGURA 15.28 La región R en el
ejemplo 6.
x
y
y 1, o
r cscu
2
2
1
0 1
y �3x
x2
y2
4
(1, �3)
(�3, 1)
p
6
p
3
R

6. En los ejercicios 31 y 32, obtenga
a. la masa del sólido. b. el centro de masa.
c. los momentos de inercia con respecto a los ejes coordenados.
31. Un cubo sólido en el primer octante está acotado por los planos coor-
denados y los planos x 5 1, y 5 1 y z 5 1. La densidad del cubo
es d(x, y, z) 5 x 1 y 1 z 1 1.
32. Una cuña como la del ejercicio 22 tiene las dimensiones a 5 2, b 5 6
y c 5 3. La densidad es d(x, y, z) 5 x 1 1. Observe que si la den-
sidad es constante, el centro de masa será (0, 0, 0).
33. Masa Determine la masa del sólido acotado por los planos
x 1 z 5 1, x 2 z 5 21, y 5 0 y la superficie y 5 . La den-
sidad del sólido es d(x, y, z) 5 2y 1 5.
34. Masa Calcule la masa de la región sólida acotada por las super-
ficies parabólicas z 5 16 2 2x2 2 2y2 y z 5 2x2 1 2y2 si la densidad
del sólido es
Teoría y ejemplos
Teorema del eje paralelo Sea Lc.m. una recta que pasa por el centro de
masa de un cuerpo de masa m, y sea L una recta paralela a h unidades
de distancia desde Lc.m.. El teorema del eje paralelo dice que los momen-
tos de inercia Ic.m. e IL del cuerpo con respecto Lc.m. satisfacen la ecuación
(2)
Como en el caso bidimensional, el teorema ofrece una manera rápida de
calcular un momento cuando se conocen el otro momento y la masa.
35. Demostración del teorema del eje paralelo
a. Demuestre que el primer momento de un cuerpo en el espacio
con respecto a cualquier plano que pase por el centro de masa
del cuerpo es cero. (Sugerencia: Coloque el centro de masa del
cuerpo en el origen y suponga que el plano es el plano yz.
¿Qué le dice entonces la fórmula x 5 MyzyM?).
IL = Ic.m. + mh2
.
dsx, y, zd = 2x2
+ y2
.
2z
15.7 Integrales triples en coordenadas cilíndricas y esféricas 875
b. Para demostrar el teorema del eje paralelo, coloque el cuerpo
con su centro de masa en el origen, con la recta Lc.m. a lo largo
del eje z y la recta L perpendicular al plano xy en el punto (h, 0,
0). Sea D la región del espacio ocupada por el cuerpo. Luego,
con la notación de la figura,
Desarrolle el integrando de esta integral y complete la demostración.
36. El momento de inercia con respecto a un diámetro de una esfera sólida
de densidad constante y radio a es (2y5)ma2, donde m es la masa de la
esfera. Obtenga el momento de inercia con respecto a una recta tan-
gente a la esfera.
37. El momento de inercia del sólido del ejercicio 21 con respecto al eje z
es Iz 5 abc(a2 1 b2)y3.
a. Use la ecuación (2) para determinar el momento de inercia del
sólido con respecto a la recta paralela al eje z que pasa por el
centro de masa del sólido.
b. Use la ecuación (2) y el resultado del inciso a) para obtener el mo-
mento de inercia del sólido con respecto a la recta x 5 0, y 5 2b.
38. Si a 5 b 5 6 y c 5 4, el momento de inercia de la cuña sólida del
ejemplo 22 con respecto al eje x es Ix 5 208. Calcule el momento de
inercia de la cuña con respecto a la recta y 5 4, z 5 24y3 (la orilla
del extremo de la cuña es angosta).
IL =
9
D
ƒ v - hi ƒ2
dm.
z
x
y
c.m.
L
D
v xi yj
(x, y, z)
Lc.m.
hi
v hi
(h, 0, 0)
15.7
Integrales triples en coordenadas cilíndricas y esféricas
Cuando un cálculo en física, ingeniería o geometría implica un cilindro, un cono o una esfera,
con frecuencia simplificamos nuestro trabajo usando coordenadas cilíndricas o esféricas, las cua-
les se presentan en esta sección. El procedimiento para hacer la transformación a estas coorde-
nadas y evaluar las integrales triples resultantes es similar a la transformación a coordenadas
polares en el plano estudiada en la sección 15.4.
Integración en coordenadas cilíndricas
Para obtener las coordenadas cilíndricas en el espacio combinamos las coordenadas polares del
plano xy con el eje z. Esto asigna a todos los puntos en el espacio una o más ternas de coorde-
nadas de la forma (r, u, z), como se muestra en la figura 15.42.
DEFINICIÓN Las coordenadas cilíndricas representan un punto P en el espacio
mediante ternas de coordenadas (r, u, z) donde
1. r y u son las coordenadas polares de la proyección vertical de P sobre el plano xy.
2. z es la coordenada vertical rectangular.
0
r
x
z
y
y
z
x
P(r, u, z)
u
FIGURA 15.42 Las coordenadas cilíndricas
de un punto en el espacio son r, u y z.

7. Los valores de x, y, r y u en coordenadas rectangulares y cilíndricas están relacionados por
las ecuaciones usuales.
876 Capítulo 15: Integrales múltiples
Ecuaciones que relacionan las coordenadas rectangulares (x, y, z) y las
cilíndricas (x, u, z)
r2
= x2
+ y2
, tan u = yx
x = r cos u, y = r sen u, z = z,
En coordenadas cilíndricas, la ecuación r 5 a describe no sólo una circunferencia en el
plano xy, sino todo un cilindro alrededor del eje z (figura 15.43). El eje z está dado por r 5 0.
La ecuación u 5 u0 describe al plano que contiene al eje z y forma un ángulo u0 con el semi-
eje positivo x. Al igual que en las coordenadas rectangulares, la ecuación z 5 z0 describe un
plano perpendicular al eje z.
Las coordenadas cilíndricas son buenas para describir los cilindros cuyo eje corre a lo lar-
go del eje z y a los planos que contienen al eje z o que son perpendiculares al mismo eje z.
Superficies como ésta tienen ecuaciones con coordenadas cilíndricas constantes:
Para calcular integrales triples sobre una región D en coordenadas cilíndricas, partimos la
región en n pequeñas cuñas cilíndricas, y no en cajas rectangulares. En la k-ésima cuña cilín-
drica, r, u y z cambian por Drk, Duk y Dzk, y el mayor de estos números entre todas las cuñas
cilíndricas se llama la norma de la partición. Definimos la integral triple como un límite de las
sumas de Riemann aplicadas a estas cuñas. El volumen de una cuña cilíndrica DVk se obtiene al
multiplicar el área DAk de su base en el plano ru por la altura Dz (figura 15.44).
Para un punto (rk, uk, zk) en el centro de la k-ésima cuña, ya hemos calculado en coorde-
nadas polares que DAk 5 rkDrkDuk. Entonces DVk 5 DzkrkDrkDuk y una suma de Riemann para
f sobre D tiene la forma
La integral triple de una función f sobre D se obtiene considerando el límite de las sumas de
Riemann con particiones cuyas normas tienden a cero
.
Las integrales triples en coordenadas cilíndricas se evalúan entonces con integrales iteradas,
como en el siguiente ejemplo.
EJEMPLO 1 Defina los límites de integración en coordenadas cilíndricas para integrar una
función f(r, u, z) sobre la región D acotada abajo por el plano z 5 0, a los lados por el cilindro
circular x2 1 (y 2 1)2 5 1 y arriba por el paraboloide z 5 x2 1 y2.
Solución La base de D también es la proyección R de la región sobre el plano xy. La frontera
de R es la circunferencia x2 1 (y 2 1)2 5 1. Su ecuación en coordenadas polares es
r = 2 sen u.
r2
- 2r sen u = 0
x2
+ y2
- 2y + 1 = 1
x2
+ sy - 1d2
= 1
lím
n:q
Sn =
9
D
ƒ dV =
9
D
ƒ dz r dr du
Sn = a
n
k=1
ƒsrk, uk, zkd ¢zk rk ¢rk ¢uk.
z = 2.
u =
p
3
r = 4
z
y
x
0
a
r a,
u y z varían
z z0,
r y u varían
u u0,
r y z varían
z0
u0
FIGURA 15.43 Ecuaciones con
coordenadas constantes en coordenadas
cilíndricas producen cilindros y planos.
Δz
r Δu
r Δr Δu
r
z
Δr
Δu
FIGURA 15.44 En coordenadas cilíndricas,
el volumen de la cuña se aproxima mediante
el producto DV 5 Dz r Dr Du.
Volumen diferencial en coordenadas
cilíndricas
dV = dz r dr du
Cilindro, radio 4, su eje es el eje z
Plano que contiene al eje z
Plano perpendicular al eje z

8. La región aparece en la figura 15.45.
Determinamos los límites de integración comenzando con los límites en z. Una recta M
paralela al eje z que pasa por un punto típico (r, u) en R, entra a D en z 5 0 y sale en
z 5 x2 1 y2 5 r2.
A continuación obtenemos los límites de integración en r. Un rayo L que pasa por (r, u)
partiendo del origen, entra a R en r 5 0 y sale en r 5 2 sen u.
Por último, determinamos los límites de integración en u. Cuando L barre R, el ángulo u
que forma con el semieje positivo x va desde u 5 0 hasta u 5 p. La integral es
El ejemplo 1 ilustra un buen procedimiento para determinar los límites de integración en
coordenadas cilíndricas. El procedimiento se resume como sigue.
Cómo integrar en coordenadas cilíndricas
Para evaluar
sobre una región D en el espacio en coordenadas cilíndricas, integrando primero con respecto
a z, luego con respecto a r y al final con respecto a u, siga los pasos siguientes.
1. Elabore un bosquejo. Trace la región D junto con su proyección R sobre el plano xy.
Marque las superficies y curvas que acotan a D y a R.
2. Determine los límites de integración en z. Trace una recta M paralela al eje z, que pase por
un punto típico (r, u) de R. Mientras z crece, M entra a D en z 5 g1(r, u) y sale en g2(r, u).
Éstos son los límites de integración en z.
y
z g1(r, u)
x R
r h2(u)
(r, u)
z g2(r, u)
D
r h1(u)
z
M
y
x
R
r h2(u)
D
r h1(u)
z g1(r, u)
z g2(r, u)
z
9
D
ƒsr, u, zd dV
9
D
ƒsr, u, zd dV =
L
p
0 L
2 sen u
0 L
r2
0
ƒsr, u, zd dz r dr du.
15.7 Integrales triples en coordenadas cilíndricas y esféricas 877
FIGURA 15.45 Determinación de los
límites de integración para evaluar una
integral en coordenadas cilíndricas
(ejemplo 1).

9. 3. Determine los límites de integración en r. Trace un rayo L desde el origen que pase por
(r, u). El rayo entra a R en r 5 h1(u) y sale en r 5 h2(u). Éstos son los límites de inte-
gración en r.
4. Determine los límites de integración en u. Cuando L barre R, el ángulo u que forma con el
semieje positivo x va desde u 5 a hasta u 5 b. Éstos son los límites de integración en u.
La integral es
EJEMPLO 2 Encuentre el centroide (d 5 1) del sólido encerrado por el cilindro x2 1 y2 5 4,
acotado arriba por el paraboloide z 5 x2 1 y2, y abajo por el plano xy.
Solución Trazamos el sólido, acotado arriba por el paraboloide z 5 r2 y abajo por el plano
z 5 0 (figura 15.46). Su base R es el disco 0 # r # 2 en el plano xy.
El centroide del sólido está en su eje de simetría, en este caso, el eje z. Esto hace
que Para hallar dividimos el primer momento Mxy entre la masa M.
Para encontrar los límites de integración para las integrales de la masa y el momento,
continuamos con los cuatro pasos básicos. Completamos nuestro bosquejo inicial. Los demás
pasos dan los límites de integración.
Los límites en z. Una recta M paralela al eje z, que pasa por un punto típico (r, u) en la
base, entra al sólido en z 5 0 y sale en z 5 r2.
Los límites en r. Un rayo L que pasa por (r, u) saliendo desde el origen, entra a R en r 5 0
y sale en r 5 2.
Los límites en u. Cuando L barre sobre la base, como una manecilla de reloj, el ángulo u
que forma con el semieje positivo x va desde u 5 0 hasta u 5 2p. El valor de Mxy es
El valor de M es
=
L
2p
0 L
2
0
r3
dr du =
L
2p
0
c
r4
4
d
0
2
du =
L
2p
0
4 du = 8p.
M =
L
2p
0 L
2
0 L
r2
0
dz r dr du =
L
2p
0 L
2
0
czd
0
r2
r dr du
=
L
2p
0 L
2
0
r5
2
dr du =
L
2p
0
c
r6
12
d
0
2
du =
L
2p
0
16
3
du =
32p
3
.
Mxy =
L
2p
0 L
2
0 L
r2
0
z dz r dr du =
L
2p
0 L
2
0
c
z2
2
d
0
r2
r dr du
z ,x = y = 0 .
sx, y, zd
9
D
ƒsr, u, zd dV =
L
u=b
u=a L
r=h2sud
r=h1sud L
z=g2sr, ud
z=g1sr, ud
ƒsr, u, zd dz r dr du.
L
ua ub
r h2(u)
y
z g1(r, u)
z g2(r, u)
x
r h1(u)
D
z
M
(r, u)
u
a b
R
878 Capítulo 15: Integrales múltiples
z
M4
Centroide
L
x y
x2
y2
4
r 2
z x2
y2
r2
(r, u)
FIGURA 15.46 El ejemplo 2 muestra cómo
encontrar el centroide de este sólido.

10. Por lo tanto,
y el centroide es (0, 0, 4y3). Observe que el centroide está fuera del sólido.
Coordenadas esféricas e integración
Las coordenadas esféricas ubican puntos en el espacio mediante dos ángulos y una distancia,
como muestra la figura 15.47. La primera coordenada, es la distancia del punto
al origen. A diferencia de r, la variable r nunca es negativa. La segunda coordenada, f, es el
ángulo que forma con el semieje positivo z. Se requiere que esté en el intervalo [0, p].
La tercera coordenada es el ángulo u medido en coordenadas cilíndricas.
OP
1
r = ƒ OP
1
ƒ ,
z =
Mxy
M
=
32p
3
1
8p
=
4
3
,
15.7 Integrales triples en coordenadas cilíndricas y esféricas 879
DEFINICIÓN Las coordenadas esféricas representan un punto P en el espacio
mediante la terna ordenada (r, f, u) en la que
1. r es la distancia de P al origen.
2. f es el ángulo que forma con el semieje positivo z (0 # f # p).
3. u es el ángulo de las coordenadas cilíndricas (0 # u # 2p).
OP
1
En los mapas de la Tierra, u se relaciona con el meridiano de un punto sobre nuestro pla-
neta y f con su latitud, mientras que r se relaciona con la altitud sobre la superficie terrestre.
La ecuación r 5 a describe la esfera de radio a con centro en el origen (figura 15.48).
La ecuación f 5 f0 describe un cono cuyo vértice está en el origen y cuyo eje está a lo largo
del eje z. (Ampliamos nuestra interpretación para incluir el plano xy como el cono f 5 py2).
Si f0 es mayor que py2, el cono f 5 f0 se abre hacia abajo. La ecuación u 5 u0 describe el
semiplano que contiene al eje z y forma un ángulo u0 con el semieje positivo x.
Ecuaciones que relacionan las coordenadas esféricas con las coordenadas
cartesianas y cilíndricas
(1)
r = 2x2
+ y2
+ z2
= 2r2
+ z2
.
z = r cos f, y = r sen u = r sen f sen u,
r = r sen f, x = r cos u = r sen f cos u,
EJEMPLO 3 Determine una ecuación en coordenadas esféricas para la esfera x2 1 y2 1
(z 2 1)2 5 1.
Solución Usamos las ecuaciones (1) para sustituir x, y y z:
Ecuaciones (1)
1
1
r 7 0r = 2 cos f .
r2
= 2r cos f
r2
ssen2
f + cos2
fd = 2r cos f
r2
sen2
fscos2
u + sen2
ud + r2
cos2
f - 2r cos f + 1 = 1
r2
sen2
f cos2
u + r2
sen2
f sen2
u + sr cos f - 1d2
= 1
x2
+ y2
+ sz - 1d2
= 1
r a,
f y u varían
u u0,
r y f varían
x
y
P(a, f0, u0)
f0
z
f f0,
r y u varían
u0
FIGURA 15.48 Las ecuaciones de
coordenadas constantes en coordenadas
esféricas dan esferas, conos y semiplanos.
y
z
0
r
x
x
y
P(r, f, u)
z r cos f
f
u
r
FIGURA 15.47 Las coordenadas esféricas
r, f y u y su relación con x, y, z y r.
6447448
6447448

11. El ángulo f varía desde 0 en el polo norte de la esfera hasta py2 en el polo sur; el ángulo u no
aparece en la expresión de r, reflejando la simetría con respecto al semieje z (véase la figura
15.49).
EJEMPLO 4 Determine una ecuación en coordenadas esféricas para el cono .
Solución 1 Use la geometría. El cono es simétrico con respecto al eje z y corta al primer
cuadrante del plano yz a lo largo de la recta z 5 y. El ángulo entre el cono y el semieje posi-
tivo z es, por lo tanto, py4 radianes. El cono consta de los puntos cuyas coordenadas esféri-
cas tienen a f igual a py4, de manera que su ecuación es f 5 py4. (Véase la figura 15.50).
Solución 2 Use álgebra. Si usamos las ecuaciones (1) para sustituir x, y y z obtenemos el
mismo resultado:
Las coordenadas esféricas son útiles para describir esferas con centro en el origen, semiplanos
acoplados a lo largo del eje z y conos con vértice en el origen y eje a lo largo del eje z. Super-
ficies como éstas tienen ecuaciones con valores constantes para las coordenadas:
Al calcular integrales triples sobre una región D en coordenadas esféricas, partimos la
región en n cuñas esféricas. El tamaño de la k-ésima cuña esférica, que contiene a un punto
(rk, fk, uk), está dado por los incrementos Drk, Duk, Dfk, en r, u y f. Tal cuña esférica tiene
como aristas un arco circular de longitud rkDfk, y otro arco circular de longitud rk sen fk Duk;
su espesor es Drk. La cuña esférica aproxima bien un cubo de las mismas dimensiones, cuando
Drk, Duk y Dfk son pequeños (figura 15.51). Se puede demostrar que el volumen de la cuña
esférica DVk es DVk 5 rk
2 sen fkDrkDfkDuk para un punto (rk, fk, uk) elegido dentro de la
cuña.
La suma de Riemann correspondiente para una función f(r, f, u) es
Cuando la norma de la partición tiende a cero y las cuñas esféricas son cada vez más pequeñas,
las sumas de Riemann tienen un límite si f es continua:
En coordenadas esféricas, tenemos
Para evaluar integrales en coordenadas esféricas, por lo general integramos primero con res-
pecto a r. El procedimiento para encontrar los límites de integración es como sigue. Restrin-
giremos nuestra atención a la integración sobre dominios dados por sólidos de revolución en
torno del eje z (o partes de ellos), tales que los límites de u y f sean constantes.
dV = r2
sen f dr df du.
lím
n:q
Sn =
9
D
ƒsr, f, ud dV =
9
D
ƒsr, f, ud r2
sen f dr df du.
Sn = a
n
k=1
ƒsrk, fk, ukd rk
2
sen fk ¢rk ¢fk ¢uk .
u =
p
3
.
f =
p
3
r = 4
f =
p
4
.
cos f = sen f
r cos f = r sen f
r cos f = 2r2
sen2
f
z = 2x2
+ y2
z = 2x2
+ y2
880 Capítulo 15: Integrales múltiples
Esfera de radio 4, centro en el origen
Cono que abre hacia arriba desde el origen, formando
un ángulo de py3 radianes con el semieje positivo z
Semiplano, acoplado con el eje z formando un ángulo
de py3 radianes con el semieje positivo x
Volumen diferencial en coordenadas
esféricas
dV = r2
sen f dr df du
Ejemplo 3
r 7 0, sen f Ú 0
0 … f … p
r sen f
r sen f Δu
Δr
u
u Δu
rΔf
y
z
x
O
r
f
FIGURA 15.51 En coordenadas esféricas,
= r2
sen f dr df du.
dV = dr # r df # r sen f du
y
z
x
4
4
z �x2
y2
FIGURA 15.50 El cono del ejemplo 4.
y
x
z
2
1
r
f
x2
y2
(z 1)2
1
r 2 cos f
FIGURA 15.49 La esfera del ejemplo 3.

12. Cómo integrar en coordenadas esféricas
Para evaluar
sobre una región D en el espacio en coordenadas esféricas, integrando primero con respecto
a r, luego con respecto a f, y por último con respecto a u, siga estos pasos.
1. Elabore un bosquejo. Trace la región D junto con su proyección R sobre el plano xy. Mar-
que las superficies que acotan a D.
2. Determine los límites de integración en r. Trace un rayo M desde el origen hacia D for-
mando un ángulo f con el semieje positivo z. Trace además la proyección de M sobre
el plano xy (llámela proyección L). El rayo L forma un ángulo u con el semieje positivo x.
Al crecer r, M entra a D en r 5 g1(f, u), y sale en r 5 g2(f, u). Éstos son los límites de
integración en r.
3. Determine los límites de integración en f. Para cualquier u dado, el ángulo f que M
forma con el eje z va desde f 5 fmín hasta f 5 fmáx. Éstos son los límites de integración
en f.
x
y
z
R
D
L
θ
M
r g2(f, u)
r g1(f, u)
u a
u b
fmáx
fmín
f
x
yR
r g1(f, u)
D
z
r g2(f, u)
9
D
ƒsr, f, ud dV
15.7 Integrales triples en coordenadas cilíndricas y esféricas 881

13. 4. Determine los límites de integración en u. El rayo L barre R cuando u va de a a b. Éstos
son los límites de integración en u. La integral es
EJEMPLO 5 Calcule el volumen del “cono de helado” D cortado en la esfera sólida r # 1
por el cono f 5 py3.
Solución El volumen es la integral de f(r, f, u) 5 1 sobre D.
Para determinar los límites de integración para evaluar la integral, comenzamos bosque-
jando D y su proyección R sobre el plano xy (figura 15.52).
Los límites de integración en r. Trazamos un rayo M desde el origen hacia D que forme
un ángulo f con el semieje positivo z. También trazamos L, la proyección de M sobre el plano
xy, junto con el ángulo u que forma L con el semieje positivo x. El rayo M entra a D en r 5 0
y sale en r 5 1.
Los límites de integración en f. El cono f 5 py3 forma un ángulo de py3 con el semieje
positivo z. Para cualquier u, el ángulo f puede variar desde f 5 0 hasta f 5 py3.
Los límites de integración en u. El rayo L barre R cuando u va de 0 a 2p. El volumen es
EJEMPLO 6 En el ejemplo 5, un sólido de densidad constante d 5 1 ocupa la región D.
Determine el momento de inercia del sólido con respecto al eje z.
Solución En coordenadas rectangulares, el momento es
En coordenadas esféricas, x2 1 y2 5 (r sen f cos u)2 1 (r sen f sen u)2 5 r2 sen2 f. Por
lo tanto,
Para la región del ejemplo 5, esto se convierte en
=
1
5L
2p
0
a-
1
2
+ 1 +
1
24
-
1
3
b du =
1
5L
2p
0
5
24
du =
1
24
s2pd =
p
12
.
=
1
5L
2p
0 L
p3
0
s1 - cos2
fd sen f df du =
1
5L
2p
0
c-cos f +
cos3
f
3
d
0
p3
du
Iz =
L
2p
0 L
p3
0 L
1
0
r4
sen3
f dr df du =
L
2p
0 L
p3
0
c
r5
5
d
0
1
sen3
f df du
Iz =
9
sr2
sen2
fd r2
sen f dr df du =
9
r4
sen3
f dr df du.
Iz =
9
sx2
+ y2
d dV.
=
L
2p
0
c-
1
3
cos fd
0
p3
du =
L
2p
0
a-
1
6
+
1
3
b du =
1
6
s2pd =
p
3
.
=
L
2p
0 L
p3
0
c
r3
3
d
0
1
sen f df du =
L
2p
0 L
p3
0
1
3
sen f df du
V =
9
D
r2
sen f dr df du =
L
2p
0 L
p3
0 L
1
0
r2
sen f dr df du
V = 7D
r2
sen f dr df du,
9
D
ƒsr, f, ud dV =
L
u=b
u=a L
f=fmáx
f=fmín L
r=g2sf, ud
r=g1sf, ud
ƒsr, f, ud r2
sen f dr df du.
882 Capítulo 15: Integrales múltiples
x y
z
R
L
M
D
u
Esfera r 1
Cono f
p
3
FIGURA 15.52 El cono de helado del
ejemplo 5.

14. En la siguiente sección ofrecemos un procedimiento más general para determinar dV en
coordenadas cilíndricas y esféricas. Por supuesto, el resultado es el mismo.
15.7 Integrales triples en coordenadas cilíndricas y esféricas 883
Fórmulas para conversión de coordenadas
CILÍNDRICAS A ESFÉRICAS A ESFÉRICAS A
RECTANGULARES RECTANGULARES CILÍNDRICAS
Fórmulas correspondientes para dV en integrales triples:
= r2
sen f dr df du
= dz r dr du
dV = dx dy dz
u = uz = r cos fz = z
z = r cos fy = r sen f sen uy = r sen u
r = r sen fx = r sen f cos ux = r cos u
Ejercicios 15.7
Evaluación de integrales en coordenadas cilíndricas
Evalúe las integrales en coordenadas cilíndricas de los ejercicios 1 a 6.
1. 2.
3. 4.
5.
6.
Cambio de orden de integración en coordenadas cilíndricas
Las integrales que hemos visto hasta ahora sugieren que hay órdenes de
integración preferidos para las coordenadas cilíndricas, pero es usual que
otros órdenes funcionen y que en ocasiones sean más fáciles de evaluar.
Evalúe las integrales de los ejercicios 7 a 10.
7. 8.
9.
10.
11. Sea D la región acotada abajo por el plano z 5 0, arriba por la esfera
x2 1 y2 1 z2 5 4, y a los lados por el cilindro x2 1 y2 5 1. Enuncie
las integrales triples en coordenadas cilíndricas que dan el volumen
de la región D, usando los siguientes órdenes de integración.
a. b. c.
12. Sea D la región acotada abajo por el cono y arriba
por el paraboloide z 5 2 2 x2 2 y2. Enuncie las integrales triples en
z = 2x2
+ y2
du dz drdr dz dudz dr du
L
2
0 L
24-r2
r-2 L
2p
0
sr sen u + 1d r du dz dr
L
1
0 L
2z
0 L
2p
0
sr2
cos2
u + z2
dr du dr dz
L
1
-1L
2p
0 L
1+cos u
0
4r dr du dz
L
2p
0 L
3
0 L
z3
0
r3
dr dz du
L
2p
0 L
1
0 L
12
-12
sr2
sen2
u + z2
d dz r dr du
L
2p
0 L
1
0 L
122-r2
r
3 dz r dr du
L
p
0 L
up
0 L
324-r2
-24-r2
z dz r dr du
L
2p
0 L
u2p
0 L
3+24r2
0
dz r dr du
L
2p
0 L
3
0 L
218-r2
r2
3
dz r dr du
L
2p
0 L
1
0 L
22-r2
r
dz r dr du
coordenadas cilíndricas que dan el volumen de D usando los siguien-
tes órdenes de integración.
a. b. c.
Obtención de integrales iteradas en coordenadas cilíndricas
13. Dé los límites de integración para evaluar la integral
como una integral iterada sobre la región acotada abajo por el plano
z 5 0, a los lados por el cilindro r 5 cos u y arriba por el paraboloi-
de z 5 3r2.
14. Convierta la integral
en una integral equivalente en coordenadas cilíndricas y evalúe el re-
sultado.
En los ejercicios 15 a 20, enuncie la integral iterada para evaluar
sobre la región D dada.
15. D es el cilindro circular recto cuya base es la circunferencia r 5 2 sen u
en el plano xy y cuya parte superior está en el plano z 5 4 2 y.
z
y
x
z 4 y
r 2 sen
7D ƒsr, u, zd dz r dr du
L
1
-1L
21-y2
0 L
x
0
sx2
+ y2
d dz dx dy
9
ƒsr, u, zd dz r dr du
du dz drdr dz dudz dr du