1. Propiedades de Determinantes Determinante de Vander - Monde Acumulador Algebra Lineal I Estudiante: Mauricio Soria Colina Profesor: Ing. Iván Sandoval 2010

2. Propiedades de los determinantes Si en una matriz A se intercambian dos filas (columnas) para obtener una matriz B, el determinante cambia de signo. ≈ = - Si se multiplica una fila o columna por un escalar, el nuevo determinante se altera en el valor del escalar 3× =

3. Si a una fila (columna) de la matriz A se le suma otra fila (columna) de A multiplicada previamente por un escalar, el determinante no se altera. C1=C1+2C2 C1=C1+2C2 Si una matriz A tiene una fila o columna de ceros (0), su determinante es 0. A = = = 0

4. Si la matriz A tiene dos filas o columnas iguales, su determinante es cero (0). A = 0 Si una fila (columna) de A es múltiplo de otra fila (columna) de A, su determinante es cero (0). A = (F1 múltiplo de F2) 0

5. Si una fila (columna) dela matriz A, es combinación lineal de las otras, su determinante es cero (0). A = (F3combinación lineal de F1 y F2) 0 El determinante de una matriz triangular es igual al producto de los elementos de la diagonal. A = = 2×5×4 = 40

6. El determinante de una matriz A y el de su transpuesta At son iguales. A = At = Si las matrices A, B, C son idénticas excepto en la j-e sima columna (fila), tal que la j-e sima columna (fila) de C es la suma de las j-e simas columnas (filas) de Ay B.

7. Si multiplicamos todos los elementos de una matriz de orden n por un escalar α, su determinante queda multiplicado por αn, es decir: det (α. A) = αn. det ( A ). A = = = αn

8. Determinante de Vandermonde El Determinante de Vandermonde es un determinante cuya estructura es la de una progresión geométrica. Su primer elemento es 1.

9. Acumulador El acumulador es un método efectivo para resolver determinantes. Puedo aplicarlo cuando al sumar todas las filas o columnas del determinante me da como resultado un mismo valor. Después puedo formar un determinante de una matriz triangular y el determinante será igual al valor del producto de su diagonal. 1. F1= F1+ F2+F3 C2= C2-C1 C3= C3-C1

10. 2. C1= C1+C2+C3 F2= F2-F1 F3=F3-F1

11. Ejercicios Resueltos 1. (No se altera al multiplicar por un escalar a una fila o columna) -xyz (y-x) (z-x) (z-y) F1 F2 (Determinante de Vander-Monde)

12. 2. (1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1) 1 (determinante de una matriz triangular)

13. 3. C1= C1+C2+C3+C4 (Acumulador) 3a4 3a4 (Factor común) -3a4 -1(3a4) (Determinante de una matriz triangular)

14. 4. (No se altera al multiplicar por un escalar a una fila o columna) (F3 es combinación lineal de F1 y F2)

15. 5. (No se altera al multiplicar por un escalar a una fila o columna) (C1 y C3 son iguales)

16. 6. a3b2c (No se altera al multiplicar por un escalar a una fila o columna) (0) 0 a3b2c (F1 es múltiplo de F2)

17. Ejercicios Propuestos 1. 3. 2. Para a+b+c=0 Para a+b+c=3 5. 4. =(a-b)n-1((a+(n-1)b)

18. Probar mediante determinantes numéricos los siguientes teoremas: Si las filas (columnas) de un determinante son dependientes el determinante es nulo. Un determinante que tiene dos filas (columnas) proporcionales es nulo. Si un determinante de orden n tiene mas de n-2 elementos nulos, es nulo. El determinante de una matriz diagonal es igual al producto de estos elementos. El determinante de una matriz triangular inferior o superior es igual al producto de los elementos de dicha diagonal.

19. Evaluación