estadistica

1. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
DATOS NO AGRUPADOS
ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
Las medidas de tendencia central como su nombre lo dice son cálculos o
evaluaciones que nos proporcionan idea del comportamiento del fenómeno en la
parte céntrica de éste. En otras palabras las mediadas de tendencia central se
ocupan de medir el centro, el foco o el medio de un fenómeno.
Algunas medidas son las siguientes:
Media, Mediana, Moda.
Las medidas de tendencia central proporcionan información acerca de los valores
céntricos de una variable a estudiar. Los valores medios nos darán una idea esencial
a cerca del comportamiento de la variable, por ejemplo el promedio de los datos.

2. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
LA MEDIA ARITMÉTICA.
La medida de tendencia central más familiar es la media aritmética. Conocida en forma
popular como el promedio, en ocasiones es llamada promedio aritmético, o
simplemente la media. Se encuentra sumando todos los valores de una serie de datos y
dividiendo el total entre el número de valores que se sumaron.
n
x
x
n
i
i

=
= 1
Muestra
N
x
N
i
i

=
= 1

Población
Las propiedades de la media aritmética incluyen las siguientes:
Para una serie de datos, hay una, y sólo una, media aritmética.
Su significado se entiende con facilidad.
Es afectada por valores extremos
Es una medida calculada y por consiguiente puede ser manipulada en forma algebraica. Esta
propiedad la hace una medida útil en especial para propósitos de inferencia estadística.

3. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
EJEMPLO DE LA MEDIA ARITMÉTICA.
Durante los 12 meses de 2007, una secretaria cargó 5, 2, 1, 3, 3, 8, 6, 7, 4, 1, 2 y 6
llamadas a su tarjeta de crédito telefónico. Determine la media, es decir, el promedio del
número de cargos mensuales.
El total de los 12 meses es 5 + 2 + 1 + 3 + 3 + 8 + 6 + 7 + 4 + 1 + 2 + 6 = 48 y, por lo tanto
n
x
x
n
i
i

=
= 1

4. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
LA MEDIANA.
La mediana es el valor por encima del cual cae la mitad de los valores y por debajo del
cual cae la otra mitad. Si el número de puntos es non, la mediana es el valor del punto
medio de una serie ordenada, cuando los puntos están ordenados en orden ascendente
(o descendente) de magnitud. Si el número de puntos es par, ninguno de los puntos tiene
un número igual de valores por encima y por debajo de él. En este caso, la mediana es
igual a la media, o promedio, de los dos valores intermedios.
Serie Par
2
~ 1
2
2
+
+
=
n
n x
x
x
Serie Impar
2
1
~
+
= n
x
x
Las propiedades de la mediana incluyen las siguientes:
Para una serie dada de datos, sólo hay una mediana.
La mediana no es afectada a menudo por valores extremos.
La mediana puede ser usada para caracterizar datos cualitativos. Por ejemplo, un
producto podría ser comercializado en tres categorías de calidad: buena, mejor y óptima,
donde la calidad del producto que cae en la categoría “mejor” es considerada
“promedio”.
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
DATOS NO AGRUPADOS

5. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
LA MODA.
La moda para datos discretos no agrupados es el valor que ocurre con más frecuencia. Si todos los
valores en una serie de datos son diferentes, no hay moda, si existen de dos valores que se repiten
en igual cantidad se denomina bimodal mas de dos valores multimodal
En las distribuciones simétricas, la media y la mediana tienen valor idéntico. En las distribuciones
asimétricas, estos valores no son iguales. Si la media es mayor que la mediana, la distribución está
sesgada hacia la derecha. Si la media es menor que la mediana, la distribución está sesgada hacia
la izquierda.
Las medidas poblacionales de tendencia central a menudo son llamadas parámetros de
localización, en vista de que “localizan” la posición de una distribución de frecuencia de la
población en el eje horizontal.
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
DATOS NO AGRUPADOS
MO
fi-1
fi+1
MO
fi-1 fi+1
fi+1
fi-1
MO

6. Las 12 sesiones de un seminario para el personal de cierta empresa fueron tomadas por
22, 16, 20, 20, 15, 16, 12, 14, 16, 14, 11 y 16 personas.
Entre estos números:
22, 15, 12 y 11 aparecen una vez , 20 y 14 aparecen dos veces, y 16 aparece cuatro veces.
Por lo tanto, 16 es la moda.
La moda por si sola es una medida de posición en extremo insuficiente en la inferencia
estadística, también tiene la desventaja de que, en algunos conjuntos de datos, es posible
que no exista y, en otros, tal vez no sea única.
Ejemplo:
No existe una moda de las edades 19, 23, 29, 31, 25 y 22 (que son todas diferentes) y
existen dos modas, 9 y 14, de las tallas de vestido 7, 10, 14, 9, 9, 14, 9, 18, 16, 12, 11, 14,
14, 14, 9, 20, 9 y 11.
El hecho de que un conjunto de datos tenga más de una moda (o que sea bimodal) es a
veces indicativo de una falta de compatibilidad en los datos.
ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
DATOS NO AGRUPADOS
LA MODA. EJEMPLOS

7. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
DATOS AGRUPADOS
En ocasiones se necesitan calcular las diversas medidas de dispersión a partir de
datos que han sido agrupados en intervalos de clase y presentados como una
distribución de frecuencia. Si los datos consisten en una gran cantidad de valores, y
si los cálculos se tienen que hacer en forma manual o con una calculadora, se puede
ahorrar una gran cantidad de trabajo agrupando los datos antes de calcular las
medidas dispersión
Cuando se calculan medidas dispersión a partir de datos agrupados, se deben
hacer ciertas suposiciones respecto a los datos. Como una consecuencia de hacer
estas suposiciones, los valores de las medidas descriptivas calculados de esta
manera se deben considerar como aproximaciones a los valores verdaderos.

8. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
LA MEDIA.
Cuando se calcula la media a partir de datos
agrupados, se hace la suposición de que cada
observación que cae dentro de un intervalo de
clase determinado es igual al valor del punto
medio de ese intervalo. El punto medio de un
intervalo de clase es llamado marca de clase.
Se obtiene la marca de clase sumando los
límites de clase respectivos y dividiéndolos
entre 2.
La experiencia ha demostrado que
la suposición por lo general es satisfactoria.
Como lo son las suposiciones hechas acerca de
las otras medidas descriptivas calculadas a
partir de datos agrupados.
En vista de que cada observación toma
el valor de la marca de clase del
intervalo en el que cae, se calcula la
media multiplicando cada marca de
clase por su frecuencia correspondiente.
Luego se suman los productos
resultantes y se divide el total entre el
número de observaciones. Se puede
expresar el procedimiento para datos de
muestra por:
n
f
x
x
k
i
i
i

=
= 1
k = El número de intervalos de clase.
xi = La marca de clase del i-ésimo intervalo de clase.
fi = la frecuencia del i-ésimo intervalo de clase.
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
DATOS AGRUPADOS

9. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
LA MEDIANA.
La mediana para una distribución de frecuencia es el valor, o punto,
sobre el eje horizontal del histograma de la distribución en el que una línea
perpendicular divide el área del histograma en dos partes iguales.
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
DATOS AGRUPADOS
donde:
Lm = Límite inferior de la clase medial
LM= Límite superior de la clase medial
n = Número de datos.
Fm= Frecuencia acumulada de la clase media
Fm-1 = Frecuencia acumulada de la clase que antecede
a la clase medial
fm = Frecuencia de la clase medial.
Ic = Longitud del intervalo de la clase mediana.
Lm LM
Md
Fm-1
Fm
A B
C
E
D

10. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
LA MODA.
Cuando se trata de datos agrupados para hallar la moda debemos
determinar antes que todo la clase modal en la cual se halla ésta. Dicha clase
corresponde a aquella que presente mayor frecuencia (absoluta). Una vez localizada la
clase modal, procedemos por interpolación para determinarla. Esta interpolación nos
conduce a la siguiente fórmula para la media:
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
DATOS AGRUPADOS
donde: Lm = Límite inferior de la clase modal (la
clase de mayor frecuencia).
d1 = Diferencia entre la frecuencia de la clase modal y
la de la clase que la antecede.
d2 = Diferencia entre la frecuencia de la clase modal y
la de la clase que le sigue.
Ic = Longitud del intervalo de la clase modal.
fi+1
fi-1
IC
LM
Lm
MO
A
B C
D

11. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
DATOS AGRUPADOS
El peso en kilogramos de un grupos de estudiantes del sexo masculino en un curso
de educación física, son los siguientes:
Clases fi
52.5 – 57.5 8
57.5 – 62.5 9
62.5 – 67.5 6
67.5 – 72.5 4
72.5 – 77.5 2
77.5 – 82.5. 1
Total 30
Encuentre la media Aritmética , Geométrica , Armónica , la mediana y la Moda. Compare
los resultados utilizando la fórmula de la correspondencia entre la media aritmética, la
mediana y moda medidas de tendencia central.
EJEMPLO

12. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
DATOS AGRUPADOS
Fi Fa Xi Fi*Xi Fi*LogXi Fi/xi
52,5 57,5 8 8 55 440 13,9229 0,14545
57,5 62,5 9 17 60 540 16,0034 0,15
62,5 67,5 6 23 65 390 10,8775 0,09231
67,5 72,5 4 27 70 280 7,38039 0,05714
72,5 77,5 2 29 75 150 3,75012 0,02667
77,5 82,5 1 30 80 80 1,90309 0,0125
30 1880 53,8373 0,48407
Intervalos
SOLUCIÓN
Media Aritmética Media Geométrica
Media Armónica

13. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
DATOS AGRUPADOS
Fi Fa Xi Fi*Xi Fi*LogXi Fi/xi
52,5 57,5 8 8 55 440 13,9229 0,14545
57,5 62,5 9 17 60 540 16,0034 0,15
62,5 67,5 6 23 65 390 10,8775 0,09231
67,5 72,5 4 27 70 280 7,38039 0,05714
72,5 77,5 2 29 75 150 3,75012 0,02667
77,5 82,5 1 30 80 80 1,90309 0,0125
30 1880 53,8373 0,48407
Intervalos
Lm
fm
Fm-1
Ic=62.5 - 57.5 =5
CALCULO DE LA MEDIANA

14. Fi Fa Xi Fi*Xi Fi*LogXi Fi/xi
52,5 57,5 8 8 55 440 13,9229 0,14545
57,5 62,5 9 17 60 540 16,0034 0,15
62,5 67,5 6 23 65 390 10,8775 0,09231
67,5 72,5 4 27 70 280 7,38039 0,05714
72,5 77,5 2 29 75 150 3,75012 0,02667
77,5 82,5 1 30 80 80 1,90309 0,0125
30 1880 53,8373 0,48407
Intervalos
ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
DATOS AGRUPADOS
Lm
Ic=62.5 - 57.5 =5
Frecuencia
Modal
d1
d2
CALCULO DE LA MODA

15. Una distribución es simétrica si el lado derecho e izquierdo del histograma con
respecto a la mediana son aproximadamente iguales.
Un distribución es asimétrica hacia la derecha si el lado derecho del
histograma se extiende sobre un mayor número de valores (intervalos) que el
lado izquierdo.
Una distribución es asimétrica hacia la izquierda si el lado izquierdo del
histograma se extiende sobre un mayor número de valores (intervalos) que el
lado derecho.
ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
RELACION ENTRE LA MEDIA ,
MEDIANA Y MODA
DISTRIBUCION SIMETRICA Y ASIMETRICA
Asimetría hacia la derecha Asimetría hacia la izquierda
Distribución Simétrica

16. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
RELACION ENTRE LA MEDIA ,
MEDIANA Y MODA
Si las medidas de tendencia central se presentan en el siguiente orden de magnitud:
Moda < Mediana < Media o Media < Mediana < Moda
Se dice que el polígono de frecuencias (histograma) es asimétrico, lo que indica que lo los
datos se encuentran distribuidos con algún grado de tendencia
Si al construir el polígono de frecuencias se observa que la distribución es simétrica o
ligeramente asimétrica es posible comprobar experimentalmente la siguiente relación:
Media – Moda = 3 (Media – Mediana) despejando de esta ecuación la moda nos queda
Moda= 3mediana -2Media de Igual forma se despeja la mediana
Mediana= 3 Media +1/3(Moda –Media)
Gracias a esta relación se puede obtener, con un cierto error, alguno de estos parámetros
en función de los otros dos si la distribución es como se ha dicho.
RELACION ENTRE MEDIA MEDIANA Y MODA

17. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
RELACION ENTRE LA MEDIA ,
MEDIANA Y MODA
Curva sesgada a la derecha o con sesgo
positivo: (Moda < Mediana < Media) en
este caso la mayoría de las observaciones
se encuentran por debajo de la Media
Curva sesgada a la izquierda o con sesgo
negativo: ( Media < Mediana < Moda)
en este caso la mayoría de las
observaciones se encuentran por arriba
de la Media
Mediana
Media
Moda Moda
Mediana
Media
RELACION ENTRE MEDIA MEDIANA Y MODA
Mediana
Media Moda
(Moda = Mediana = Media)

18. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
Medidas de tendencia central datos
no agrupados y agrupados Ejemplo
Los siguientes son los puntajes de un grupo de adolescentes en un test de
Agudeza Visual: 25, 12, 15, 23, 24, 39, 13, 31, 19, 16. determinar la Media
Medina y Moda
Media
n
x
x
n
i
i

=
= 1 25+12+15+23+24+39+13+31+19+16
10
=
217
10
=21,7
Mediana:
2
~ 1
2
2
+
+
=
n
n x
x
x
Serie Par
2
1
~
+
= n
x
x
Serie Impar
12,13,15,16,19,23,24,25,31,39
12,13,15,16,19,23,24,25,31,39,40
19+23
2
=21
Moda:
12, 𝟑𝟏, 15,16,19,23,24,25,31,39
12, 𝟑𝟏, 𝟏𝟓, 𝟏𝟓, 19,23,24,25,31,39
31
31 y 15

19. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
Medidas de tendencia central datos
no agrupados y agrupados Ejemplo
En la presente tabla se indica las notas de 100 alumnos en determinada
examen se pide calcular la media mediana y moda utilizando datos
agrupados.
Intervalos F
0,5 5,5 7
5,5 10,5 12
10,5 15,5 21
15,5 20,5 32
20,5 25,5 28
Total 100
n
f
x
x
k
i
i
i

=
= 1
xi
3
8
13
18
23
Fi*XI
7*3=21
96
273
576
644
1610
=
1610
100
=16,1
Fa
7
19
40
72
100
𝑛
2
= 100
2
= 50
𝐹𝑚−1=40 ; 𝐹
𝑚=32 ; 𝐿𝑚=15,5 ; 𝐼𝑐=5
= 15,5 + (
50−40
32
)*5=17,06
Media Mediana:

20. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
Medidas de tendencia central datos
no agrupados y agrupados Ejemplo
En la presente tabla se indica las notas de 100 alumnos en determinada
examen se pide calcular la media mediana y moda utilizando datos
agrupados.
Intervalos F
0,5 5,5 7
5,5 10,5 12
10,5 15,5 21
15,5 20,5 32
20,5 25,5 28
Total 100
n
f
x
x
k
i
i
i

=
= 1
xi
3
8
13
18
23
Fi*XI
21
96
273
576
644
1610
=
1610
100
=16,1
Fa
7
19
40
72
100
𝑛
2
= 100
2
= 50
𝐹𝑚−1=40 ; 𝐹
𝑚=32 ; 𝐿𝑚=15,5 ; 𝐼𝑐=5
= 15,5 + (
11
11+4
)*5=19,1
𝑑1=32-21=11 ; 𝑑2=32-28=4 ; 𝐿𝑚=15,5 ;
𝐼𝑐=5
Media
= 15,5 + (
50−40
32
)*5=17,06
Mediana:
Moda
Media:16,1
Mediana:17,06
Moda: 19,1

21. RELACION ENTRE LA MEDIA ,
MEDIANA Y MODA
Curva sesgada a la derecha o con sesgo
positivo: (Moda < Mediana < Media) en
este caso la mayoría de las observaciones
se encuentran por debajo de la Media
Curva sesgada a la izquierda o con sesgo
negativo: ( Media < Mediana < Moda)
en este caso la mayoría de las
observaciones se encuentran por arriba
de la Media
Mediana
Media
Moda Moda
Mediana
Media
RELACION ENTRE MEDIA MEDIANA Y MODA
Mediana
Media Moda
(Moda = Mediana = Media)

22. Una distribución es simétrica si el lado derecho e izquierdo del histograma con
respecto a la mediana son aproximadamente iguales.
Un distribución es asimétrica hacia la derecha si el lado derecho del
histograma se extiende sobre un mayor número de valores (intervalos) que el
lado izquierdo.
Una distribución es asimétrica hacia la izquierda si el lado izquierdo del
histograma se extiende sobre un mayor número de valores (intervalos) que el
lado derecho.
ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
RELACION ENTRE LA MEDIA ,
MEDIANA Y MODA
DISTRIBUCION SIMETRICA Y ASIMETRICA
Asimetría hacia la derecha Asimetría hacia la izquierda
Distribución Simétrica