Cálculo Integral - Taller (Carlos A. Benavides Gallego)

1. TALLER I C´ALCULO INTEGRAL
Carlos A. Benavides Gallego
1. Problema I
Resuelva las siguientes integrales usando los
m´etodos de sustituci´on o cambio de variable,
integraci´on por partes, integraci´o por sustituci´on
trigonom´etrica y fracciones parciales.
1.
√
3 − 2sds
2. 1√
x(1+
√
x)2 dx
3. sin5
(x
3 ) cos(x
3 )dx
4. sin(2t+1)
cos2(2t+1) dt
5. 4y√
2y2+1
dy
6. tan2
x sec2
xdx
7. tan7 x
7 sec2 x
2 dx
8. (θ4
− 2θ2
+ 8θ − 2)(θ3
− θ + 2)dθ
9. sin
√
θ√
θ cos3
√
θ
dθ
10.
(2r−1) cos
√
3(2r−1)2+6
√
3(2r−1)2+6
dr
11. 5x+3
x2+2x−3 dx
12. (2x−1)
(x−1)(x−2)(2x−3)
13. x
(x2−1)(x−2)
14. 2x+1
(3x−1)(2x+5)
15. 2x2
+x−1
2x3+x2−5x+2
16. x2
ex
dx
17. sec3
xdx
18. e2x
sin 3xdx
19. ln(1 − x)dx
20. x ln xdx
2. Problema II
Si no sabe qu´e sustituci´on hacer, intene reducir
la interal paso a paso, usando una sustituci´on
de prueba para simplificar un poco la integral, y
despu´es otra para simplificarla un poco m´as. Ver´a a
lo que nos referimos si se fija en la sustituci´on de
los siguientes ejercicios.
1. 18 tan2
x sec2
x
(2+tan3 x)2 dx
a. u = tan x, seguido por v = u3
, despu´es
de w = 2 + v.
b. u = tan3
x, seguido por v = 2 + u.
c. u = 2 + tan3
x
2. 1 + sin2
(x − 1) sin(x − 1) cos(x − 1)dx
a. u = x − 1, seguido por v = sin u, despu´es
de w = 1 + v2
.
b. u = sin(x − 1), seguido por v = 1 + u2
.
c. u = 1 + sin2
(x − 1)
3. Problema III
En electricidad y magnetismo el potencial electri-
co, φ, de una distribuci´on de carga continua esta
definido por la integral
φ =
1
4π 0
dq
r
(1)
donde r es la distancia entre el diferencial de carga y
el punto donde se quiere calcular el valor del poten-
cial electrico. Supongamos que tenemos un anillo
1

2. cargado que reposa sobre el plano xy (Ver figura).
Este anillo, de radio R, tiene una densidad lineal
de carga λ (carga/por unidad de longitud).
(a)
Figura 1: Esquema geom´etrico del problema
a. ¿C´omo es la integral que representa el poten-
cial electrico, φ, en un punto en el eje z.
b. ¿C´omo es el potencial electrico φ en funci´on de
z, es decir: φ(z)
c. Haga una g´rafica, en computador, de φ(z).
d. ¿C´omo es el potencial en el centro del anillo?
4. Problema IV
En mec´anica newtoniana algunos problemas (aque-
llos que involucram movimientos circulares) pueden
ser resueltos, f´acilmente, usando coordenadas po-
lares. Estas coordenadas est´an definidas de la sigu-
inete manera (ver figura 2)
ˆr = cos θi + sin θj
ˆθ = − sin θi + cos θj
(2)
Deacuerdo a lo anterior, el vector posici´on es r =
(a)
Figura 2: Esquema geom´etrico del problema
rˆr. El vector velocidad ser´a
v =
dˆr
dt
=
d(rˆr)
dt
=
dr
dt
ˆr + r
dˆr
dt
= ˙rˆr + r
dˆr
dt
dˆr
dt
=
d
dt
(cos θi + sin θj)
= −
dθ
dt
sin θi +
dθ
dt
cos θj
= ˙θ(− sin θi + cos θj) = ˙θˆθ
(3)
a. Demuestre que que el vector aceleraci´on en es-
tas coordenadas es a = (¨r − r ˙θ)ˆr + (2 ˙r ˙θ + r¨θ)ˆθ
donde ¨r = d2
r
dt2 y ¨θ = d2
θ
dt2 . ¿C´omo es el vector
aceleraci´on para un movimiento circular con
velocidad angular constante?
b. Un bloque de masa m se desliza sobre una
mesa sin fricci´on. La masa est´a constre˜nida a
moverse dentro de un anillo de radio l el cual
est´a fijo a la mesa (ver figura 3) En t = 0,
el bloque se mueve dentro del anillo con ve-
locidad v0. El coeficiente de fricci´on entre el
bloque y el anillo es µ. Usando la segunda ley
de Newton, Muestre que ¨θ = −µ ˙θ2
.
c. Haga el cambio de variable ω = ˙θ y muestre
que la ecuaci´on ¨θ = −µ ˙θ2
se reduce a ˙ω =
−µω2
d. Reorganizando la ecuaci´on ˙ω = −µω2
e in-
tegtrando tenemos que
ω
ω0
dω
(ω )2 = −µ
t
0
dt .
2

3. Resuelva esta integral y muestre que ω(t) =
ω0
1+µω0t
(a)
Figura 3: Esquema geom´etrico del problema
5. Problemas para pensar (No
entran en la nota del taller,
pero dan d´esimas de m´as en
el parcial)
1. La bibliotecaria de la escuela de Ingenieros mil-
itares ha estado muy ocupada. El lunes cata-
log´o solamente algunos libros de los nuevos li-
bros recibidos. El martes recibi´o tantos libros
nuevos como no hab´ıa catalogado el lunes, y
catalog´o diez. el miercoles recibi´o doce m´as
que el lunes, y catalog´o tantos como ese d´ıa.
El jueves recibi´o el triple de los libros que
hab´ıa catalogado el mi´ercoles, y catalog´o ocho.
El viernes llegaron seis libros y pudo cata-
logar doce menos de los que hab´ıa recibido
el mi´ercoles. El s´abado pudo catalogar los
diecis´eis libros que le quedaban porque la bib-
lioteca estaba cerrada. ¿Cu´antos libros llegaro
el lunes?
2. Alberto, Ricardo, Jaime y Tom´as han estado
contando los resultados de un d´ıa de pesca:1)
Tom´as ha cogido m´as que Jaime; 2) Alberto
y Ricardo han pescado, entre los dos, lomismo
que Jaime y Tom´as; 3) Alberto y Tom´as no han
cogido tantos como Ricardo y Jaime. ¿Qui´en
ha pesado m´as, qui´en ha sido el segundo, qu´en
el tercero y qui´en el ´ultimo?
3