Integrales

1. Integrales
José María Martínez Mediano
1
Descomposición elemental (ajustes por constantes)
OBSERVACIONES
1. Las primeras integrales que aparecen se han obtenido del libro de Matemáticas I (1º de Bachillerato) McGraw-Hill, Madrid 2007.
2. Otros problemas se han obtenido de las Pruebas de Selectividad.
Algunas integrales con solución.
1. cxdxx 
 32
3
4
4
2. c
x
dxx 
 3
2
2
3
2
3. cx
x
dxx 
 2
3
2
)1(2
3
2
4. cxdx 
 4)4(
5. cxxxdxxx 
 4
2
3
3
4
)434( 232
6. cx
x
dxx 
 5
2
)52(
4
3
7. cx
x
xdxxx 
 2
)13(
2
32
8. cxxdx
x


 5
4
10
3
5
43 2
9. cxx
x
dx
xx


 3
1
3
1
93
12 2
32
10. cxxxdxxx 
 2
1
2
1
6
1
)12(
2
1 232
11. cxxxdxxxx 
 2342
633)434(3
12. cxxdxxx 

342
3
5
4
3
)53(
13. 
 dxxx 2
)53( cxxx  234
2
25
10
4
9
14. c
x
dx
x



11
2
15. c
x
dx
x

 23
12
16. c
x
dx
x


 34
13
17. c
x
dx
x

 45
14
18. cxdxxx 
 2/5
5
2
19. cxdx
x
x

 2/1
2
20. cxdx
x
x

 2/3
3
2
21. cxdx
x

 ln3
3
22. cxdx
x

 )1ln(3
1
3
23. cxdx
x

 )12ln(
2
1
12
1
24. cxdx
x

 )12ln(
2
3
12
3
25. cxxdx
x
x


 ln43
43
26. cxx
x
dx
x
xx


 ln
3
1
3
2
63
12 22
27. c
x
dxx 


 5
)3(
)3(
5
4
28. c
x
dxxx 


 6
)12(
6·)12(
63
253
29. cxdx
x
x

 )6ln(
6
2 2
2
30. cxsendxx
x

 cos
2
1
31. cxdx
x

 )13ln(6
13
1
18
32. cxdx
x
x

 )6ln(
2
1
6
2
2
33. cxxdx
xx
x



 )3ln(
3
32 2
2
34. cedxe xx

 66
35. cedxe xx

 33
26
36. cedxe xx

 33
3
4
4

2. Integrales
José María Martínez Mediano
2
37. cedxe xx
 
 3232
24
38. cxedxe xx

 2)12(
39. c
x
edxxe xx

 2
)2(
2
22
40. cxedxxe xx

 222
)(2
41. cxedx
xe x
x


 22
2
6
1
3
1
3
2
42. csenxdxx 
 2cos2
43. cxsendxx 
 2
2
1
2cos
44. cxsendxx 
 3
3
5
)3cos5(
45. cxsendx
x

 4
12
1
3
4cos
46. cxdxxsen 
 3cos33
47. cxdxxsen 
 4cos
2
1
42
48. cxdxxsen 
 5cos
5
2
)52(
49. cxdxxsen 
 2
3
cos
3
2
2
3
50. ctagxdxxtag 
 2)22( 2
53. ctagxdx
x


 2
cos
1
54 cxdxtagx 
 cosln
Integrales resueltas
1. Calcula
 

dx
x
xx
1
11
Solución:
Descomponiendo la expresión del integrando:
1
1
1
1
1
1
1
1
11










xx
x
x
x
x
xx
Por tanto: cxxdx
x
dx
x
xx










 12
1
1
1
1
11
NOTA: La integral dx
x 1
1
es inmediata, pues cxdx
x
dx
x



  12
12
1
2
1
1
2. De una función )(xfy  , x > 1, sabemos que tiene por derivada
x
a
y


1
´ , donde a es
una constante. Determina la función si, además, sabemos que 1)0( f y 1)1( f .
Solución:
La función )(xfy  es una primitiva
x
a
y


1
´ .
Por tanto,
 
 dx
x
a
xf
1
)( = kxa  )1ln( , siendo k una constante.
De 1)0( f  1)01ln(  ka  k = 1. Luego 1)1ln()(  xaxf

3. Integrales
José María Martínez Mediano
3
De 1)1( f  1)11ln(1  a  22ln a 
2ln
2
a .
La función es 1)1·ln(
2ln
2
)(  xxf .
3. Calcula una primitiva de la función 2/12
)1()( 
 xxxf que se anule en x = 1.
Solución:
El conjunto de todas las primitivas es
dxxx
 
 2/12
)1( =
 
 dxxxxdxxxx )2()12( 2/12/12/32/12
=
= cxxxxxc
xxx
 2
3
4
5
2
2/12/3
2
2/5
2
2/12/32/5
Como la primitiva buscada se anula en x = 1  c 2
3
4
5
2
0 
15
56
c
La primitiva es:
15
56
2
3
4
5
2
)( 2
 xxxxxxF .
4. Calcula razonadamente la expresión de una función f (x) tal que
2
)´( x
xexf 
 y que
2
1
)0( f .
Solución:
cedxxexf xx
 

22
2
1
)(
De
2
1
)0( f 
2
1
2
1 0
 ce  c = 1.
Luego, 1
2
1
)(
2
 x
exf
5. Calcula la integral indefinida:
 dx
x
x
cos
sen3
Solución:
 dx
x
x
cos
sen3
=
 dx
x
xx
cos
·sensen2
=


dx
x
xx
cos
)·sencos1( 2
=
=


dx
x
xxx
cos
·sencossen 2
=
 
dxxxxx ))·(cossen)·(cos(sen 2/32/1
=
= cxx  2/52/1
)(cos
5
2
)(cos2

4. Integrales
José María Martínez Mediano
4
6. Calcula la primitiva de la función 1)( 2
 xxxf que se anula en el punto de abscisa x =
2.
Solución:
Sea
  dxxxxF 1)( 2
la primitiva buscada.
  dxxxxF 1)( 2
=
  dxxx 2/12
)1( =
  dxxx 2/12
)1(2
2
1
=
c
x
c
x




3
)1(
2/3
)1(
·
2
1 2/322/32
= c
x


3
)1( 32
Si se anula para x = 2  0
3
)12(
)2(
32


 cF  0
3
27
 c  3c
Luego, 3
3
)1(
)(
32



x
xF
7. Dada la función
45
)(
2


x
x
xf :
a) Calcula la integral
 dxxf )( .
b) Halla la primitiva F de f que cumple que 1)1( F .
Solución:
a) Ajustando constantes se tiene:
 dxxf )( = cxdx
x
x
dx
x
x



  45
5
1
452
10
10
2
45
2
22
b) Como cxxF  45
5
1
)( 2
, para que 1)1( F se tendrá:
141·5
5
1
)1( 2
 cF  1
5
1
 c 
5
4
c
Por tanto, la primitiva buscada es
5
4
45
5
1
)( 2
 xxF
8 . Calcula
 

dx
xx
x
134
1
2
2
.
Solución:
Primera descomposición:
134
124
1
134
124134
134
1
22
2
2
2








xx
x
xx
xxx
xx
x
La segunda fracción:
134
4
134
)42(2
134
124
222







xxxx
x
xx
x
Y, por último:

5. Integrales
José María Martínez Mediano
5
2222
3
2
1
3
1
·
3
4
3
2
1
9
4
)2(9
4
134
4





 







 




 xxxxx
Por tanto, la integral pedida es:
 

dx
xx
x
134
1
2
2
=




















 




 dx
xxx
x
3
2
1
3
1
·
3
4
134
42
·21 22
=
= c
x
arctagxxLx 




 

3
2
3
4
)134(2 2

6. Integrales
José María Martínez Mediano
6
Cambios de variable
10. Calcula
  2
)1(x
dx
Solución:
Haciendo el cambio de variable x  1 = t  dx = dt, se tiene:
ctdtt
t
dt
x
dx




12
22
)1(
 c
xx
dx




 1
1
)1( 2
11. Calcula
 
dx
x1
2
.
Solución:
Puede hacerse el cambio tx  . Con esto, si diferenciamos se tiene:
dtdx
x

2
1
 dtxdx 2  tdtdx 2 .
Sustituyendo en la integral dada:
cttdt
t
dt
t
t
tdt
t
dx
x












  )1ln(44
1
4
4
1
4
2·
1
2
1
2
Deshaciendo el cambio se obtiene:
  cxxdx
x

 1ln44
1
2
12. Calcula dx
x
x
 

1
1
Solución:
Haciendo el cambio de variable tx  se tiene: tx  ; 2
tx  ; tdtdx 2
Por tanto
dx
x
x
 

1
1
=
 




dt
t
tt
tdt
t
t
1
22
2·
1
1 32
Haciendo la división del integrando:
cttttdt
t
ttdt
t
tt










 )1ln(44
3
2
1
4
422
1
22 232
3
Deshaciendo el cambio se tendrá que:
dx
x
x
 

1
1
= cxxxxx  )1ln(44
3
2

7. Integrales
José María Martínez Mediano
7
13. Calcula
  dxxx 12
.
Solución:
Haciendo x + 1 = t 








22
)1(
1
tx
tx
dtdx
Luego:
  dxxx 12
= dttttdtttt )2()12( 2/12/32/52/12

 =
= cxxxcttt  2/32/52/72/32/52/7
)1(
3
2
)1(
5
4
)1(
7
2
3
2
5
4
7
2
15. De todas las primitivas de la función )(sec)tan(2)( 2
xxxf  , halla la que pasa por el
punto P(/4, 1).
Solución:
Como debería saberse, sec2
(x) = 1 + tan2
(x). En consecuencia:
dxxx
 )(sec)tan(2 2
= dxxx
  )](tan1)[tan(2 2
Haciendo el cambio tan(x) = t  [1 + tan2
(x)]dx = dt, luego
dxxx
  )](tan1)[tan(2 2
= cxctdtt 
 )(tan2 22
Para que pase por P(/4, 1)  tan2
(/4) + c = 1  1 + c = 1  c = 0.
La primitiva buscada es )(tan)(sec)tan(2 22
xdxxx 


8. Integrales
José María Martínez Mediano
8
Integración por partes
16. Describe en qué consiste el método de integración por partes para el cálculo de primitivas.
Aplica dicho método para calcular las siguientes primitivas:
 dxxeI x2
 dxxxJ )ln(
Solución:
El método de integración por partes puede usarse para la integración de un producto de
funciones. Su regla se obtiene como sigue:
Sean u y v las funciones.
Diferenciando: vduudvuvd )(
Integrando:
   vduudvuvd )( 
  vduudvuv
Despejando:
  vduuvudv
Aplicación a los casos planteados:
 dxxeI x2
Tomando: u = x  du = dx
dvdxe x
2

  dvdxe x2
 x
ev 2
2
1

Se tiene:
 dxxeI x2
=
 dxexe xx 22
2
1
2
1
= cexe xx
 22
4
1
2
1
 dxxxJ )ln(
Tomando: u = x lnx  du = (lnx +1)dx
dv = dx  v = x
Luego,
 dxxxJ )ln( =
   xdxxdxxxxdxxxxxx lnln)ln(ln 22

 2
 xdxxln = c
x
xx 
2
ln
2
2
De donde,
 dxxxJ )ln( = c
x
xx 
4
ln
2
1 2
2
17. Calcula las siguientes integrales indefinidas:
  dxx )1ln(
Solución:
  dxx )1ln( se hace por partes, tomando:
u = ln (x + 1)  dx
x
du
1
1


dv = dx  v = x

9. Integrales
José María Martínez Mediano
9
Queda;
 
 dx
x
x
xxdxx
1
)1ln()1ln( =  






 dx
x
xx
1
1
1)1ln( =
= cxxxx  )1ln()1ln(
18. Determina la función f (x) sabiendo que xxxf ln)´´(  , f ´(1) = 0 y
4
)(
e
ef  .
Solución:
c
x
x
x
dx
x
x
x
xdxxxf 
 4
ln
22
ln
2
ln)´(
222
Esta integral la hemos hecho por partes, tomando: ln x = u; xdx = dv
Como f ´(1) = 0  c
4
1
0 
4
1
c .
Por tanto,
   dxdx
x
xdx
x
xf
4
1
4
ln
2
)(
22
Haciendo por partes
 xdx
x
ln
2
2








 dvdx
x
ux
2
;ln
2
, se tiene:
18
ln
6
ln
2
332
x
x
x
xdx
x


Luego,
   dxdx
x
xdx
x
xf
4
1
4
ln
2
)(
22
= ´
41218
ln
6
333
c
xxx
x
x

Como
4
)(
e
ef  
4
´
41218
ln
6
333
e
c
eee
e
e
  3
36
1
´ ec


De donde,
364
1
18
5
ln
6
)(
3
3
3
e
xxx
x
xf 
19. Calcula la siguiente integral indefinida
  dxcbxxeax
)( 2
En función de los parámetros a, b y c.
Solución:
La integral pedida
  dxcbxxeax
)( 2
=
  dxcedxbxedxex axaxax2
Las dos primeras integrales deben hacerse por el método de partes; la tercera es inmediata.
La integral ke
a
c
dxae
a
c
dxce axaxax


Para
 dxbxeax
hacemos
u = bx  du = bdx
dxedv ax
  ax
e
a
v
1


10. Integrales
José María Martínez Mediano
10
Luego,
 dxbxeax
= axaxaxax
e
a
b
xe
a
b
dxe
a
b
e
a
bx 2
1

 (*)
Para
 dxex ax2
hacemos
u = x2
 du = 2xdx
dxedv ax
  ax
e
a
v
1

Luego   dxe
a
x
e
a
x
dxex axaxax 22
2
La segunda integral es idéntica a (*) para
a
b
2
 . Por tanto
  dxe
a
x
e
a
x
dxex axaxax 22
2
=
axaxax
e
a
xe
a
e
a
x
32
2
22

Teniendo en cuenta todos los resultados,
  dxcbxxeax
)( 2
= ke
a
c
e
a
b
xe
a
b
e
a
xe
a
e
a
x axaxaxaxaxax






 232
2
22
=
= ke
a
caab
x
a
ab
a
x ax





 


 3
2
2
2
22
20. Sea f: (0, +) R la función definida por )ln1()( xxxf  , donde ln x es logaritmo
neperiano de x. Encuentra una primitiva de f cuya gráfica pase por el punto (1, 1) (3 puntos)
Solución:
  dxxxxF )ln1()(
Hacemos
 xdxxln por partes:
u = x lnx  du = (lnx +1)dx
dv = dx  v = x
Luego,
 xdxxln =
  dxxxxxx )ln(ln2
 2
 xdxxln =
2
ln
2
2 x
xx 
De donde,
 xdxxln =
4
ln
2
1 2
2 x
xx 
Con esto:
  dxxxxF )ln1()( = cxx
x
c
x
xx
x
 ln
2
1
4
3
4
ln
2
1
2
2
22
2
2
Como el punto (1, 1) es de F(x), se cumple que:
c 1ln
2
1
4
3
1 
4
1
c
Por tanto, la primitiva pedida es
4
1
ln
2
1
4
3
)( 2
2
 xx
x
xF

11. Integrales
José María Martínez Mediano
11
Descomposición en fracciones simples
21. Halla la integral indefinida
  62
xx
dx
Solución:
Por descomposición en fracciones simples:
326
1
2




 x
B
x
A
xx
=
)3)(2(
)2()3(


xx
xBxA
Luego:
)2()3(1  xBxA
si x = 2: 1 = 5A  A = 1/5
si x = –3: 1 = –5B  B = 1/5
Por tanto:
  62
xx
dx
=
 











dx
x
dx
x
dx
xx 3
1
5
1
2
1
5
1
3
5/1
2
5/1
=
= cxx  )3ln(
5
1
)2ln(
5
1
22. Calcula dx
x 1
2
2
Solución:
Por descomposición en fracciones simples:
111
2
2




 x
B
x
A
x
=
1
)1()1(
2


x
xBxA
Luego:
)1()1(2  xBxA
si x = 1: 2 = 2A  A = 1
si x = –1: 2 = 2B  B = 1
Con esto:
   




dx
x
dx
x
dx
x 1
1
1
1
1
2
2
= cxx  )1ln()1ln(
23. Calcula:
 
dx
x2
1
1
Solución:
(Observa que es casi igual que la anterior.)
Descomponiendo en fracciones simples,
 
dx
x2
1
1
= cxLxLdx
x
dx
x



  )1(
2
1
)1(
2
1
1
2/1
1
2/1

12. Integrales
José María Martínez Mediano
12
24. Calcula:
 

dx
x
xx
4
1
2
23
Solución:
Hacemos la división    4:1 223
 xxx .
Queda:
4
54
1
4
1
22
23





x
x
x
x
xx
.
Descomponemos en fracciones simples
4
54
2


x
x
.
4
)2()2(
224
54
22









x
xBxA
x
B
x
A
x
x
 )2()2(54  xBxAx
Para x = 2, se tiene: A413   4/13A
Para x = 2, se tiene: B43   4/3B
Luego,
2
4/3
2
4/13
4
54
2






xxx
x
Por tanto:
 

dx
x
xx
4
1
2
23
= dx
xx
x
 









2
4/3
2
4/13
1 =
=
 


 dx
x
dx
x
dxx
2
1
4
3
2
1
4
13
)1( = kxxxx  )2ln(
4
3
)2ln(
4
13
2
1 2
25. Calcula:
  xx
dx
3
2
Solución:
Puede hacerse por el método de descomposición en fracciones simples.
Como las raíces del denominador de la expresión
xx 3
2
son 0, 1 y 1, se tendrá:
11)1)(1(
22
3






 x
C
x
B
x
A
xxxxx
=
xx
xCxxBxxA


3
2
)1()1()1(
Por tanto: )1()1()1(2 2
 xCxxBxxA
Si damos los valores 0, 1 y 1 se tendrá:
Para x = 0  2 = A  A = 2
Para x = 1  2 = 2B  B = 1
Para x = 1  2 = 2C  C = 1
Luego
cxxxdx
xxx
dx
xx












  )1ln()1ln(ln2
1
1
1
122
3

13. Integrales
José María Martínez Mediano
13
26. Se consideran las funciones reales 59812)( 23
 xxxxf y 276)( 2
 xxxg .
Se pide:
a) Determina las ecuaciones de las asíntotas a la gráfica de la función
)(
)(
xg
xf
.
b) Calcula la función
 dx
xg
xf
xH
)(
)(
)( que cumple H(1) = 1.
Solución:
a) La función
276
59812
)(
)(
)( 2
23



xx
xxx
xg
xf
xF :
tiene una asíntota oblicua, pues el grado del numerador es uno más el grado del denominador;
puede tener asíntotas verticales en los ceros del denominador; en las soluciones de
0276 2
 xx , que son x = 1/2 y x = 2/3.
Las asíntotas verticales se confirman, pues



 276
59812
2
23
2/1 xx
xxx
lím
x
y 


 276
59812
2
23
3/2 xx
xxx
lím
x
La asíntota oblicua puede calcularse dividiendo:
La asíntota es la recta y = 2x + 1.
b) Por la división anterior, sabemos que
276
712
12
)(
)(
2



xx
x
x
xg
xf
.
Si tenemos en cuenta que   712´276 2
 xxx ,
 dx
xg
xf
xH
)(
)(
)( =  







 dx
xx
x
x
276
712
12 2
=   cxxxx  276ln 22
Si H(1) = 1  1 + 1 + ln 1 + c = 1  c = 1.
Por tanto,   1276ln)( 22
 xxxxxH
27. Calcula la siguiente integral:
 
dx
x
x
3
)1(
Solución:
Por descomposición en fracciones simples se tiene:
323
)1()1(1)1( 





 x
C
x
B
x
A
x
x
= 3
2
)1(
)1()1(


x
CxBxA
Por tanto,
12x3
8x2
9x 5 6x2
7x 2
12x3
+14x2
4x 2x + 1
6x2
5x 5
6x2
+7x 2
12x 7

14. Integrales
José María Martínez Mediano
14
CxBxAx  )1()1( 2
= )()2(2
CBAxBAAx 
Identificando coeficientes se tiene el sistema,








0
12
0
CBA
BA
A
 A = 0, B = 1, C = 1
Luego 323
)1(
1
)1(
1
)1( 



 xxx
x
, de donde
 
dx
x
x
3
)1(
= dx
x
dx
x
dx
xx   










 3232
)1(
1
)1(
1
)1(
1
)1(
1
=
= c
xx




 2
)1(2
1
1
1
Las dos últimas integrales son inmediatas, pues    
1
)(
)()´(
1



 n
xf
dxxfxf
n
n
. Ahora basta
con escribir    





dxxdxxdx
x
dx
x
32
32
)1(1
)1(
1
)1(
1