Del trabajo de SUCESIONES

1. Cristina Esteban Fernández 1º BCT

2. ¿Qué es una sucesión?
 Una sucesión es el conjunto de números dados,
ordenadamente de modo que se puedan numerar.
 El principal elemento de una sucesión es el término
a1, a2, a3 ,..., an

3. Término general
 El término general se simboliza con: an
 En algunas sucesiones el termino general puede
expresarse mediante una fórmula:
an = f(n) ; donde n=Cierto valor natural
 En otras sucesiones el término se obtiene operando dos
o más términos anteriores. A estas las llamamos
recurrentes:
Ej: 1, 3, 5, 7
 Y en otras para hallar un término es necesario obtener
los anteriores.
Ej: 1, 4, 9, 16

4. Progresión aritmética
 Una progresión aritmética es una sucesión en la que se
pasa de cada término al siguiente sumando un mismo
número, al que llamamos d (diferencia).
an = a1 + (n-1) d

5. Suma de los n primeros términos
 Para obtener la suma de los n primeros términos se
utiliza la siguiente fórmula
(a1 + an )n
Sn = a1 + a2 +...+ an = 2

6. Demostración forma se basa en la
 La demostración de esta
siguiente propiedad
a1 + an = a2 + an-1 = a3 + an-2 = ……..
 ¿Porqué?
Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an-2 + an-1 + an
Sn = an + an-1 + an-2 + ... + a3 + a2 + a1
2Sn = (a1 + an ) + ( ) + ( ) + … + ( ) + ( ) + ( )
 Los n paréntesis valen a1 + an .

7. Ejemplos
https://docs.google.com/open?id=0Bw080UKgARZZeV
h1MkI0UjNvM0E
https://docs.google.com/open?id=0Bw080UKgARZZRE
hxLUg3SWszOW8
He aquí un ejemplo de progresión aritmética, a la que se
la añaden 2 términos más y se haya la suma de sus 100
primeros términos.

8. Progresión geométrica
 Una progresión geométrica es una sucesión en la que
se pasa de cada término al siguiente multiplicando por
un mismo número, al que llamamos r (razón)
an = a1·rn-1

9. Suma de los n primeros números
 Para obtener la suma de los n primeros términos se
utiliza la siguiente fórmula
¡OJO! : R NO ES IGUAL A 1
Sn = an r - a1
r-1

10. Demostración
 ¿Porqué?
Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an-1 + an
r Sn = a2 + a3 + a4 + ... + an + an r
r Sn - Sn= - a1 + an r
 El sumando an r se hace más pequeño cuanto mayor sea n
y si n es muy grande, an r es prácticamente 0. El siguiente
resultado se basa en esta propiedad:
S∞ = a1
1-r

11. Ejemplo
https://docs.google.com/open?id=0Bw080UKgARZZTk
VYb1RyUFJBOVk
En este caso tenemos una progresión geométrica en la
que calculamos la suma de los infinitos términos
La progresión es: 100, 50, 25, 12,5 ,…

12. Sucesiones de potencias
 Nos podemos encontrar con frecuencia sucesiones del
tipo:
1m, 2m , 3m , 4m , 5m , 6m , nm
 Es decir, las sucesiones de los cuadrados y de los cubos.
 Suma de los n primeros cuadrados:
12+ 22 + 32 + ……. + n2 = n (n + 1) (2n + 1)
6
 Suma de los n primeros cubos:
13+ 23 + 33 + ……. + n3 = n2 ( n + 1 )2
4

13. Sucesión de Fibonacci
 En esta sucesión cada término, a partir del tercero, se
obtiene sumando los dos anteriores. Esta dada, por
tanto de forma recurrente.
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, …
a1 = 1 , a2 = 1 , an = an-2 + an-1

14. Límites de una sucesión
 El límite de una sucesión es el número al cual se van
aproximando los términos de una sucesión.
 Para hallar el límite de una sucesión estudiamos su
comportamiento para términos muy avanzados, es
decir, cuando n toma valores cada vez mayores.
Enlaces:
http://www.youtube.com/watch?v=iFasJ2pt1qY
http://www.youtube.com/watch?v=LT8V42U5pRM

15. Sucesiones que no tienen límite
 Por ejemplo:
1, -2, 3, -4, 5, -6, 7, -8 … ; an = (-1) n+1 n
Esta sucesión ni tiende al +∞ , ni al -∞

16. El número e
 El número e es un número irracional y se le llama así
por Leonhard Euler (matemático suizo)
 Este número se obtiene como límite de una sucesión.
an =
1 2
1
n

17. El número áureo
an +1
lím bn = lím = número aúreo
an 5
=
5 +1
= 1,618
2

18. Enlaces de ayuda
 http://www.wikimatematica.org/index.php?title=Suce
siones_Aritm%C3%A9ticas_y_Geom%C3%A9tricas
 http://www.vitutor.com/al/sucesiones/B_sucContenid
os.html
 http://www.vadenumeros.es/tercero/progresiones-
geometricas.htmhttp://www.alcaste.com/departament
os/matematicas/bachillerato/PrimeromateI/02_Sucesi
ones/Teoria.pdf
 http://www.ditutor.com/sucesiones/limites_sucesione
s.html