Unidad 1 lógica matemática

Unidad 1.- Lógica Matemática Jorgeduardo Espinoza
1
UNIDAD 1
LÓGICA MATEMÁTICA
“Las leyes que gobiernan al Universo se rigen por la lógica”
OBJETIVOS:
Al finalizar el capítulo el estudiante estará en capacidad de:
 Identificar que expresiones son proposiciones.
 Determinar el valor de verdad de una proposición.
 Diferenciar entre las proposiciones simples y las compuestas.
 Desarrollar las tablas de verdad para múltiples variables
 Resolver operaciones con las variables lógicas.
 Reconocer las diversas formas de expresiones lógicas.
 Identificar las variantes del condicional.
 Transformar del lenguaje gramatical al lenguaje formal.
 Determinar los valores de verdad que tiene cada variable proposicional dentro de una forma
proposicional con un valor de verdad determinado.
 Identificar si una forma proposicional corresponde a una Tautología, Contradicción o
Contingencia.
 Determinar la validez de un razonamiento.
 Encontrar una expresión que hace que un razonamiento sea válido.
 Aplicar las leyes del álgebra.
 Verificar si dos expresiones lógicas son equivalentes o no.

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PROPOSICIONES Y VALOR DE VERDAD
En una conversación muy común, un amigo le dice a
otro “Juan, préstame veinte dólares”, y Juan le dice:
“no tengo nada”. Una expresión como esta, nos indica
comúnmente, que carecemos de lo que se nos ha
solicitado, en el caso de Juan, quiere decir que no
cuenta con dinero alguno para poder prestarle a su
amigo.
En el lenguaje común, así entendemos éste corto
diálogo, pero hay otra perspectiva para visualizar esa
misma información, y es la siguiente: si Juan le dice a
su amigo, “no tengo nada”, lo que en realidad le está
diciendo es “si tengo todo”; pero, ¿cómo podemos
afirmar que la segunda interpretación expuesta está correcta? Una parte de las Matemáticas llamada
Lógica Matemática, nos ayudará a darle una explicación satisfactoria a expresiones como esta.
La Lógica Matemática, es una parte de las Matemáticas que nos enseñará, a través de simbologías y
leyes, procesos que nos llevarán a transformar e interpretar las expresiones del lenguaje común, a un
lenguaje formal (matemático), en donde todos podamos comprender las expresiones de tal manera que
no quede duda de la coherencia (lógica) de lo que expresamos.
VALOR DE VERDAD
El VALOR DE VERDAD es la calificación que le damos a una
expresión como cierta o verdadera (V), o como no cierta o falsa (F).
Al valor de verdad también lo solemos representar a través del
sistema binario (unos y ceros), y decimos que si una proposición es verdadera, le asignamos el número
uno (1), y si es falsa, le asignamos el número cero (0).
PROPOSICIONES
No todas las expresiones pueden ser calificadas como verdaderas o falsas, como por ejemplo la expresión
“la humedad de sus palabras es muy blanca”, es una expresión que propone un poeta en una de sus
obras, mas sin embargo, nosotros aunque nos parezca muy poético, no podría ser algo que podamos
calificar como verdadero o falso.
También las expresiones a futuro no son posibles de calificar como verdaderas o falsas; éstas son
imposibles de conocer en el presente, aunque por conocimientos previos supiéramos que su suceso es
una consecuencia lógica, como por ejemplo, decir que en invierno lloverá; a pesar de que sabemos que
todos los inviernos llueve, no podemos afirmar como un hecho de que en invierno va a llover, pues para
ser calificado como verdadero o falso, debemos poder comprobar su realidad, y algo a futuro es inferible,
pero no es comprobable.
“no
entiendo
nada”

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¿Cuáles son las expresiones que podemos calificar como verdaderas o falsas? Proporcione tres ejemplos
y califique cada una de ellas como verdaderas o falsas según corresponda.
¿Qué expresiones no son posibles de calificar como verdaderas o falsas? Proporcione un ejemplo de cada
una de esas expresiones.
PROPOSICIONES:
Fíjate en las siguientes expresiones:
a) El 27 no es un número impar
b) John F. Kennedy es un ex presidente de los Estados Unidos
c) 5 + 3 = 8
d) El número π es un número entero
e) 314159 es un número primo
f) María va al cine y Pedro estudia
g) Me gusta estudiar Matemáticas El sol es amarillo
h) La Luna está hecha de queso blanco
i) El año 2050 será próspero para América Latina.
j) Es más agradable el invierno que el verano
k) Un círculo es menor que un cuadrado
l) El sabor del color azul es dulce
m) x2
+ 2x + 1 = 0.
n) Disparen al ladrón.
o) La edad del Universo es de unos 15 millones de años.
p) Dibujo es más fácil que Matemáticas
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¿Qué característica diferencia al primer grupo de expresiones de las del segundo grupo?
Las expresiones del literal a) hasta el literal h) SON PROPOSICIONES, mientras que las expresiones
desde el literal i) hasta el literal p) NO SON PROPOSICIONES.
Llamamos proposiciones a aquellas expresiones que sí podemos determinar su valor de verdad, por
ejemplo cuando decimos “Andrés sacó 20 en el examen de Matemáticas de ayer”, esta expresión
corresponde a una proposición, pues podremos determinar si es verdadera o no, en cambio, cuando
decimos “el examen de Matemáticas estaba difícil”, no podemos determinar un valor de verdad para esta
expresión, pues lo que estamos expresando es una opinión, y como tal, no podemos decir que es
verdadera o falsa.
Entonces, no todas las expresiones son proposiciones, solo aquellas que pueden ser calificadas como
verdaderas o falsas, y que no pueda haber la dualidad al mismo tiempo, es decir, o solo es verdadera o
solo es falsa, pero no puede ser ambas al mismo tiempo.
Otras expresiones que no corresponden a proposiciones son las interrogaciones (preguntas), como por
ejemplo ¿te gustó el regalo?, ¿mañana lloverá?, no tienen un valor de verdad; tampoco son
proposiciones los imperativos (órdenes) por ejemplo ¡siéntate!, ¡sal del salón de clase!, no tienen un
valor de verdad; tampoco lo son las exclamaciones (¡qué bonito!), ni los saludos (buenos días), y varias
otras expresiones que no se puedan calificar como verdaderas o falsas.
PROPOSICIONES SIMPLES Y PROPOSICIONES COMPUESTAS.
Las expresiones “Juan estudia en la Universidad”, “Sofía entiende
Matemáticas”, “Barcelona no es el campeón”, son ejemplos de
proposiciones simples, mientras que expresiones tales como “ayer
fuimos al cine porque Cristian nos invitó”, “estudiamos todo el fin de
semana y el examen se nos hizo fácil”, “si se que 16 es un número
primo entonces las Matemáticas me gustan”, son ejemplos de
proposiciones compuestas.
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¿Qué es una proposición simple? De dos ejemplos de proposiciones simples.
¿Qué es una proposición compuesta? De dos ejemplos de proposiciones compuestas.
¿En qué se diferencia una proposición simple de una compuesta?
A las proposiciones, para poder ejercitarnos con mayor facilidad, las solemos representar con letra del
abecedario, por ejemplo la proposición “Hugo no trabaja”, podemos representarla con una letra, por
ejemplo la a, de esta manera:
a: Hugo no trabaja. Estudio Matemáticas o
mi mamá cocina sopa.
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ACTIVIDAD EN CLASE:
A) Determine si cada una de las siguientes expresiones corresponde o no a una proposición:
1.- Hoy es Domingo
2.- Vanessa es alta.
3.- Matemáticas es fácil
4.- Pi es un número par
5.- ¡Vete!
6.- El color del dolor es morado.
7.- Guayaquil es la ciudad más bella del mundo.
8.- Javier sacó 20 en Matemáticas.
9.- 2 + 2 = 5
10.- x2
+ 1 = 0
B) Determine el valor de verdad de cada una de las siguientes proposiciones:
1.- Ecuador tiene 23 provincias.
2.- El 10% de 1000 es 100.
3.- La Luna está hecha de queso manabita.
4.- Pi no es número primo.
5.- Los números 2, 3 y 6 son números amigos.
6,- Los ángulos internos de un triángulo suman 360º.
7.- Todo cuadrado es un cuadrilátero.
8.- El ángulo de 23º y el ángulo de 157º son complementarios.
9.- -0.25 < -0.5
10.- 23
– 53
= (2 – 5)3
.
C) Para cada una de las siguientes proposiciones, determine si es simple o compuesta:
1.- Es medio día o aún es la mañana.
2.- La bandera del Ecuador tiene 3 colores.
3.- Cuando el río suena, piedras trae.
4.- Solo si estudias sacas buenas notas.
5.- Todos los días estudio Matemáticas
6.- Si 5 es número irracional, 2 no es número primo.
7.- El mejor equipo del Ecuador es Liga de Quito o Emelec.
8.- Siempre saco más de 18 en mis exámenes porque estudio.
9.- Si 3 + 2 = 6, entonces 6 – 3 = 0
10.- Todo número multiplicado por 1 es igual a si mismo.
IMPORTANTE
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TAREA PARA LA CASA
MATERIA: MATEMÁTICAS PROFESOR:_____________________________________
CURSO: CUARTO PARALELO: ________
ESTUDIANTE:_____________________________________________________
TEMA: PROPOSICIONES.
A. Escribe en el paréntesis de la izquierda SI, si la expresión dada corresponde a una proposición, o
escribe NO, en caso de que no lo sea.
( SI ) Simón Bolívar descubrió América.
1. ( ) Todo triángulo tiene 3 lados.
2. ( ) La coordenada (0 , -2) se encuentra en el tercer cuadrante.
3. ( ) Repítelo diez veces para que no se te olvide.
4. ( ) ¡Hasta mañana!
5. ( ) ¿Quién dijo eso?
6. ( ) Luisa es muy alta
7. ( ) Luisa es la más alta del curso.
8. ( ) Matemáticas es fácil para mi
9. ( ) Cada día que pasa es como música dulce.
10. ( ) El mango es la mejor fruta.
B. Escribe en el paréntesis de la izquierda V, si la proposición dada es verdadera, o escribe F, en caso
de que sea falsa.
( F ) Simón Bolívar descubrió América.
1. ( ) El cuadrado de un número real siempre es positivo.
2. ( ) Todo número elevado a potencia impar conserva su signo.
3. ( ) La suma de los ángulos internos de cualquier cuadrilátero es 360º.
4. ( ) 10 es el 25% de 40.
5. ( ) 450 es el triplo de 100.
6. ( ) 82
+ 62
= 102
.
7. ( ) Los números enteros son un subconjunto de los números naturales.
8. ( ) La coordenada (-2 , -5) se encuentra en el IV cuadrante.
9. ( ) 150º es el complemento de 30º.
10. ( ) 90º es el suplemento de 110º.
“construir un mundo mejor está en ti……
……haz la diferencia”

8
C. Escribe en el paréntesis de la izquierda S, si la proposición dada es simple, o escribe C, en caso de
que sea compuesta:
( S ) Simón Bolívar descubrió América.
1. ( ) Si un número es par, entonces no es primo.
2. ( ) Estudiamos para sacar el 20.
3. ( ) Carla es la más alta de la clase y Angie es la más bajita.
4. ( ) Karina estudió solo si sacó más de 17.
5. ( ) Carlos y Francisca fueron al cine.
6. ( ) La última porción de pizza se la comió Cristina o Camila.
7. ( ) Ayer llovió en la tarde.
8. ( ) Estoy ocupado porque dejé todo para el último.
9. ( ) Todo múltiplo de tres es múltiplo de seis.
10. ( ) Ningún número par es primo.
REFUERZA TUS CONOCIMIENTOS:
TAREA ADICIONAL
Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones.
a:  
0
2 4 3 2 4 3 3 335 5 (3 1) 2 3 1 25 4 2 16 8 9 3 6 1                     
b:        
4 0 22 2 2 235 5 3
7 3 25 6 64 2 5 6 36 32 27 3 9             
      
c:      
2232 2 4 9 6 8 24 12 2 255 45 3 2 7 7 7 7 7 7 8 4 2 3 6 2 2 1
                             
d: 11]7)2[()3()9(12782 22433

e: 10227)3(91)3)(2()1(1 32333

f: 2)91()64(27)36)(25(10320( 35 5 
g: 24)83()3135(2)532()27(625)25()507(]11)4(3[ 435

h: 5811)1(648822)3)(1()]35()314[( 335

i: 364168813212125 5 33 3

j: 6256]271[1002 23
5
5




 

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VARIABLE PROPOSICIONAL
Cuando transformamos expresiones del lenguaje gramatical al lenguaje simbólico, expresamos
proposiciones por medio de letras del alfabeto castellano, así, ‘p’, puede representar a una proposición ya
sea atómica o simple, o molecular o compuesta. Esta ‘p’ se conoce como una variable proposicional.
FORMAS PROPOSICIONALES
Se llama forma proposicional a las expresiones que contienen variables proposicionales enlazadas con
conectores lógicos.
A continuación, ponemos un ejemplo de una forma proposicional:
(a  b)  c
TABLAS DE VERDAD.
Las tablas de verdad son, como su nombre lo indica, unas tablas donde escribimos todas las
combinaciones que se generan con las variables proposicionales que tenemos en nuestra expresión,
refiriéndonos a las combinaciones que se generan entre los diversos valores de verdad que pueda tener
las variables, es decir, entre verdaderos y falsos.
Para determinar la cantidad de combinaciones que se puede tener con diversas variables, se usa la
fórmula 2n
, donde n es el número de variables que tiene la forma proposicional, así, si la proposición
tiene una única variable, la cantidad de combinaciones en la tabla de verdad será 21
= 2, en caso de
tener 2 variables proposicionales, la cantidad de combinaciones será 22
= 4, si son 3 será 23
= 8, y así
sucesivamente.
CONSTRUCCIÓN DE TABLAS DE VERDAD
Como ya vimos, las tablas de verdad dependerán del número de variables proposicionales presentes en la
forma proposicional, para el caso de 2 variables a y b, se generará la siguiente tabla:
a b
Para llenarlas, un método de hacerlo, s escribir en orden alfabético las variables proposicionales, tal como
están en la tabla anterior, y luego, a la primera variable se la llena (en columna), con la mitad de
verdaderos (1), y la otra mitad de ceros, tendremos entonces la siguiente tabla:
a b
1
1
0
0

10
La siguiente variable, se llenará en función de la mitad de la variable anterior, así, para este caso, la
variable anterior (a), tenía dos verdaderos (1), por lo que la nueva variable (b), se llenará con un
verdadero (1) y con un falso (0) alternadamente:
a b
1 1
1 0
0 1
0 0
En caso de tener tres variables proposicionales, habrán 23
= 8 posibles combinaciones, y tal como vimos,
primero escribimos las variables en orden alfabético, luego comenzamos a llenar la tabla desde la
primera columna, llenando la mitad de los casilleros con verdadero y la otra mitad con falso:
Digamos ahora que nuestras variables son p, q y r, tendríamos la siguiente tabla:
Como vemos, hemos creado una tabla con 3 columnas y 8 filas que nos permitirán generar las 8
combinaciones posibles, y la variable más predominante (p), tiene sus valores de verdad alternados,
siempre empezando con el valor de verdad de verdadero.
El siguiente paso, será darle los valores de verdad a q, y para ello, sus valores de verdad cambiaran en
función de la mitad de los valores de p, como p va de 4 en 4, q irá de 2 en 2.
Finalmente tenemos que llenar los casilleros correspondientes a la columna de r, para ello, sus valores de
verdad alternarán en la mitad de los de la anterior (q), como q cambió de 2 en 2, r cambiará de uno en
uno.
p q r
1
1
1
1
0
0
0
0
p q r
1 1
1 1
1 0
1 0
0 1
0 1
0 0
0 0

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Este método para generar las combinaciones en la tabla de verdad, es muy útil y práctico, para llevar un
orden y evitar confusiones al momento de realizar la tabla.
En el caso de que una de las variables proposicionales sea negada, para llenar la tabla, lo único que
tenemos que cambiar e que en lugar de empezar con el valor de verdad de verdadero, empezaremos con
el valor de verdad de falso, por ejemplo, si tenemos que llenar la tabla siguiente:
Como ya vimos, empezaremos por la variable a, pero como está negada, no comenzaremos con
verdadero, sino con falso; como hay 3 variables, el número de combinaciones es 23
=8, esto quiere decir
que serán 4 falsas y 4 verdaderas.
p q r
1 1 1
1 1 0
1 0 1
1 0 0
0 1 1
0 1 0
0 0 1
0 0 0
a b c
a b c
0
0
0
0
1
1
1
1

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Ahora la variable “b”, se llenará normalmente, con 2 verdaderos y 2 falsos:
Finalmente llenamos la columna de la variable “c”, tomando en cuenta que, como está negada, debemos
empezar por llenar con el valor de falso, y alternándolo con verdadero:
Como vemos, este método puede ser muy útil para el desarrollo de la tabla, mas sin embargo, no es la
única manera de cómo generar las tablas de verdad para unas variables proposicionales.
IMPORTANTE
TAREA PARA LA CASA
ESTUDIANTE:_____________________________________________________
a b c
0 1
0 1
0 0
0 0
1 1
1 1
1 0
1 0
a b c
0 1 0
0 1 1
0 0 0
0 0 1
1 1 0
1 1 1
1 0 0
1 0 1
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OPERADORES LÓGICOS
Al estudiar las proposiciones, establecimos que éstas pueden ser
simples o compuestas. Las proposiciones compuestas pueden ser
separadas en proposiciones simples y unidas por medio de unos
nexos llamados OPERADORES LÓGICOS.
Los operadores lógicos son:
 Negación
 Conjunción
 Disyunción y disyunción exclusiva.
 Enunciación hipotética, condicional o implicación
 Bicondicional o doble implicación
NEGACIÓN
La negación es un operador lógico que cambia el valor de verdad
de una proposición, es decir, si el valor de verdad de la
proposición es verdadero, la negación de la proposición tendrá un
valor de verdad de falso, y viceversa, por ejemplo, la afirmación
‘Guayaquil es la capital política del Ecuador’, tiene un valor de
verdad de falso (0), y su negación, ‘Guayaquil no es la capital política del Ecuador’, por lo tanto, tiene un
valor de verdad de verdadero (1).
Los símbolos que suelen representar la negación son los siguientes: , ~ , y se leen ‘no’, o ‘no es verdad
que’.
Escribe tres proposiciones, niega cada una de ellas, y determina el valor de ellas antes y después de
negarlas:
Cuando queremos resolver ejercicios en los cuales se utilizan los operadores lógicos, utilizamos lo que se
llaman las TABLAS DE VERDAD, en las cuales representamos todas las combinaciones posibles entre las
proposiciones simples, y el resultado de operar con el o los conectores lógicos.
En el caso de la negación, la tabla de verdad es la siguiente:
a a
1(V) 0 (F)
0(F) 1(V)
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Diremos que la tabla de verdad será mínima, cuando tenga la menor cantidad de variables que se pueden
operar con un conector lógico.
El número de filas que se tendrán en cada tabla será igual al número de combinaciones posibles que se
puedan tener entre las proposiciones simples, y éste número está dado por lo fórmula 2n
, donde n es el
número de proposiciones simples. Así, en el caso de tener 1 proposición, como en el caso de la tabla
anterior, la cantidad de posibles combinaciones es 21
= 2.
CONJUNCIÓN
La conjunción es un operador lógico que enlaza dos proposiciones, en la
cual el valor de verdad de la nueva proposición será verdadero
únicamente si las dos proposiciones enlazadas son verdaderas, en
cualquier otra situación, su valor de verdad será falso. Se representa
con el símbolo  y se lee ‘y’, o ‘conjunción’, por ejemplo, ‘A Gabriela
no le gusta Matemáticas y por eso decidió no estudiar en FIMA’.
Escriba tres proposiciones compuestas conectadas a través de la conjunción:
Una manera fácil de comprender al operador de la conjunción, es compararlo con un circuito en serie de
tuberías, donde nuestro objetivo es que el agua circule desde un extremo a otro de la tubería.
Compararemos a las llaves “a” y “b”, con las proposiciones “a” y “b”, además, diremos que si la llave está
abierta, la proposición correspondiente es verdadera (V o 1).
Así veremos que, para que pueda pasar el agua de un extremo a otro de la tubería, ambas llaves deben
estar abiertas, o su equivalente lógico, “para que la conjunción de dos proposiciones sea
verdadera, ambas proposiciones deben ser verdaderas”.
Si una de las llaves está cerrada, el agua no pasará, o su equivalente lógico, “si al menos una de las
proposiciones es falsa, la conjunción será falsa”.
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Si generamos la tabla de verdad mínima (sólo para 2 variables) para la conjunción, sería la siguiente:
Note que en este caso, la tabla tiene un total de 4 combinaciones, y es debido a la presencia de 2
variables, recordando la fórmula 2n
, tendremos 22
= 4.
Determina el valor de verdad de cada una de las proposiciones compuestas de tu ejercicio anterior:
DISYUNCIÓN
La disyunción es una operación que igual
que la conjunción, se realiza entre 2
proposiciones, con la diferencia, que el
valor de verdad de la disyunción nos da
verdadero si es que al menos una de las
dos proposiciones es verdadera, y en el
caso de las dos proposiciones ser falsas,
el valor de verdad de la disyunción será
falso. Se la representa con el símbolo  y se lee ‘o’.
Escriba tres proposiciones compuestas conectadas a través de la disyunción:
a b a  b
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 0
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……………………………………………………………………………………….………..
…………………………………………………………………………………………….…..
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“Vas con Diego
o con Manny”
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16
Una manera fácil de comprender al operador de la disyunción, es compararlo con un circuito en paralelo
de tuberías, donde nuestro objetivo es que el agua circule desde un extremo a otro de la tubería.
Compararemos a las llaves “a” y “b”, con las proposiciones “a” y “b”, además, diremos que si la llave está
abierta, la proposición correspondiente es verdadera (V o 1).
Así veremos que, para que pueda pasar el agua de un extremo a otro de la tubería, es suficiente con que
al menos una de las llaves esté abierta, o su equivalente lógico, “para que la disyunción de dos
proposiciones sea verdadera, basta con que una de sus proposiciones sea verdadera”.
Si las dos llaves están cerradas, el agua no pasará, o su equivalente lógico, “si las dos proposiciones
son falsas, la disyunción será falsa”.
Si generamos la tabla de verdad mínima (sólo para 2 variables) para la disyunción, sería la siguiente:
Note que para la disyunción, la tabla de verdad mínima tiene un total de 4 combinaciones, y es debido a
la presencia de sólo 2 variables, recordando la fórmula 2n
, tendremos 22
= 4.
DISYUNCIÓN EXCLUSIVA.
La disyunción exclusiva es un operador lógico que opera muy similar a la disyunción, pero tiene la
diferencia que para que el resultado de la operación sea verdadero, solo una de las dos variables debe
serlo, es decir, excluye el caso de que ambos sean verdaderos al mismo tiempo para que el resultado sea
verdadero, o sea “la Disyunción exclusiva da verdadero solo cuando uno de los dos es
verdadero”, por lo tanto, para que sea verdadera la disyunción exclusiva, debe ser verdadera o bien la
una proposición o bien la otra, pero no ambas. Se la representa con el símbolo V y se lee ‘exclusivo o’.
Si generamos la tabla de verdad mínima (sólo para 2 variables) para la disyunción, sería la siguiente:
a b a  b
1 1 1
1 0 1
0 1 1
0 0 0
a b a V b
1 1 0
1 0 1
0 1 1
0 0 0

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RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS CON TABLAS DE VERDAD.
Cuando tenemos que desarrollar ejercicios en Lógica Matemática, un proceso my útil es hacerlo por
medio de las tablas de verdad, para esto, representamos cada proposición con una letra, y luego
transformamos la expresión del lenguaje común al lenguaje formal, ejemplo:
“Esta clase la entiendo muy bien o las Matemáticas son fáciles para mi”.
Tomaremos las siguientes variables proposicionales:
a: esta clase la entiendo muy bien.
b: las Matemáticas son fáciles para mi.
Si transformamos esta expresión al lenguaje formal, tendríamos: (a  b), y de
allí podemos generar la tabla de verdad de la disyunción que ya conocemos.
Si las proposiciones se encuentran en lenguaje formal, solamente tenemos que analizar las diversas
combinaciones que se generen en las tablas de verdad, ejemplo:
Determinar la tabla de la forma proposicional (a  b).
Primero generamos la tabla de la conjunción, y siguiendo el mismo orden de las operaciones
convencionales (donde primero se resuelve lo que está dentro de los paréntesis y luego lo externo),
resolveremos luego la negación, obteniendo:
Recordemos que la negación lo que hace es cambiar el valor de verdad de una proposición, en el caso de
la última columna de la tabla anterior, al negar la conjunción, negamos cada uno de los valores de
verdad obtenidos al aplicar este operador, haciendo que el primer resultado (el de la primera fila)
cambien de verdadero a falso (de 1 a 0) y los demás cambien de falso a verdadero (de 0 a 1).
ANÁLISIS PARA MÁS DE DOS VARIABLES.
Para resolver las tablas de verdad con más de dos variable, debemos primero determinar cuántas
combinaciones vamos a tener, para eso recordemos que el número de combinaciones está dado por la
fórmula 2n
, donde n es el número de proposiciones. Ejemplo: Determinar la tabla de verdad de la
siguiente forma proposicional: (a  b  c).
Primero determinemos el número de combinaciones, como tenemos tres variables proposicionales, el
número de combinaciones será 23
= 8 combinaciones.
Para elaborar la tabla, primero escribimos las variables en orden alfabético, y como son 8 combinaciones
en este caso, a la primara variable (“a” en este caso), le pondremos las 4 (mitad de 8) primeras filas con
verdadero y las siguientes 4 con falso. Para la segunda variable (“b” en este
caso), le pondremos las 2 (mitad de 4) primeras filas con verdadero, y las
vamos alternando con las falsos y verdaderos de 2 en 2. Por último, para la
tercera variable (“c” en este caso), le pondremos la primera fila con verdadero
y alternaremos las demás con falsos y verdaderos de 1 en uno, hasta terminar
la tabla.
a b a  b ( a  b)
1 1 1 0
1 0 0 1
0 1 0 1
0 0 0 1
Matemáticas es
fácil para mí
¡qué fácil hacer
una tabla!

18
La tabla generada será la siguiente:
Dado que se trata de una disyunción de tres variables, podemos realizar una sola operación, recordando
que, para que la disyunción sea verdadera, basta que una de las proposiciones sea verdadera, así n
nuestra tabla, como¡ podemos ver, solo la última fila no contiene ningún verdadero, es decir en la última
fila las tres proposiciones son falsas, entonces allí la disyunción será falsa, recordando el ejemplo de las
llaves, si las tres llaves están cerradas, el agua no pasará.
La tabla desarrollada será:
De la misma manera como hemos generado la tabla para este ejercicio, podemos desarrollar la tabla
para cualquier otra expresión con variables lógicas, veamos otro ejemplo: desarrollar la tabla de verdad
de la siguiente expresión: (a  b)  (b  c).
También tenemos 3 variables, la tabla tendrá entonces 8 combinaciones, podemos entonces generar la
siguiente tabla:
Usando este método, la respuesta final siempre estará mostrada en la última columna.
a b c
1 1 1
1 1 0
1 0 1
1 0 0
0 1 1
0 1 0
0 0 1
0 0 0
a b c ( a  b  c)
1 1 1 1
1 1 0 1
1 0 1 1
1 0 0 1
0 1 1 1
0 1 0 1
0 0 1 1
0 0 0 0
a b c a a  b b b  c (b  c) (a  b)  (b  c)
1 1 1 0 0 0 1 0 0
1 1 0 0 0 0 0 1 1
1 0 1 0 0 1 1 0 0
1 0 0 0 0 1 1 0 0
0 1 1 1 1 0 1 0 1
0 1 0 1 1 0 0 1 1
0 0 1 1 0 1 1 0 0
0 0 0 1 0 1 1 0 0

19
ACTIVIDAD EN CLASE:
A) Determine el número de combinaciones que tendrán cada una de las siguientes formas
proposicionales:
1.- (a  b) 2.- (a  b) 3.- (a  b  c) 4.- a  (b v c)
5.- (c  a)  (c v b) 6.- (a v b)  (c  d) 7.- (a  c) v (b  d)
B) Llene la tabla para las proposiciones dadas:
C) Desarrolla las tablas de verdad de cada una de las siguientes formas proposicionales e indica cuántas
veces se obtiene verdadero (1) en el resultado final de la tabla:

20
3.- (a  b  c)
a b c a  b  c
4.- a  (b v c)
a b C a c (b  c) a  (b  c)
5.- (a  c)  (b v d)
a b c d c a  c (a  c) b b v d (b v d) (a  c)  (b v d)
IMPORTANTE
………………………………………………………………………………….……………..
……………………………………………………………………………………….………..
…………………………………………………………………………………………….…..
………………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………….

21
TAREA PARA LA CASA
ESTUDIANTE:_____________________________________________________
TEMA: OPERADORES LÓGICOS: CONJUNCIÓN Y DISYUNCIÓN.
A. Escribe en el paréntesis de la izquierda el número de combinaciones que tendrá la tabla de las
siguientes formas proposicionales:
( 4 ) (a  b).
1. ( ) (a v b)
2. ( ) (b  c)  (a v c)
3. ( ) [(a  b)  (c v d)]
4. ( ) [(a v d)  (c  b)]  a
5. ( ) (a  b  c)  (d v e)
B. Para cada ejercicio dado, desarrolla su tabla de verdad y escribe en el paréntesis de la izquierda el
número de veces que se obtiene verdadero en la respuesta final de dicha tabla:
( 1 ) (a  b).
1. ( ) (a  b)
2. ( ) a  (b v a)
3. ( ) (a v b)  (b  b)
4. ( ) (a  a) v (b  a)
5. ( ) (a  b)  c
6. ( ) b  (a v c)
7. ( ) (b v c)  (a  b)
8. ( ) (b  c)  (a v c)
9. ( ) [(a v b)  (c  a)]
10. ( ) [(a  d)  (c  b)] v a
C. Se dice que dos formas proposicionales son equivalentes cuando sus tablas de verdad son iguales,
escribe SI en el paréntesis de la izquierda si las formas proposicionales son equivalentes, y escribe NO
en caso de que no lo sean:
( SI ) (a  b) ; (b  a)
1. ( ) (a  b); (a  b)
2. ( ) (a v b); (a  b)
3. ( ) (a  b); (a  b)
4. ( ) (a  b), (b  a)
5. ( ) a  (b  c); (a  b)  (a  c)

22
TAREA ADICIONAL
A.- En cada una de las siguientes variables proposicionales dadas, determine su valor de verdad:
a: La factorización de (6x2
+ x – 12) es (2x + 3)(3x – 4).
b: La factorización de (x2
– 169) no es (x + 13)(x – 13).
c: El desarrollo de (2x – 1)2
es (4x2
– 4x + 1).
d: El desarrollo de (x – 2)3
no es (x3
– 6x2
+ 12x – 8).
e: En un triángulo rectángulo, la hipotenusa es igual a la suma de sus catetos.
f: El producto de (2x – 3)(2x + 3) es (4x2
– 9).
g:El desarrollo de (3x + 2)2
es 9x2
+ 4.
h:El valor de x = 2 es solución de la ecuación 2x – 3 = x – 1.
i: El producto de (x – 1)(x + 3) es x2
+ 2x – 3.
j: La coordenada (-1 , 5) se encuentra en el segundo cuadrante.
k: Los ángulos que miden menos de 90º se llaman complementarios.
l: Los ángulos que miden 180º se llaman llanos.
m: Las medidas de los lados de un triángulo escaleno son diferentes.
n: El área de un cuadrado es igual al producto de sus diagonales dividido para dos.
ñ: El área del círculo es 2r, donde r es el radio.
o: El ángulo de una vuelta total es 400º
p: El pentágono tiene 5 lados.
q: Todos los pentágonos tienen 5 lados iguales.
r: El perímetro de un polígono es la suma de sus lados dividido para dos.
s: Los ángulos positivos se miden a favor de las manecillas del reloj.
B.- Usando las proposiciones del ejercicio anterior, determine el valor de verdad de cada una de las
1. ( ) (a  b)
2. ( ) c  (f v ñ)
3. ( ) (r v a)  (q  n)
4. ( ) (p  o)  (k  m)
5. ( ) (g  b)  d
6. ( ) l  (h  k)
7. ( ) (s v a)  (i  p)
8. ( ) (n  e)  (f  ñ)
9. ( ) [(q  b)  (n v ñ)]
10. ( ) [(k  s) v (d  p)]  o

23
LA ENUNCIACIÓN HIPOTÉTICA, CONDICIONAL O IMPLICACIÓN.
Es una operación entre dos proposiciones, en las que una
proposición llamada antecedente, establece una condición
para la ocurrencia de otra proposición llamada
consecuente, en la cual el valor de verdad del condicional
será falso sólo cuando el antecedente sea verdadero y el
consecuente sea falso, en todas las demás combinaciones,
el condicional o implicación será verdadero. Se lo
representa con el símbolo  y se lee ‘implica’ o
‘entonces’.
Para el caso ba  , la proposición ‘a’ es el antecedente, y la proposición ‘b’ es el consecuente.
Ejemplo, ‘si ya hiciste todas tus tareas, entonces puedes descansar’
Un ejemplo que nos puede ayudar a comprender como opera el condicional es el siguiente:
Digamos que su papá le ofrece comprarle el carro que usted desea, con la “condición” (de aquí el nombre
de condicional) de que usted pasa de año con un promedio superior a 18. Para expresarlo en un lenguaje
un poco más formal, veamos cómo sería la forma proposicional: “si pasas de año con un promedio
superior a 18, entonces te compro el carro que quieres”.
Definamos las variables proposicionales:
a: pasas de año con un promedio superior a 18.
b: te compro el carro que quieres.
Traducido al lenguaje simbólico será: a  b (se lee “si a entonces b” o “a implica a b”).
Hagamos el análisis, partiendo de que el antecedente (a: pasas de año con un promedio superior a 18)
es verdadero, es decir usted “cumple” su parte del trato; si el consecuente es verdadero [(1  1)  1], y
todos estaríamos de acuerdo, por decirlo de alguna manera; pero si el consecuente sea falso, dado que el
antecedente es verdadero, es decir, que si usted pasa con promedio mayor a 18 y su papá no le regala el
carro, entonces habría un malestar, porque no se cumpliría el trato, diríamos entonces que la implicación
no estaría correcta, o sería falsa [(1  0)  0].
Ahora analicemos el caso de que el antecedente sea falso, es decir, usted no pasa con promedio mayor a
18. Si el consecuente es verdadero, es decir, su papá le regala el carro, no se estaría incumpliendo nada,
porque lo que decía el trato es que si usted pasa con buen promedio le regalan el carro, pero nada sobre
si no pasa con buen promedio, en todo caso, usted quedaría muy agradecido, y la implicación se
cumpliría [(0  1)  1]; y por último, si el consecuente fuera falso, es decir usted no pasa con promedio
superior a 18, y su papá no le regala el carro, el trato tampoco se estaría incumpliendo, la implicación
sería válida [(0  0)  1].
La tabla de verdad mínima (para solo 2 variables) para la implicación es la siguiente:
a b a  b
1 1 1
1 0 0
0 1 1
0 0 1

24
BICONDICIONAL O DOBLE IMPLICACIÓN.
Como su nombre lo indica, este operador, es un doble condicional, es decir establece la condición en
ambos sentidos, también opera entre 2 proposiciones y su símbolo es , y se lee ‘sí y sólo sí’.
Como hemos dicho, el bi-condicional debe funcionar como condicional en ambas direcciones, podemos
determinar su tabla separando al bi-condicional, como dos condicionales, y diremos:
(a  b)  [(a  b)  (b  a)]
Su tabla de verdad será entonces la siguiente:
Ejercicio 1:
Determine la tabla de la siguiente forma proposicional: (a  b)  (b  a).
Como tenemos dos variables, tendremos entonces 4 combinaciones:
a b a  b b b  a (a  b)  (b  a)
1 1 1 0 0 0
1 0 0 1 1 0
0 1 1 0 0 0
0 0 1 1 1 1
Otra forma útil de cómo podemos plantear y resolver la tabla, es la de primero ir escribiendo los valores
de verdad de cada una de la variables, así, para la forma proposicional anterior, tendríamos:
(a  b)  (b  a)
1 1 0 1
1 0 1 1
0 1 0 0
0 0 1 0
Luego los resultados de cada operación bajo el mismo operador, realizando primero las operaciones entre
los paréntesis:
(a  b)  (b  a)
1 1 1 0 0 1
1 0 0 1 1 1
0 1 1 0 1 0
0 1 0 1 0 0
Finalmente realizaremos la última operación, que es la conjunción:
(a  b)  (b  a)
1 1 1 0 0 0 1
1 0 0 0 1 1 1
0 1 1 1 0 1 0
0 1 0 0 1 0 0
a b a  b
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1

25
El desarrollo de esta tabla nos puede ayudar para reducir espacio, puesto que cuando las formas
proposicionales son mucho más extensas, aumentar columnas a la tabla para realizar una nueva
operación, nos puede demandar mucho espacio que de pronto no lo podamos tener en nuestro cuaderno,
pero queda a consideración suya utilizar el proceso que le sea más fácil.
Ejercicio 2:
Determine la tabla de verdad de la forma proposicional: [(a  b)  (c  b)]  (a  c)
Si desarrollamos la tabla por el primer método, la tabla a generar sería:
a b c a a  b (a  b) b c  b (a  b)  (c  b) a  c [(a  b)  (c  b)]  (a  c)
1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1
1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0
1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1
1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1
0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1
0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0
0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1
0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0
“Casi se nos acaba el ancho de página”, por el segundo método tendríamos:
[ (a  b)  (c  b)]  (a  c)
0 1 1 0 1 1
0 1 0 0 1 0
0 0 1 1 1 1
0 0 0 1 1 0
1 1 1 0 0 1
1 1 0 0 0 0
1 0 1 1 0 1
1 0 0 1 0 0
Luego resolvemos los operadores dentro de los paréntesis, y de una vez podríamos realizar la negación
del primer par de paréntesis:
[ (a  b)  (c  b)]  (a  c)
1 0 0 1 1 1 0 1 1 1
1 0 0 1 0 0 0 1 1 0
1 0 0 0 1 1 1 1 1 1
1 0 0 0 0 1 1 1 1 0
0 1 1 1 1 1 0 0 1 1
0 1 1 1 0 0 0 0 0 0
1 1 0 0 1 1 1 0 1 1
1 1 0 0 0 1 1 0 0 0

26
Ahora debemos desarrollar la implicación, el condicional dentro de los corchetes:
[ (a  b)  (c  b)]  (a  c)
1 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1
1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0
1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1
1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0
0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1
0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0
1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 1
1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0
Por último realizamos la doble implicación:
[ (a  b)  (c  b)]  (a  c)
1 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1
1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0
1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1
1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0
0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1
0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0
1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1
1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0
Por supuesto, para efectos didácticos hemos generado un total de 5 tablas para explicar el segundo
método, pero usted en su cuaderno lo hará en una sola tabla, lo único que tendría que hacer es fijarse
muy bien en las columnas que debe utilizar para desarrollar las operaciones.
ACTIVIDAD EN CLASE:
A) Desarrolle la tabla de verdad para cada una de las siguientes formas proposicionales:
1.- (a  b) 2.- (a  b)
3.- (a  b)  (b  a) 4.- (a  b)
5.- (b  a) 6.- (a  b)  (b  a)
7.- (a  c)  (b  a) 8.- (c  b)  (a  b)
9.- [(b  c)  (b  a)]  (a  c) 10.- [(a  b)  (c  a)]  [(b  c)  (a  b)]

27
TAREA PARA LA CASA
ESTUDIANTE:_____________________________________________________
TEMA: OPERADORES LÓGICOS: CONDICIONAL Y BICONDICIONAL.
A. Para cada ejercicio dado, desarrolla su tabla de verdad y escribe en el paréntesis de la izquierda el
número de veces que se obtiene verdadero en la respuesta final de dicha tabla:
( 3 ) (a  b).
1. ( ) (a  b)
2. ( ) a  (b  a)
3. ( ) (a  b) (b  b)
4. ( ) (a  a)  (b  a)
5. ( ) (a  b)  c
6. ( ) b  (a  c)
7. ( ) (b  c)  (a  b)
8. ( ) (b  c)  (a  c)
9. ( ) [(a  b)  (c  a)]
10. ( ) [(a  d) (c  b)]  a
B. Se dice que dos formas proposicionales son equivalentes cuando sus tablas de verdad son iguales,
escribe SI en el paréntesis de la izquierda si las formas proposicionales son equivalentes, y escribe NO
en caso de que no lo sean:
( NO ) (a  b) ; (b  a)
1. ( ) (a  b) ; (a  b)
2. ( ) (a v b) ; (a  b)
3. ( ) (a  b) ; [(a  b)  (a  b)]
4. ( ) [(a  b)  c] ; [(c  b)  a]
5. ( ) [(a  c)  (b  d)] ; [(b  a)  (d  c)]

28
TAREA ADICIONAL
A.- En cada una de las siguientes variables proposicionales dadas, determine su valor de verdad:
a: pi es un número natural.
b: El hexágono tiene 9 diagonales.
c: Todo cuadrilátero con sus 4 lados iguales es un cuadrado.
d: El coseno de un ángulo es cateto opuesto sobre hipotenusa.
e: El conjunto vacío no tiene elementos.
f: El desarrollo de (2x – 5)2
es 4x2
– 25.
g: El par ordenado (0 , 0) se encuentra en el origen de coordenadas.
h: El volumen de un cubo es arista al cubo.
i: El área total del cubo es 6a2
, donde a es la arista del cubo.
j: Los tres símbolos patrios son Bandera, Escudo e Himno Nacional.
k: El promedio entre 19 y 15 es 17.
l: El 14% de 50 es 28.
m: El triplo de 32 es 66.
n: La raíz cúbica de 343 es 9.
ñ: El cubo de 6 es 216.
o: La raíz cuadrada de 36 es 18.
p: 6 al cuadrado es 12.
q: 4572 no es divisible para 3.
r: Todos los divisores de 24 son pares.
s: 246 es divisible para 6.
B.- Usando las proposiciones del ejercicio anterior, determine el valor de verdad de cada una de las
1. ( ) (a  b)
2. ( ) c v (f  ñ)
3. ( ) (r  a)  (q  n)
4. ( ) (p  o)  (k  m)
5. ( ) (g v b)  d
6. ( ) l  (h  k)
7. ( ) (s  a)  (i  p)
8. ( ) (n  e)  (f  ñ)
9. ( ) [(q  b)  (n  ñ)]
10. ( ) [(k  s)  (d  p)]  o

29
TRANSFORMACIÓN DEL LENGUAJE GRAMATICAL AL SIMBÓLICO.
Estamos acostumbrados a guiarnos y comprendernos por medio del
lenguaje gramatical, mas sin embargo, como veremos más adelante,
analizar una expresión muy larga gramaticalmente, puede ser una tarea
complicada, para esto, representaremos cada proposición simple por
medio de letras del alfabeto castellano, con el objetivo de simplificar tanto
su escritura como su análisis.
Por ejemplo si tenemos la expresión: ‘Si Doménica saca la mejor nota en Matemáticas, entonces
Fernanda no estudió para el examen’, analizar los posibles resultados de esta proposición, sería muy
complicado para llenar una tabla con cada uno de dichas proposiciones en forma gramatical; veamos
cómo sería.
Doménica saca la mejor nota
en Matemáticas
Fernanda no estudió para el
examen
Si Doménica saca la mejor
nota en matemáticas, entonces
Fernanda no estudió para el
examen.
1 1 1
1 0 0
0 1 1
0 0 1
En este caso se genera una enorme tabla para poder analizar los posibles resultados de las
combinaciones de las proposiciones simples. Para simplificar estas expresiones, podemos representar
esta expresión de la siguiente forma:
a: Doménica saca la mejor nota en Matemáticas
b: Fernanda estudió para el examen
Note que la forma correcta de representar una proposición es con la letra minúscula seguida de los dos
puntos (:), y luego la proposición gramatical, además se ha usado como proposición simple o atómica
Fernanda estudió para el examen, y no su negación Fernanda no estudió para el examen, aunque el
resultado lógico es exactamente el mismo sea cual sea se haya utilizado.
En donde la tabla de verdad generada quedaría
a b a  b
1 0 0
1 1 1
0 0 1
0 1 1

30
Note que en la tabla, se utiliza la proposición ‘ b’ en lugar de ‘b’, y el valor de verdad de su columna
cambia de a debido a la presencia de la negación.
Cuando utilizamos letras para representar a las proposiciones, decimos que transformamos del lenguaje
gramatical al lenguaje simbólico.
También podemos realizar la transformación inversa, es decir del lenguaje simbólico al lenguaje
gramatical, como por ejemplo: Dado a: Julio es el mes de Guayaquil, b: Hoy es Martes, expresar en
lenguaje gramatical cada una de las siguientes expresiones:
a) ba  b)  ab  c)  abb 
a) Julio es el mes de Guayaquil y hoy no es martes.
b) No es verdad que, si hoy es martes, entonces Julio es el mes de Guayaquil.
c) Hoy no es martes sí y sólo sí hoy es martes o Julio es el mes de Guayaquil.
ACTIVIDAD EN CLASE:
A) Transforma las siguientes proposiciones al lenguaje simbólico, siendo:
a: Gaby estudia Matemáticas
b: Ricardo es campeón de Ajedrez
1.- Ricardo no es campeón de Ajedrez o Gaby no estudia Matemáticas
2.- Gaby estudia Matemáticas, pero Ricardo no es campeón de Ajedrez
3.- Si Gaby estudia Matemáticas, Ricardo es campeón de Ajedrez
B) Usando las proposiciones a y b del ejercicio anterior, traduce al lenguaje normal lo siguiente:
1.- ~a ∧ ~b
2.- ~(a  b)
3.- ~a → b
4.- b →(~a b)
5.- (~b → a ) ∧ (a ~b)
IMPORTANTE
TAREA PARA LA CASA
………………………………………………………………………………….……………..
……………………………………………………………………………………….………..
…………………………………………………………………………………………….…..
………………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………….

31
TAREA PARA LA CASA
ESTUDIANTE:_____________________________________________________
TEMA: TRANSFORMACIÓN DEL LENGUAJE GRAMATICAL AL SIMBÓLICO.
A. Sean las variable proposicionales: p: Juan no va al cine; q: Pedro pide pizza, escriba en el paréntesis
de la izquierda la letra que corresponda a traducción al lenguaje formal de las siguientes expresiones:
Si Juan no va al cine entonces Pedro pide pizza.
( a ) a. p → q b. p → q c. q → p d. q → p
1.- Si Juan va al cine, Pedro no pide pizza.
( ) a. p → q b. p → q c. q → p d. q → p
2.- No es verdad que, Juan va al cine si Pedro pide pizza,
( ) a. p → q b. p → q c. (q → p) d. (q → p)
3.- Juan no va al cine si Pedro pide pizza.
( ) a. p → q b. p → q c. q → p d. q → p
4.- Pedro no pide pizza si Juan va al cine.
( ) a. p → q b. p → q c. q → p d. q → p
B. Dada las variables proposicionales: p: yo saqué buenas notas; q: yo estudié, traduzca las
siguientes expresiones al lenguaje gramatical:
q  p
Si estudié entonces saqué buenas notas.
1.- (p  q)
2.- (p → q)  p

32
3.- q  (p  q)
4.- (p  q) (p  q)
C. Sean las variable proposicionales: p: Stephanie sacó buena nota, q: Cindy no sabía el primer
tema, r: Nathalie respondió bien la pregunta, escriba en el paréntesis de la izquierda la letra que
corresponda a traducción al lenguaje formal de las siguientes expresiones:
Si Stephanie sacó buena nota, entonces Cindy no sabía el primer tema y Nathalie
respondió bien la pregunta.
( a ) a. p → (q  r) b. p → (q  r) c. (q  r) → p d. (q  r) → p
1.- Si Cindy no sabía el primer tema, entonces Stephanie no sacó buena nota o Nathalie no respondió
bien a la pregunta.
( ) a. q → (p  r) b. (q  p)  r c. q  (p  r) d. (q → p)  r
2.- Nathalie no respondió bien la pregunta o, Stephanie no sacó buena nota si Cindy no sabía el primer
tema.
3.- Nathalie no respondió bien a la pregunta o Stephanie no sacó buena nota si Cindy sabía el primer
tema.
4.- Stephanie no sacó buena nota si Cindy sabía el primer tema, o Nathalie respondió bien a la
pregunta.
5.- Cindy sabía el primer tema o Nathalie no respondió bien la pregunta, solo si Stephanie sacó buena
nota..
( ) a. p → (q  r) b. (q  r)  p c. q  (r  p) d. (q → p)  r
6.- Si Nathalie no respondió bien a la pregunta entonces Stephanie sacó buena nota, o Cindy sabía el
primer tema.
( ) a. p → (q  r) b. (q  r)  p c. q  (r  p) d. (q → p)  r

33
VARIANTES DEL CONDICIONAL.
Dentro de la Lógica Matemática, el condicional es el operador más
representativo, pues la Lógica tiene que ver mucho con análisis, y este
operador da la pauta para analizar causa – efecto, pues con este conector,
una proposición es el antecedente (causa) y la otra el consecuente
(efecto).
Por eso es relevante darle una especial importancia al estudio de este
operador, y saber reconocer correctamente que proposición es el
antecedente y cuál es el consecuente.
Existen diversas formas de expresar el condicional, pero todas ellas nos indican el modo causa – efecto,
veamos algunas de las más comunes, y para ello usemos la siguiente forma proposicional:
“si estudias pasarás con éxito”
Para ello definamos las variables proposicionales: a: tú estudias, b: tú pasas con éxito; entonces la
traducción al lenguaje formal de la expresión “si estudias pasarás con éxito” sería: a  b, donde la
variable proposicional “a”, es el antecedente y la variable proposicional “b” es el consecuente.
Transformemos la expresión de la siguiente manera: “pasas con éxito si estudias”, nuevamente
“estudias” es la causa, y el efecto es “pasas con éxito”; así, podemos ver que existe más de una forma
en las que se puede expresar el condicional.
La siguiente tabla nos muestra algunas de las principales maneras de cómo se puede interpretar el
condicional, y reconocer cuál es la causa o antecedente y cuál es el efecto o consecuente:
En todas las formas dadas en la tabla anterior, la variable ‘a’ siempre representa al antecedente,
mientras que la variable ‘b’, representa al consecuente. La proposición antecedente precede siempre al
conector de la implicación, mientras que el consecuente siempre va luego de dicho símbolo.
Recuerda que la expresión a  b simplemente expresa que a es el antecedente y que b es el
consecuente, si la expresión fuera b  a, entonces, a sería el consecuente y b el antecedente.
VARIACIONES DEL CONDICIONAL
Formas en que podemos encontrar el condicional a  b: (recordar que a es
el antecedente y b es el consecuente).
Si a entonces b. b cada vez que a.
b si a. a es suficiente para que b.
a solo si b. b es necesario para que a.
b para que a. b puesto que a.
b cuando a. b ya que a.
b porque a. b dado que a.
a solamente si b. a implica a b.
“Me siento mejor
cada vez que como
una cangre-burguer”

34
CONDICIÓN NECESARIA Y SUFICIENTE.
En la tabla vemos que tenemos las siguientes formas: “a es suficiente
para que b”, también tenemos “b es necesario para que a”, a estas
formas las llamamos condición necesaria y suficiente.
La expresión “a es suficiente para que b”, nos indica que el
antecedente es suficiente para que ocurra el consecuente, y la
expresión “b es necesario para que a”, nos indica que el consecuente
es condición necesaria para que se haya dada el antecedente.
Veamos con un ejemplo como podemos verificar esto de que el antecedente es condición suficiente y de
que el consecuente es condición necesaria, usemos la siguiente forma condicional:
“si un número es divisible para 6, entonces es par”.
Sabemos en realidad, que para que un número sea divisible para 6, el número debe ser par, puesto que
los múltiplos de 6 lo son de 3 y de 2, así que si un número es múltiplo de 6, con eso, es “suficiente”
para decir que si un número es par, de aquí que el antecedente es condición suficiente, pero no es
necesario que sea múltiplo de 6 para que sea par, por ejemplo, el 4 es par, pero no ha sido necesario que
sea múltiplo de 6, de aquí entonces que el antecedente no es condición necesaria para el consecuente.
Ahora bien, es necesario que un número sea par para que sea múltiplo de 6, no hay ningún número que
sea múltiplo de 6 y que no sea par, con lo que concluimos que el consecuente es necesario, pero no es
suficiente con que sea par para que sea múltiplo de 6, por lo tanto, el consecuente no es suficiente.
EXPRESIONES RELACIONADAS CON LA CONDICIONAL
Dada una expresión condicional, a partir de ella se pueden generar otras expresiones, también
condicionales, que se conocen como la RECÍPROCA, INVERSA, y la CONTRARECÍPROCA.
LA RECÍPROCA.
La Recíproca de la condicional, es, como su nombre lo indica, un efecto de reciprocidad entre las
proposiciones relacionadas, donde simbólicamente, si la original es p  q, entonces la recíproca será:
q  p.
LA INVERSA.
La inversa, cambia el valor de verdad tanto del antecedente como del consecuente para realizar la
implicación, simbólicamente, si la original es p  q, entonces la inversa sería:
p  q
LA CONTRA-RECÍPROCA.
La contrarecíproca, cambia el valor de verdad del antecedente y del consecuente de la recíproca,
simbólicamente, si la original es p  q, entonces la contra-recíproca es:
q  p
“es necesario
estudiar para
aprender”

35
ACTIVIDAD EN CLASE:
1) Dadas las variables proposicionales: p: Amira juega; q: Ricardo duerme; r: Jorge come; s: Gabriela
escucha música
Traduzca las siguientes expresiones del lenguaje gramatical al lenguaje formal:
a) Cuando Jorge come, Amira juega.
b) Gabriela no escucha música cada vez que Ricardo duerme.
c) Gabriela escucha música solo si Amira juega.
d) Ni Ricardo duerme ni Jorge come.
e) No es verdad que, si Amira juega Jorge no come.
f) Que Gabriela escuche música es suficiente para que Ricardo duerma.
g) Es necesario que Jorge coma para que Gabriela escuche música.
h) Amira juega y Ricardo duerme cuando Jorge come.
i) Cada vez que Gabriela escucha música, o Ricardo duerme o Amira no juega.
j) Cada vez que Gabriela escucha música o Ricardo duerme, Amira no juega.
k) Jorge no come o Ricardo no duerme, si Amira no juega.
2) Determine el antecedente y el consecuente, así como la recíproca, inversa y contra-recíproca,
expresándolo en la forma “si a entonces b”, de los literales a, b, c, f y g del ejercicio anterior.
3) La recíproca de una forma proposicional p, es “no juego fútbol porque no tengo equipo”. Determine el
antecedente y el consecuente de esa recíproca, y determine con ellos, la original o directa, la inversa y la
contra-recíproca de la forma proposicional p, expresado de la forma si, entonces.
4) La recíproca de una forma proposicional p, es “cada vez que voy al estadio pierde mi equipo”.
Determine el antecedente y el consecuente de esa recíproca, y determine con ellos, la original o directa,
la inversa y la contra-recíproca de la forma proposicional p, expresado de la forma si, entonces.
5) La inversa de una forma proposicional p, es “tengo dinero solo si como pizza”. Determine el
antecedente y el consecuente de esa inversa, y determine con ellos, la original o directa, la recíproca y la
6) La inversa de una forma proposicional p, es “no voy al cine si no tengo dinero”. Determine el
antecedente y el consecuente de esa inversa, y determine con ellos, la original o directa, la recíproca y la
7) La contra-recíproca de una forma proposicional p, es “pienso, luego existo”. Determine el antecedente
y el consecuente de esa contra-recíproca, y determine con ellos, la original o directa, la recíproca y la
inversa de la forma proposicional p, expresado de la forma si, entonces.
8) La contra-recíproca de una forma proposicional p, es “basta que tenga clases de Matemáticas para
sentirme bien”. Determine el antecedente y el consecuente de esa contra-recíproca, y determine con
ellos, la original o directa, la recíproca y la inversa de la forma proposicional p, expresado de la forma si,
entonces.

36
TAREA PARA LA CASA
ESTUDIANTE:_____________________________________________________
TEMA: VARIANTES DEL CONDICIONAL.
A. En cada una de las siguientes expresiones, escriba el antecedente y el consecuente:
3 x 2 = 5, porque 3 + 2 = 10.
Antecedente: ______3 + 2 = 10_______________________________________________________
Consecuente: ______3 x 2 = 5________________________________________________________
1. Cada vez que estudio me da sueño.
Antecedente: _____________________________________________________________
Consecuente: _____________________________________________________________
2. Saqué mala nota debido a que no estudié.
Antecedente: _____________________________________________________________
Consecuente: _____________________________________________________________
3. No se que pasó puesto que no estuve allí.
Antecedente: _____________________________________________________________
Consecuente: _____________________________________________________________
4. Solo si aprendo Lógica me gusta la materia.
Antecedente: _____________________________________________________________
Consecuente: _____________________________________________________________
5. Es necesario estudiar para superarse en la vida.
Antecedente: _____________________________________________________________
Consecuente: _____________________________________________________________
6. Basta con hacer los deberes para aprender Matemáticas.
Antecedente: _____________________________________________________________
Consecuente: _____________________________________________________________
7. Sacar 20 fue suficiente para pasar de año.
Antecedente: _____________________________________________________________
Consecuente: _____________________________________________________________

37
8. Dado que estudiaste, aprobaste el curso.
Antecedente: _____________________________________________________________
Consecuente: _____________________________________________________________
B. Transforme cada una de las formas proposicionales del ejercicio anterior a la forma “si a entonces B”,
y escriba su recíproca, inversa y contra-recíproca.
3 x 2 = 5, porque 3 + 2 = 10.
Directa:___Si 3 + 2 = 10 , entonces 3 x 2 = 5______________________________________________
Recíproca:_Si 3 x 2 = 5, entonces 3 _ 2 = 10________________________________________________
Inversa:__Si 3 + 2  10, entonces 3 x 2  5_________________________________________________
Contra-recíproca:_Si 3 x 2  5, entonces 3 + 2  10___________________________________________
Directa:_____________________________________________________________________________
Recíproca:___________________________________________________________________________
Inversa:_____________________________________________________________________________
Contra-recíproca:______________________________________________________________________
Directa:_____________________________________________________________________________
Recíproca:___________________________________________________________________________
Inversa:_____________________________________________________________________________
3. No sé qué pasó puesto que no estuve allí.
Directa:_____________________________________________________________________________
Recíproca:___________________________________________________________________________
Inversa:_____________________________________________________________________________

38
Directa:_____________________________________________________________________________
Recíproca:___________________________________________________________________________
Inversa:_____________________________________________________________________________
Directa:_____________________________________________________________________________
Recíproca:___________________________________________________________________________
Inversa:_____________________________________________________________________________
Directa:_____________________________________________________________________________
Recíproca:___________________________________________________________________________
Inversa:_____________________________________________________________________________
Directa:_____________________________________________________________________________
Recíproca:___________________________________________________________________________
Inversa:_____________________________________________________________________________

39
Directa:_____________________________________________________________________________
Recíproca:___________________________________________________________________________
Inversa:_____________________________________________________________________________
C. En los ejercicios siguientes, se da una de las formas del condicional, encuentre la directa de la forma
“si a entonces b”:
1.- La recíproca de una forma proposicional es “trabajé duramente porque alcancé mi meta”
Antecedente: _____________________________________________________________
Consecuente: _____________________________________________________________
Directa:_____________________________________________________________________________
2.- La inversa de una forma proposicional es “debido a que hago mis deberes siempre, es que apruebo el
año sin dificultades”
Antecedente: _____________________________________________________________
Consecuente: _____________________________________________________________
Directa:_____________________________________________________________________________
3.- La contra-recíproca de una forma proposicional es “cada vez que doy un examen sin estudiar, no
saco buena nota”
Antecedente: _____________________________________________________________
Consecuente: _____________________________________________________________
Directa:_____________________________________________________________________________
4.- La recíproca de una forma proposicional es “solamente si eres de los mejores llegas primero a la
meta”
Antecedente: _____________________________________________________________
Consecuente: _____________________________________________________________
Directa:_____________________________________________________________________________

40
TAREA ADICIONAL
A.- Usando la tabla de las variantes de la condicional, transforme cada una de las siguientes
proposiciones a todas las variantes.
3. No se que pasó puesto que no estuve allí.
IMPORTANTE
TAREA PARA LA CASA
ESTUDIANTE:_____________________________________________________
VARIACIONES DEL CONDICIONAL
Formas en que podemos encontrar el condicional a  b: (recordar que
a es el antecedente y b es el consecuente).
Si a entonces b. b cada vez que a.
b si a. a es suficiente para que b.
a solo si b. b es necesario para que a.
b para que a. b puesto que a.
b cuando a. b ya que a.
b porque a. b dado que a.
a solamente si b. a implica a b.
………………………………………………………………………………….……………..
……………………………………………………………………………………….………..
…………………………………………………………………………………………….…..
………………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………….

41
TAUTOLOGÍAS
Al analizar los posibles resultados de los valores de verdad de una forma proposicional se pueden
presentar 3 situaciones:
1. Puede darse el caso de que todos los valores de verdad de la forma proposicional resulten ser
verdaderos, con lo que dicha forma proposicional toma el nombre de TAUTOLOGÍA.
2. Puede darse el caso de que todos los valores de verdad de la forma proposicional resulten ser
falsos, con lo que dicha forma proposicional toma el nombre de CONTRADICCIÓN.
3. Puede darse el caso de que los valores de verdad de la forma proposicional resulten no todos
verdaderos o no todos falsos, en cuyo caso la forma proposicional toma el nombre de
CONTINGENCIA.
Veamos un ejemplo de cada una de ellas:
Tomemos la siguiente forma proposicional: (p  q)  (p  q), realicemos su tabla de verdad:
(p  q)  (p  q)
1 1 0 1
1 0 0 0
0 1 1 1
0 0 1 0
Recordemos que para la tabla, si una variable está negada, se empieza llenando con falso (0). Ahora
llenemos las columnas de los operadores entre los paréntesis:
(p  q)  (p  q)
1 1 1 0 1 1
1 0 0 0 0 0
0 1 1 1 1 1
0 1 0 1 1 0
Por último, la columna final del operador bi-condicional:
(p  q)  (p  q)
1 1 1 1 0 1 1
1 0 0 1 0 0 0
0 1 1 1 1 1 1
0 1 0 1 1 1 0
Como vemos en este caso, el resultado final, efectivamente nos da toda la columna de verdaderos (1),
así que esta forma proposicional corresponde a una Tautología.
La palabra Tautología proviene del vocablo griego ταυτολογία, que significa “decir lo mismo”, cuando
veamos las equivalencias lógicas (que ya la hemos tratado en unas tareas previas), que las Tautologías
nos ayudarán mucho a determinar las equivalencias entre proposiciones.

42
Ahora veamos otro ejercicio, que corresponda ahora a una contradicción, tomemos la siguiente forma
proposicional: (p  q)  (p  q), y realicemos su tabla de verdad:
Para ello, empecemos por escribir las columnas correspondientes a las variables:
(p  q)   (p  q)
0 1 1 1
0 0 1 0
1 1 0 1
1 0 0 0
Ahora llenemos las columnas de los operadores entre los paréntesis, y haremos de una vez la negación
del condicional:
(p  q)   (p  q)
0 1 1 0 1 1 1
0 0 0 1 1 0 0
1 1 1 0 0 1 1
1 1 0 0 0 1 0
Por último, la columna final del operador conjunción:
(p  q)   (p  q)
0 1 1 0 0 1 1 1
0 0 0 0 1 1 0 0
1 1 1 0 0 0 1 1
1 1 0 0 0 0 1 0
Como vemos en este caso, el resultado final, efectivamente nos da toda la columna de falsos (0), así que
esta forma proposicional corresponde a una Contradicción.
Por último veamos un ejemplo de una forma proposicional que corresponda a una contingencia,
analicemos la forma proposicional: (p v q)  (q  0).
La tabla a desarrollarse será la siguiente:
(p  q)  (q  0)
1 1 1 0
1 0 0 0
0 1 1 0
0 0 0 0
Un dato interesante es que en esta forma proposicional, tenemos como una de las “variables” el valor de
verdad falso (0), por lo que dicha columna se llena por completo con ese valor constante.

43
Ahora desarrollemos los operadores, por orden jerárquico, que se encuentran entre los paréntesis:
(p  q)  (q  0)
1 0 1 1 0 0
1 1 0 0 1 0
0 1 1 1 0 0
0 0 0 0 1 0
Finalmente, el resultado final de la tabla, al operar el condicional central, será:
(p  q)  (q  0)
1 0 1 1 1 0 0
1 1 0 1 0 1 0
0 1 1 0 1 0 0
0 0 0 1 0 1 0
En esta tabla, vemos que en el resultado final, no todos son ni verdaderos (1) ni falsos (0), es decir,
contiene verdaderos y falsos su resultado final, por lo que esta tabla corresponde a una contingencia.
TAUTOLOGÍAS CONOCIDAS
Existen varias Tautologías que usualmente se utilizan comúnmente en el desarrollo de ejercicios de
Lógica Matemática, algunas Tautologías muy conocidas son las siguientes:
FORMA SIMBÓLICA TAUTOLOGÍA
pp  Trivial
   qpqp 
Modus Poniendo Ponens
Suposición del antecedente
   pqqp 
Modus Tolendo Tollens
Negación del consecuente
      rprqqp  Ley Transitiva o Silogismo
   qpqp  Silogismo disyuntivo
         sqrpsrqp 
Dilemas constructivos
         sqrpsrqp 
Existen varias formas proposicionales más que son también son Tautologías conocidas, y útiles, sin
embargo creemos que con conocer algunas de ellas usted puede estar capacitado para comprender y
trabajar a cabalidad lo que corresponde al álgebra de proposiciones.
Es importante el conocimiento de estas leyes, pues nos ayudarán mucho en la resolución de ejercicios, en
los cuales las encontraremos, aunque también es posible resolverlos desarrollando las tablas de verdad.

44
ACTIVIDAD EN CLASE:
A) Para las siguientes formas proposicionales, determine si se trata de una Tautología, contradicción, o
Contingencia:
1.- [(p  q)  (p  q)]  [(p  q)  (q  p)]
2.- (p  q)  (q  r)  (p  r)
3.- (p  q  r)  [p  (r  q)]
4.- [(p v q)  (q  r)]  [(1  p)  (q  q)]

45
TAREA PARA LA CASA
ESTUDIANTE:_____________________________________________________
TEMA: TAUTOLOGÍAS, CONTRADICCIONES Y CONTINGENCIAS.
A. Para cada ejercicio dado, desarrolla su tabla de verdad y escribe en el paréntesis de la izquierda la
letra T, si se trata de una Tautología, la letra C si se trata de una Contradicción o la letra N si se trata de
una contingencia (si se trata de alguna Tautología conocida, escriba junto al ejercicio el nombre de la
Tautología):
( T ) [(a  b)  (b  c)]  (a  c). (Ley Transitiva)
1. ( ) [(p  q)  q]  p
2. ( ) (p  q)  (p  q)
3. ( ) [(p  q)  q]  p
4. ( ) [(p  q)  q]  p
5. ( ) [(p  q)  (q  p)]  (p  q)
6. ( ) [(p  q)  (q  r)]  (p  r)
7. ( ) [(p  q)  (q  r)]  (p  r)
8. ( ) [(p  q)  (r  s)]  [(p  r)  (q  s)]
9. ( ) [(p  q)  (s  r)]  [(p  s)  (q  r)]
10. ( ) [(p  q)  (r  q)]  [(p  r)  (q  r)]
B. Escriba en el paréntesis de la izquierda, la alternativa que haga que la forma proposicional dada
corresponda a lo pedido:
Una expresión C que hace que la proposición [(p  q)  q]  C , sea Tautología, es:
( c ) a. p b. q c. p d. q
1. Una expresión C, para que la forma proposicional [p  (p  q)]  C no sea Tautología, es:
( ) a) p  q b) p  q c) q  p d) p
2. Una expresión C, para que la forma proposicional [(p  q)  q ]  C sea Tautología, es:
( ) a) p  q b) p  q c) p d) p  q) v q

46
3. Una expresión C, para que la forma proposicional [(p v q)  (p  q)]  C sea Contradicción, es:
( ) a) (p  q) b) p  q c) p  q d) p  q
4. Una expresión C, para que la forma proposicional [(p  q)  (q  r)]  C sea contingencia, es:
( ) a) p  r b) r  q c) r  q d) p  q
5. Una expresión C, para que la forma proposicional [(q  p)  (q  r) ]  C sea Tautología, es:
( ) a) p  r b) p  q c) (p v r) d) p  r
C. Traduce las siguientes formas proposicionales al lenguaje formal, y escribe en el paréntesis de la
izquierda la letra T si se trata de una Tautología, o la letra C si se trata de una contradicción o la letra N
si se trata de una contingencia, en todos los ejercicios usa las variables proposicionales:
a: Estudias con ahínco.
b: Cumples todas tus tareas.
c: Pasas con éxito el año escolar.
( T ) Si estudias con ahínco pasas con éxito el año escolar, pero no pasas con éxito el
año escolar. Por lo tanto, no estudias con ahínco.
1. ( ) Estudias con ahínco o cumples todas tus tareas, pero no estudias con ahínco, por lo
tanto, cumples todas tus tareas.
2. ( ) Es necesario que hagas tus tareas para que estudies con ahínco, y es suficiente que
hagas todas tus tareas para que pases con éxito el año escolar. Por lo tanto, basta que estudies con
ahínco para pasar con éxito el año escolar.
3. ( ) No pasas con éxito el año escolar cada vez que no haces todas tus tareas, y no pasas
con éxito el año escolar o estudias con ahínco. Por lo tanto, haces todas tus tareas o no pasas con éxito
el año escolar.
4. ( ) Solo si pasas con éxito el año escolar estudias con ahínco, pero no estudias con
ahínco. Por lo tanto, no pasas con éxito el año escolar.
5. ( ) Pasas con éxito el año escolar porque, haces todas tus tareas o estudias con ahínco, y
haces tus tareas cuando estudias con ahínco. Entonces, si no haces tus tareas, estudias con ahínco o no
pasas con éxito el año escolar.

47
DETERMINACIÓN DE LOS VALORES DE VERDAD DE LAS VARIABLES
PROPOSICIONALES DE UNA FORMA PROPOSICIONAL.
Al resolver ejercicios de álgebra de proposiciones, vamos a ver que es muy útil e importante poder
determinar los valores de verdad de las variables proposicionales, para determinar si la forma
proposicional se trata de una Tautología (que es lo que generalmente deseamos determinar en una forma
proposicional), ahora veremos cómo podemos determinar dichos valores de verdad, ayudándonos de lo
que ya hemos aprendido previamente.
Para esto, es importante recordar que:
 La negación solo cambia el valor de verdad.
 La única opción para que la conjunción sea verdadera es que ambas variables proposicionales
sean verdaderas.
 La única opción para que la disyunción sea falsa es que ambas variables proposicionales sean
falsas.
 La única opción para que la implicación sea falsa es que el antecedente sea verdadero y el
consecuente sea falso.
 El bi-condicional es verdadero, cuando ambas proposiciones tienen el mismo valor de verdad.
 La disyunción exclusiva es verdadera cuando sólo una de las dos proposiciones es verdadera (es
lo mismo que decir que es verdadera cuando los valores de verdad de las proposiciones son
diferentes).
Veamos los siguientes ejercicios:
Determine el valor de verdad que deben tener cada una de las siguientes variables para que las
proposiciones dadas tengan el valor de verdad asignado:
a) FALSO (s  r)
Para que la forma proposicional (s  r) sea falsa, debe suceder lo siguiente: Primero que todo, el
operador lógico es la disyunción, y esta es falsa solo cuando ambas variables son falsas, por lo tanto, s
debe ser falsa, lo mismo que r. Para que s sea falsa, entonces s debe ser verdadera, teniendo entonces
que los valores de verdad de las variables serían:
s  1; r  0.
Si verificamos, efectivamente podemos ver que con dichos valores de verdad la forma proposicional
(s  r) será falsa:
(1  0)  0  0  0, tal como lo deseábamos.
b) VERDADERO 0  q.
Para que la disyunción sea verdadera, al menos una de las dos proposiciones debe serlo, en este caso
una de ellas es falsa (0), por lo tanto, la otra (q) debe ser verdadera. Para verificar reemplazamos los
valores y tenemos:
(0  0)  0

48
ACTIVIDAD EN CLASE:
A) Determine el valor de verdad que deben tener cada una de las siguientes formas proposicionales para
que la proposición dada tenga el valor de verdad asignado:
1.- FALSO (p  s) 2.- VERDADERO (s  p)
3.- FALSO (0  q) 4.- VERDADERO [1  (q  r)]
5.- VERDADERO (0  p) 6.- FALSO (0  p)
7.- FALSO (1  r) 8.- VERDADERO (1  r)
DETERMINACIÓN DE LOS VALORES DE VERDAD DE LAS VARIABLES DE
UNA FORMA PROPOSICIONAL CON MÁS DE 2 VARIABLES.
Al resolver ejercicios de álgebra proposicional, podemos tener formas proposicionales con mayor cantidad
de operadores e inclusive con mayor cantidad de variables, esto no debe representar ninguna dificultad,
pues lo único que debemos hacer es ir desglosando poco a poco los operadores principales y en base a
ellos ir analizando cada una de las variables que intervienen. Analicemos una forma proposicional de
mayor cantidad de variables y operadores:
Ejemplo: Determine el valor de verdad que deben tener cada una de las variables proposicionales para
que la forma proposicional [p (s  r)]  (q  p) sea falsa.
Desarrollo:
Para que la forma proposicional     pqrsp  sea falsa, tenemos que el conector lógico
principal es la disyunción, y esta será falsa sólo cuando tanto   rsp  y  pq  sean falsas, y
para que   rsp  sea falsa, ya que se trata de una condicional, el antecedente (p en este caso),
debe ser verdadero, y el consecuente (  rs  en este caso), debe ser falso.
           
        
       000
010
000



rsrs
rsprsp
pqrsppqrsp
Con lo cual ya tenemos los valores de verdad de p (V), r (F), y s (V), y sabiendo que   0 pq ,
podemos determinar que el valor de q debe ser Falso, para que el bi-condicional sea falso, ya que p es
verdadero.

49
ACTIVIDAD EN CLASE:
A) Determine los valores de verdad que deben de tener cada una de las proposiciones simples, para que
la forma proposicional:
1.-   ( )p q p r     sea verdadera p  ___ q  ___ r  ___
2.-   ( )r q p r      sea falsa p  ___ q  ___ r  ___
3.-      pqprq  sea verdadera p  ___ q  ___ r  ___
4.-     pqrsp  sea falsa. p  ___ q  ___ r  ___ s  ___
B) Si la proposición ( )r p q     es falsa, determine el valor de verdad de cada una de las siguientes
proposiciones:
1.-   ( )p q p r    
2.-    p q q r      
3.-   ( )r q p r     
4.-    p r p r q      
C) Si la proposición      p q q s p r s               es falsa, entonces es cierto que:
1.-  p q es falsa
2.-  q s es falsa
3.-  r s q   es falsa
4.- q es falsa
5.-  p r es falsa
IMPORTANTE
TAREA PARA LA CASA
ESTUDIANTE:_____________________________________________________
………………………………………………………………………………….……………..
……………………………………………………………………………………….………..
…………………………………………………………………………………………….…..
………………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………….

50
TAREA PARA LA CASA
ESTUDIANTE:_____________________________________________________
TEMA: DETERMINACIÓN DE LOS VALORES DE VERDAD DE LAS VARIABLES PROPOSICIONALES.
A. Determine los valores de verdad que deben de tener cada una de las proposiciones simples, para que
la forma proposicional:
1.    p q q r       sea verdadera
2.-    p r p r q        sea falsa
3.-    p r q r q        sea falsa
4.-     1q r p p r              sea verdadera
5.-    p s r q p       sea falsa
6.-     q r s q p         sea verdadera
7.- FALSO:    ( ) ( ) ( ) ( )s q p s r q p r         
8.- FALSO:       p r t r q p s         
9.- VERDADERO:       1 0q r p p r q s                    
10.- FALSO:        1p s r q p t p               
B. Escribe en el paréntesis de la izquierda la letra de la alternativa que corresponde a lo
pedido en cada ejercicio:
( ) 1. Si la forma proposicional       1s r q r p q p                es
falsa, cuál de las siguientes formas proposicionales también lo es:
A. ( )s q r   B. ( )r q p   C. ( )p r s  D.  q p r 

51
( ) 2. Si la forma proposicional    p q r r s       es falsa, cuál de las
siguientes formas proposicionales también lo es:
A. ( )s q r   B. ( )r q p   C. ( )p r s  D.  p q r 
( ) 3. Si la forma proposicional[( ) ( )] [( ) ( )]p q r s q r p s         es
falsa, cuál de las siguientes formas proposicionales también lo es:
A. ( )s q r   B. ( )r q p   C. ( )p r s  D.  q p r 
( ) 4. Si la forma proposicional[ ( ) ( ) ( )] 1p q r s r p         es falsa, cuál
de las siguientes formas proposicionales también lo es:
A. ( )s q r   B. ( )r q p   C. ( )p r s  D.  q p r 
( ) 5. Si la forma proposicional     ( ) ( ) 1q r p s p r p r                
es verdadera, cuál de las siguientes formas proposicionales también lo es:
A. ( )s q r   B. ( )r q p     C. ( )s p r  D.  q p r 
C. Escribe en el paréntesis de la izquierda la letra de la alternativa correcta en cada ejercicio:
( ) 1. Si la proposición      p q q s p r s               es falsa,
entonces es cierto que:
A.  p q es falsa
b)  q s es falsa
c)  r s q   es falsa
d)  q p es falsa
( ) 2. Si la proposición    p q r r s       es falsa, entonces es verdad
que:
a)  p q es falsa
b)  r s   es falsa
c)  p s es falsa
d)  p r es falsa
e)  s p es falsa

52
TAREA ADICIONAL
A.- Si la forma proposicional       1s r q r p q p                es verdadera,
determine si el valor de verdad de las siguientes variables proposicionales coinciden con los valores
determinados:
p: al simplificar la expresión
2
1
1
x
x
x
x
x



, el resultado es 1.
q: al simplificar la expresión
2 2
2
2 4 6 2 1
2 6 7 8
x x x x
x x x
   

  
se obtiene x + 8
r: el resultado de la suma algebraica
2
3 1 4 5
2 2 4 4 4( 1)8 8
es
a a aa
 
  
s: al simplificar la expresión
1 2
2 1
1 1
1 2
x x
x x
x x
 

 

 
se obtiene 3 – 2x
B.- Si la forma proposicional {[p  q)  r]  [(r  s) v (s  p)]} es falsa, determine si el valor de
verdad de las siguientes variables proposicionales coinciden con los valores determinados:
p: al simplificar la expresión 1
1
1
1
1
1
x



, el resultado es 1.
q: al simplificar la expresión
2 2 2
2 2 2
6 1 6 1 2 5 2
9 1 4 4 1 2 3 2
     
 
    
x x x x x x
x x x x x
se obtiene 1
r: el resultado de la suma
2 2 2 2
8 2 2 1 1
( 1)( 2)12 3 1 3( 3 2) 3 2
es
x xx x x x x x
  
      
s: el resultado al simplificar la expresión
1 1
11 1
1 1
1 1
x x es
x
x x

 

 

53
LEYES DEL ÁLGEBRA DE PROPOSICIONES.
Así como en todas las ramas de todas las ciencias hay leyes y normas que rigen su estudio, así también
en la Lógica Matemática, encontramos una serie de leyes que rigen las operaciones que se realizan entre
las variables y formas proposicionales. Sin embargo estas leyes están más bien dirigidas a ayudarnos a
resolver con mayor facilidad los ejercicios que se nos planteen.
Muchas de estas leyes y propiedades, se aplican tanto en la conjunción como en la disyunción, la
siguiente tabla nos muestra cómo operan algunas de las propiedades de estos operadores lógicos:
CONJUNCIÓN DISYUNCIÓN
   pqqp  Conmutativa    pqqp 
     rqprqp  Asociativa      rqprqp 
  ppp  Idempotencia   ppp 
  pp 1 Identidad   pp  0
  00 p Absorción   11 p
Algunas leyes lógicas básicas y útiles son:
01
10


Negación
  pp  Doble negación o Involutiva
       rpqprqp 
       rpqprqp 
Distributivas
   qpqp 
   qpqp 
De Morgan
  1 pp Tercero excluido
  0 pp Contradicción
  qpqp  Implicación
A pesar de que existen varias leyes, formas tautológicas y demás, las que hemos dado en estas tablas,
son las que principalmente utilizaremos en el desarrollo de nuestro estudio de la Lógica Matemática, por
supuesto, sin menospreciar a las demás, pero creemos que para su conocimiento de un curso básico de
la Lógica Matemática, es suficiente con ellas.

54
ACTIVIDAD EN CLASE:
A) Mediante el uso de la tabla de verdad. Determine el cumplimiento de las propiedades de la
Conjunción:
CONJUNCIÓN PROPIEDAD
   pqqp  Conmutativa
     rqprqp  Asociativa
  ppp  Idempotencia
  pp 1 Identidad
  00 p Absorción
B) Mediante el uso de la tabla de verdad. Determine el cumplimiento de las propiedades de la
Disyunción:
DISYUNCIÓN
Conmutativa    pqqp 
Asociativa      rqprqp 
Idempotencia   ppp 
Identidad   pp  0
Absorción   11 p
C) Mediante el uso de la tabla de verdad. Determine el cumplimiento de las leyes dadas en la tabla:
01
10


Negación
  pp  Doble negación o Involutiva
       rpqprqp 
       rpqprqp 
Distributivas
   qpqp 
   qpqp 
De Morgan
  1 pp Tercero excluido
  0 pp Contradicción
  qpqp  Implicación

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