Analisis numerico de_integrales_y_ecuaciones_diferenciales_(c._e._neuman)

An´alisis Num´erico
de Integrales
y
Ecuaciones Diferenciales

Temas de Análisis Numérico y Programación
Volúmenes:
I : Cardona, A., y Neuman, C.E.: Temas de Programación I, 1996, (se-
gunda edición en preparación, 1997)
II : Neuman, C.E. (editor): Matemática asistida por computadora, 1996
III : Neuman, C.E.: Análisis Numérico de Integrales y Ecuaciones Diferen-
ciales, 1997
IV : Neuman, C.E.: Algoritmos Geométricos y Gráficos en 3D. Laboratorios
de Matemática, segunda edición, 1999.
V : Neuman, C.E., Vilchez, A.G.: Algoritmos Geométricos y Gráficos en
3D. Laboratorios de Matemática, tercera edición (en preparación), 2001.

ii
Temas de Análisis Numérico y Programación
Volumen VI
Análisis Numérico
de Integrales
y
Ecuaciones Diferenciales ¶
Segunda edición
Carlos E. Neuman
Departamento de Matemática (FIQ)
Universidad Nacional del Litoral
Santa Fe
2001
∞
¶
Trabajo realizado con fondos provenientes de la Universidad Nacional del Litoral (UNL),
a través de la programación Curso de Acción para la Investigación y el Desarrollo (CAI+D),
Secretar´ıa de Ciencia y Técnica de la UNL

Análisis Numérico de Integrales y Ecuaciones
Diferenciales
Carlos E. Neuman
Departamento de Matemática, FIQ, UNL, Santiago del Estero 2829,
3000 Santa Fe, Argentina
E-mail address: ceneuman@fiqus.unl.edu.ar
URL: http://www.intec.unl.edu.ar/CN/CNBook3.pdf

Key words and phrases. Integración numérica, Resolución numérica de ecuaciones
diferenciales, Métodos de un paso, Integración adaptativa
Trabajo realizado con fondos provenientes de la Universidad Nacional del Litoral
(UNL), a través de la programación Curso de Acción para la Investigación y el
Desarrollo (CAI+D), Secretar´ıa de Ciencia y Técnica de la UNL.
Resumen. En este texto se tratan temas de integración numérica de funciones
y de ecuaciones diferenciales, teoremas de existencia y unicidad de soluciones,
convergencia, estabilidad y consistencia de soluciones aproximadas de ecua-
ciones diferenciales y algunos complementos teóricos. Se presentan numerosos
ejemplos y ejercicios y dos laboratorios de integración adaptativa.

Índice General
Prefacio xiii
Prefacio a la segunda edición xvii
Índice de Tablas 1
Índice de Figuras 3
Cap´ıtulo 1. Integración 1
1.1. Introducción 1
1.2. La integral de Riemann–Stieltjes 3
1.3. La fórmula de suma de Euler 4
1.4. Métodos básicos de integración numérica 7
1.5. Métodos de extrapolación 11
1.6. Cuadratura de Gauß 12
1.7. Métodos de Montecarlo 13
1.8. Métodos adaptativos 16
1.9. Ejercicios 17
Cap´ıtulo 2. Ecuaciones diferenciales 21
2.1. Introducción 21
2.2. Métodos en diferencias de un paso 23
2.3. Ejercicios 33
Apéndice A. Bibliograf´ıa y referencias 35
A.1. Textos básicos 35
A.2. Bibliograf´ıa complementaria 35
Apéndice B. Coeficientes indeterminados con el Mathematica 37
B.1. El método de Simpson 37
B.2. El método de Newton 38
B.3. El método de cuadratura de Gauß de tres puntos 40
B.4. Los coeficientes de la cuadratura de Gauß de cinco puntos 41
Apéndice C. Cuadernos del Mathematica y archivos script de Matlab 47
C.1. La función mihumps 47
C.2. Extrapolación repetida de Richardson 48
C.3. Métodos de Montecarlo 50
C.4. Integración de Simpson adaptativa 53
C.5. El método clásico de Runge-Kutta 55
Apéndice D. La integral de Riemann–Stieltjes 59
vii

viii ÍNDICE GENERAL
D.1. Funciones de variación acotada 59
D.2. La integral 61
D.3. Fórmula de la suma de Euler 65
D.4. Pero, ¿Hay funciones integrables? 65
D.5. Ejercicios 66
Apéndice E. Polinomios y números de Bernoulli 67
E.1. Polinomios de Bernoulli con el Mathematica 67
E.2. Números de Bernoulli 73
E.3. Integración por partes 74
Apéndice F. Laboratorio de Matemática: Integración Adaptativa 75
F.1. Objetivos 75
F.2. Antes del laboratorio 75
F.3. Laboratorio 76
F.4. Aplicaciones y desarrollos avanzados 77
F.5. Referencias 77
Apéndice G. Laboratorio de Matemática: Solución adaptativa de ODEs 79
G.1. Objetivos 79
G.2. Antes del laboratorio 79
G.3. Laboratorio 79
G.4. Aplicaciones y desarrollos avanzados 79
G.5. Referencias 80
Apéndice H. Existencia y unicidad de soluciones de ODEs 81
H.1. Referencias 85

´INDICE GENERAL ix
Para S., N., y F.

ÍNDICE GENERAL xi
Our ancestors were eager to understand
the worlds but had not quite stumbled
upon the method. They imagined a
small, quaint, tidy universe in which the
dominant forces were gods like Anu, Ea,
and Shamash. In that universe humans
played an important if not central role.
We were intimately bound up with the
rest of nature. The treatment of tooth-
ache with second-rate beer was tied to
the deepest cosmological mysteries.
Today we have discovered a powerful
and elegant way to understand the uni-
verse, a method called science; it has
revealed to us a universe so ancient and
so vast that human affairs seem at first
sight to be of little consequence.
Sagan, C.: Cosmos, Ballantine,
New York, 1992.

Prefacio
Este texto surgió de la necesidad de presentar una visión unificada de los
métodos elementales de integración numérica de funciones y de algunos de los que
son útiles para las ecuaciones diferenciales ordinarias.
♣ Los párrafos que se colocan entre tréboles pueden ser omitidos en las primeras
lecturas puesto que no son esenciales para la continuidad del texto. ♣
Seguimos en términos generales las ideas planteadas en Linz∗
(1988). Para este
autor el término matemática computacional esta asociado con el espectro amplio
de actividades relacionadas con la solución aproximada de problemas cient´ıficos
expresados en términos de modelos matemáticos, que, en su forma t´ıpica, están
constituidos por ecuaciones diferenciales e integrales de las que, en general, no se
conoce solución en forma cerrada. Para resolverlos las ecuaciones son convertidas,
mediante discretización, en un conjunto finito de ecuaciones más simples que puedan
ser resueltas por métodos algebraicos.
Se puede distinguir la metodolog´ıa numérica, que estudia métodos para dis-
cretizar los operadores diferenciales e integrales y cómo resolver los sistemas finitos
resultantes, del análisis numérico que involucra el estudio riguroso de los algoritmos
creados por la metodolog´ıa.
La meta primaria del análisis es describir la relación entre la solución exacta
de la ecuación original, y la aproximada obtenida a partir de la versión discreta.
El análisis numérico ha resultado muy útil para complementar el proceso de
creación de métodos numéricos generado por las aplicaciones ingenieriles. Por ejem-
plo las técnicas de relajación o de elementos finitos fueron creadas por ingenieros
basados en la intuición f´ısica. El análisis numérico posterior ha resultado crucial
para la consolidación de estos métodos, la extensión de su aplicabilidad, y el estudio
de sus propiedades de convergencia o estabilidad.
En muchos casos a partir de objetivos del Análisis Numérico se han obtenido
nuevos resultados en Análisis Funcional, en cuyos términos suelen plantearse los
problemas.
Según resume Linz (1988): En art´ıculos publicados en revistas como el SIAM
Journal on Numerical Analysis o Numerische Mathematik se encuentran habitual-
mente términos como espacios de Hilbert, clausura compacta, y convergencia débil.
Estos conceptos le resultan muy útiles al teórico y han facilitado el establecimiento
de una teor´ıa abarcativa y coherente de la solución aproximada de las ecuaciones
de operadores.
♣ Ilustraremos esto con el ejemplo de la ecuación del operador lineal
Lx = y (0.1)
∗
Las referencias se enumeran en el apéndice A, página 35
xiii

xiv PREFACIO
donde L: X → Y es un operador lineal entre los espacios normados X e Y . El
miembro derecho, y, es un dato y la ecuación debe ser resuelta para la incógnita x.
Suponemos que L tiene una inversa acotada en Y . Un ejemplo muy simple de esto
es la ecuación
d
dt
x(t) = y(t) = f(t, x(t)) (0.2)
con la condición inicial
x(t0) = x0 (0.3)
En el proceso de discretización la ecuación (0.1) es reemplazada por una suce-
sión paramétrica de problemas
Lnxn = yn (0.4)
donde Ln es un operador en ciertos espacios n–dimensionales Xn e Yn. El s´ımbolo
n se denomina parámetro de discretización y mide el grado en el que el operador
discreto Ln representa al operador L.
Como Ln es efectivamente una matriz de n×n, es posible, en principio, resolver
(0.4) en forma algebraica y obtener la solución aproximada xn.
El objetivo fundamental del análisis posterior es conocer la relación entre la
solución verdadera x y su aproximación xn. En particular, desearemos demostrar
la convergencia. Esto significa que, cuando se incrementa n, la solución aproximada
deberá acercarse más y más a la solución verdadera, en el sentido que
lim
n→∞
x − xn = 0 (0.5)
Usualmente, el primer paso del análisis es definir el error de consistencia
rn(x) = Lx − Lnx (0.6)
De (0.1) y (0.4) se obtiene directamente que
Ln(x − xn) = y − yn − rn(x) (0.7)
y obtenemos una cota para el error de la solución aproximada
x − xn ≤ L−1
n { y − yn + rn } (0.8)
En la mayor´ıa de los casos es relativamente elemental mostrar que
lim
n→∞
y − yn = 0 (0.9)
y que, bajo condiciones bien definidas
lim
n→∞
rn = 0 (0.10)
Se necesita una condición adicional, la condición de estabilidad
lim
n→∞
L−1
n ≤ K < ∞ (0.11)
Si reemplazamos en la ecuación (0.8), obtenemos el teorema central del análisis
numérico: estabilidad y consistencia implican convergencia.
Se tiene un gran número de problemas no resueltos por causa de las dificultades
técnicas de las que el problema principal es verificar la condición de estabilidad
(0.11). Hay otras cuestiones, por ejemplo, cuán dificil es resolver (0.4) o cuán
velozmente converge xn a x, pero, normalmente estas son menos complejas que la
estabilidad.

PREFACIO xv
Supongamos ahora que hemos determinado que nuestro método numérico es
estable y convergente. ¿Qué nos dice esto? Nos expresa que, en algún sentido
asintótico, el método funciona.
A menudo podemos decir más. En muchos casos el error de aproximación puede
ser acotado en forma más expl´ıcita como
x − xn ≤ n−p
L−1
n η(x) (0.12)
donde η es un funcional de la solución desconocida x El exponente p se denomina
orden de convergencia y nos da información respecto de cuán exacto es el método.
Para un dado nivel de esfuerzo computacional, un método con un orden de conver-
gencia mayor tenderá a dar mejores resultados que uno con un orden menor.
La cota que nos da la expresión 0.12 tiene una utilidad limitada puesto que
depende de la incógnita x. Se puede sortear esa dificultad realizando un análisis
a posteriori que utiliza la solución calculada xn en lugar de la x. A partir de las
ecuaciones 0.1 y 0.4 se puede obtener
x − xn ≤ n−p
L−1
ρn (0.13)
donde ρn es el residuo de la solución calculada
ρn(xn) = Lxn − y (0.14)
Es posible obtener cotas buenas para ρn , en cambio es más dif´ıcil obtener cotas
realistas para L−1
lo que se convierte en el elemento clave del que depende el
análisis a posteriori. ♣
Los problemas básicos de la metodolog´ıa numérica no son el establecimiento
del método de discretización, sino el manejo de los detalles involucrados en la re-
presentación de dominios, de los propios métodos de discretización, de los métodos
de operación con los sistemas de ecuaciones, de las matrices ralas, y de los métodos
para resolver los sistemas de ecuaciones con dimensiones muy altas. En el desarro-
llo de métodos para resolver estos problemas suele incluirse —cuando se trata de
utilizar la metodolog´ıa en las aplicaciones— una dosis relativamente alta de lo que
puede denominarse pragmática numérica la que, por tratarse de algo naturalmente
impreciso, siempre puede fallar, pero que no deber´ıa ser totalmente ignorada por
causa de ello. Los beneficios de la metodolog´ıa numérica son tan considerables
que se la utiliza aún en los casos en que no puede justificarsela rigurosamente. La
idea fuerza no es rechazar los puntos de vista pragmáticos sino desarrollar los más
efectivos.
En el primer cap´ıtulo se estudian algunos aspectos relevantes del cálculo de inte-
grales. Se desarrollan los métodos clásicos, los de extrapolación y los de Montecarlo.
Debido a que las extensiones a integrales múltiples son relativamente directas, so-
lamente se trata el problema de volúmenes e hipervolúmenes utilizando el método
de Montecarlo por la simple razón que, en muchos casos, es el único aplicable. En
el segundo cap´ıtulo se introduce el problema de hallar soluciones aproximadas para
problemas de valores iniciales de ecuaciones diferenciales ordinarias. Asimismo se
deducen algunos métodos elementales de los del tipo de ‘un paso’. En los apéndices
se presentan ejemplos realizados con Matlab y Mathematica, se desarrolla una breve
introducción a la teor´ıa de la integral y se realizan cálculos para obtener los polino-
mios de Bernoulli, que resultan necesarios para la interpretación de los coeficientes
en el desarrollo asintótico del error en los métodos trapezoidal y Simpson.

xvi PREFACIO
En el último de los apéndices se incluye un Laboratorio de Matemática en el
tema de la cuadratura adaptativa. He elegido este por la simplicidad del algorit-
mo recursivo. Sin embargo, cualquiera de los restantes temas del texto, por su
importancia matemática, su riqueza y su atractivo, merece la elaboración de un
Laboratorio propio. El objetivo de estos laboratorios es aspirar a la recreación viva
de conceptos y temas que enriquecen el portafolios del pregraduado en Matemática.
Los libros citados en la sección de bibliograf´ıa y el conjunto de referencias en
ellos citados facilitan al lector interesado el estudio de cualquiera de los temas en
que desee especializarse. Este texto, que se basa en su totalidad en ellos, y que
comparte la selección de temas de interés que tratan, no aspira a colocarse en un
plano de igualdad, sino, humildemente, enfatizar algunos aspectos y no otros.
Debo agradecer a los sucesivos grupos de alumnos que han enriquecido el curso
de Cálculo Numérico con filosas preguntas y soluciones ingeniosas a los problemas
propuestos. Asimismo a mis colegas por la discusión de temas y el desarrollo de
métodos aptos para la enseñanza. En cambio, de los errores que pudiera contener,
me hago único responsable.
Carlos E. Neuman
Santa Fe, 29 de abril de 1997

Prefacio a la segunda edición
Esta nueva edición se desarrolla con varias correcciones y agregados con el fin
de adaptar el texto a los cursos de Cálculo Numérico I y II en la modalidad ‘a
distancia’.
Carlos E. Neuman
Santa Fe, 12 de noviembre de 2001
xvii

Índice de Tablas
1 Extrapolación de Richardson (Método de Romberg) 12
1 Integración de Romberg para la función mihumps (ver
tabla 1). La integral (con el Mathematica) resulta Q =
0.2985832539549867 50
2 Integración de Romberg para la función mihumps (continuación,
ver tablas 1 y 1). La integral (con el Mathematica) resulta
Q = 0.2985832539549867 50
1

Índice de Figuras
1 Campo de direcciones de f(x, y) = −xy 21
2 El rectángulo S está contenido en el R 22
3 Primer método de Runge 26
4 Segunda fórmula de Runge 28
5 El método de Runge-Kutta 29
1 La función mihumps 47
2 Histograma de distribución de los valores estimados de la
integral del ejemplo C.3.1 52
3 Integración por Runge-Kutta clásico de x = −tx en [0, 7] 57
1 El polinomio de Bernoulli B1(x) 69
1 Puntos de evaluación de quad para la función f(x) en [0, 2] 76
3

CAP´ıTULO 1
Integración
1.1. Introducción
El objetivo del presente cap´ıtulo es estudiar métodos numéricos para calcular
integrales definidas de la forma
b
a
f(x) dx (1.1)
Los métodos más simples —que se originan en la propia definición de la integral de
Riemann,— se establecen como sigue. Se elige una partición regular de paso h en
el intervalo [a, b] de modo de obtener N subintervalos (es decir que Nh = (b − a).
Se toma un valor conveniente de la función f en cada subintervalo y se calcula la
suma
h
N
i=1
fi (1.2)
donde fi es el valor elegido de la función f en el intervalo [xi−1, xi]. En el caso de
escoger fi = f(xi−1) se obtiene una “regla del rectángulo”
b
a
f(x) dx h
N
i=1
f(xi−1) (1.3)
si, en cambio, se toma fi = f(xi) se obtiene otra regla del rectángulo
b
a
f(x) dx h
N
i=1
f(xi) (1.4)
en realidad ‘la’ regla del rectángulo es más precisa si se elige fi = f((xi−1 + xi)/2),
en este caso se obtiene la regla del rectángulo R(h) (o ‘midpoint’)
b
a
f(x) dx R(h) = h
N
i=1
f(
xi−1 + xi
2
) (1.5)
con fi = (f(xi−1) + f(xi))/2, en cambio, se obtiene la regla del trapecio T(h)
b
a
f(x) dx T(h) = h
N
i=1
f(xi−1) + f(xi)
2
(1.6)
es decir En algunos textos este
método se denomina
trapezoidal compuesto,
pero la distinción es
poco relevante
T(h) = h(
f(a)
2
+
N−1
i=1
f(xi) +
f(b)
2
) (1.7)
1

2 1. INTEGRACI ÓN
y, si el número N de subintervalos es par, se pueden agrupar los subintervalos de
a dos contiguos y, en cada par utilizar f2i+1 = (f(x2i) + 4f(x2i+1) + f(x2i+2))/6,
con lo que se obtiene la “regla de Simpson” S(h)
b
a
f(x) dx S(h) =
2h
6
N
2 −1
j=0
(f(x2j) + 4f(x2j+1) + f(x2j+2)) (1.8)
es decirLa regla de Simpson es
exacta para polinomios
de orden cuatro S(h) =
2h
6
(f(a) + 4f(x1) + 2f(x2) + · · · + 4f(xN−1) + f(xN )) (1.9)
En todos estos casos se tiene la expresión
b
a
f(x) dx A
N
i=0
cif(xi) (1.10)
dondeEl operador ‘.*’ facilita
la integración numérica
[Rectángulo]A = 2h y c = (0, 1, 0, 1, 0, 1, . . . , 0, 1, 0)
[Trapezoidal]A = h/2 y c = (1, 2, 2, . . . , 2, 1)
[Simpson] A = 2h/6 y c = (1, 4, 2, 4, . . . , 2, 4, 1)
Observación 1.1.1. Las expresiones anteriores sugieren un método muy simple
para programar estos métodos elementales en Matlab
De la inspección de estos métodos surgen varias ideas interesantes
(1) Se tiene una ´ıntima relación entre integrales y sumas y las primeras se
aproximan por las segundas.
(2) Es necesario desarrollar métodos para estudiar los errores de aproximación
de estas reglas de integración (es simple establecerlas pero no es tan claro
cómo estimar los respectivos errores)
(3) Se deber´ıan explorar métodos aplicables a particiones que no sean regu-
lares
Para la primera utilizaremos una teor´ıa de la integral que permite unificar las
metodolog´ıas para tratar con integrales y sumas. Citamos textualmente a Tom
Apostol en la introducción al cap´ıtulo 7 (pág. 169) de su texto (Apostol, 1976)La integral de Riemann-
Stieltjes generaliza la in-
tegral de Riemann
. . . se estudia el proceso de integración con cierto detalle. En rea-
lidad consideramos un concepto más general que el de Riemann: a
saber, la integral de Riemann-Stieltjes, que involucra dos funciones
f y α. El s´ımbolo que utilizamos para designar tales integrales es
b
a
f(x)dα(x), o alguno similar, y la integral de Riemann se obtiene
como caso particular cuando α(x) = x. Cuando α tiene derivada con-
tinua, la definición es tal que la integral de Stieltjes
b
a
f(x)dα(x) se
convierte en la intgral de Riemann
b
a
f(x)α (x) dx. Sin embargo, la
integral de Stieltjes tiene sentido en el caso en que α no es diferen-
ciable e incluso cuando no es continua. De hecho, es al tratar con
funciones discontinuas α cuando se hace patente la importancia de la
integral de Stieltjes. Eligiendo adecuadamente una función disconti-
nua α, una suma finita o infinita puede expresarse como una integral
de Stieltjes, y la sumación y la integral de Riemann ordinaria son
casos especiales de este proceso más general. Los problemas f´ısicos
que consideran la distribución de masas que son en parte discretas

1.2. LA INTEGRAL DE RIEMANN–STIELTJES 3
y en parte continuas pueden ser abordados utilizando la integral de
Stieltjes. En la teor´ıa matemática de la Probabilidad esta integral es
un instrumento muy útil que hace posible la consideración simultánea
de variables aleatorias continuas y discretas.
En muchos casos se utilizan integrales para calcular sumas que pueden ser
complicadas de obtener por otros métodos, en razón de ello las interrelaciones
entre unas y otras es mucho mayor de lo que puede suponerse en una primera
aproximación.
En las secciones 1.4 y 1.6 estudiamos herramientas para obtener diversos métodos
de integración y para estimar los errores de las aproximaciones conseguidas. El es-
quema básico es aproximar la integral por una suma del tipo La integral aproximada
es un promedio pesado
de los valores de la
función
N
i=1
wif(xi) (1.11)
sobre una partición del intervalo de integración, y elegir en forma conveniente los
pesos wi y los puntos xi.
Cuando aceptamos que las particiones no sean regulares surge naturalmente la
idea de refinar la partición en los subintervalos donde los errores sean muy grandes
y la idea opuesta de agrupar intervalos donde los errores sean excesivamente pe-
queños. Esto nos lleva a los denominados métodos adaptativos de integración que
estudiaremos en la sección 1.8
1.2. La integral de Riemann–Stieltjes
1.2.1. Definición y propiedades.
Definición 1.2.1. Sea P = {x0, x1, . . . , xn} una partición del intervalo [a, b] y
sea, para cada k, ξk un punto del intervalo [xk−1, xk]. Una suma de la forma
S(P, f, g) =
n
k=1
f(ξk)∆gk (1.12)
(donde ∆gk = g(xk) − g(xk−1)) se llama suma de Riemann-Stieltjes de f respecto
de g. Diremos que f es integrable respecto de g en [a, b] si existe un número I que
satisface la siguiente propiedad: para cada ε > 0, existe una partición Pε de [a, b]
tal que, para cada partición P más fina que Pε y para cada elección de los puntos
ξk del intervalo [xk−1, xk], k = 1, . . . , n, se tiene
|S(P, f, g) − I| < ε (1.13)
Observación 1.2.1. Si un tal número I existe, entonces es único y se representa
por la expresión
b
a
f(x)dg(x) (1.14)
Ejemplo 1.2.1. Si g(x) = x entonces la integral se reduce a una integral de
Riemann
Ejemplo 1.2.2. Si g(x) es de clase C1
en [a, b] entonces la integral resulta
b
a
f(x)g (x) dx (1.15)
Nota: Este resultado se demuestra en el teorema D.2.5 en la página 63

4 1. INTEGRACI ÓN
Ejemplo 1.2.3. Si f es continua y g(x) = x entonces la integral resulta
i∈Z
a<i≤b
f(i) (1.16)
y si g(x) = x entonces
i∈Z
a≤i<b
f(i) (1.17)
Nota: Este resultado se demuestra en el teorema D.2.7 en la página 65. Notar la
diferencia entre los l´ımites de suma.
1.2.2. Integración por partes.
Teorema 1.2.2. [Fórmula de integración por partes] Si f es integrable respecto
de g en el intervalo [a, b], en el sentido de Riemann-Stieltjes, entonces g es integrable
respecto de f en el intervalo [a, b], en el sentido de Riemann-Stieltjes, y se tiene
b
a
f(x)dg(x) +
b
a
g(x)df(x) = f(b)g(b) − f(a)g(a) (1.18)
Demostración: Ver el teorema D.2.4 en la página 62
En el apéndice D en página 59 se desarrollan aspectos elementales de la teor´ıa
de integración de Riemann-Stieltjes siguiendo el texto de Apostol (1976)
1.3. La fórmula de suma de Euler
Sea {x0, x1, . . . , xn}, donde x0 = a, x1 = a + h, . . . , xn = a + nh = b, una
partición regular del intervalo [a, b]. La suma trapezoidal para la integral
b
a
f(x) dx (1.19)
se denota T(h) y resulta ser
T(h) = h
1
2
f0 + f1 + f2 + f3 + . . . + fn−1 +
1
2
fn (1.20)
o bien
T(h) = h
1
2
f0 +
n−1
i=1
fi +
1
2
fn (1.21)
Desear´ıamos demostrar el siguiente teorema
Teorema 1.3.1. Sea T(h) la suma trapezoidal 1.21. Entonces
T(h) =
b
a
f(x) dx +
h2
12
(f (b) − f (a)) (1.22)
−
h4
720
(f(3)
(b) − f(3)
(a)) (1.23)
+
h6
30240
(f(5)
(b) − f(5)
(a)) (1.24)
+ . . . + c2rh2r
(f(2r−1)
(b) − f(2r−1)
(a)) + O(h2r+2
) (1.25)

1.3. LA F ÓRMULA DE SUMA DE EULER 5
Donde los coeficientes {c2r} tienen la función generatriz
1 + c2h2
+ c4h4
+ c6h6
+ . . . =
h
2
eh
+ 1
eh − 1
(1.26)
(para la interpretación detallada de los coeficientes ver el apéndice E en la
página 67)
1.3.1. El s´ımbolo ‘O’. La notación ‘O grande’ es útil para representar y
calcular en forma exacta con magnitudes aproximadas. En general la notación
O(f(n)) se usa —si f(n) es una función definida sobre los números naturales— con
el fin de representar un número xn con el significado de que existe una constante
positiva M tal que el número xn representado por O(f(n)) satisface la condición
|xn| ≤ M|f(n)|, ∀n ≥ n0 (1.27)
No damos expl´ıcitamente —en general— las constantes M y n0, las que suelen ser
distintas en cada aparición de O
Ejemplo 1.3.1. Sabemos que
n
i=1
i2
=
1
3
n(n +
1
2
)(n + 1) =
1
3
n3
+
1
2
n2
+
1
6
n (1.28)
en consecuencia
n
i=1
i2
= O(n3
) (1.29)
n
i=1
i2
=
1
3
n3
+ O(n2
) (1.30)
La ecuación 1.30 es más fuerte que la ecuación 1.29 (Justificar la validez de estas
ecuaciones y la relación entre ambas).
Las siguientes son operaciones válidas con la notación ‘O’
f(n) = O(f(n)) (1.31)
cO(f(n)) = O(f(n)), si c es una constante (1.32)
O(f(n)) + O(f(n)) = O(f(n)) (1.33)
O(O(f(n))) = O(f(n)) (1.34)
O(f(n))O(g(n)) = O(f(n)g(n)) (1.35)
O(f(n)g(n)) = f(n)O(g(n)) (1.36)
Nota 1.3.1. La notación ‘ O ’ suele extenderse a la variable real x. Por ejemplo
se escribe
ex
= 1 + x +
1
2!
x2
+
1
3!
x3
+ O(x4
) (1.37)
Una cierta dosis de observación permite resolver la siguiente paradoja.
Ejercicio 1.3.2. ¿Qué está mál en el siguiente razonamiento? “Como n =
O(n), 2n = O(n), . . . , se tiene
1≤k≤n
kn =
1≤k≤n
O(n) = 0(n2
)” (1.38)
Notar que es fácil demostrar que 1≤k≤n kn = O(n3
).

6 1. INTEGRACI ÓN
Ejercicio 1.3.3. Demostrar que si se permite a x tomar valores arbitraria-
mente grandes, entonces, para toda potencia m, ex
= O(xm
)
Este tipo de desarrollos
en potencias de un ope-
rador suele utilizarse en
los cursos elementales de
Cálculo para la fórmula
del polinomio de Tay-
lor en dos variables in-
dependientes
1.3.2. lgebra de operadores. Si D representa el operador d/dx se tiene
f(x + h) = f(x) + hf (x) +
h2
2!
f (x) +
h3
3!
f (x) + . . . (1.39)
= 1 + hD +
(hD)2
2!
+
(hD)3
3!
+ . . . f(x) (1.40)
= ehD
f(x) (1.41)
donde el operador ehD
debe entenderse definido por la serie, para la que es fácil
verificar que es normalmente convergente. En consecuencia
f(x + 2h) = ehD
f(x + h) = e2hD
f(x) (1.42)
y as´ı sucesivamente. Utilizamos esta representación de la traslación en la siguiente
fórmula
T(h) = h
1
2
f0 + f1 + f2 + . . . + fn−1 +
1
2
fn (1.43)
= h
1
2
+ ehD
+ e2hD
+ . . . + e(n−1)hD
+
1
2
enhD
f(x0) (1.44)
= h

−
1
2
+
n−1
j=0
ejhD
+
1
2
enhD

 f(x0) (1.45)
luego, por la fórmula de la suma geométrica,
T(h) = h −
1
2
+
enhD
− 1
ehD − 1
+
1
2
enhD
f(x0) (1.46)
= h
1
ehD − 1
+
1
2
enhD
− 1 f(x0) (1.47)
=
h
2
ehD
+ 1
ehD − 1
enhD
− 1 f(x0) (1.48)
pero
t
2
et
+ 1
et − 1
=
∞
j=0
c2jt2j
(1.49)
para la que, con el Mathematica, se obtiene directamente:
Series[(h/2)(Exp[h]+1)/(Exp[h]-1),{h,0,21}]
2 4 6 8 10
h h h h h
1 + -- - --- + ----- - ------- + -------- -
12 720 30240 1209600 47900160
12 14 16
691 h h 3617 h
------------- + ----------- - ----------------- +
1307674368000 74724249600 10670622842880000
18 20
43867 h 174611 h 22

1.4. MÉTODOS BÁSICOS DE INTEGRACI ÓN NUMÉRICA 7
------------------- - --------------------- + O[h]
5109094217170944000 802857662698291200000
Resulta entonces
T(h) =

1 +
∞
j=1
c2j(hD)2j

 enhD
− 1
D
f(x0) (1.50)
=
enhD
− 1
D
f(x0) +
∞
j=1
c2jh2j
D2j−1
enhD
− 1 f(x0) (1.51)
=
b
a
f(x) dx +
∞
j=1
c2jh2j
f(2j−1)
(b) − f(2j−1)
(a) (1.52)
lo que justifica el enunciado del teorema 1.3.1
1.3.3. La fórmula de Euler. En el apéndice E (página 67) demostramos una
fórmula de suma de Euler que enunciamos a continuación con modificaciones.
Teorema 1.3.2. Supongamos que f es una función suave, de clase C∞
en el
intervalo [a, b]. Sea n ≥ 1, h = (b − a)/n, xj = a + jh, para j = 0, 1, . . . , n. Sea,
además, {x} = x − x . Entonces se tiene
b
a
f(x) dx = h
f(a)
2
+ f(x1) + . . . + f(xn−1) +
f(a)
2
+h
b
a
B1
x − a
h
f (x) dx (1.53)
La demostración está presentada en el apéndice.
Se tiene la siguiente fórmula de integración por partes (ver 74),
1
m!
b
a
Bm({(x − a)/h})f(m)
(x) dx =
1
(m + 1)!
(Bm+1(1)f(m)
(b) − Bm+1(0)f(m)
(a)
−
1
(m + 1)!
b
a
Bm+1({(x − a)/h})f(m+1)
(x) dx (1.54)
Utilizandola directamente se puede generalizar la fórmula 1.53 para obtener por
inducción el teorema 1.3.1 de la página 4
1.4. Métodos básicos de integración numérica
En las secciones 4.3 y 4.4 del texto de Burden y Faires (1996) se deducen y des-
arrollan los métodos básicos simples y compuestos para la determinación numérica
de la integral
b
a
f(x) dx (1.55)
La deducción de los mismos se basa en la aproximación de la función f en el
intervalo (o, en el caso de los métodos compuestos, en subintervalos de) [a, b]. La
lectura de las secciones citadas es instructiva puesto que suministra una metodolog´ıa
alternativa para la obtención de las expresiones de los distintos métodos respecto

8 1. INTEGRACI ÓN
de la que desarrollaremos a continuación, que se denomina “método de coeficientes
indeterminados”
1.4.1. El método de coeficientes indeterminados. Para deducir los métodos
básicos de integración numérica mediante este método reemplazamos la integral por
una suma finita
b
a
f(x) dx
N
i=1
wif(xi) (1.56)
donde los N puntos a ≤ xi ≤ b se eligen en forma conveniente (lo que dependerá de
la aplicación particular) y los coeficientes wi (que son pesos en un sentido general)
se consideran indeterminados al principio y resultan ser las variables que debemos
determinar. Para ello se reemplaza en la expresión una familia conveniente de po-
linomios de grado creciente y se utilizan las ecuaciones resultantes para determinar
los wi y, eventualmente, estimar los errores de aproximación del método.
En una sección posterior (ver 1.6 en la página 12) se generalizará este método
para el caso en que se utilizan las ecuaciones para determinar tanto los wi como los
xi.El método de coeficien-
tes indeterminados es
una alternativa frente a
los métodos basados en
la aproximación median-
te polinomios
No se pierde generalidad si se considera que el intervalo de integración es [a, b] =
[−1, 1], o bien [a, b] = [−h, h] por ello realizaremos las cuentas en alguno de estos
intervalos particulares puesto que as´ı las expresiones suelen simplificarse.
1.4.2. El método trapezoidal. Si utilizamos el producto Mathematica para
obtener los coeficientes las entradas y salidas podr´ıan ser
(* Trapezoidal *)
a0=a;a1=b; (* Defino los puntos *)
p0[x_]:=1; (* Defino los polinomios *)
p1[x_]:=(2x-a-b)/(b-a);
p2[x_]:=((2x-a-b)/(b-a))^2;
s0=A p0[a0] + B p0[a1]//Simplify (* Integraci’on num’erica *)
s1=A p1[a0] + B p1[a1]//Simplify; A + B
i0=Integrate[p0[x],{x,a,b}]//Simplify (* Integro los polinomios *)
i1=Integrate[p1[x],{x,a,b}]//Simplify;
-a + b
Solve[{s0==i0,s1==i1},{A,B}]//Simplify (* Resuelvo el sistema *)
-a + b -a + b
{{A -> ------, B -> ------}}
2 2
Se tiene, además, que el error ε1 para un paso h = b − a se puede escribir
(utilizando la fórmula de interpolación lineal o utilizando el error para el polinomio
p2(x) del cuaderno de Mathematica precedente) como
ε1(f) = −
(b − a)3
12
f (η), η ∈ [a, b] (1.57)

1.4. MÉTODOS BÁSICOS DE INTEGRACI ÓN NUMÉRICA 9
(Justificar), análogamente el εn correspondiente al paso h = (b − a)/n resulta
εn(f) =
n
j=1
−
h3
12
f (ηj)
= −
h3
n
12
1
n
n
j=1
f (ηj) (1.58)
y, por la suavidad de f (∈ C∞
[a, b]) se tiene que
∃η ∈ [a, b]: f (η) =
1
n
n
j=1
f (ηj) (1.59)
en definitiva
εn(f) = −
(b − a)h2
12
f (η) η ∈ [a, b] (1.60)
Si utilizamos la fórmula del teorema 1.3.1 podemos escribir
εn(f) = −
B2h2
2!
(f (b) − f (a)) + O(h4
) (1.61)
−
h2
12
f (ξ)(b − a) + O(h4
), ξ ∈ [a, b] (1.62)
lo que nos da un resultado del mismo orden.
A partir de la expresión 1.58 se puede seguir otra l´ınea deductiva: tomamos
l´ımite,
lim
n→∞
εn(f)
h2
= lim
n→∞

−
h
12
n
j=1
f (ηj)

 (1.63)
= −
1
12
lim
n→∞


n
j=1
f (ηj)h

 (1.64)
pero, en esta expresión, xj−1 ≤ ηj ≤ xj, j = 1, . . . , n con lo que la fórmula 1.64 es
una suma de Riemann, en consecuencia
lim
n→∞
εn(f)
h2
= lim
n→∞
−
1
12
b
a
f (x) dx = −
1
12
(f (b) − f (a)) (1.65)
es decir que
εn(f) εn(f) ≡ −
h2
12
(f (b) − f (a)) (1.66)
εn(f) es una aproximación al error asintótico lo que podemos establecer en la si-
guiente definición:
Definición 1.4.1. Sean εn(f) y εn(f), el error exacto y una estimación del
error respectivamente. Decimos que εn(f) es una estimación asintótica del error
εn(f) si
lim
n→∞
εn(f)
εn(f)
= 1 (1.67)

10 1. INTEGRACI ÓN
Utilizando εn(f) es posible dar un método trapezoidal corregido TC
h (f)
TC
h (f) = Th(f) + εn(f) (1.68)
es decir
TC
h (f) = h
f0
2
+ f1 + f2 + . . . + fn−1 +
fn
2
−
h2
12
(f (b) − f (a)) (1.69)
Ejercicio 1.4.1. Estudiar el comportamiento numérico del método trapezoidal
corregido TC
h (f)
1.4.3. El método de Simpson. Utilizamos el producto Mathematica para
determinar los coeficientes del método de Simpson (ver Apéndice B, página 37)
Obtenemos
S
b − a
2
=
b − a
6
f(a) + 4f(
a + b
2
) + f(b) (1.70)
y un error de truncamiento
(b − a)5
2880
f(4)
(
a + b
2
) (1.71)
lo que equivale a
εt =
b−a
2
5
90
f(4)
(
a + b
2
) (1.72)
En forma análoga al caso de método trapezoidal y utilizando las expresiones
precedentes se tiene que
ε2(f) = −
4 b−a
2
5
15
f(4)
(η)
24
, η ∈ [a, b] (1.73)
= −
b − a
2
5
1
90
f(4)
(η), η ∈ [a, b] (1.74)
y
εn(f) = −
h5 n
2
90
2
n
n
2
j=1
f(4)
(ηj)
= −
h4
(b − a)
180
f(4)
(η), η ∈ [a, b] (1.75)
y la fórmula asintótica
εn(f) = −
h4
180
(f(3)
(b) − f(3)
(a)) (1.76)
(Esta última también se obtiene a partir del desarrollo asintótico de Euler)
1.4.4. Métodos de Newton. En la sección precedente hemos obtenido la
fórmula del método de Simpson. La misma metodolog´ıa se puede utilizar para
cualquier elección de los puntos de la partición del intervalo de integración. Por
ejemplo, si desearamos calcular los que corresponden a una partición regular de
once puntos, nuevamente utilizamos el producto Mathematica para obtener los co-
eficientes (ver apéndice B en página 37).
Estos métodos llevan el nombre de métodos de Newton, y en algunos textos
también el de fórmulas de Newton-Cotes.

1.5. MÉTODOS DE EXTRAPOLACI ÓN 11
1.5. Métodos de extrapolación
En esta sección utilizaremos la expresión que calculamos para el error en el
método trapezoidal para ejemplificar el uso de los métodos de extrapolación repe-
tida de Richardson.
Supongamos que b0 = I(0) es la integral que deseamos calcular y que, para el
paso h se tiene
I(h) = b0 + b1h2
+ b2h4
+ b3h6
+ . . . (1.77)
(fórmula que sabemos válida para el mencionado método trapezoidal). El error de
truncamiento es
I(h) − b0 =
n−1
i=1
bih2i
+ O(h2n
) (1.78)
de modo que, con 1.77 y
I(
h
2
) = b0 + b1
h2
4
+ b2
h4
16
+ b3
h6
64
+ . . . (1.79)
se obtiene efectuando ‘4 por (1.79) − (1.77)’
4I(
h
2
) − I(h) = 3b0 −
3
4
b2h4
−
15
16
b3h6
+ . . . (1.80)
y, dividiendo por el coeficiente de b0
I(1)
(h) = I(0)
(
h
2
) +
I(0)
(h
2 ) − I(0)
(h)
3
= b0 −
1
4
b2h4
−
5
16
b3h6
+ . . . (1.81)
(ver la sección C.2 en el apéndice, donde se deducen estas expresiones con el Mat-
hematica). El error de truncamiento es
I(1)
(h) − b0 = −
1
4
b2h4
−
5
16
b3h6
+ . . . (1.82)
Si repetimos este cálculo (ver C.2) se obtiene
I(0)
(h) = I(h) (1.83)
I(1)
(h) = I(0)
(
h
2
) +
I(0)
(h
2 ) − I(0)
(h)
22 − 1
(1.84)
I(2)
(h) = I(1)
(
h
2
) +
I(1)
(h
2 ) − I(1)
(h)
24 − 1
(1.85)
... (1.86)
I(j+1)
(h) = I(j)
(
h
2
) +
I(j)
(h
2 ) − I(j)
(h)
22j+2 − 1
(1.87)
y, en general,
I(j)
(h) = b0 + O(h2j+2
) (1.88)
El esquema resultante es que cada elemento de la segunda columna se obtiene
con los dos inmediatos a su izquierda, cada vez que se calcula una aproximación
con paso más fino se puede calcular una antidiagonal de la tabla, y, por último, el
criterio de detención es que dos valores en la misma columna difieran en menos que
un valor de tolerancia preestablecido.

Tabla 1. Extrapolación de Richardson (Método de Romberg)
I(0)
(h) I(1)
(h) I(2)
(h) I(3)
(h) I(4)
(h) . . .
I(0)
(h
2 ) I(1)
(h
2 ) I(2)
(h
2 ) I(3)
(h
2 ) . . .
I(0)
(h
4 ) I(1)
(h
4 ) I(2)
(h
4 ) . . .
I(0)
(h
8 ) I(1)
(h
8 ) . . .
I(0)
( h
16 ) . . .
...
1.6. Cuadratura de Gauß
La expresión aproximada
N
i=1
wif(xi) (1.89)
para la integral
b
a
f(x) dx es mucho más útil si no se escogen de antemano los
puntos xi. El problema de hallar los puntos y los pesos de modo que la expresión
sea exacta para polinomios del mayor grado posible es resoluble y conduce a los
métodos de integración de Gauß.
En el apéndice B (página 37) incluimos un cuaderno del Mathematica que
calcula los coeficientes para un método de Gauß de tres puntos (se realiza en el
intervalo [−1, 1], pero un simple cambio de variables permite extenderlo a cualquier
intervalo [a, b])
Es conveniente, si embargo, atacar el problema de cuadratura en un contexto
un poco más general.
Sea v una función de peso positiva en el intervalo [−1, 1], si x0, x1, . . . , xm se
eligen como los ceros del polinomio pm+1 de grado m+1 en la familia de polinomios
ortogonales asociada a v(x), entonces la fórmula
1
−1
f(x)v(x) dx w0f0 + w1f1 + . . . + wmfm (1.90)
es exacta para todos los polinomios de orden 2m + 2 siempre que los coeficientesLa inclusión de la fun-
ción peso v facilita con-
siderar distintas familias
de polinomios ortogona-
les
satisfagan
wi =
1
−1
δi(x)v(x) dx (1.91)
donde δi(x) es el polinomio de grado m (orden m + 1) tal que
δi(xj) =
0 j = i
1 j = i
j = 0, 1, 2, . . . , m (1.92)
Para verificar esta afirmación tomemos un polinomio f de orden 2m + 2, existen
entonces polinomios q y r de orden m + 1 tales que
f = qpm+1 + r (1.93)

1.7. MÉTODOS DE MONTECARLO 13
Por lo tanto, debido a la ortogonalidad de la familia {pi}
1
−1
f(x)v(x) dx =
1
−1
q(x)pm+1(x)v(x) dx +
1
−1
r(x)v(x) dx =
1
−1
r(x)v(x) dx
(1.94)
Asimismo, dado que xi es un cero de pm+1, i = 0, 1, . . . , m, se tiene
m
i=0
wifi =
m
i=0
wiq(xi)pm+1(xi) +
m
i=0
wir(xi) =
m
i=0
wir(xi) (1.95)
pero, también se tiene
1
−1
r(x)v(x) dx =
m
i=0
wir(xi) (1.96)
porque los coeficientes wi fueron elegidos de modo que la fórmula sea exacta para
todos los polinomios de grado m o menor (orden m + 1)
Observación 1.6.1. Aplicando la fórmula 1.90 al caso f(x) = (δi(x))2
se tiene
(fj = 0 para j = i)
1
−1
(δi(x))2
v(x) dx = wi (1.97)
por lo que los coeficientes wi en las fórmulas de cuadratura de Gauß son positivos.
Observación 1.6.2. Para obtener los coeficientes se toman los xi como los
ceros de los polinomios del orden deseado y se utiliza un calculador simbólico como
el Mathematica para obtener los coeficientes y para estimar el error de trunca-
miento local. En diversos manuales de fórmulas matemáticas figuran los puntos y
coeficientes de Gauß para distintas familias de polinomios y distintos órdenes.
El análisis del error puede desarrollarse en forma análoga a los casos conside-
rados previamente, por ello dejamos los detalles para el lector interesado.
1.7. Métodos de Montecarlo
En esta sección consideramos un método conceptualmente distinto, respecto de
los anteriormente presentados, para obtener aproximaciones a las integrales
b
a
f(x) dx (1.98)
Suponemos que se posee una definición de la función f, por ejemplo en un
m-file de Matlab
function y = mifun(x)
% MIFUN define mi funci’on
[mx,nx]=size(x)
if (mx == 1) & (nx == 1)
y = 2 * x;
else
disp(’error’);
end % if
o, también, si la función está dada por N puntos en un tabla mif de N × 2 donde
mix=mif(:,1) y miy=mif(:,2), se la calcula, por ejemplo, mediante y=spline(mix,miy,x)
ó bien y=interp1(mix,miy,x) según se desee.

Para la función f se determinan
Mf = sup
a≤x≤b
f(x) (1.99)
y
mf = inf
a≤x≤b
f(x) (1.100)
(en realidad basta que se tomen cotas superior e inferior respectivamente). El
método se aplica entonces a la función f(x) = f(x) − mf que resulta no negativa y
con su gráfico contenido en el rectángulo R = [a, b] × [0, Mf − mf], y consiste en lo
siguiente. Se hallan P puntos al azar en el rectángulo R y se determina el númeroLa función rand permi-
te obtener puntos al azar
en un dominio
Pf de los que se encuentran en el área que deseamos aproximar. A continuación se
calcula la estimación del área mediante la expresión
(b − a) (Mf − mf)
Pf
P
+ mf (1.101)
En la sección C.3 incluimos ejemplos de integrales de Montecarlo.
Este método no suele ser utilizado para el caso de áreas puesto que existen
buenos métodos de cuadratura (como los ya estudiados), sin embargo, el caso de
los volúmenes o hipervolúmenes es distinto. Supongamos que se desea conocer el
volumen de la intersección de 5 cuerpos que se cortan en el espacio Eucl´ıdeo tridi-
mensional, y que además, se desea distinguir la parte de la intersección que perte-
nece a un sexto cuerpo de aquella que no está contenida en el mismo. El intento de
obtener la integral por métodos clásicos o numéricos puede ser de una complejidad
excesiva aún para casos de cuerpos definidos por ecuaciones muy simples. El uso
del método de Montecarlo permite superar estas dificultades.
1.7.1. Determinación de un volumen. En esta sección calcularemos el vo-
lumen del sólido que resulta de la intersección, en el primer octante, de los cilindros
x2
+ z2
= 1 (1.102)
y
y2
+ (z −
1
2
)2
= 1 (1.103)
En primer término atacamos el problema con Matlab, a continuación desarro-
llamos un cuaderno del Mathematica en el que obtenemos una solución similar para
‘verificar’.
% MONTEK volumen por m’etodo de Montecarlo
% C.E.Neuman, 11-may-97
rand(’seed’,sum(100*clock)); % inicializa el generador de n’umeros al azar
scores=[]; % en esta variable se acumulan los resultados
NN=20; % da el numero de cubitos por lado
N=NN^4; % da el numero total de puntos
h=1/NN; % da el paso (dimension del cubito)
for indice=1:10,
X=zeros(N,3);
for i=1:NN, % construcci’on de los puntos al azar

1.7. M´ETODOS DE MONTECARLO 15
im1=i-1; % en cada cubito
for j=1:NN,
jm1=j-1;
for k=1:NN,
km1=k-1;
ps = rand(NN,3);
ini=im1*NN*NN*NN+jm1*NN*NN+km1*NN+1;
fin=ini-1+NN;
X(ini:fin,:) = [ps(:,1)+i-1 ps(:,2)+j-1 ps(:,3)+k-1]*h;
end % rof
end % rof
disp(i);
end % rof
x=X(:,1);
y=X(:,2); % asignaci’on de coordenadas al azar
z=X(:,3);
%%% la siguiente variable calcula los valores de las funciones
%%% de corte para las variables:
TEST=[y.*y+4*(z-0.5).*(z-0.5) x.*x+z.*z];
%%% en I se seleccionan los ’{i}ndices correspondientes a puntos
%%% contenidos en el volumen que se desea medir (intersecci’on
%%% de los dos cuerpos definidos por las expresiones de TEST)
I=find( (TEST(:,1)<=1) & (TEST(:,2)<=1) );
[mI,nI]=size(I);
scores=[scores; mI/N]; % acumulaci’on del resultado
disp(indice);
end % rof
mime=mean(scores)
mide=std(scores)
scorord=sort(scores);
[m,n]=size(scores);
mimeord=mean(scores(0.1*m:0.9*m))
mideord=std(scores(0.1*m:0.9*m))
figure;
hist(scores);
% Salidas del programa precedente
%mime =
% 0.6352
%mide =
% 3.8221e-004
%mimeord =
% 0.6352
%mideord =
% 4.0451e-004
%scores =
% 0.6349
% 0.6347
% 0.6356
% 0.6356
% 0.6347
% 0.6356

% 0.6350
% 0.6356
% 0.6356
% 0.6352
Esta regularidad se ve confirmada por el siguiente cuaderno del Mathematica
(* M’etodo de Montecarlo para integrales triples
C’alculo num’erico de la integral *)
(* Determino el l’{i}mite de separaci’on *)
Solve[4(1-x^2)==(1+Sqrt[1-y^2])^2,y]
2 2
{{y -> -Sqrt[-4 + 4 x - 4 Sqrt[1 - x ]]},
2 2
{y -> Sqrt[-4 + 4 x - 4 Sqrt[1 - x ]]},
2 2
{y -> -Sqrt[-4 + 4 x + 4 Sqrt[1 - x ]]},
2 2
{y -> Sqrt[-4 + 4 x + 4 Sqrt[1 - x ]]}}
(* Defino el l’{i}mite de integraci’on *) f[x_]:=Sqrt[-4+4x
x+4Sqrt[1-x x]]
(* Determino el punto de separaci’on *) Solve[f[x]==1,x]
-Sqrt[3] -Sqrt[3] Sqrt[3]
{{x -> --------}, {x -> --------}, {x -> -------},
2 2 2
Sqrt[3]
{x -> -------}}
2
(* Defino el punto de separaci’on *) c=Sqrt[3]/2 Sqrt[3]
-------
2
(* Defino los extremos de integraci’on *)
geu[x_,y_]:=(1/2)(1+Sqrt[1-y y]) ged[x_,y_]:=(1/2)(1-Sqrt[1-y y])
fcu[x_,y_]:=Sqrt[1-x x]
(* Calculo las integrales en forma num’erica *)
I1=NIntegrate[1,{x,0,c},{y,f[x],1},{z,ged[x,y],geu[x,y]}]
I2=NIntegrate[1,{x,0,c},{y,0,f[x]},{z,ged[x,y],fcu[x,y]}]
I3=NIntegrate[1,{x,c,1},{y,0,f[x]},{z,ged[x,y],fcu[x,y]}] I1+I2+I3
0.244751 0.358503 0.0320788 0.635332 (* valor de la integral
*)
1.8. Métodos adaptativos
En el último apéndice (F, página 75) se propone un laboratorio de Matemática
orientado a estudiar algoritmos adaptativos para la integración numérica.
En la sección C.4, en la página 53, se incluye —para ilustración— el código
de una función de Matlab, adaptada de la denominada quad, que implementa un
algoritmo adaptativo recursivo de bajo orden basado en el método de Simpson. La

1.9. EJERCICIOS 17
función miquad es en realidad un driver que llama a la verdadera función recursiva
que se denomina miquadst la que realiza cada paso de la recursión.
1.8.1. Comparación entre NIntegrate y quad. Calculamos el área bajo
la curva normal, que puede encontrarse en cualquier tabla estad´ıstica, utilizando
las funciones NIntegrate del Mathematica y quad de Matlab. La primera da (los
resultados de medición de tiempos se expresan en segundos)
(* Calculo con el Mathematica *)
f[x_]:=(1/Sqrt[2Pi]) E^(-x^2/2);//Timing
{0. Second, Null}
NIntegrate[f[x],{x,0,1}]//Timing
{0.11 Second, 0.341345}
N[NIntegrate[f[x],{x,0,1}],15]//Timing
{0.11 Second, 0.341344746068543}
Para la segunda es necesario definir en un m-archivo la función que se desea
integrar:
function y=nintquad(x)
% NINTQUAD Densidad normal
%%% C.E.Neuman, 10 de mayo de 1997
y=(1/sqrt(2*pi))*exp(-x.^2/2);
% fin de nintquad
La salida y la medición del tiempo empleado con Matlab es
Salidas de la integraci’on adaptativa con Matlab t=cputime;
Q=quad1(’nintquad’,0,1); cputime-t, Q ans =
0.06
Q =
0.34134540613909
t=cputime; Q=quad1(’nintquad’,0,1,1e-5); cputime-t, Q
ans =
0.11
Q =
0.34134474647804
ans =
0.6
Q =
0.34134474607765
ans =
2.47
Q =
0.34134474606860
Observamos que, en esta medición, —la que, al margen, no es muy precisa,—
parece que la primera metodolog´ıa es más eficiente que la segunda.
1.9. Ejercicios
Ejercicio 1.9.1. Utilizar el método de Romberg para calcular la integral
4
0
f(x) dx (1.104)

donde f(x) está definida por la siguiente tabla:
x 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0
f(x) −4271 −2522 −499 1795 4358 7187 10279 13633 17247
¿Son necesarios todos los valores?
Ejercicio 1.9.2. Probar que la fórmula
1
−1
f(x) dx
1
9
5f −
3
5
+ 8f(0) + 5f
3
5
(1.105)
es exacta para polinomios de quinto grado, y aplicarlo al cálculo de
1
0
sin x
1 + x
dx (1.106)
Ejercicio 1.9.3. (a) Deducir una fórmula de integración de Gauß de dos
puntos para integrales de la forma
1
−1
f(x)(1 + x2
) dx (1.107)
que sea exacta cuando f(x) es un polinomio de grado 3.
(b) Aplicar la fórmula a f(x) = x4
. Usar el resultado para obtener una
aproximación del resto.
Ejercicio 1.9.4. Supongamos que una integral numericamente aproximada se
representa mediante el s´ımbolo In donde n es el número de subdivisiones del inter-
valo de integración. Si se calculan los valores de In para algún método numérico,
analizar en forma emp´ırica la velocidad de convergencia de In a I (el valor de la
integral calculada exactamente) mediante los cocientes
Rn =
I2n − In
I4n − I2n
(1.108)
Dar ejemplos y explicar los resultados.
Ejercicio 1.9.5. [Optativo] Considerar el conjunto S1 de funciones definidas
en el intervalo [a, b] de la siguiente forma. Sea n > 0, h = (b−a)/n, tj = a+jh, para
j = 0, 1, . . . , n. Sea f(x) definida por la propiedad de ser lineal en cada subintervalo
[tj−1, tj], para j = 1, . . . , n. Mostrar que este conjunto de funciones f, para todo
n ≥ 1, es denso en el conjunto C[a, b] de funciones continuas en el intervalo [a, b].
Ejercicio 1.9.6. Obtener fórmulas de integración de Gauß para
I =
1
0
xf(x) dx
n
j=1
wjf(xj) (1.109)
con función peso w(x) = x
Ejercicio 1.9.7. Considerar la siguiente tabla de integrales aproximadas In
obtenidas mediante la regla de Simpson. Predecir el orden de convergencia de la
sucesión de In a la integral I:

1.9. EJERCICIOS 19
n In
2 0.28451779686
4 0.28559254576
8 0.28570248748
16 0.28571317731
32 0.28571418363
64 0.28571427643
Es decir que, si I − In c/np
, entonces, ¿cuánto vale p? El resultado ¿resulta ser
una forma válida para el error de estos datos? Predecir un valor de c y del error en
I64. ¿Qué valor de n es necesario alcanzar para que el error en In sea menor que
10−11
?
Ejercicio 1.9.8. Denotamos IT
n a la regla trapezoidal para aproximar la inte-
gral
b
a
f(x) dx, y, analogamente, IM
n para la fórmula de ‘midpoint’. Los respectivos
errores asintóticos —en el caso en que f sea suficientemente regular en [a, b],— son
I − IT
n = −
h2
12
[f (b) − f (a)] + O(h4
) (1.110)
y
I − IM
n =
h2
24
[f (b) − f (a)] + O(h4
) (1.111)
Utilizar estos resultados para obtener un nuevo método numérico, In, con orden
de convergencia mayor, combinando IT
n y IM
n . ¿Cuáles son los pesos de la nueva
fórmula In?

CAP´ıTULO 2
Ecuaciones diferenciales
2.1. Introducción
Decimos que la ecuación diferencial ordinaria
y = f(x, y) (2.1)
en una función incógnita y, con f(x, y) función continua en un dominio D del
plano, tiene una solución y(x) en un intervalo x0 ≤ x ≤ x1, si y(x) es una fución
diferenciable, (x, y(x)) está en el dominio D para cada x del intervalo [x0, x1] y,
además, y (x) = f(x, y(x)) en [x0, x1].
Desde el punto de vista geométrico podemos considerar que la ecuación y =
f(x, y) define un campo continuo de direcciones sobre D. Y que las funciones
solución son tangentes a esas direcciones (en cada punto del dominio). El campo de direcciones
permite estimar
gráficamente las
trayectorias
T
E
0
y
x1 2 3
1
2
3
d e
e
f
f
e
e
g
g
i
i
f
f
i
i
d e
e
f
f
e
e
g
g
i
i
f
f
i
i
r r r
r r r
r r
Figura 1. Campo de direcciones de f(x, y) = −xy
Ejemplo 2.1.1. Sea la ecuación diferencial y = −xy, entonces y /y = −x y es
posible integrar ambos miembros obteniendo log y = −x2
/2 + C , expresión de la
que tomando la exponencial de ambos miembros se deduce la solución general
y(x) = Ce−x2
/2
(2.2)
de la ecuación diferencial. En la figura 1 esquematizamos el campo de direcciones
definido por f(x, y) = −xy. (En cada punto (x, y) dibujamos un pequeño segmento
en la dirección de la recta por el punto con pendiente −xy.)
Una solución
ε-aproximada difiere
casi uniformemente de
la solución en menos de
ε
21

22 2. ECUACIONES DIFERENCIALES
Definición 2.1.1. Sea f(x, y) una función continua definida en el dominio D.
Una función y(x), definida en el intervalo [x1, x2], es una solución (aproximada) de
y = f(x, y) con error menor que ε si
(i) (x, y(x)) ∈ D, x1 ≤ x ≤ x2
(ii) y(x) es continua en [x1, x2]
(iii) y(x) tiene derivada continua a trozos en [x1, x2] que puede no estar defi-
nida en un número finito de puntos del intervalo [x1, x2], llamémoslos ξ1,
ξ2, . . ., ξn
(iv) |y (x) − f(x, y(x))| ≤ ε, x1 ≤ x ≤ x2, x = ξi, i = 1, 2, . . . , n.
Una vez definidas las soluciones aproximadas de una ecuación diferencial de-
seamos demostrar un resultado de existencia de las mismas que, además, resulta
constructivo, puesto que nos da un método para obtener la aproximación
Teorema 2.1.1. Sea (x0, y0) un punto del dominio D (de la definición 2.1.1)
y supongamos que el rectángulo R = {|x − x0| ≤ a, |y − y0| ≤ b} está contenido en
D. Sea |f(x, y)| ≤ M, (x, y) ∈ R. Entonces, si h = min(a, b/M), puede construirse
una solución aproximada y(x) de y = f(x, y) en el intervalo |x − x0| ≤ h, tal que
y(x0) = y0, donde el error ε puede ser un número positivo arbitrariamente pequeño.
Notar que h es independiente de ε.
S
R
α
O
P
Qh E'
Mh
c
T(x0, y0)
(x0 + h, y0)
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
™
™
™
™
™
™
™
™
™
™
333s
(x1, y1)
4
4
4
4
222
Figura 2. El rectángulo S está contenido en el R
Demostración: El rectángulo S = {|x − x0| ≤ h, |y − y0| ≤ Mh} está contenido
en R por la definición de h (ver la figura 2). Supongamos dado el ε del teorema.
Como f(x, y) es continua en S, resulta uniformemente continua en S; es decir que,
dado ε > 0 (que lo tomamos como el del teorema) existe δ > 0 tal que si |˜x−x| ≤ δ
y |˜y − y| ≤ δ con (˜x, ˜y) ∈ S y (x, y) ∈ S, entonces
|f(˜x, ˜y) − f(x, y)| ≤ ε (2.3)
Sea x1, . . . , xn−1 un conjunto de puntos tales que: x0 < x1 < x2 < · · · <
xn−1 < xn = x0 + h, y
xi − xi−1 ≤ min(δ, δ/M), i = 1, . . . , n (2.4)

2.2. MÉTODOS EN DIFERENCIAS DE UN PASO 23
Construiremos la solución aproximada en el intervalo x0 ≤ x ≤ x0 + h; un
proceso similar permite definirla en el intervalo x0 − h ≤ x ≤ x0.
La solución aproximada será una poligonal construida de la siguiente manera:
desde (x0, y0) se dibuja un segmento hacia la derecha con pendiente f(x0, y0), este
corta la recta x = x1 en un punto (x1, y1). Desde (x1, y1) se dibuja un segmento
hacia la derecha con pendiente f(x1, y1), que corta la recta x = x2 en y2; etc. El
punto (x1, y1) debe pertenecer al triángulo OQP de la figura 2 porque el ángulo α
se toma de modo que tan α = M, y |f(x0, y0)| ≤ M. Por motivos análogos (x2, y2)
también está en OQP; etc. En consecuencia el proceso puede continuarse hasta
xn = x0 + h, porque la única razón por la que podr´ıa detenerse ser´ıa que f(xk, yk)
no estuviese definida, caso en el que se tendr´ıa |yk −y0| > Mh lo que ser´ıa contrario
a la construcción. Podemos definir y(x) por las fórmulas recursivas
y(x) = yi−1 + (x − xi−1)f(xi−1, y(xi−1)) (2.5)
donde
yi−1 = y(xi−1), xi−1 ≤ x ≤ xi, i = 1, . . . , n (2.6)
Por su definición y(x) es admisible, continua, y tiene derivada continua a trozos
y (x) = f(xi−1, y(xi−1), xi−1 < x < xi, i = 1, . . . , n (2.7)
que no está definida solamente en los puntos xi, i = 1, . . . , n − 1. Además, si
xi−1 < x < xi
|y (x) − f(x, y(x))| = |f(xi−1, yi−1) − f(x, y(x))| (2.8)
Pero, por 2.4 |x − xi−1| < min(δ, δ/M), y, por 2.5
|y − yi−1| ≤ M|x − xi−1| ≤ M
δ
M
= δ (2.9)
En consecuencia, por 2.3
|f(xi−1, yi−1) − f(x, y(x))| ≤ ε (2.10)
y
|y (x) − f(x, y(x))| ≤ ε, x = xi, i = 1, 2, . . . , n − 1 (2.11)
Resulta as´ı que y(x) satisface todas las condiciones de la definición previa y la
construcción requerida por el teorema ha sido completada.(ver apéndice H)
Este método de construir una solución aproximada se conoce como método de
Euler. Es innecesario mejorar el valor del h del teorema porque, en general, se
puede demostrar que y(x) está definida en un intervalo mayor que |x − x0| ≤ h.
2.2. Métodos en diferencias de un paso
2.2.1. Métodos de Euler y retroEuler. El método de Euler para la reso-
lución aproximada de la ecuación diferencial
y = f(x, y)
y(x0) = y0
(2.12)
se puede formular as´ı: Método de Euler
yn+1 = yn + hf(xn, yn), n ≥ 0 (2.13)
donde h es de ahora en adelante el paso del método en estudio.

En cada paso se cambia de miembro de la familia de soluciones de la ecuación
diferencial, de manera que la precisión del método deberá depender de la estabi-
lidad de las ecuaciones. Si las ecuaciones son estables, los errores en los primeros
pasos tendrán pequeño efecto posterior. Definimos provisoriamente la noción de
estabilidad de un método numérico en función de su comportamiento para resolver
la ecuación diferencial y = λy con λ un número complejo. La región de estabilidad
absoluta es entonces el subconjunto de puntos hλ del plano complejo con h ≥ 0 para
los que una perturbación en un único valor yn produce una sucesión de cambios en
los siguientes valores que no crecen de paso a paso.Estabilidad del método
de Euler
Ejemplo 2.2.1. Para el método de Euler se tiene
yn+1 = yn + λhyn = (1 + λh)yn (2.14)
de modo que este método es absolutamente estable en la región |1 + λh| ≤ 1 que es
el c´ırculo unitario del plano complejo centrado en el punto (−1, 0).
Ejemplo 2.2.2. El método de Euler aplicado a la ecuación del ejemplo 2.1.1
resulta ser
yn+1 = yn − hxnyn = (1 − hxn)yn (2.15)
El método de Euler puede obtenerse también del siguiente razonamiento. Se
reemplaza la derivada y en la ecuación
y (x) = f(x, y) (2.16)
por un cociente de incrementos en (xn, yn) para obtener
yn+1 − yn
h
= f(xn, yn) (2.17)
resultando el método al despejar la ecuación para yn+1. Si, en cambio, se utiliza el
mismo cociente, pero en (xn+1, yn+1), se obtiene
yn+1 − yn
h
= f(xn+1, yn+1) (2.18)
lo que conduce al método denominado “retroEuler” (backward Euler)Método de retroEuler
yn+1 = yn + hf(xn+1, yn+1) (2.19)
que tiene la caracter´ıstica especial de ser impl´ıcito y requiere la solución de una
ecuación en cada paso.
Ejemplo 2.2.3. Para el método retroEuler se tiene
yn+1 = yn + λhyn+1 (2.20)
es decir que luego de despejar yn+1
yn+1 =
1
1 − λh
yn (2.21)
de modo que este método es absolutamente estable en la región |1/(1 − λh)| ≤ 1
válida en el semiplano de partes reales no positivas del plano complejo.
Estabilidad del método
retroEuler

Ejemplo 2.2.4. El método retroEuler aplicado a la ecuación del ejemplo 2.1.1
resulta ser
yn+1 = yn − hxn+1yn+1 (2.22)
es decir
yn+1 =
1
(1 + hxn+1)
yn (2.23)
2.2.2. Métodos de Runge–Kutta. Nuestro siguiente objetivo es generalizar
el método de Euler utilizando los desarrollos en polinomios de Taylor pero limitando
lo más posible el cálculo de derivadas de las funciones involucradas. Recordemos
que en este método se puede escribir
yh(x) = y(x) + hD(x) + O(h2
) (2.24)
y que para el paso mitad
yh/2(x) = y(x) + (h/2)D(x) + O(h2
) (2.25)
(¿porqué?) y que aplicando la extrapolación (de Richardson) para eliminar D(x)
y(x) = 2yh/2(x) − yh(x) + O(h2
) (2.26)
Apliquémosla a un paso de longitud h, se tiene
yh(xn + h) = yn + hf(xn, yn) (2.27)
y para medio paso
yh/2(xn + (h/2)) = yn + (h/2)f(xn, yn) (2.28)
en consecuencia
yh/2(xn + h) = yn + (h/2)f(xn, yn)
+(h/2)f(xn + (h/2), yn + (h/2)f(xn, yn)) (2.29)
luego, aplicando la extrapolación,
y(xn+1) = 2yn + hf(xn, yn) + hf(xn + (h/2), yn + (h/2)f(xn, yn))
−yn − hf(xn, yn) + O(h2
) (2.30)
y simplificando
yn+1 = yn + hf(xn + (h/2), yn + (h/2)f(xn, yn)) (2.31)
En definitiva, podemos escribir
yn+1 = yn + hϕ(xn, yn, h; f) (2.32)
con Primera fórmula de
Rungeϕ(x, y, h; f) = f(x + (h/2), y + (h/2)f(x, y)) (2.33)
¿En qué consiste esta primera fórmula de Runge en forma gráfica?
En la figura 3 representamos el efecto de aplicar la primera fórmula de Runge
en el paso de xn a xn+1.
Notemos que para el método de Euler se puede definir en forma análoga ϕ(x, y, h; f) =
f(x, y).
Ejercicio 2.2.5. ¿Es posible expresar en esta notación el método de retroEu-
ler?

T
E
0
y
xxn xn+1

¨¨
¨¨¨
¨

Runge 10
Eulerr
r un(xn+1)r
Figura 3. Primer método de Runge
Para estudiar la estabilidad aplicamos la fórmula a la ecuación y = λy. Se
tiene yn+1 = yn + hλ(yn + (h/2)λyn) = yn(1 + hλ + 1
2 h2
λ2
) razón por la cual debe
tenerse que |1 + hλ + 1
2 h2
λ2
| ≤ 1. Estabilidad de la
primera fórmula de
Runge
Este primer método de Runge es generalización del de Euler. Aunque existen
otras posibles generalizaciones, por ejemplo utilizando series de potencias, el pro-
blema es que hay que derivar la función f. La idea de Runge fue dar fórmulas que
se originan en tomar combinaciones de valores de f(x, y) en puntos adecuadamente
elegidos para obtener, sin derivaciones, expresiones cuyos desarrollos coincidan en
sus primeros términos con la serie de potencias desarrollada en el entorno del punto.
Esas fórmulas fueron mejoradas por Heun y por Kutta.
Llamaremos método de Runge-Kutta (RK) a
yn+1 = yn + hϕ(xn, yn, h; f), n ≥ 0 (RK) (2.34)
y en lo que sigue determinaremos diversas elecciones para ϕ. Es natural esperar
que ϕ(x, y(x), h; f) y (x) = f(x, y(x)) si h es pequeño. El error de truncamiento
local es en este método
εn+1(y) = y(xn+1) − y(xn) − hϕ(xn, y(xn), h; f), n ≥ 0 (2.35)
♣ Ilustremos la deducción de distintas ϕ en el caso de segundo orden de aproxima-
ción. La propuesta es
ϕ(x, y, h; f) = γ1f(x, y) + γ2f(x + αh, y + βhf(x, y)) (2.36)
donde deben determinarse las constantes γ1, γ2, α, y β. Para ello desarrollemos el
error de truncamiento local en éste método
εn+1(y) = Y (xn+1) − Y (xn) − hϕ(xn, Y (xn), h; f), n ≥ 0 (2.37)
en potencias de h
εn+1(y) = hYn +
h2
2
Yn +
h3
6
Yn + O(h4
) − hϕ(xn, Yn, h; f) (2.38)

donde (la notación fx significa ∂f/∂x y analogamente para las derivadas parciales
de orden superior)
y = f (2.39)
y = fx + fyy = fx + fyf (2.40)
y = fxx + fxyf + (fyx + fyyf)f + fy(fx + fyf) (2.41)
= fxx + 2fxyf + fyyf2
+ fyfx + f2
y f (2.42)
y
ϕ(x, y, h; f) = γ1f(x, y) + γ2(f(x, y) + h(αfx + βffy)
+h2
(
1
2
α2
fxx + αβfxyf +
1
2
β2
fyyf2
)) + O(h3
) (2.43)
Sustituyendo y agrupando términos en potencias de h se obtiene
εn+1 = h(1 − γ1 − γ2)f + h2
((
1
2
− γ2α)fx + (
1
2
− γ2β)ffy)
+h3
((
1
6
−
1
2
γ2α2
)fxx + (
1
3
− γ2αβ)ffxy + (
1
6
−
1
2
γ2β2
)f2
fyy
+
1
6
fyfx +
1
6
f2
y f) + O(h3
) (2.44)
todo evaluado en (xn, Yn). Deseamos que εn+1(y) converja a cero tan rápido como
se pueda. Aceptando f arbitrarias no podremos, en general, anular el coeficiente
de h3
(¿porqué?). Anulando los de h y h2
obtenemos
εn+1(y) = O(h3
), γ1 + γ2 = 1, γ2α =
1
2
, γ2β =
1
2
(2.45)
cuya solución general es
γ2 arbitrario (2.46)
γ1 = 1 − γ2 (2.47)
α = β =
1
2γ2
(2.48)
Consideremos algunos casos particulares
(a) γ2 = 1, lo que implica γ1 = 0, α = β = 1
2
⇒ ϕ(x, y, h; f) = f(x +
h
2
, y +
h
2
f(x, y)) (2.49)
(b) γ2 = 1
2 , lo que implica γ1 = 1
2 , α = β = 1
⇒ ϕ(x, y, h; f) =
1
2
f(x, y) +
1
2
f(x + h, y + hf(x, y)) (2.50)
Notemos que si definimos
k1 = hf(x, y) (2.51)
k2 = hf(x + h, y + k1) (2.52)
se tiene Segunda fórmula de
Runge
hϕ =
1
2
(k1 + k2) (2.53)
Runge notó que este método puede mejorarse definiendo
k3 = hf(x + h, y + k2) (2.54)

T
E
0
y
xxn xn+1

¨¨
¨¨¨
¨
¢
¢
¢
¢
¢
¢
¢
¢
¢
¢
¢
¢
¢
¢
¢
¢
¢
¢¢

d
d
Runge 2a
Euler
r
r
un(xn+1)r
Figura 4. Segunda fórmula de Runge
y tomando
hϕ =
1
2
(k1 + k3) (2.55)
que es la segunda fórmula de Runge (ver figura 4).
(c) (primer orden) γ1 = 1, lo que implica γ2 = 0, se obtiene en consecuencia
ϕ(x, y, h; f) = f(x, y) (Euler) (2.56)
♣
Las fórmulas de mayor orden involucran un álgebra más complicada, para ello
se suele proponer
hϕ(x, y, h; f) =
p
i=1
γiki (2.57)
con
k1 = hf(x, y) (2.58)
k2 = hf(x + α2h, y + β21k1) (2.59)
...
ki = hf(x + αih, y +
i−1
j=1
βijkj) i = 1, . . . , p (2.60)
Los coeficientes se pueden escoger de modo que los primeros términos en el error
de truncamiento local sean nulos. En consecuencia, por un procedimiento análogo
al realizado en el caso de segundo orden se obtienen diversos métodos de orden
superior de los que el más utilizado es el llamado Método de Runge-KuttaMétodo clásico de
Runge-Kutta
yn+1 = yn +
1
6
(k1 + 2k2 + 2k3 + k4) (2.61)

con
k1 = hf(xn, yn) (2.62)
k2 = hf(xn +
h
2
, yn +
k1
2
) (2.63)
k3 = hf(xn +
h
2
, yn +
k2
2
) (2.64)
k4 = hf(xn + h, yn + k3) (2.65)
T
E
0
y
xxn xn+1

¨¨
¨¨¨
¨

¨¨

RK
Euler
r
r
un(xn+1)r
Figura 5. El método de Runge-Kutta
Se puede demostrar que ésta es una fórmula de cuarto orden: εn+1 = O(h5
). El método clásico de
Runge-Kutta generaliza
el método de SimpsonObservación 2.2.1. El método RK clásico es una generalización de la regla
de Simpson en el caso que f no sea independiente de y
xn+1
xn
f(x)dx
h
6
(f(xn) + 4f(xn +
h
2
+ f(xn+1)) (2.66)
Ejemplo 2.2.6. Apliquemos el método clásico de RK a la ecuación de prueba
y = λy
k1 = hλyn (2.67)
k2 = hλ(yn +
1
2
hλyn) (2.68)
= hλyn +
1
2
h2
λ2
yn (2.69)
k3 = hλ(yn +
1
2
(hλyn +
1
2
h2
λ2
yn)) (2.70)
= hλyn +
1
2
h2
λ2
yn +
1
4
h3
λ3
yn (2.71)
k4 = hλ(yn + hλyn +
1
2
h2
λ2
yn + 1
1
4
h3
λ3
yn) (2.72)
= hλyn + h2
λ2
yn +
1
2
h3
λ3
yn +
1
4
h4
λ4
yn) (2.73)

de manera que
yn +
1
6
(k1 + 2k2 + 2k3 + k4) = yn
+
1
6
(6hλyn + 3h2
λ2
yn + h3
λ3
yn +
1
4
h4
λ4
yn) (2.74)
lo que permite escribir en definitiva
yn+1 = yn(1 + hλ +
1
2
h2
λ2
+
1
6
h3
λ3
+
1
24
h4
λ4
) (2.75)
vemos as´ı que se aproxima a ehλ
hasta el cuarto orden.
Ejercicio 2.2.7. [Optativo] Con la expresión 2.75 se puede dibujar la región
de estabilidad absoluta.
♣ Para estudiar la convergencia del esquema general RK
yn+1 = yn + hϕ(xn, yn, h; f), n ≥ 0 (2.76)
recordemos que el error local es
εn+1(Y ) = Y (xn+1) − Y (xn) − hϕ(xn, Y (xn), h; f), n ≥ 0 (2.77)
conviene definir τn+1(Y ) por la expresión
εn+1(y) = hτn+1(Y ) (2.78)
y con esta τ se tiene
Y (xn+1) = Y (xn) + hϕ(xn, Y (xn), h; f) + hτn+1(Y ), n ≥ 0 (2.79)
con lo que resulta
τn+1(Y ) =
Y (xn+1) − Y (xn)
h
− ϕ(xn, Y (xn), h; f) (2.80)
de modo que debe tenerse τn+1(Y ) → 0 cuando h → 0, equivalentemente debe
requerirse que ϕ(x, Y (x), h; f) → Y (x) = f(x, Y (x)) cuando h → 0.
Definiendo
δ(h) = max
x0≤x≤b
−∞y∞
|f(x, y) − ϕ(x, y, h; f)| (2.81)
se tiene que limh→0 δ(h) = 0 se denomina condición de consistencia para el método
2.76 y es suficiente para asegurar la convergencia si se tienen ciertas hipótesis para
ϕ, a saber: ϕ continua y
|ϕ(x, y, h; f) − ϕ(x, ˜y, h; f)| ≤ L|y − ˜y|, x0 ≤ x ≤ b, −∞ y, ˜y ∞ (2.82)
(función de Lipschitz en la variable y)
Teorema 2.2.2. Supongamos que el método 2.76 dado por
yn+1 = yn + hϕ(xn, yn, h; f) (2.83)
satisface la condición |ϕ(x, y, h; f) − ϕ(x, ˜y, h; f)| ≤ L|y − ˜y| con x0 ≤ x ≤ b − ∞
y, ˜y ∞, L constante. Entonces la solución aproximada {yn} del problema de
valores iniciales y = f(x, y), y(x0) = y0 satisface
max
x0≤xn≤b
|Y (xn) − yn| ≤ e(b−x0)L
|Y0 − y0| +
e(b−x0)L
− 1
L
τ(h) (2.84)

donde τ(h) = maxx0≤xn≤b |τn+1(Y )|. Si se satisface la condición de consistencia
δ(h) = max
x0≤x≤b
−∞y∞
|f(x, y) − ϕ(x, y, h; f)| −→ 0 para h → 0 (2.85)
entonces la solución numérica {yn} converge a Y (x)
Demostración: Restamos (2.79)−(2.76)
Y (xn+1) − yn+1 = Y (xn) − yn + h(ϕ(xn, Y (xn), h; f)
−ϕ(xn, yn, h; f)) + hτn+1(Y ) (2.86)
Luego
|Y (xn+1) − yn+1| ≤ |Y (xn) − yn| + h|ϕ(xn, Y (xn), h; f) − ϕ(xn, yn, h; f)|
+h|τn+1(Y )|
≤ |Y (xn) − yn|(1 + hL) + hτ(h), x0 ≤ xn ≤ b (2.87)
Recursivamente se tiene
|Y (xn+1) − yn+1| ≤ (1 + hL)n
|Y (x0) − y0| + (1 + (1 + hL)
+ . . . + (1 + hL)n−1
)hτ(h)
≤ (1 + hL)n
|Y (x0) − y0| +
(1 + hL)n
− 1
L
τ(h) (2.88)
pero (1+hL)n
≤ enhL
= e(xn−x0)L
≤ e(b−x0)L
pues ex
= 1+x+ x2
2 eξ
con 0 ≤ ξ ≤ x
y x −1 ⇒ (1 + x)m
≤ emx
.
Luego
|Y (xn) − yn| ≤ e(b−x0)L
|Y (x0) − y0| +
e(b−x0)L
− 1
L
τ(h), x0 ≤ xn ≤ b (2.89)
En muchos casos se puede demostrar que τ(h) → 0 cuando h → 0 por cálculo
directo obteniendose as´ı la convergencia buscada. Veamos que basta saber que
limh→0 δ(h) = 0,
hτn+1(Y ) = Y (xn+1) − Y (xn) − hϕ(xn, Y (xn), h; f)
= hY (n) +
1
2
h2
Y (ξn) − hϕ(xn, Y (xn), h; f),
con xn ξn xn+1 (2.90)
resulta as´ı
h|τn+1(Y )| ≤ hδ(h) +
h2
2
||Y ||∞ (2.91)
obteniendose en definitiva
τ(h) ≤ δ(h) +
1
2
h||Y ||∞ (2.92)
lo que completa la demostración.
Corolario 2.2.3. Si el método RK dado por yn+1 = yn +hϕ(xn, yn, h; f) tiene
un error de truncamiento εn+1(y) = O(hm+1
) entonces la velocidad de convergencia
de {yn} a y(x) es O(hm
).

Teorema 2.2.4. Si ϕ(x, y, h; f) es continua en (x, y, h) en x0 ≤ x ≤ b, 0 ≤ h ≤
h0, para todo y y es Lipschitz en y, entonces la convergencia es equivalente a tener
ϕ(x, Y (x), 0; f) = f(x, Y (x))
o, equivalentemente
ϕ(x, y, 0; f) = f(x, y)
Ejercicio 2.2.8. Demostrar el teorema 2.2.4
La velocidad de convergencia de yh(x) a Y (x) es O(h4
) en el método clásico
RK pues εn+1(y) = O(h5
). Se puede demostrar, en consecuencia, que
Y (x) − yh(x) = D(x)h4
+ O(h5
) (2.93)
donde D(x) satisface un problema análogo de valores iniciales. Asimismo, como
Y (x) − y2h(x) = 16D(x)h4
+ O(h5
) (2.94)
se deduce que
Y (x) = yh(x) +
1
15
(yh(x) − y2h(x)) + O(h5
) (2.95)
donde el término yh(x) − y2h(x) permite estimar el error.
En general vale el siguiente
Teorema 2.2.5. Si el error de truncamiento
εn+1(Y ) = hϕ(x, Y (x), h; f) − (Y (x + h) − Y (x)) (2.96)
se puede expresar
εn+1(Y ) = hr+1
ψ(x, Y ) + O(hr+2
) (2.97)
y ϕ tiene derivadas segundas continuas, entonces el error satisface
en = hr
D(xn) + O(hr+1
) (2.98)
donde D(x) es solución de
D (x) =
∂f
∂y
(x, Y (x))D(x) + ψ(x, Y (x)) (2.99)
Demostración: Por el orden del método buscamos para en una expresión de la
forma del enunciado. Si reemplazamos la expresión en = hr
δn en
en+1 = en + h(ϕ(xn, yn, h; f) − ϕ(xn, Y (xn), h; f)) + εn+1(Y ) (2.100)
obtenemos
δn+1 = δn + h1−r
(ϕ(xn, Y (xn) + hr
δn, h; f) − ϕ(xn, Y (xn), h; f))
+hψ(xn, Y (xn)) + O(h2
) (2.101)
Por la suavidad supuesta para ϕ podemos escribir
ϕ(xn, Y (xn) + hr
δn, h; f) = ϕ(xn, Y (xn), h; f) + ϕy(xn, Y (xn), h; f)hr
δn
+
1
2
ϕyy(xn, Y (xn), h; f)h2r
δ2
n (2.102)

2.3. EJERCICIOS 33
en razón de la convergencia este último sumando se puede escribir en la forma k1h2r
con ||k1|| acotada. El segundo sumando se puede reescribir as´ı
ϕy(xn, Y (xn), h; f)hr
δn = ϕy(xn, Y (xn), 0; f)hr
δn
+ϕyh(xn, Y (xn), ξ; f)hr+1
δn (2.103)
cuyo último sumando se puede escribir en la forma k2hr+1
con ||k2|| acotada.
En definitiva
δn+1 = δn + h(fy(xn, Y (xn))δn + hψ(xn, Y (xn) + hk2 + hr
k1) (2.104)
que es un método numérico para
D (x) = fy(x, Y (x))D(x) + ϕ(x, Y (x)) (2.105)
D(0) + e0h−r
(2.106)
lo que permite completar la demostración del teorema. ♣
2.3. Ejercicios
Ejercicio 2.3.1. Dada y = 1 + x2
y2
, con y(0) = 0, calcular y(0.5) mediante
el método de Euler con extrapolación de repetida de Richardson. Usar aritmética
de redondeo de cinco decimales.
Ejercicio 2.3.2. Aplicando el método de Euler, se obtuvieron los resultados:
1.22726 (con paso h = 0.05), 1.22595 (h = 0.1), 1.22345 (h = 0.2). Calcule un
mejor valor por extrapolación.
Ejercicio 2.3.3. Utilizar el método de Euler con longitud de paso h sobre el
problema test
y = −y, y(0) = 1 (2.107)
(a) Determinar una expresión expl´ıcita para yn
(b) ¿Para qué valores de h la sucesión {yn}∞
0 es acotada?
(c) Calcular el limh→0 (y(x, h) − e−x
)/h
Ejercicio 2.3.4. Determinar el desarrollo de Taylor para la solución de la
ecuación y = y2
, con y(0) = 1, en el entorno de x = 0. Usar esta aproximación
para calcular y(0.2) e y(1.2) con cuatro decimales. Comparar con la solución exacta
y explicar porqué el segundo caso (x = 1.2) no es exitoso.
Ejercicio 2.3.5. La función y(x) se define mediante el problema
y = x2
− y2
, y(0) = 1 (2.108)
Calcular y(0.2) utilizando los siguientes métodos:
(a) Euler-Richardson: h = 0.1 y h = 0.2;
(b) Método Runge-Kutta: h = 0.1;
(c) Desarrollo en serie de Taylor hasta el cuarto término;
(d) Método del trapecio: h = 0.2.
Ejercicio 2.3.6. [Optativo]Se desea realizar una tabla de la función
y(x) =
∞
0
e−u2
(u + x)
du (2.109)

para varios valores de x. Se procede de la siguiente manera: y(x) se calcula para
x = 1 usando algún método para integración numérica; se calcula y(1) = 0.6051.
Mostrar que y satisface la ecuación diferencial
dy
dx
+ 2xy = −
1
x
+
√
π (2.110)
Se resuelve la ecuación diferencial numéricamente con el valor inicial y(1) = 0.6051,
y as´ı se pueden calcular más valores de la tabla. Determinar y(x) para x = 1.2 y
x = 1.4 mediante el método de Runge-Kutta y estimar el error en y(1.4).

APÉNDICE A
Bibliograf´ıa y referencias
A.1. Textos básicos
(1) Atkinson, K.E.: An Introduction to Numerical Analysis, 2nd
edition, J.
Wiley Sons., New York, 1989.
(2) Burden, R.L. y Faires, J.D.: Análisis Numérico, 2da
edición, Grupo
Editorial Iberoamérica, México, 1993.
(3) Dahlquist, G., and Bjrck, ˚A.: Numerical Methods, Prentice-Hall, E.
Cliffs, NJ, 1974.
A.2. Bibliograf´ıa complementaria
(1) Aguilera, N.E.: Introducción a la computación en Matemática usando
Mathematica, Red Ol´ımpica, OMA, Buenos Aires, 1994.
(2) Apostol, T.M.: Análisis Matemático, 2da
edición, Reverté, Barcelona,
1976.
(3) Braun, M.: Differential Equations and Their Applications. An Intro-
duction to Applied Mathematics, 4th
edition, Springer, N.York, 1993.
(4) Davis, Ph.J. y Rabinowitz, Ph.: Methods of Numerical Integration,
2nd
edition, Academic Press, N.York, 1984.
(5) Gear, C.W.: Numerical Initial Value Problems in Ordinary Differential
Equations, Prentice-Hall, E. Cliffs, 1971
(6) Golub, G.H. (Editor): Studies in Numerical Analysis, MAA Studies in
Mathematics 24, Washington, 1984.
(7) Graham, R.L., Knuth, D.E., and Patashnik, O.: Concrete Mathe-
matics, Addison-Wesley, Reading, MA, 1989.
(8) Hurewicz, W.: Lectures on Ordinary Differential Equations, The M.I.T.
Press, Cambridge, MA, 1958.
(9) Knuth, D.E.: The Art of Computer Programming
Vol.1: Fundamental Algorithms
Vol.2: Seminumerical algorithms
Vol.3: Sorting and searching ,
Addison-Wesley, Reading, 1973.
Versión española: V.1, Reverté, Barcelona, 1980.
(10) Linz, P.: A Critique of Numerical Analysis, Bulletin American Mathe-
matical Society, 19(2), 407–416, 1988
(11) Maeder, R.: Programming in Mathematica, 2nd
edition, Addison-Wesley,
1991.
(12) Marshall, G.: Solución Numérica de Ecuaciones Diferenciales, Tomos
1 y 2, Reverté, Buenos Aires, 1985 y 1986
35

36 A. BIBLIOGRAF´IA Y REFERENCIAS
(13) Press, W.H., Teukolsky, S.A., Vetterlin, W.T., y Flannery,
B.P.: Numerical Recipes in C. The Art of Scientiﬁc Computing, 2nd
edi-
tion, Cambridge University Press, Cambridge, 1992.
(14) Rice, J.R.: Numerical Methods, Software, and Analysis, 2nd
edition,
Academic Press, Boston, 1993.
(15) Stoer, J. y Bulirsch, R.: Introduction to Numerical Analysis, Sprin-
ger, N.York, 1980.
(16) Strang, G.: Introduction to Applied Mathematics, Wellesley-Cambridge,
Wellesley, 1986
(17) Wolfram Research: Guide to Standard Mathematica Packages, Ver-
sion 2.2, Technical Report, Wolfram Research, 1993.
(18) Wolfram Research: MathLink Reference Guide, Version 2.2, Technical
Report, Wolfram Research, 1993.
(19) Wolfram, S.: The Mathematica Book, 3rd
edition, Wolfram Media-
Cambridge, Cambridge, UK, 1996.

APÉNDICE B
Coeficientes indeterminados con el Mathematica
B.1. El método de Simpson
(* Simpson *)
a0=a;(* Defino los puntos *)
a1=a/2+b/2;
a2=b;(*a=-1;b=1;*)
p1[x_]:=(2x-a-b)/(b-a);
p2[x_]:=((2x-a-b)/(b-a))^2;
p3[x_]:=((2x-a-b)/(b-a))^3;
p4[x_]:=((2x-a-b)/(b-a))^4;
(* Integraci’on num’erica *) s0=A p0[a0] + B p0[a1] + C p0[a2]
//Simplify s1=A p1[a0] + B p1[a1] + C p1[a2] //Simplify; s2=A
p2[a0] + B p2[a1] + C p2[a2] //Simplify; A + B + C
(* Integro los polinomios *)
i0=Integrate[p0[x],{x,a,b}]//Simplify
-a + b
(* Resuelvo el sistema *)
Solve[{s0==i0,s1==i1,s2==i2},{A,B,C}]//Simplify
2 (-a + b) -a + b -a + b
{{B - ----------, A - ------, C - ------}}
3 6 6
(* Verifico que vale para polinomios de tercer grado *)
(s3=A p3[a0] + B p3[a1] + C p3[a2])/.%15 //Simplify
{0} i3=Integrate[p3[x],{x,a,b}]//Simplify 0 (* Resulta as’{i}
que la siguiente
ecuaci’on ( s3 == i3 ) vale trivialmente *)
(* Calculo del error con el polinomio de cuarto grado *)
(s4=A p4[a0] + B p4[a1] + C p4[a2])/.%15 //Simplify
-a + b
{------}
3
-a + b
------
5
e4=(%20 - %19)//Simplify
2 (a - b)
37

38 B. COEFICIENTES INDETERMINADOS CON EL Mathematica
{---------}
15
(* Calculo del polinomio de Taylor *)
Series[ f[x], {x, (a+b)/2, 4}]
a + b -(a + b) 2
f’’[-----] (-------- + x)
a + b a + b -(a + b) 2 2
f[-----] + f’[-----] (-------- + x) + -------------------------- +
2 2 2 2
(3) a + b -(a + b) 3 (4) a + b -(a + b) 4
f [-----] (-------- + x) f [-----] (-------- + x)
2 2 2 2
--------------------------- + --------------------------- +
6 24
-(a + b) 5
O[-------- + x]
2
(* Resulta asi que el error de truncamiento es
5 (4) a + b
( b - a ) f [-----]
2
------------------------
2880 *)
B.2. El m´etodo de Newton
(* Newton de once puntos *)
a0=a; (* Defino los puntos *)
a1=9a/10+b/10;
a2=8a/10+2b/10;
a3=7a/10+3b/10;
a4=6a/10+4b/10;
a5=5a/10+5b/10;
a6=4a/10+6b/10;
a7=3a/10+7b/10;
a8=2a/10+8b/10;
a9=a/10+9b/10;
a10=b;
p1[x_]:=(2x-a-b)/(b-a);
p2[x_]:=((2x-a-b)/(b-a))^2;
p3[x_]:=((2x-a-b)/(b-a))^3;
p4[x_]:=((2x-a-b)/(b-a))^4;
p5[x_]:=((2x-a-b)/(b-a))^5;
p6[x_]:=((2x-a-b)/(b-a))^6;
p7[x_]:=((2x-a-b)/(b-a))^7;
p8[x_]:=((2x-a-b)/(b-a))^8;
p9[x_]:=((2x-a-b)/(b-a))^9;
p10[x_]:=((2x-a-b)/(b-a))^10;
p11[x_]:=((2x-a-b)/(b-a))^11;
p12[x_]:=((2x-a-b)/(b-a))^12;

B.2. EL M´ETODO DE NEWTON 39
(* Integraci’on num’erica *) s0=A0 p0[a0] + A1 p0[a1] + A2
p0[a2] + A3 p0[a3]+
A4 p0[a4] + A5 p0[a5] + A6 p0[a6] + A7 p0[a7]+
A8 p0[a8] + A9 p0[a9] + A10 p0[a10]//Simplify;
s1=A0 p1[a0] + A1 p1[a1] + A2 p1[a2] + A3 p1[a3]+
A4 p1[a4] + A5 p1[a5] + A6 p1[a6] + A7 p1[a7]+
s2=A0 p2[a0] + A1 p2[a1] + A2 p2[a2] + A3 p2[a3]+
A4 p2[a4] + A5 p2[a5] + A6 p2[a6] + A7 p2[a7]+
s3=A0 p3[a0] + A1 p3[a1] + A2 p3[a2] + A3 p3[a3]+
A4 p3[a4] + A5 p3[a5] + A6 p3[a6] + A7 p3[a7]+
s4=A0 p4[a0] + A1 p4[a1] + A2 p4[a2] + A3 p4[a3]+
A4 p4[a4] + A5 p4[a5] + A6 p4[a6] + A7 p4[a7]+
s5=A0 p5[a0] + A1 p5[a1] + A2 p5[a2] + A3 p5[a3]+
A4 p5[a4] + A5 p5[a5] + A6 p5[a6] + A7 p5[a7]+
s6=A0 p6[a0] + A1 p6[a1] + A2 p6[a2] + A3 p6[a3]+
A4 p6[a4] + A5 p6[a5] + A6 p6[a6] + A7 p6[a7]+
s7=A0 p7[a0] + A1 p7[a1] + A2 p7[a2] + A3 p7[a3]+
A4 p7[a4] + A5 p7[a5] + A6 p7[a6] + A7 p7[a7]+
s8=A0 p8[a0] + A1 p8[a1] + A2 p8[a2] + A3 p8[a3]+
A4 p8[a4] + A5 p8[a5] + A6 p8[a6] + A7 p8[a7]+
s9=A0 p9[a0] + A1 p9[a1] + A2 p9[a2] + A3 p9[a3]+
A4 p9[a4] + A5 p9[a5] + A6 p9[a6] + A7 p9[a7]+
s10=A0 p10[a0] + A1 p10[a1] + A2 p10[a2] + A3 p10[a3]+
A4 p10[a4] + A5 p10[a5] + A6 p10[a6] + A7 p10[a7]+
(* Integro los polinomios *)
-a + b
(* Resuelvo el sistema *)
Solve[{s0==i0,s1==i1,s2==i2
,s3==i3,s4==i4
,s5==i5,s6==i6
,s7==i7,s8==i8
,s9==i9,s10==i10}
,{A0,A1,A2,A3,A4,A5,A6,A7,A8,A9,A10}]//Simplify
17807 (-a + b) -16067 (a - b)
{{A5 - --------------, A0 - --------------,

24948 598752
-26575 (a - b) 16175 (a - b)
A1 - --------------, A2 - -------------,
149688 199584
-5675 (a - b) 4825 (a - b)
A3 - -------------, A4 - ------------,
12474 11088
4825 (a - b) -5675 (a - b)
A6 - ------------, A7 - -------------,
11088 12474
16175 (a - b) -26575 (a - b)
A8 - -------------, A9 - --------------,
199584 149688
-16067 (a - b)
A10 - --------------}}
598752
(* Verifico que los pesos suman uno *)
598752/24948
24
598752/149688
4
598752/199584
3
598752/12474
48
598752/11088
54
2 16067 + 2 26575 4 - 2 16175 3 + 2 5675 48 - 2 4825 54 + 17807 24
598752
B.3. El m´etodo de cuadratura de Gauß de tres puntos
(* Gauss de tres puntos *)
a=-1; (* Se trabaja en el [-1,1] *)
b=1;
p0[x_]:=1; (* Definici’on de los polinomios *)
p1[x_]:=(2x-a-b)/(b-a); p2[x_]:=((2x-a-b)/(b-a))^2;
p3[x_]:=((2x-a-b)/(b-a))^3; p4[x_]:=((2x-a-b)/(b-a))^4;
p5[x_]:=((2x-a-b)/(b-a))^5; p6[x_]:=((2x-a-b)/(b-a))^6;
p7[x_]:=((2x-a-b)/(b-a))^7;
(* Las expresiones de Gauss *)
s0=A p0[X] + B p0[Y] + C p0[Z] //Simplify
s1=A p1[X] + B p1[Y] + C p1[Z] //Simplify;
A + B + C
(* Las integrales *)

B.4. LOS COEFICIENTES DE LA CUADRATURA DE GAUSS DE CINCO PUNTOS 41
2
(* El sistema de ecuaciones no lineal *)
Solve[{s0==i0,
s1==i1,
s2==i2,
s3==i3,
s4==i4,
s5==i5},{A,B,C,X,Y,Z}]//Simplify
5 5 8 3 3
{{A - -, B - -, C - -, Z - 0, Y - -Sqrt[-], X - Sqrt[-]},
9 9 9 5 5
5 5 8 3 3
{A - -, B - -, C - -, Z - 0, Y - Sqrt[-], X - -Sqrt[-]},
9 9 9 5 5
5 8 5 3 3
{A - -, B - -, C - -, Z - -Sqrt[-], Y - 0, X - Sqrt[-]},
9 9 9 5 5
5 8 5 3 3
{A - -, B - -, C - -, Z - Sqrt[-], Y - 0, X - -Sqrt[-]},
9 9 9 5 5
8 5 5 3 3
{A - -, B - -, C - -, Z - -Sqrt[-], Y - Sqrt[-], X - 0},
9 9 9 5 5
8 5 5 3 3
{A - -, B - -, C - -, Z - Sqrt[-], Y - -Sqrt[-], X - 0}}
9 9 9 5 5
%//N (* La versi’on num’erica *)
{{A - 0.555556, B - 0.555556, C - 0.888889, Z - 0, Y - -0.774597,
X - 0.774597}, {A - 0.555556, B - 0.555556, C - 0.888889, Z - 0,
Y - 0.774597, X - -0.774597},
{A - 0.555556, B - 0.888889, C - 0.555556, Z - -0.774597, Y - 0,
X - 0.774597}, {A - 0.555556, B - 0.888889, C - 0.555556, Z - 0.774597,
Y - 0, X - -0.774597}, {A - 0.888889, B - 0.555556, C - 0.555556,
Z - -0.774597, Y - 0.774597, X - 0},
{A - 0.888889, B - 0.555556, C - 0.555556, Z - 0.774597, Y - -0.774597,
X - 0}}
B.4. Los coeﬁcientes de la cuadratura de Gauß de cinco puntos
(* Cuadratura de Gauss de cinco puntos *)

(* Determino las coordenadas de los puntos *)
Roots[LegendreP[5,x]==0,x]
N[%,30]
(* Defino las variables que representan los puntos *)
a0=x/.x-%%[[5]][[2]]
a1=x/.x-%%%[[3]][[2]]
a2=x/.x-%%%%[[1]][[2]]
a3=x/.x-%%%%%[[2]][[2]]
a4=x/.x-%%%%%%[[4]][[2]]
10 10
Sqrt[5 - 2 Sqrt[--]] -Sqrt[5 - 2 Sqrt[--]]
7 7
x == 0 || x == -------------------- || x == --------------------- ||
3 3
10 10
Sqrt[5 + 2 Sqrt[--]] -Sqrt[5 + 2 Sqrt[--]]
7 7
x == -------------------- || x == ---------------------
3 3
x == 0 ||
x == 0.5384693101056830910363144207 ||
x == -0.5384693101056830910363144207 ||
x == 0.906179845938663992797626878299 ||
x == -0.906179845938663992797626878299
-0.906179845938663992797626878299
-0.5384693101056830910363144207
0
0.5384693101056830910363144207
0.906179845938663992797626878299
(* Fijo los extremos del intervalo *)
a=-1;
b=1;
(* Defino los polinomios *)
p0[x_]:=1;
p1[x_]:=(2x-a-b)/(b-a);
p2[x_]:=((2x-a-b)/(b-a))^2;
p3[x_]:=((2x-a-b)/(b-a))^3;
p4[x_]:=((2x-a-b)/(b-a))^4;
p5[x_]:=((2x-a-b)/(b-a))^5;
p6[x_]:=((2x-a-b)/(b-a))^6;
p7[x_]:=((2x-a-b)/(b-a))^7;
p8[x_]:=((2x-a-b)/(b-a))^8;
p9[x_]:=((2x-a-b)/(b-a))^9;
p10[x_]:=((2x-a-b)/(b-a))^10;
p11[x_]:=((2x-a-b)/(b-a))^11;
p12[x_]:=((2x-a-b)/(b-a))^12;
(* Defino las expresiones para los pesos A0,A1,A2,A3,A4 *)
s0=A0 p0[a0]+A1 p0[a1]+A2 p0[a2]+A3 p0[a3]+A4 p0[a4]//Simplify
s1=A0 p1[a0]+A1 p1[a1]+A2 p1[a2]+A3 p1[a3]+A4 p1[a4]//Simplify

s2=A0 p2[a0]+A1 p2[a1]+A2 p2[a2]+A3 p2[a3]+A4 p2[a4]//Simplify;
s10=A0 p10[a0]+A1 p10[a1]+A2 p10[a2]+
A3 p10[a3]+A4 p10[a4]//Simplify;
s11=A0 p11[a0]+A1 p11[a1]+A2 p11[a2]+
A0 + A1 + A2 + A3 + A4
-0.906179845938663992797626878299 A0
- 0.5384693101056830910363144207 A1
+ 0.5384693101056830910363144207 A3
+ 0.906179845938663992797626878299 A4
(* Calculo las integrales *)
2
(* Resoluci’on del sistema de ecuaciones *) Solve[{s0==i0
,s1==i1
,s2==i2
,s3==i3
,s4==i4},{A0,A1,A2,A3,A4}]//Simplify
{{A2 - 0.56888888888888888888888889
, A0 - 0.236926885056189087514264041
, A1 - 0.478628670499366468041291515
, A3 - 0.478628670499366468041291515
, A4 - 0.2369268850561890875142640407}}
(* Calculo de los residuos para los siguientes polinomios *)
s5 - i5 /. %56
-16
{-2.22045 10 }
s6 - i6 /. %56
-16
{4.16334 10 }
s7 - i7 /. %56
-16
{-1.66533 10 }
s8 - i8 /. %56
-16
{3.46945 10 }
s9 - i9 /. %56

-16
{-1.38778 10 }
s10 - i10 /. %56
{-0.00293181}
s11 - i11 /. %56
-16
{-1.249 10 }
s12=A0 p12[a0]+A1 p12[a1]+A2 p12[a2]+
s12 - i12 /. %56
{0.145853}
En algunos casos se trabaja con mayor precisi´on
(* Cuadratura de Gauss de cinco puntos (operaciones exactas) *)
(* Determino las coordenadas de los puntos *)
Roots[LegendreP[5,x]==0,x]
N[%,50]
(* Defino las variables que representan los puntos *)
a0=x/.x-%%%[[5]][[2]]
a1=x/.x-%%%%[[3]][[2]]
a2=x/.x-%%%%%[[1]][[2]]
a3=x/.x-%%%%%%[[2]][[2]]
a4=x/.x-%%%%%%%[[4]][[2]]
10 10
Sqrt[5 - 2 Sqrt[--]] -Sqrt[5 - 2 Sqrt[--]]
7 7
x == 0 || x == -------------------- || x == --------------------- ||
3 3
10 10
Sqrt[5 + 2 Sqrt[--]] -Sqrt[5 + 2 Sqrt[--]]
7 7
x == -------------------- || x == ---------------------
3 3
x == 0 ||
x == 0.53846931010568309103631442070020880496728660690556 ||
x == -0.53846931010568309103631442070020880496728660690556 ||
x == 0.90617984593866399279762687829939296512565191076253 ||
x == -0.90617984593866399279762687829939296512565191076253
10
-Sqrt[5 + 2 Sqrt[--]]
7
---------------------
3
10
-Sqrt[5 - 2 Sqrt[--]]
7
---------------------
3
0
10
Sqrt[5 - 2 Sqrt[--]]

7
--------------------
3
10
Sqrt[5 + 2 Sqrt[--]]
7
--------------------
3
.
.
.
(* Resoluci’on del sistema de ecuaciones *) Solve[{s0==i0
,s1==i1
,s2==i2
,s3==i3
,s4==i4},{A0,A1,A2,A3,A4}]//Simplify;
N[%,50]
{{A2 - 0.56888888888888888888888888888888888888888888888889,
A0 - 0.23692688505618908751426404071991736264326000221241,
A1 - 0.47862867049936646804129151483563819291229555334314,
A3 - 0.4786286704993664680412915148356381929122955533431,
A4 - 0.23692688505618908751426404071991736264326000221241}}
s5 - i5 /. %61;
N[%,35]
-43
{0. 10 }
s6 - i6 /. %61;
N[%,35]
-42
{0. 10 }
s7 - i7 /. %61;
N[%,35]
-43
{0. 10 }
s8 - i8 /. %61;
N[%,35]
-43
{0. 10 }
s9 - i9 /. %61;
N[%,35]
-43
{0. 10 }
s10 - i10 /. %61;
N[%,35]
{-0.00293181245562197943150324102705055}
s11 - i11 /. %61;
N[%,35]
-43
{0. 10 }

s12 - i12 /. %61;
N[%,35]
{0.14585257971501357744743988130231516}
s13 - i13 /. %61;
N[%,35]
-44
{0. 10 }
s14 - i14 /. %61;
N[%,35]
{-0.01386690413313408190371321302706202}

APÉNDICE C
Cuadernos del Mathematica y archivos script de
Matlab
C.1. La función mihumps
(*MIHUMPS*)
f[x_]:= 0.01/((x-0.3)^2+.01) + 0.01/((x-0.9)^2+.04) - 0.06
Plot[f[x],{x,0,1},PlotRange-{{0,1},{0,1}}
,GridLines-Automatic
,AspectRatio-1
,PlotStyle-RGBColor[1.000,0.000,0.000]
,Frame-True]
-Graphics-
La figura representada por el Plot precedente es la 1, la que en el cuaderno
queda insertada a continuación.
0.2 0.4 0.6 0.8 1
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Figura 1. La función mihumps
47

48 C. CUADERNOS DEL Mathematica Y ARCHIVOS SCRIPT DE MATLAB
Integrate[f[x],x]
-0.06 x + 0.05 ArcTan[5. (-0.9 + x)] + 0.1 ArcTan[10. (-0.3 + x)]
N[Integrate[f[x],{x,0,1}],30]
0.2985832539549867
f[x]//TeXForm
-0.06 + {{0.01}over {0.04 + {{left( -0.9 + x right) }^2}}} +
{{0.01}over {0.01 + {{left( -0.3 + x right) }^2}}}
%3//TeXForm
-0.06,x + 0.05,arctan (5.,left( -0.9 + x right) ) +
0.1,arctan (10.,left( -0.3 + x right) )
Las funciones f(x) —mihumps— y su integral F(x) =
x
0
f(s) ds son
f(x) = −0.06 +
0.01
0.04 + (−0.9 + x)
2 +
0.01
0.01 + (−0.3 + x)
2 (C.1)
y
F(x) = −0.06 x + 0.05 arctan(5. (−0.9 + x)) + 0.1 arctan(10. (−0.3 + x)) (C.2)
C.2. Extrapolaci´on repetida de Richardson
En el siguiente cuaderno del Mathematica calculamos los errores de trunca-
miento de los distintos pasos de extrapolaci´on.
Extrapolaci’on repetida de Richardson
Table[2^(2j)-1,{j,9}]
{3, 15, 63, 255, 1023, 4095, 16383, 65535, 262143}
I0[h_]=b0+b1 h^2+b2 h^4+b3 h^6+b4 h^8+b5 h^10+b6 h^12+
b7 h^14+b8 h^16
2 4 6 8 10
b0 + b1 h + b2 h + b3 h + b4 h + b5 h +
12 14 16
b6 h + b7 h + b8 h
I1[h_]=I0[h/2]+(I0[h/2]-I0[h])/3//Simplify;
Collect[%,h]
4 6 8 10
b2 h 5 b3 h 21 b4 h 85 b5 h
b0 - ----- - ------- - -------- - --------- -
4 16 64 256
12 14 16
341 b6 h 1365 b7 h 5461 b8 h
---------- - ----------- - -----------
1024 4096 16384
Collect[%,h]
6 8 10 12
b3 h 21 b4 h 357 b5 h 5797 b6 h
b0 + ----- + -------- + ---------- + ----------- +
64 1024 16384 262144

C.2. EXTRAPOLACI ´ON REPETIDA DE RICHARDSON 49
14 16
93093 b7 h 1490853 b8 h
------------ + --------------
4194304 67108864
Collect[%,h]
8 10 12
b4 h 85 b5 h 5797 b6 h
b0 - ----- - --------- - ----------- -
4096 262144 16777216
14 16
376805 b7 h 24208613 b8 h
------------- - ---------------
1073741824 68719476736
Collect[%,h]
10 12 14
b5 h 341 b6 h 93093 b7 h
b0 + ------- + ---------- + ------------ +
1048576 268435456 68719476736
16
24208613 b8 h
---------------
17592186044416
Collect[%,h]
12 14 16
b6 h 1365 b7 h 1490853 b8 h
b0 - ---------- - ------------- - ----------------
1073741824 1099511627776 1125899906842624
% MIRICHAR aplica la extrapolaci’on repetida de Richardson
% al m’etodo trapezoidal (Integraci’on de Romberg)
% C.E.Neuman, 6-5-97
% inicializaci’on
i=1;
a=0;
b=1;
h=(b-a)/10;
% lazo
while 1
x=a:h:b; % partici’on
l=length(x);
pesos=[1 2*ones(1,l-2) 1]; % pesos de Trapezoidal
II(i,1)=(h/2)*sum(pesos.*mihumps(x)); % m’etodo Trapezoidal
%%%
%%% En este algoritmo se recalcula la funci’on de nuevo, se
%%% puede mejorar aprovechando las evaluaciones previas.
%%%
del(i)=2^(2*i)-1; % divisor para la extrapolaci’on

for j=(i-1):(-1):1, % l’{i}nea de extrapolaciones
k=i-j+1;
II(j,k)=II(j+1,k-1)+(II(j+1,k-1)-II(j,k-1))/del(k-1) ;
end % rof
if i 7, % terminaci’on ( se puede sustituir por una
% que compare los valores obtenidos de I )
break;
end % fi
h=h/2;
i=i+1;
end % elihw
%%% fin de mirichar.m
La salida de mirichar (valores de II) se consigna en las tablas 1 y 2.
Tabla 1. Integración de Romberg para la función mihumps
(ver tabla 1). La integral (con el Mathematica) resulta Q =
0.2985832539549867
0.29851740902665 0.29819609270927 0.29860841977863 0.29858290374753
0.29827642178861 0.29858264933679 0.29858330243552 0.29858325318208
0.29850609244975 0.29858326161685 0.29858325395166 0.29858325395498
0.29856396932507 0.29858325443074 0.29858325395493 0.29858325395499
0.29857843315432 0.29858325398467 0.29858325395499 0.29858325395499
0.29858204877708 0.29858325395684 0.29858325395499 0
0.29858295266190 0.29858325395510 0 0
0.29858317863180 0 0 0
Tabla 2. Integración de Romberg para la función mihumps (conti-
nuación, ver tablas 1 y 1). La integral (con el Mathematica) resulta
Q = 0.2985832539549867
0.29858325455241 0.29858325395743 0.29858325395498 0.29858325395499
0.29858325395801 0.29858325395498 0.29858325395499 0
0.29858325395499 0.29858325395499 0 0
0.29858325395499 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
C.3. Métodos de Montecarlo
En lo que sigue veremos dos ejemplos en el cuadrado unitario [0, 1]x[0, 1].
Ejemplo C.3.1. Calculamos mediante el método de Montecarlo el área bajo
la función f(x) = 0.5 en el cuadrado unitario. Realizamos mil veces el cálculo del
área estimada mediante diez mil puntos seleccionados al azar.

C.3. MÉTODOS DE MONTECARLO 51
% AZAR3.M script de prueba para m’etodo de Montecarlo
% C.E.N., 05-may-97
rand(’seed’,sum(100*clock)); %inicializa los n’umeros aleatorios
scores=[];
for j=1:1000,
% pru=rand(1,1)
NN=10000;%0*pru;
puntos=rand(NN,2);
I=find(puntos(:,2) 0.5); % determina los puntos bajo la curva
[m,n]=size(I);
scores=[scores; m/NN];
end
mime=mean(scores) % calcula la media aritm’etica
mide=std(scores) % calcula la desviaci’on t’{i}pica
[m,n]=size(scores);
mimeord=mean(scores(0.1*m:0.9*m)) % media podada 20%
mideord=std(scores(0.1*m:0.9*m)) % desv’{i}o podado 20%
figure;
hist(scores); % histograma de los valores
save azar3;
% Resultados de la corrida de 1000
% azar3
%mime =
% 0.4997
%mide =
% 0.0050
%mimeord =
% 0.4999
%mideord =
% 0.0050
% axis([0.475 0.525 0 300])
% grid
Vemos que el resultado —utilizando los estimadores robustos— es de 0.500±0.005,
intervalo de confianza que contiene el valor exacto.
En la figura 2 dibujamos el histograma que representa la distribución de pun-
tajes obtenidos por la rutina de Montecarlo.
Ejemplo C.3.2. Calulamos la integral de la función ‘humps’ mediante el método
de Montecarlo
rand(’seed’,sum(100*clock))
scores=[];
for j=1:1000,
% pru=rand(1,1)
NN=10000;%0*pru;
puntos=rand(NN,2);
I=find( puntos(:,2) 0.01*humps(puntos(:,1)) );
[m,n]=size(I);

0.48 0.485 0.49 0.495 0.5 0.505 0.51 0.515 0.52 0.525
0
50
100
150
200
250
Figura 2. Histograma de distribuci´on de los valores estimados de
la integral del ejemplo C.3.1
scores=[scores; m/NN];
disp(j);
end
mime=mean(scores)
mide=std(scores)
[m,n]=size(scores);
mimeord=mean(scores(0.1*m:0.9*m))
mideord=std(scores(0.1*m:0.9*m))
figure;
hist(scores);
save azar4;
% Resultados de la corrida de 100
% azar4
%mime =
% 2.9845e-001
%mide =
% 1.3248e-002
%mimeord =
% 2.9938e-001
%mideord =
% 1.3119e-002

C.4. INTEGRACI ´ON DE SIMPSON ADAPTATIVA 53
% Resultados de quad
% format short e
% quad(’humps’,0,1,1e-5,1)/100
%ans =
% 2.9858e-001
%
%
C.4. Integraci´on de Simpson adaptativa
function [Q,cnt] = miquad(funfcn,a,b,tol)
%MIQUAD Numerical evaluation of an integral, low order method.
% Q = MIQUAD(’F’,A,B) approximates the integral of F(X) from A to B
% to within a relative error of 1e-3. ’F’ is a string
% containing the name of the function. Function F must return a
% vector of output values if given a vector of input values.
% Q = MIQUAD(F,A,B,TOL) integrates to a relative error of TOL.
%
% MIQUAD uses an adaptive recursive Simpson’s rule.
%
% See also QUAD, QUAD8.
% Basada en QUAD.M
% C.B. Moler, 3-22-87.
% Copyright (c) 1984-94 by The MathWorks, Inc.
% C.E. Neuman, 4-29-97
% [Q,cnt] = miquad(F,a,b,tol) also returns a
% function evaluation count.
if nargin 4, tol = 1.e-3; end
c = (a + b)/2;
% Top level initialization
x = [a b c a:(b-a)/10:b];
% set up function call
args = ’(x)’;
y = eval([funfcn,args]);
fa = y(1);
fb = y(2);
fc = y(3);
lev = 1;
% Adaptive, recursive Simpson’s quadrature
if any(imag(y))
Q0 = 1e30;
else
Q0 = inf;
end
[Q,cnt] = eval([’miquadst(funfcn,a,b,tol,lev,fa,fc,fb,Q0)’]);
cnt = cnt + 3;

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