1. Ecuaciones exactas<br />La ecuación inicial para resolverse por ecuaciones exactas debe ser: m(x,y) dx + n(x,y)dy = 0<br />A partir de esto la derivada parcial de “m” respecto a “y” debe ser igual a la derivada parcial de “n” respecto a “x”. (dm/dy) = (dn/dx)<br />Tomaremos un ejemplo para explicar este método:<br />[4x3 y3 + (1/x)] dx + [3x4y2 – (1/y)]dy = 0 <br />Comprobamos que las derivadas parciales sean iguales: <br />Dm/dy [4x3 y3 + (1/x)] dx = 12x3y2 dn/dx [3x4y2 – (1/y)] dy = 12x3y2<br />Le aplicamos la formula de solución de Ecuaciones exactas que es:<br />F (x,y) = m(x,y)dx + [ n(x,y) – (d/dy) m(x,y)dx] dy<br />F(x,y) = [4x3 y3 + (1/x)] dx + {[3x4y2 – (1/y)] –(d/dy) [4x3 y3 + (1/x)]}dy<br />Al resolver la integral del principio también resolvemos la última integral.<br />X4y3 + ln |x| + {[3x4y2 – (1/y)] – (d/dy) X4y3 + ln |x|} dy<br />Enseguida efectuamos la derivada parcial con respecto a “y”:<br />X4y3 + ln |x| + { 3x4y2 – (1/y) - 3x4y2 }dy<br />Podemos eliminar términos semejantes dentro de la integral: X4y3 + ln |x| + – (1/y)dy<br />Integramos, y el ejercicio esta resuelto!:<br />X4y3 + ln |x|- ln |y| + c<br />El factor integrante se utiliza cuando al comprobar si las derivadas parciales de “m” con respecto de “y” y “n” con respecto a “x” no son iguales. El método de solución es:<br />P(x) = (my – nx)/n p(y) = (ny – mx)/m<br />El factor integrante es: U = e p(x) dx<br />Se multiplica por todos los miembros de la ecuación para hacerla exacta y así podremos resolver la ecuación con la formula de solución de ecuaciones exactas dada al principio del documento.<br />Ecuaciones diferenciales lineales<br />Su forma ordinaria es: y’ + p(x) y = q(x)<br />Si q(x) es igual a 0 es homogénea y estas se pueden resolver por variables separables:<br />Y’ + p(x) y = 0 dy/y = -p(x) dx <br />Aplicando integral a ambos lados de la igualdad:<br />Ln |y| = -p(x) dx<br />Son muy sencillas y no hace falta el ejemplo ya que solo es desarrollar una integral.<br />Ahora una lineal por factor integrante:<br />xy’ + 2y = sen x<br />Dividimos cada termino entre x: y’ + (2/x) y = (sen x)/x<br />Lo que hicimos fue moldear la ecuación para que pudiera tomar la forma: y’ + p(x)y = q(x)<br />Y tenemos que p(x) = 2/x; el factor integrante es:<br />U(x) = e(2/x) dx = e2lnx = elnx(cuadrada) = x2<br />Y multiplicando todo por el factor integrante tenemos: x2 y’ + 2xy = x sen x<br />(x2y)’ = x sen x<br />Despejando la derivada tenemos: x2y = x sen x dx <br />El resultado de la integral es: -x cos x +sen x +c<br />Por lo tanto el resultado final es: y = -x-1 cos x + x-2 sen x + cx-2<br />