El documento explica cómo identificar ecuaciones diferenciales homogéneas y cómo resolverlas. Una ecuación es homogénea si todos sus términos son del mismo grado. También se puede hacer una "inspección" agregando una variable "t" a todas las variables para verificar si los grados coinciden después de factorizar. Finalmente, el documento muestra cómo resolver una ecuación diferencial homogénea sustituyendo las variables por elementos clave y aplicando integrales.

1. Ecuaciones DiferencialesHomogéneas

2. ¿Cómo saber que una E.D. es homogénea? Si todos los términos de la ecuación son del mismo grado, entonces es homogénea! Ejemplo: X2 + 2xy – (x3 /x) X2 --- cuadrado 2xy --- X1 y1 ---- termino al cuadrado (x3 /x) --- exponente cubico menos exponente negativo es igual a termino al cuadrado. ECUACION HOMOGENEA

3. Inspección En una ecuación que no sea tan fácil ver si sus términos son del mismo grado, hacemos la inspección. Ejemplo: (X2 + 2xy) / (x3 /x) Agregamos una “t” a todas las variables de la ecuación. (t2 X2 + 2txty) / (t3 x3 / t-1 x-1) Factorizamos “t” por termino común T2 (X2 + 2xy) / t2 (x3 /x) Si después de factorizar queda la ecuación que nos dieron al principio, entonces es homogénea y el grado que tenga “t” es el grado de la ecuación.

4. Elementos claves de las E.D.H. 1) y=ux dy=udx + xdu 2) x=uy dx=udy + ydu 3) u=x+y y=u-x dy=du-dx

5. Resolver por homogéneas (X2 + xy +3 y2)dx – (X2 + 2xy)dy =0 Podemos ver fácilmente que todos sus términos son cuadrados. Utilizamos el elemento que al sustituirlo en la ecuación, la haga mas corta, por comodidad. en este caso, será el primer elemento. [X2+x(ux)+3 (ux)2 ]dx – [X2 + 2x(ux)](udx+xdu)

6. Podemos factorizar X2 por termino común. X2 [1+u+3 u2 ]dx – [X2 (1+2u)] (udx+xdu) Dividimos entre X2. [1+u+3 u2 ]dx – (1+2u)(udx+xdu) Desarrollamos los términos. dx+udx+3 u2 dx –udx-xdu-2 u2 dx-2 uxdu Seguimos desarrollando. Dx+u2 dx-xdu-2 uxdu Aplicamos las integrales. dx/x (1+2u)/(1+ u2 )

7. Respuesta! Las integrales nos arrojan Lnx-arctanu+ln |1+ u2 |=c De acuerdo al elemento que utilizamos de las E.D.H. u vale “y/x”. La respuesta es: Lnx-arctan (y/x) +ln|1+ (y2 / X2 )|=c

8. Hecho por:Héctor Antonio Cuevas HernándezB – 21210310090