aplicación del Derive

1.
21
http://www.damasorojas.com.ve Dr. DÁMASO ROJAS
INSTITUTO UNIVERSITARIO DE
TECNOLOGÍA
JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI
MATEMÁTICAS PARA INGENIEROS
DERIVACIÓN CON VARIAS VARIABLES.
DERIVADAS PARCIALES.
El programa DERIVE, permite el cálculo simbólico de derivadas parciales de funciones de
dos o más variables de modo análogo a como hemos realizado con funciones de una
variable, así con el icono correspondiente de la barra de herramienta , o con la
secuencia Cálculo, Derivada, indicaremos al programa cuya derivada queremos hallar, la
variable respecto de la cual se quiere derivar y el orden de la derivada que se desea.
Ejemplo: Dada las funciones 2 2
( , ) 2 ; ( , )f x y xy x g x y x y= − = + Determine
f g
y
y x
∂ ∂
∂ ∂
a) Introducimos la expresión 2 2
( , ) 2 ; ( )f x y xy x g x x y= − = +
Nota: Observe que no es necesario colocar 2
( , ): 2f x y xy x= − , ya que al derivar
automáticamente el programa aplica la definición de la derivada.
b) Aplicar la secuencia: Cálculo, Derivadas, seleccione la variable: y; Orden: 1 y luego
simplificar
SEGUNDAS DERIVADAS PARCIALES
La derivada parcial ( , )f x y
x
∂
∂
puede ser derivada a su vez parcialmente con respecto a x
e y, dando las segundas derivadas parciales.
2 2
2 2
2 2
( , ) ( , ) ( , ) ( , )
( , ) ; ( , )
( , ) ( , ) ( , ) ( , )
( , ) ; ( , )
xx yy
yx xy
f x y f x y f x y f x y
f x y f x y
x x x y y y
f x y f x y f x y f x y
f x y f x y
y x y x x y x y
⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞
= = = = ⎜ ⎟⎜ ⎟
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞
= = = = ⎜ ⎟⎜ ⎟
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2.
22
http://www.damasorojas.com.ve Dr. DÁMASO ROJAS
INSTITUTO UNIVERSITARIO DE
TECNOLOGÍA
JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI
MATEMÁTICAS PARA INGENIEROS
Nota: Si la función f(x, y) y sus derivadas parciales son continuas, el orden de derivación
resulta irrelevante, es decir:
2 2
( , ) ( , )
( , ) ( , )
( , ) ( , )
yx xy
f x y f x y
y x x y
f x y f x y
f x y f x y
y x x y
∂ ∂
=
∂ ∂ ∂ ∂
=
⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞
= ⎜ ⎟⎜ ⎟
∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Ejemplo: Dada la función 4
( , )f x y xy= Determine
3
2
f
x y
∂
∂ ∂
Procedimiento: CÁLCULO, DERIVADAS, VARIABLE: Y; ORDEN 2; Y APLICAR SI
Ahora seleccionamos la nueva expresión y seguimos un procedimiento similar al anterior,
pero cambia en: VARIABLE. X; ORDEN 1 y simplificar
Otra forma de realizar esta operación, derivar y simplificar directamente es:
DIF(DIF(x∙y^4,Y,2),X) y simplificar.
Ejemplo: Obtener las segundas derivadas parciales de la función continua dada:
( ) 3 2 2
, 2 3f x y x y x y x= − +
2 2 2 2
) ; ) ; ) ; )
f f f f
a b c d
x x x y y y y x
∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

3.
23
http://www.damasorojas.com.ve Dr. DÁMASO ROJAS
INSTITUTO UNIVERSITARIO DE
TECNOLOGÍA
JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI
MATEMÁTICAS PARA INGENIEROS
Nota:
2
f
x y
∂
∂ ∂
Esto significa que se deriva primero con respecto a X y el resultado se deriva
con respecto a Y.
Si la función f(x, y) y sus derivadas parciales son continuas
2
f
y x
∂
∂ ∂
Esto significa que se deriva primero con respecto a Y y el resultado se deriva con
respecto a X.
Si la función f(x, y) y sus derivadas parciales son continuas
Parte a:
Parte b:
Parte c:
Parte d:

4.
24
http://www.damasorojas.com.ve Dr. DÁMASO ROJAS
INSTITUTO UNIVERSITARIO DE
TECNOLOGÍA
JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI
MATEMÁTICAS PARA INGENIEROS
En este caso podemos observar que:
2 2
f f
x y y x
∂ ∂
=
∂ ∂ ∂ ∂
, pero no siempre es así.
APLICACIONES
Ejemplo: En el análisis de algunos circuitos eléctricos se utiliza la fórmula
2 2 2
v
I
R L w
=
+
, donde I es la corriente, V es la tensión o voltaje, R la resistencia, L la
inductancia y w una constante positiva. Calcule ) ; )
I I
a b
R L
∂ ∂
∂ ∂
Ejemplo: En la ingeniería de carreteras, al estudiar la penetración del congelamiento en
los caminos, la temperatura T al tiempo t en horas y a una profundidad de x metros está
dada aproximadamente:
0 ( )x
T T e sen wt xλ
λ−
= −
Donde T0, w y λ, son constantes. El periodo de ( )sen wt xλ− es de
24 horas.
Calcule e interprete ;
T T
t x
∂ ∂
∂ ∂
Asignamos letras diferentes a las variables: 0;T Z T a= = para que el programa las
pueda reconocer como constantes.

5.
25
http://www.damasorojas.com.ve Dr. DÁMASO ROJAS
INSTITUTO UNIVERSITARIO DE
TECNOLOGÍA
JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI
MATEMÁTICAS PARA INGENIEROS
El resultado es la tasa de variación de la temperatura con respecto al tiempo a una
profundidad fija x.
El resultado es la tasa de variación de la temperatura con respecto al tiempo a una
profundidad en un tiempo fijo.
Ejemplo: Demuestre que cualquier función dada por
2 2
( ( ))(cos( )) a b z
w sen ax by e− +
=
Satisface la ecuación de Laplace en tres dimensiones.
2 2 2
0
w w w
x y z
∂ ∂ ∂
+ + =
∂ ∂ ∂
Ejemplo: La intensidad de la iluminación solar (en luxes) al tiempo t en un día claro y a una
profundidad x en el océano está dada aproximadamente por 3
0( , ) kx t
I x t I e sen
D
π− ⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠

6.
26
http://www.damasorojas.com.ve Dr. DÁMASO ROJAS
INSTITUTO UNIVERSITARIO DE
TECNOLOGÍA
JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI
MATEMÁTICAS PARA INGENIEROS
Donde 0I es la intensidad del día (en horas) y 0k > . Suponiendo que
0 1000, 12 0.10I D y k= = = Calcule ;
I I
t x
∂ ∂
∂ ∂
Asignamos letras diferentes a la variable: 0I a= para que el programa las pueda
reconocer como constantes.
DÁMASO ROJAS
ENERO 2012