Diapositiva semana 9

2. DERIVADAS
Cristian Camilo Penagos Torres
Mag´ıster en Docencia
Departamento de Matem´aticas, f´ısica y Estad´ıstica
Universidad de La Sabana

3. DERIVADAS REGLA DE CADENA
REGLA DE LA CADENA
Si y = f(u) es una funci´on derivable de u y adem´as u = g(x) es una funci´on
derivable de x, entonces y = f(g(x)) es una funci´on derivable de x y
dy
dx
=
dy
du
·
du
dx
o equivalentemente
d
dx
[f(g(x))] = f (g(x))g (x)
Figura 1. Composici´on de f y g.
Tomada de Thomas (2010)

4. DERIVADAS REGLA DE CADENA
EJEMPLO: APLICACI ´ON REGLA DE LA CADENA
Encuentre la derivada de f(x) =
x
3
√
x2 + 4
Reescribimos la funci´on de la siguiente forma:
f(x) =
x
(x2 + 4)1/3
Ahora, derivamos utilizando de regla de cociente y la regla de la cadena.
f (x) =
(x2 + 4)1/3(1) − x(1/3)(x2 + 4)−2/3(2x)
(x2 + 4)2/3
=
1
3
(x2
+ 4)−2/3 3(x2 + 4) − (2x2)(1)
(x2 + 4)2/3
=
x2 + 12
3(x2 + 4)4/3

5. DERIVADAS REGLA DE CADENA
EJEMPLO: APLICACI ´ON REGLA DE LA CADENA
Encuentre la derivada de g(t) = sin3
(4t)
Reescribimos la funci´on de la siguiente forma:
g(t) = (sin 4t)3
Ahora, derivamos utilizando la regla de cadena.
g (t) = 3(sin 4t)2 d
dt
[sin 4t]
= 3(sin 4t)2
(cos 4t)
d
dt
[4t]
= 3(sin 4t)2
(cos 4t)4
= 12(sin 4t)2
(cos 4t)
= 12 sin2
4t · cos 4t

6. DERIVADAS DERIVACI ´ON IMPL´ICITA
Hasta ahora, hemos considerado funciones que pueden expresarse mediante la
ecuaci´on y = f(x), que expresa y expl´ıcitamente en t´erminos de la variable x.
Sin embargo, algunas funciones se definen impl´ıcitamente por medio de una
relaci´on entre x y y, como pueden ver en la gr´afica, donde no es posible
despejar la variable y en t´erminos de x, a´un as´ı nuestro objetivo es encontrar
dy/dx mediante la derivaci´on impl´ıcita.
Figura 2.
Tomada de Thomas (2011)

7. DERIVADAS DERIVACI ´ON IMPL´ICITA
¿C ´OMO DERIVAR IMPLICITAMENTE?
Supongamos que la variable y es una funci´on derivable de x. Para c´alcular
dy/dx haga:
1. Derivar, con respecto a x, ambos lados de la ecuaci´on tratando a y como
una funci´on derivable de x (aplicamos las reglas usuales de derivaci´on)
2. Agrupar los t´erminos con dy/dx en un lado de la ecuaci´on y despejar
dy/dx.

8. DERIVADAS DERIVACI ´ON IMPL´ICITA
EJEMPLO
Encuentre la recta tangente a la curva x4 + x2y3 − y5 = 2x + 1 en el punto
(0, −1).
Figura 3.

9. DERIVADAS DERIVACI ´ON IMPL´ICITA
EJEMPLO
d
dx
(x4
+ x2
y3
− y5
) =
d
dx
(2x + 1)
4x3
+ 2xy3
+ 3x2
y2 dy
dx
− 5y4 dy
dx
= 2
3x2
y2 dy
dx
− 5y4 dy
dx
= 2 − 4x3
− 2xy3
y2 dy
dx
3x2
− 5y2
= 2 − 4x3
− 2xy3
dy
dx
=
2 − 4x3 − 2xy3
y2(3x2 − 5y2)
As´ı, dy
dx x=0
= −2
5, y la recta tangente es:
y = −
2
5
x − 1

10. DERIVADAS DERIVACI ´ON IMPL´ICITA
DERIVACI ´ON DE FUNCIONES LOGAR´ITMICAS
Si y = loga x, se quiere encontrar
dy
dx
y = loga x ⇐⇒ ay = x. Utilizando derivaci´on impl´ıcita se tiene:
d
dx
(ay
) =
d
dx
(x)
ay
ln (a)
dy
dx
= 1
dy
dx
=
1
ay ln a
dy
dx
=
1
x ln a

11. DERIVADAS DERIVACI ´ON IMPL´ICITA
EJEMPLO
Calcule
d
dx
ln
x1/2(2x + 7)4
(3x2 + 1)2
d
dx
ln
x1/2(2x + 7)4
(3x2 + 1)2
= ln x1/2
(2x + 7)4
− ln (3x2
+ 1)2
= ln x1/2
+ ln (2x + 7)4
− ln (3x2
+ 1)2
dy
dx
=
1
ay ln a
dy
dx
=
1
x ln a
DERIVACI ´ON LOGAR´ITMICA
A menudo, el c´alculo de derivadas que involucran productos, cocientes y
potencias suelen ser algo complicadas, pero pueden simplificarse utilizando
logar´ıtmos, a este proceso se le llama derivaci´on logar´ıtmica.

12. DERIVADAS DERIVACI ´ON IMPL´ICITA
PASOS DE LA DERIVACI ´ON LOGAR´ITMICA
Utilizaremos la derivaci´on logar´ıtmica para calcular y = f(x) = xx
1. Aplicar logaritmo natural a ambos lados de la ecuaci´on y = f(x), utilizar
las leyes de los logaritmos para simplificar.
ln y = ln (xx
)
= x ln (x)
2. Derive impl´ıcitamente respecto a x.
1
y
dy
dx
= 1 ln (x) + x
1
x
3. Resolver la ecuaci´on resultante para dy
dx
dy
dx
= y (ln (x) + 1)
dy
dx
= xx
(ln (x) + 1)

13. DERIVADAS DERIVACI ´ON IMPL´ICITA
REFERENCIAS
Stewart, J. (2012). C´alculo de una variable, trascendentes tempranas.
M´exico: Cengage Learning.
Thomas, G. (2010). C´alculo de una variable. M´exico: Pearson.
Zill, D. (2011). Matem´aticas 1, C´alculo Diferencial. M´exico:
McGraw-Hill.